Approccio Numerico

In questa sezione viene fornita una descrizione per il calcolo numerico del usso base e per il calcolo sia dell'autovalore e sia del campo aggiunto.

5.4.1 Calcolo del usso base

La cavità mostrata in gure 5.1 è stata investigata considerando che il usso che la investe sia o uno strato limite di Blasius o un usso di Couette. Inoltre è stato preso in esame anche il caso di Lid Driven Cavity cioè la cavità in cui il moto al suo interno è provocato dal moto del coperchio che si muove ad una determinata velocità.

I calcoli del usso base per questi diversi casi sono stati condotti usando un metodo agli elementi niti presentato nel capitolo 4, cioè FreeFem++ in cui è stata introdotta la formulazione variazionale delle equazioni Navier Stokes incomprimibili 5.1 usando, per la discretizzazione spaziale, l'approc- cio classico agli elementi P 2 − P 1 di Taylor-Hood. Il sistema non lineare di equazioni algebriche che ne viene fuori insieme alle condizioni al contorno

68 Calcolo del usso base Mesh nd.o.f. nt

M1 998668 221045

M2 1416630 313791

M3 2601757 576887

Tabella 5.1: Dettagli sulle griglie non strutturate. nd.o.f. numero di nodi

della griglia; nt numero dei triangoli impiegati per la griglia

viene risolto con una procedura Newton − Raphson che consiste nei seguenti passi: assegnata una condizione di tentativo iniziale w(0)

b , il sistema lineare

N S(<, Wb(n)) · wb(n)= −rhs(n) (5.26)

viene risolto ad ogni iterazione usando il MUMPS−Multifrontal Massively P arallel sparse direct Solver, ([109], [48], [151], [108]) per l'inversione della matrice. A questo punto il usso base viene aggiornato nel seguente modo: Wb(n+1) = Wb(n)+ wb(n). (5.27)

La soluzione iniziale di tentativo viene scelta come soluzione delle equazio- ni di Stokes ed il processo continua nché la norma L2 _{del residuo delle}

equazioni che reggono il moto non scendono sotto 10−12_.

Allo scopo di valutare l'ecienza sia della programmazione che della convergenza del solver, sono state considerate tre diverse griglie indicate con M1, M2 e M3. Queste tre discretizzazioni sono state generate utilizzando il tool Bamg (Bidimensional Anisotropic Mesh Generator) che fa parte del pacchetto FreeFem++. La tabella 5.1 riporta nella prima colonna la griglia, nella seconda colonna il numero dei nodi ed inne nella terza colonna il numero dei triangoli impiegati.

La gura 5.2 mostra la griglia media utilizzata per il calcoli, mentre gura 5.3 mostra il dettaglio della rinitura della griglia (zona in nero) in prossimità degli spigoli e nella regione dove è atteso essere lo shear layer. Come si osserva la griglia è molto ben rinita perché ci si attende che in questa regione si verichino strutture vorticose di dimensioni geometriche (scale spaziali) molto diverse fra loro. In particolare, scale molto piccole in prossimità dello spigolo anteriore della cavità che poi crescono nella regione dello shear layer no ad assumere valori massimi in corrispondenza del secondo spigolo.

Una verica sulla accuratezza e bontà del usso base è stata ottenuta eettuando un calcolo con un altro codice che è una variante del codice alle dierenze nite del secondo ordine ampiamente descritto in [54]. In gura 5.4

69 Calcolo del usso base

Figura 5.2: Discretizzazione della cavità aperta.

Figura 5.3: Dettaglio del livello di rinitura della griglia negli spigoli e nella regione delloshear layer. Cavità aperta.

è riportato il tipico usso base 2D stazionario sulla e nella cavità aperta cal- colato per il numero di Reynolds di Re=1370. Nella gura, il countourmap fornisce il valore della velocità mentre le linee continue rappresentano le li- nee di corrente. Si può chiaramente vedere il vortice localizzato nella cavità, l'inizio dello strato limite sulla parete sinistra esterna alla cavità e il suo ispessimento sulla parete orizzontale destra (sempre esterna alla cavità).

5.4.2 Calcolo degli autovalori e dell'aggiunto

Una volta note le quantità del usso base, presenti nel problema agli autovalori 5.13 come coecienti, è possibile eettuare l'analisi di stabilità.

70 Calcolo del usso base

Figura 5.4: Contour map della velocità e linee di corrente a Re=1370.

In questo caso dopo aver eettuato la discretizzazione spaziale, le equazioni e le relative condizioni al contorno 5.16 possono essere riscritte nella seguente forma compatta:

[A(<, Wb) + γB] · w = 0, (5.28)

dove w è l'autovettore destro (o anche detto diretto). Poiché i metodi di decomposizione QR non sono molto indicati per risolvere problemi di larga scala come quelli che qui troviamo associati alla matrice A, in questa tesi si è considerato un eciente metodo iterativo matrix − free basato sull'al- goritmo di Arnoldi [13]. Qui verrà usato il pacchetto aggiornato allo stato dell'arte di ARPACK [124], con ripartenza implicita per contenere le richie- ste di memoria disponibile. La soluzione del sistema lineare costruito dalle iterazioni di Arnoldi sul sottospazio di Krylov è ottenuta con lo stesso solver ([114], [115]) utilizzato per i calcoli del usso base. I modi dell'aggiunto so- no stati calcolati come gli autovettori sinistri del sistema discreto ottenuto dalla discretizzazione delle equazioni linearizzate. La funzione di sensitività è poi calcolata attraverso il prodotto del campo diretto e dell'aggiunto. Gli autovettori destro (diretto) e quello sinistro (aggiunto) sono normalizzati imponendo che

maxx,y∈D{|ˆu(x, y)|} = 1,

Z

D

ˆ

f+· ˆu dS = 1. (5.29) I risultati qui ottenuti sono stati confrontati con i risultati di [41], da cui avevamo preso spunto per le condizioni al contorno. Infatti gli autori del

71 Calcolo del usso base Mesh σ ω nd.o.f. nt Source

M1 0.0007590 7.4931 998668 221045 Present

M2 0.0008344 7.4937 1416630 313791 Present

M3 0.0009122 7.4943 2601757 576887 Present

D1 0.0007401 7.4930 880495 194771 [41]

D2 0.0008961 7.4942 1888003 418330 [41]

Tabella 5.2: Confronto tra i risultati ottenuti in questa tesi e quelli di [41] per la stessa congurazione geometrica. La frequenza del modo ω ed il rateo di crescita del disturbo σ sono stati calcolati per il primo modo instabile per Re=4140.

lavoro [41] hanno investigato la stabilità di un usso Newtoniano nella stessa congurazione geometrica qui investigata.

Nel loro lavoro riportano che la prima instabilità si verica al numero di Reynolds Re=4140. La tabella 5.2 mostra il confronto tra i risultati ottenuti in questa tesi e quelli di Sipp, per quel Reynolds, al variare della griglia di discretizzazione. A questo scopo si è nuovamente incluso nella tabella 5.2 le caratteristiche delle griglie usate e mostrate nella tabella 5.1. Si osserva che già per la griglia M1, cioè la più rada, confrontabile alla D1, la frequenza coincide sino alla terza cifra decimale e la dierenza sulla crescita della perturbazione è dell'ordine di 10−5_{. All'aumentare del numero}

dei punti, σ ha la tendenza ad aumentare leggermente sia nei calcoli qui fatti che in quelli di [41]. Il confronto è più che soddisfacente.

Nei casi analizzati, sono stati calcolati 50 autovalori con una base di Krylov iniziale di dimensione 150. Il criterio di convergenza delle iterazioni di Arnoldi è basato su una tolleranza di 10−9_{. Ad ogni modo per vericare in}

modo indipendente l'accuratezza dei risultati è stato calcolato a posteriori il massimo del residuo cioè maxi| (Aij + γBij) wj|. Ebbene il residuo è risultato

sempre essere al di sotto di 10−9 _{per tutti i calcoli eettuati in questa tesi e}

addirittura per i casi meno stabili è sceso sotto 10−12_{. Si segnala qui che la}

maggior parte dei calcoli presentati sono stati eettuati utilizzando la griglia M2mostrata nella gura 5.2.

72 Calcolo del usso base