Metodo numerico, discretizzazione spaziale e temporale

Il metodo numerico utilizzato per questi calcoli è stato ampiamente di- scusso nel capitolo 4 ed è basato su metodi spettrali agli elementi niti. Tali metodi sono implementati nel codice open source Nek5000 sviluppato da Fi- sher e collaboratori ed utilizzato in questa tesi. Questo codice è in grado di modellare ussi non comprimibili sia stazionari che non ed è in grado di tener conto di fenomeni di trasporto, di trasferimento del calore e di geome- trie che variano nel tempo (geometrie deformabili e o elastiche). Il dominio spaziale in cui vengono risolte le equazioni di Navier Stokes, così come le equazioni di stabilità globale, è diviso in elementi esaedrici. La soluzione è approssimata dal codice Nek5000 con polinomi di ordine elevato (sesto ordine) che assicurano una elevata accuratezza nei calcoli ed al contempo presentano un costo computazionale contenuto. Inoltre i metodi spettrali agli elementi niti hanno un rateo di convergenza della soluzione numerica che dipende solo dalla regolarità della soluzione esatta e dal grado dei po- linomi interpolanti. Siccome la soluzione delle equazioni di Navier Stokes è regolare quando lo sono le condizioni al contorno, allora possiamo dire che il rateo h di convergenza dipende solo dal grado polinomiale. Nelle equazioni sono però anche presenti dei termini non lineari che richiedono l'uso di uno schema implicito di integrazione per il tempo. Allora per quanto riguarda la discretizzazione temporale in questi calcoli si è utilizzato uno schema BDF (Backward Differentiation Formula) di ordine k (con k = 1, 2o3) per l'opera- tore generalizzato di Stokes, mentre per evitare la soluzione del sistema non lineare, il termine convettivo viene approssimato con una estrapolazione di

94 Cavità 3D ordine k. In questo modo, lo schema è chiamato BDF k/EXT k, è esplicito e formalmente accurato all'ordine k nel tempo.

6.2.2 Dominio di calcolo, griglia e condizioni al contorno

Il calcolo sulla cavità 3D, la cui lunghezza, larghezza e profondità è pari ad uno, è stato eseguito considerando come dominio di calcolo quello mostrato nella gura 6.1, che mostra una vista in prospettiva. Come si vede il sistema di riferimento è situato sul primo spigolo della cavità,che è investita da un usso, diretto come l'asse delle x, indicato dalla freccia blu. L'asse y è diretto lungo lo spigolo, mentre l'asse z è normale al piano xy ed è uscente dalla cavità.

Figura 6.1: Vista 3D del dominio di calcolo per la cavità 3D

La distanza che precede la cavità, cioè la distanza fra l'inflow boundary e il primo spigolo della cavità è uno, mentre la distanza tra il secondo spigolo e l'outflow boundary è posto uguale a 4 come viene mostrato nelle gure 6.2, 6.3 e 6.4. Queste gure mostrano le proiezioni del dominio della cavità dall'alto cioè la sezione secondo il piano xy, la proiezione laterale secondo il piano yz ed inne la proiezione laterale secondo il piano xz, rispettivamente. Dalla gura 6.3 si vede che l'estensione laterale del dominio rispetto alla cavità, in entrambe le direzioni è 3.5. La gura 6.4 mostra invece l'altezza del dominio computazionale che è stato preso uguale 4.

La griglia utilizzata per questo calcolo è di tipo non strutturata costituita da elementi esaedrici. Per avere una distribuzione ottimale della griglia,

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Figura 6.2: Proiezione del dominio computazionale secondo il piano xy. specie nelle zone vicino agli spigoli (punti singolari del dominio), è stata utilizzata la trasformazione di Roberts che permette di inttire la griglia in prossimità degli spigoli aumentando così la risoluzione. Nel codice Nek5000 sono previste tre opzioni per la trasformazione di Roberts e qui è stata utilizzata la prima opzione, per maggiori dettagli si rimanda a [72]. Le gure 6.2, 6.3 e 6.4 mostrano anche dei dettagli circa la griglia, sebbene siano una rappresentazione parziale della griglia in quanto le gure sono state ottenute considerando 1 ogni 12 punti della griglia vera. Come si può vedere essa è inttita nella regione delle pareti e degli spigoli allo scopo di catturare le diverse scale del fenomeno. Infatti la griglia è stata ottenuta attraverso 24 diversi sottoboschi cubici che permettono appunto di addensare i punti in prossimità delle pareti e del piano.

96 Cavità 3D

Figura 6.3: Proiezione del dominio computazionale secondo il piano yz.

97 Cavità 3D Per quanto riguarda le condizioni al contorno dobbiamo distinguere tra usso base e problema agli autovalori. Allora abbiamo per

• Ω_in− Inflow Boundary

 Flusso Base - Il usso che investe la cavità è uno strato limite con prolo di velocità alla Blasius ottenuto dalla soluzione delle equazioni di Prandtl su lastra piana semi-innita investita da un usso uniforme avente velocità U.

 Problema agli autovalori - Per la soluzione del problema agli autovalori si è utilizzata una condizione alla Dirichlet ovvero

u = v = w = 0 (6.32)

• Ωout− Outflow Boundary

 Flusso Base - In questo caso viene imposta una condizione alla Neumann cioè che il gradiente delle componenti di velocità in direzione z sia nullo, cioè

∂U ∂z = 0 ∂V ∂z = 0 ∂W ∂z = 0 (6.33)

 Problema agli autovalori - Per la soluzione del problema agli autovalori si è utilizzata una condizione analoga e cioè

∂u ∂z = 0 ∂v ∂z = 0 ∂w ∂z = 0 (6.34)

• Ωright e Ωlef t − Lateral Boundary

 Flusso Base - Sui due piani laterali di estremità viene imposta una condizione di simmetria che consiste nell'imporre che il gradiente delle componenti della velocità contenute nel piano, ovvero la U e la W, sia zero in direzione y e che la componente della velocità normale alla parete laterale sia zero, ovvero

∂U

∂y = 0 V = 0

∂W

98 Cavità 3D  Problema agli autovalori - Anche in questo caso viene imposta una condizione di simmetria analoga a quella del usso base, il che signica

∂u

∂y = 0 v = 0

∂w

∂y = 0 (6.36)

• Ωupper − Upper Boundary

 Flusso Base - La condizione all'innito è una condizione alla Neumann ∂U ∂z = 0 ∂V ∂z = 0 ∂W ∂z = 0 (6.37)

 Problema agli autovalori - Anche nel caso del problema agli auto- valori, la condizione all'innito si traduce in una condizione alla Neumann ∂U ∂z = 0 ∂V ∂z = 0 ∂W ∂z = 0 (6.38)

• Ω_lower− Lower Boundary

 Flusso Base - Condizione di no − sleep ovvero di velocità nulla sulle pareti solide sia del piano che della cavità

 Problema agli autovalori - Condizione di no − sleep ovvero di velocità nulla sulle pareti solide sia del piano che della cavità