G(f )(n) = n, f(n) = m, f(m) = G(f)(m). D’altra parte |ω × ω1| = |ω1| = ℵ1 e quindi il numero delle applicazioni iniettive da ω a ω1 `e pari al numero delle applicazioni iniettive da ω a ω× ω1. Ma abbiamo appena visto cheωω1" In(ω, ω × ω1). Cio`e
|ωω 1| ≥ |In(ω, ω1)| = |In(ω, ω × ω1)| ≥ |ωω 1| . Infine `e 2ω≤ |ωω 1| ≤ (2ω)ω= 2ω. Cio`e |In(ω, ω1)| = 2ω .
Esempio 1.15.7 Cardinalit`a dell’insieme dei sottoinsiemi di κ≥ ω
aventi cardinalit`a κ.
[κ]κ⊂ [κ]≤κ =P(κ). Dunque |[κ]κ| ≤ 2κ. Dato A⊂ κ, sia f(A) = A × κ.
Ora per ogni A⊂ κ, f(A) ⊂ κ × κ e |f(A)| = κ. Dunque
[κ]κ⊂ P(κ) " [κ × κ]κ .
Poich´e [κ]κ≈ [κ × κ]κ, allora 2κ≤ |[κ × κ]κ| ≤ 2κe si ha finalmente
|[κ]κ| = 2κ .
Esempio 1.15.8 Cardinalit`a dei buoni ordinamenti su κ≥ ω.
Per definizione vi sono κ+ ordinali di cardinalit`a κ. I buoni ordinamenti su κ sono ovviamente non pi`u di 2κ. Come abbiamo visto in precedenza, di A⊂ κ aventi cardinalit`a κ ce ne sono 2κ. Sia≤A un buon ordinamento dell’ordinale κ che ha come segmento iniziale A ⊂ κ (rispetto al buon
ordine indotto su A da∈). A sottoinsiemi A distinti corrispondono buoni
ordinamenti≤A distinti. Dunque ci sono 2κ buoni ordinamenti su κ.
1.16 L’assioma di regolarit`a o fondazione
Ricordiamo il seguente
Assioma 2. Di Regolarit`a o Fondazione.
∀x∃y(y ∈ x) → ∃y(y ∈ x ∧ ¬∃z(z ∈ x ∧ z ∈ y)) .
Cio`e ogni insieme non vuoto ha un elemento minimale rispetto a ∈: ∀x = ∅ ∃ y ∈ x (x ∩ y = ∅).
Teorema 1.16.1 ∀x (x /∈ x).
Dimostrazione: Se fosse x ∈ x, allora {x} non avrebbe elemento
∈-minimale. ✷
Teorema 1.16.2 Non esiste una ∈-catena infinita discendente; cio`e se {xn: n∈ ω} `e una successione d’insiemi, non `e possibile che ∀n ∈ ω (xn+1∈ xn).
Dimostrazione: Altrimenti {xn: n ∈ ω} non avrebbe un elemento
∈-minimale. ✷
L’affermazione del teorema suddetto, assumendo l’assioma di scelta (AS), `e in effetti equivalente all’Assioma di Fondazione. Infatti, se esso vale, come si `e visto, non esiste una catena infinita discendente. Si sup-ponga poi che non valga (AF) e sia x = ∅ un insieme senza elemento ∈-minimale: se x0∈ x, x0non `e∈-minimale; allora esiste x1∈ x0∩ x; ma x1 non `e∈-minimale e dunque esiste x2 ∈ x1∩ x, che non `e ∈-minimale;
e cos`ı via. Se xn ∈ x, poich´e non `e ∈-minimale, esiste xn+1 ∈ xn∩ x. Si
trova cos`ı una successione. . . x2∈ x1∈ x0 che `e una∈-catena discendente.
L’argomento qui presentato `e informale, poich´e non `e esplicitato l’uso che si fa dell’assioma di scelta. Infatti di elementi come x0 se ne possono trovare molti e molti x1 ∈ x0∩ x, e cos`ı via. Dunque `e strettamente necessario
introdurre l’assioma di scelta o una sua forma debole detta delle scelte dipendenti.
Definizione 1.16.1 Gerarchia cumulativa degli insiemi. Definiamo
1. V0=∅;
2. se α `e un ordinale Vα+1=P(Vα);
3. se α `e un ordinale limite Vα= β∈α
Vβ.
Lemma 1.16.3 Ogni Vα`e un insieme.
Dimostrazione: Infatti V0 =∅, ch e `e un insieme e i successivi Vα sono costruiti o usando l’assioma di potenza, se α = β+1 `e un ordinale successore o l’assioma dell’unione e l’assioma di rimpiazzamento se α `e un ordinale limite. Dunque, ammesso che i Vβ siano insiemi per ogni β < α, lo `e Vα. Per induzione transfinita ogni Vα`e un insieme. ✷
1.16. L’ASSIOMA DI REGOLARIT `A O FONDAZIONE 55
Dimostrazione: La dimostrazione sar`a fatta per induzione transfinita. Caso I: α = 0. La cosa `e ovvia.
Caso II: Sia α un ordinale limite, dunque Vα = ∪α<βVβ. Se x ∈ Vα, allora x∈ Vβ per qualche β < α; se y∈ x ∈ Vβ, allora y∈ Vβ, essendo Vβ transitivo per l’ipotesi induttiva, e quindi y ∈ Vα. Si osservi inoltre che, per la transitivit`a di Vβ, se y ∈ Vβ allora y ⊂ Vβ, cio`e y ∈ P(Vβ) = Vβ+1. Ci`o significa che Vβ⊂ Vβ+1.
Caso III: Sia α = β + 1. Per ipotesi induttiva Vβ `e transitivo; sia
x∈ Vα = P(Vβ). Allora x⊂ Vβ. Se y ∈ x ⊂ Vβ, allora y ∈ Vβ e quindi
y⊂ Vβper la transitivit`a di quest’ultimo insieme. Dunque y∈ P(Vβ) = Vα. Si osservi infine che V0 =∅ ⊂ Vα per ogni α. Se α `e limite, allora, per definizione, Vβ ⊂ Vα per ogni β < α. Abbiamo poi visto che Vβ ⊂ Vβ+1. Dunque in generale si ha : (β < α)→ (Vβ⊂ Vα). ✷
Lemma 1.16.5 Se α < β allora Vα∈ Vβ.
Dimostrazione: Abbiamo dimostrato in precedenza che α < β → Vα⊂ Vβ. Ora se α < β evidentemente α + 1 ≤ β e quindi accade ancora che Vα+1⊂ Vβ. Ma Vα∈ Vα+1=P(Vα)⊂ Vβ. Dunque Vα∈ Vβ. ✷
In realt`a, si pu`o dimostrare di pi`u, se assumiamo la validit`a dell’assioma di fondazione. Vale α < β↔ Vα∈ Vβ. Si supponga Vα∈ Vβ e sia per as-surdo α≥ β. Se fosse α > β allora, per quanto dimostrato, avremmo anche Vβ∈ Vα. Dunque l’insieme{Vα, Vβ} non avrebbe elemento ∈-minimale. Se
fosse α = β, allora Vα= Vβ e quindi l’insieme{Vα} non avrebbe elemento ∈-minimale.
Il teorema che segue afferma che, se vale (AF), tutti gli insiemi del nostro universo sono ottenuti attraverso la costruzione dei Vα. Cio`e ch e
V = ∪α∈OnVα descrive l’universo di tutti gli insiemi. Teorema 1.16.6 ∀x ∃α ∈ On (x ∈ Vα) .
Dimostrazione: Si supponga per assurdo che esista a /∈ ∪α∈OnVα. Ci sono due possibilit`a: che a⊂ ∪α∈OnVαo ch e ci`o non valga.
Caso I: Sia a /∈ ∪α∈OnVα ma a⊂ ∪α∈OnVα. Per ogni x∈ a si dica il rango di x rispetto ad a il minimo ordinale α tale che x⊂ Vα. Infatti, poich´e
a⊂ ∪α∈OnVα, ogni x∈ a `e anche elemento di ∪α∈OnVα, cio`e x ∈ Vα e per la transitivit`a x ⊂ Vα per qualche ordinale α. Il rango definisce una relazione funzionale tra l’insieme a e i numeri ordinali. Dunque l’immagine
dell’insieme a per la funzione rango `e un insieme di ordinali R (Schema d’assiomi di rimpiazzamento). Se β = sup(R) + 1, allora a⊂ Vβ e quindi
a ∈ Vβ+1, ch e `e una contraddizione. Non possiamo dunque supporre che sia a /∈ ∪α∈OnVα e a⊂ ∪α∈OnVα.
Caso II: Sia a /∈ ∪α∈OnVα e anche a ⊂ ∪α∈OnVα. Poich´e i Vα sono transitivi, se a non `e contenuto nella loro unione, la sua chiusura transitiva
T C(a) n´e pu`o appartenere n´e pu`o essere inclusa nella loro unione. Dunque potremo supporre, senza ledere la generalit`a, che a sia un insieme transitivo. Poich´e a⊂ ∪α∈OnVα, l’insieme b ={x ∈ a: x /∈ ∪α∈OnVα} = a\∪α∈OnVα non `e vuoto. Per l’assioma di regolarit`a, b ha un elemento∈-minimale y tale
che y∩ b = ∅.Poich´e y /∈ ∪α∈OnVα, possiamo concludere che y= ∅. Perci`o
esiste z ∈ y ∈ a, ossia z ∈ a per la transitivit`a di a. Ma z /∈ y ∩ b, quindi,
essendo z∈ a, `e z /∈ b. Ci`o implica z ∈ ∪α∈OnVα e quindi y⊂ ∪α∈OnVα; ci siamo cos`ı ricondotti al Caso I, che porta a contraddizione. ✷
Definizione 1.16.2 Definiamo per ogni insieme x la nozione di rango
dell’insieme: rank(x).
rank(x) = min{α: x ⊂ Vα} .
Si osservi che se rank(x) = α, allora x /∈ Vα. Infatti se α = β + 1 allora
Vα=P(Vβ) e quindi se fosse x∈ Vα sarebbe x⊂ Vβ, contro la definizione del rango. Se α `e limite, x∈ Vαsignificherebbe x ∈ Vβ per β < α. Per la transitivit`a di Vβci`o significherebbe x⊂ Vβ, ancora contro la definizione di rango. Dunque se rank(x) = α , α `e il minimo ordinale tale che x∈ Vα+1; questa `e una definizione alternativa di rank(x). Si tenga dunque presente che x∈ Vβ se e solo se rank(x) < β. Ossia
Vα={x: rank(x) < α} .
Lemma 1.16.7 Valgono i seguenti fatti
1. Se x∈ y, allora rank(x) < rank(y). 2. rank(y) = sup{rank(x) + 1: x ∈ y}.
Dimostrazione:
(1) Si supponga rank(y) = β. Allora y /∈ Vβ, ma y ⊂ β. Se x ∈ y `e
perci`o x∈ Vβ e quindi rank(x) < β = rank(y).
(2) Come abbiamo appena mostrato x∈ y implica rank(x) < rank(y) e
quindi rank(x) + 1≤ rank(y). Dunque α = sup{rank(x) + 1: x ∈ y} ≤ β =
rank(y). Sia poi x∈ y; allora per la definizione di α `e rank(x) + 1 ≤ α e
dunque rank(x) < α, cio`e x∈ Vα. In conclusione: x∈ y → x ∈ Vα, cio`e