In questo paragrafo esporremo alcuni teoremi che mostrano come la cardi-nalit`a di uno spazio topologico X si possa utilmente maggiorare, una volta che si conoscano i valori di opportune funzioni cardinali (di cui almeno una “globale”). Lo spazio X sar`a in genere supposto T2.
Abbiamo gi`a incontrato tre stime di cardinalit`a nel precedente para-grafo: precisamente, per gli spazi T0,|X| ≤ 2w(X) (Teorema 4.3.1), per gli spazi T3,|X| ≤ 2d(X)ψ(X)(Esercizio 4.3.9) e, per gli spazi T2,|X| ≤ 22d(X) (Teorema 4.3.8).
L’insieme di tutti i sottoinsiemi di un insieme E aventi cardinalit`a non superiore a κ si indica con [E]≤κ. `E immediato verificare che|[E]≤κ| ≤ |E|κ.
4.4. STIME DELLA CARDINALIT `A 115
Lemma 4.4.1 Siano κ e λ cardinali infiniti. Supponiamo che lo spazio (di
Hausdorff ) X abbia le seguenti propriet`a:
(1) per ogni p ∈ X esiste una famiglia Vp di intorni aperti di p, con |Vp| ≤ κ, tale che {V : V ∈ Vp} = {p};
(2) esiste un sottoinsieme (denso) S di X, con |S| ≤ λ, tale che X = {A : A ∈ [S]≤κ}.
Allora|X| ≤ λκ.
Dimostrazione: Per ogni p∈ X, scegliamo Ap ∈ [S]≤κ tale che p∈ Ap, e osserviamo che per ogni intorno aperto V di p si ha Ap∩ V ∈ [S]≤κ e
p ∈ Ap∩ V . Sia Φ: X → [[S]≤κ]≤κ definita da p 0→ {Ap∩ V : V ∈ Vp};
poich´e
Φ(p) ={p} per ogni p ∈ X, la funzione Φ `e iniettiva, e quindi |X| ≤ |[[S]≤κ]≤κ| ≤ (|S|κ)κ = |S|κ ≤ λκ. Qui con
Φ(p) si `e indicato
{Ap∩ V : Ap∩ V ∈ Φ(p)}. ✷
Corollario 4.4.2 (Posp´ıˇsil). Se X `e T2 si ha |X| ≤ d(X)χ(X).
Dimostrazione: Si applichi il lemma precedente, con κ = χ(X) e λ =
d(X). ✷
Lemma 4.4.3 Se X `e T2 si ha |X| ≤ d(X)L(X)ψ(X)t(X).
Dimostrazione: Sia κ = L(X)ψ(X)t(X) e λ = d(X); mostriamo che sono soddisfatte le ipotesi del lemma precedente. Poich´e la (2) `e immediata, baster`a dimostrare che vale la (1).
Fissato p ∈ X, sia Up la famiglia degli intorni aperti di p; essendo
ψ(p, X)≤ κ esister`a Gp∈ [Up]≤κ tale che
Gp={p}. Ora poich´e X `e T2, si ha
{U : U ∈ Up} = {p}, quindi per ogni G ∈ Gp la famiglia di aperti
{G} ∪ {X \ U : U ∈ Up} ricopre X e pertanto esiste V(G) ∈ [Up]≤κ tale che
X = G∪{X \ V : V ∈ V(G)}, cio`e {V : V ∈ V(G)} ⊂ G. Ponendo
alloraVp=
G∈GpV(G), si ha Vp∈ [Up]≤κ e
{V : V ∈ Vp} = {p}. ✷
Teorema 4.4.4 Se X `e uno spazio T2 allora |X| ≤ 2L(X)ψ(X)t(X).
Dimostrazione: Sia κ = L(X)ψ(X)t(X) e, per ogni p∈ X, sia Up una famiglia di intorni aperti di p, con |Up| ≤ κ, tale che Up={p}.
Costru-iamo, per induzione transfinita, una successione crescente{Hα : α ∈ κ+}
di chiusi e una successione{Vα: α∈ κ+} di famiglie di aperti tali che, per
ogni α∈ κ+: (1) |Hα| ≤ 2κ;
(2) Vα=
{Up: p∈β<αHβ};
(3) per ogniG ∈ [Vα]≤κ che non ricopre X si ha Hα\G = ∅.
Supponiamo di aver costruito Hβ eVβ per ogni β < α. Notiamo che Vα `e definita dalla (2) e che ha cardinalit`a non superiore a 2κ per la (1) e l’ipotesi induttiva. Sia Γα l’insieme di tutte le sottofamiglie in [Vα]≤κ che non ricoprono X e, per ogniG ∈ Γα, scegliamo xG ∈/ G; definiamo come Hα la chiusura dell’insieme Sα = {xG : G ∈ Γα} ∪β<αHβ: il fatto che
|Hα| ≤ 2κsegue dal lemma precedente. Ora poniamo H =
α∈κ+Hα: se H = X la tesi `e provata. Supponiamo al contrario che esista un punto q ∈ X \ H; per ogni p ∈ H fissiamo un Up∈ Upche non contenga q, cosicch´e la famigliaW = {Up: p∈ H} ricopre H. Per il Teorema 4.2.7, H `e chiuso, quindi L(H)≤ L(X) ≤ κ ed esiste
un A∈ [H]≤κ tale che G = {Up : p ∈ A} ricopre ancora H. Essendo κ+
regolare, esister`a un ¯α ∈ κ+ tale che A ⊂ β< ¯αHβ; osserviamo che G
appartiene a [Vα¯]≤κe non ricopre X: ci`o implica, per la (3), che Hα¯⊂G,
e abbiamo una contraddizione. ✷
Come caso particolare, si ha il seguente importante risultato. Teorema 4.4.5 (Arhangel’skiˇı). Se X `e T2 allora |X| ≤ 2L(X)χ(X). ✷
Lemma 4.4.6 Sia X uno spazio topologico, con c(X) ≤ κ. Per ogni famiglia di apertiW, esiste G ∈ [W]≤κ tale che
G ⊃W.
Dimostrazione: Per il Lemma di Zorn, esiste una famigliaM massimale
(rispetto all’inclusione) di aperti a due a due disgiunti ciascuno dei quali `e sottoinsieme di un elemento di W; ovviamente sar`a |M| ≤ κ. Mostriamo
che
M ⊃W. Sia infatti x ∈W; se x non appartenesse alla chiusura
di
M, esisterebbe un intorno aperto U di x disgiunto da ogni elemento
di M e quindi, detto W un elemento di W contenente x, la famiglia M ∪ {U ∩ W } contraddirebbe la massimalit`a di M. Ora basta scegliere, per
ogni M ∈ M, un UM ∈ W che contenga M; la sottofamiglia G = {UM :
M ∈ M} di W cos`ı ottenuta ha cardinalit`a non superiore a κ, e si ha
G ⊃M ⊃W. ✷
Esercizio 4.4.1 Sia κ un cardinale infinito. Dimostrare che `e vero il vi-ceversa di quanto affermato nel lemma precendente, e cio`e che se in uno spazio topologico X per ogni famiglia di apertiW esiste G ∈ [W]≤κ tale che
G ⊃W, allora c(X) ≤ κ.
4.4. STIME DELLA CARDINALIT `A 117
Dimostrazione: Sia κ = c(X)χ(X) e, per ogni p∈ X, sia Up una base di intorni aperti di p, con|Up| ≤ κ. Costruiamo, per induzione transfinita, una
successione crescente{Aα: α∈ κ+} di sottoinsiemi di X e una successione {Vα: α∈ κ+} di famiglie di aperti tali che, per ogni α ∈ κ+:
(1) |Aα| ≤ 2κ; (2) Vα=
{Up: p∈β<αAβ};
(3) per ogni Γ∈ [[Vα]≤κ]≤κtale che la famiglia{G : G ∈ Γ} non ricopre X si ha Aα\G∈ΓG = ∅.
Supponiamo di aver costruito Aβ eVβ per ogni β < α. Notiamo cheVα`e definita dalla (2) e che ha cardinalit`a non superiore a 2κper la (1) e l’ipotesi induttiva. Per ogni Γ∈ [[Vα]≤κ]≤κ tale che la famiglia{G : G ∈ Γ} non
ricopre X, scegliamo xΓ ∈/ G∈ΓG, e sia Sαl’insieme di tutti i punti cos`ı scelti; `e|Sα| ≤ 2κ, per cui possiamo definire Aα come Sα∪β<αAβ: ci`o completa la costruzione delle successioni{Aα: α∈ κ+} e {Vα: α∈ κ+}.
Poniamo A =
α∈κ+Aα: se A = X la tesi `e provata. Supponiamo al contrario che esista un punto q∈ X \ A; scriviamo Uq come{Bσ: σ∈ κ} e,
per ogni σ∈ κ, sia Wσl’insieme di tutti i V ∈p∈AUpche non intersecano
Bσ; per il lemma precedente, esiste Gσ ∈ [Wσ]≤κ tale che
Gσ ⊃Wσ. Poich´e X `e T2, per ogni p∈ A esiste σ ∈ κ tale che p ∈ Wσ, e quindi
A ⊂ σ∈κGσ. Ora, per ogni σ ∈ κ, la famiglia Gσ ha non pi`u di κ elementi: essendo κ+ regolare, esister`a un ασ ∈ κ+ tale che Gσ ⊂ Vασ; posto ¯α = sup{ασ : σ ∈ κ}, si h a ¯α ∈ κ+ per la regolarit`a, e{Gσ : σ ∈ κ} ⊂ [Vα¯]≤κ. Ma q /∈ σ∈κGσ, dunque per la (3) dovremmo avere
Aα¯ ⊂σ∈κGσ, il ch e `e assurdo. ✷
Lemma 4.4.8 (ˇSapirovskiˇı). Sia V un ricoprimento aperto di uno spazio topologico X, con s(X) ≤ κ. Esistono Y ∈ [X]≤κ e W ∈ [V]≤κ tali che
X = Y ∪W.
Dimostrazione: Supponiamo al contrario che si abbia Y ∪W = X per
ogni Y ∈ [X]≤κe ogniW ∈ [V]≤κ. Allora possiamo costruire per induzione transfinita una successione{xα: α∈ κ+} di punti di X e una successione {Vα: α∈ κ+} di elementi di V tali che xα∈ Vα\{xβ : β∈ α} ∪β∈αVβ
per ogni α ∈ κ+. In tal modo l’insieme D = {xα : α ∈ κ+} risulta
discreto (infatti per ogni α∈ κ+ l’insieme Uα= Vα\ {xβ: β∈ α} `e aperto
e Uα∩ D = {xα}) quindi deve essere s(X) > κ. ✷
Dimostrazione: Sia κ = s(X)ψ(X) e, per ogni p∈ X, sia Upuna famiglia di intorni aperti di p, con|Up| ≤ κ, tale che Up ={p}. Costruiamo, per
induzione transfinita, una successione crescente{Aα: α∈ κ+} di
sottoin-siemi di X e una successione {Vα : α∈ κ+} di famiglie di aperti tali che,
per ogni α∈ κ+: (1) |Aα| ≤ 2κ; (2) Vα=
{Up: p∈β<αAβ};
(3) per ogni G ∈ [Vα]≤κ e ogni H ∈ [[β<αAβ}]≤κ]≤κ tali che
G ∪
H∈HH = X si ha Aα\
G ∪H∈HH
= ∅.
Supponiamo di aver costruito Aβ e Vβ per ogni β < α. Notiamo cheVα `e definita dalla (2) e che ha cardinalit`a non superiore a 2κ per la (1) e l’ipotesi induttiva. Per ogni G ∈ [Vα]≤κ e ogni H ∈ [[β<αAβ}]≤κ]≤κ tali che
G ∪H∈HH = X, scegliamo un punto xG,H non appartenente a
G ∪H∈HH, e sia Sαl’insieme di tutti i punti cos`ı scelti; `e|Sα| ≤ 2κ, per cui possiamo definire Aαcome Sα∪β<αAβ: ci`o completa la costruzione delle successioni{Aα: α∈ κ+} e {Vα: α∈ κ+}.
Ora poniamo A =
α∈κ+Aα: se A = X la tesi `e provata. Supponiamo al contrario che esista un punto q ∈ X \ A e, per ogni p ∈ A, fissiamo
un Up ∈ Up che non contenga q; scriviamo Uq come {Bσ : σ ∈ κ} e, per
ogni σ ∈ κ, sia Tσ = A\ Bσ; per il lemma precedente (applicato allo spazio Tσ e al suo ricoprimento aperto {Up : p ∈ Tσ}), esistono Yσ e Zσ in [Tσ]≤κ tali che Tσ ⊂ Yσ∪p∈ZσUp. Essendo κ+ regolare, per ogni
σ∈ κ esister`a un ασ ∈ κ+ tale che Yσ∩ Zσ ⊂β<ασAβ; ponendo allora ¯
α = sup{ασ : σ ∈ κ}, si h a ¯α ∈ κ+ per la regolarit`a, e poich´e l’insieme
E = σ∈κ
Yσ ∪p∈ZσUp
non contiene q, per la (3) dovremmo avere
Aα¯\ E = ∅: ma questo `e impossibile perch´e E ⊃ A. ✷
Teorema 4.4.10 (De Groot). Se X `e T2 allora|X| ≤ 2hL(X).
Dimostrazione: Conseguenza immediata dei Teoremi 4.4.9 e 4.3.7. ✷
Esercizio 4.4.2 Dimostrare direttamente la disuguaglianza di De Groot
|X| ≤ 2hL(X).
Suggerimento: Modificare la dimostrazione del Teorema 4.4.4.
Lemma 4.4.11 Se X `e uno spazio T2 allora ψ(X)≤ 2s(X).
Dimostrazione: Poniamo κ = s(X). Fissato p ∈ X, per ogni q = p sia Uq un intorno aperto di q tale che p /∈ Uq. Applicando il Lemma 4.4.8 allo