Azione effettiva anomala e interazioni di Wess-Zumino

2λ `e la sua massa.

Invece M_B individua la massa del bosone di gauge B dopo la rottura spontanea di simmetria. Come abbiamo gi`a discusso essa prende un contributo dal meccanismo di St¨uckelberg e una correzione dal meccanismo di Higgs, fornendo complessivamente

M_B = q

M₁²+ (q_Bg_Bv)². (2.19)

Ricordiamo ancora che l’accoppiamento tra il campo di gauge anomalo e il bosone di goldstone G_B si pu`o eliminare introducendo un opportuno termine di gauge-fixing

L_gf = − 1

2ξ_B (∂_µB^µ− ξ_BM_BG_B)². (2.20) Infine riportiamo la lagrangiana di Yukawa nella fase di Higgs-St¨uckelberg

L_{Y uk} = −m ¯ψψ −m

vψψ h +¯ m v

M₁

M_Bi ¯ψγ⁵ψ χ_B− mg_Bq_B

M_B ψγ¯ ⁵ψ G_B, (2.21) dove compaiono, nell’ordine, il termine di massa del fermione m = ^λ√1v

2, gli accoppia-menti con il campo di Higgs h, con l’assione fisico χ_B e con il bosone di Goldstone G_B.

Sottolineamo ancora una volta che in questa fase della teoria il campo scalare b proietta su uno stato fisico χ_B di massa nulla. Correzioni di massa all’assione pos-sono essere generate modificando opportunamente la forma del potenziale di Higgs.

Una breve descrizione di questa nuova situazione `e fornita in App.A dove riportiamo anche la lagrangiana completa nella fase rotta della teoria.

2.2 Azione effettiva anomala e interazioni di Wess-Zumino

Il modello che abbiamo appena presentato possiede un’interessante caratteristica:

esso `e affetto da un’anomalia, ossia l’invarianza dell’azione classica sotto certe tra-sformazioni di simmetria non sopravvive nella transizione alla teoria quantistica. Le correzioni radiative responsabili dell’anomalia derivano dai diagrammi ad un loop con tre correnti sulle linee esterne, precisamente sono dovute ai correlatori con una o tre correnti assiali che indichiamo rispettivamente con la notazione AV V ed AAA.

Dato che l’accoppiamento assiale con il fermione coinvolge il solo bosone di gauge B, (A ha interazioni puramente vettoriali) `e immediato identificare in U (1)_B il gruppo di simmetria anomalo.

Inoltre i diagrammi a triangolo V V V e AAV sono nulli per il teorema di Furry, mentre i correlatori con topologie diverse e con un numero di correnti assiali superiore

a tre risultano ben definiti se l’anomalia totale `e distribuita in modo opportuno sulle funzioni a tre punti.

In questo paragrafo introduciamo l’azione effettiva, la sua variazione anomala sotto trasformazioni di gauge U (1)_B e la lagrangiana di Wess-Zumino necessaria per ripristinare la simmetria. I controtermini adoperati, della forma b F ∧ F , sono operatori di dimensione cinque che rendono la teoria non rinormalizzabile ma ben definita nell’ambito delle teorie effettive. Faremo vedere come l’assione b giochi un ruolo fondamentale in questo contesto in quanto la sua propriet`a di trasformazione realizza l’invarianza dell’azione quantistica ad un loop.

Infine elaboreremo sulle interazioni di Chern-Simons (CS) e sul loro legame con le diverse parametrizzazioni dei diagrammi a triangolo. Infatti un termine di tipo CS permette di distribuire in modo opportuno l’anomalia totale sui vertici del dia-gramma realizzando, per esempio, la conservazione della corrente di gauge vettoriale e l’assegnazione di tutta l’anomalia sulla corrente assiale.

La nostra discussione si basa sul formalismo dell’azione effettiva che `e il funzio-nale generatore dei correlatori irriducibili. Questo `e particolarmente utile per te-nere conto delle correzioni quantistiche ed estrarre agevolmente le identit`a di Ward anomale.

Consideriamo il contributo anomalo all’azione effettiva fornito dai diagrammi a triangolo AVV e AAA

S_an = S₁+ S₃ (2.22)

con

S₁ = Z

dx dy dz µ

i³g_Bg²_A

2! T_AVV^λµν (x, y, z)B_λ(z)A_µ(x)A_ν(y)

¶

(2.23) S₃ =

Z

dx dy dz µ

i³g_B³

3! T_AAA^λµν (x, y, z)B_λ(z)B_µ(x)B_ν(y)

¶

. (2.24)

I correlatori con una e tre correnti assiali sono rispettivamente

T_λµν^(AVV)(z, x, y) = h0|T¡

J_λ⁵(z)J_µ(x)J_ν(y)¢

|0i, (2.25)

T_λµν^(AAA)(z, x, y) = h0|T¡

J_λ⁵(z)J_µ⁵(x)J_ν⁵(y)¢

|0i (2.26)

con J_µ= ¯ψγ_µψ corrente vettoriale e J_µ⁵ = ¯ψγ_µγ⁵ψ corrente assiale.

Definiamo inoltre i corrispondenti diagrammi nello spazio dei momenti tramite

tra-2.2 Azione effettiva anomala e interazioni di Wess-Zumino 19 dove i momenti entranti (uscenti) hanno segno negativo (positivo) nell’esponenziale.

Riportiamo le equazioni delle anomalie nello spazio delle configurazioni per le due classi di triangoli e le variazioni dei contributi anomali dell’azione effettiva sotto trasformazioni di gauge U (1)_Ae U (1)_B I campi F sono definiti a partire dai potenziali vettori nel modo usuale F_{µ ν} =

∂_µA_ν− ∂_νA_µe la notazione compatta F ∧ F `e usata per indicare la contrazione dei due campi con il tensore di Levi-Civita F ∧ F = ²^{µ ν α β}F_{µ ν}F_{α β}. Naturalmente la variazione sotto A coinvolge solo il correlatore AV V .

La derivazione delle equazioni (2.34), (2.35) e (2.36) `e riportata in App.B.

Utilizzando i risultati precedentemente esposti `e possibile costruire la variazione complessiva dell’azione effettiva anomala ad un loop

δ_AS_an = −g_Bg_A²

La richiesta di invarianza sotto trasformazioni di gauge vincola la distribuzione dell’anomalia sui vertici dei diagrammi a triangolo e necessita l’introduzione di opportuni controtermini; in modo particolare dobbiamo soddisfare le relazioni

δ_AS_an = 0, (2.39)

δ_BS_an = 0. (2.40)

La condizione (2.39) implica necessariamente a₁(β) = 0, impone una particolare parametrizzazione del correlatore AVV, ovvero la richiesta di conservazione della corrente vettoriale sotto trasformazioni di gauge U (1)_A.

La realizzazione del secondo vincolo in equazione (2.40) invece `e completamente diversa poich´e

a₁(β) = 0 ⇒ a₃(β) = a_n6= 0, (2.41)

che traduce l’impossibilit`a di avere un triangolo con tutte le correnti vettoriali e assiali prive di anomalie. L’invarianza di gauge sotto il gruppo U (1)<sub>B</sub> pu`o essere ri-stabilita introducendo degli opportuni controtermini di Wess-Zumino, caratterizzati dalla stessa struttura della (2.38), in cui la variazione dell’assione di St¨uckelberg b compensa la variazione dell’azione effettiva anomala a un loop.

La lagrangiana di WZ `e della forma L_{W Z} = C_AA

M b F_A∧ F_A+C_BB

M b F_B∧ F_B (2.42)

e la richiesta di invarianza si traduce con l’equazione

δ_B(S_an+ S_{W Z}) = 0. (2.43)

Quest’ultima pu`o essere realizzata con una particolare scelta dei coefficienti C<sub>AA</sub> e C<sub>BB</sub> nella definizione (2.42) e infatti la simmetria di gauge `e ripristinata dalle condizioni

C_AA

M = −g_Bg_A² 2

1 4a_n 1

M₁, C_BB

M = −g_B³ 3!

1 4a_n 1

M₁. (2.44)

Enfatizziamo ancora una volta l’importanza dell’assione b nella cancellazione della variazione anomala della lagrangiana quantistica e notiamo come questo mec-canismo intervenga in concomitanza con la trasformazione di gauge di B. Invece il bosone di gauge A non `e accompagnato da nessuno scalare poich´e la simmetria U (1)_Arimane esatta in tutte le fasi della teoria.

2.2 Azione effettiva anomala e interazioni di Wess-Zumino 21 Discutiamo infine come si modifica la dimostrazione precedente nel caso in cui siano presenti interazioni di Chern-Simons. Fissata una parametrizzazione del dia-gramma AV V , ossia, determinati i coefficienti delle anomalie a₁(β), a₂(β) e a₃(β), un’interazione di CS della forma BA ∧ F_A ridistribuisce in modo diverso l’anoma-lia totale sui vertici del triangolo. Perci`o aggiungere un termine di CS equivale a scegliere una diversa parametrizzazione del diagramma e quindi esso pu`o essere semplicemente assorbito in una ridefinizione del vertice.

Introduciamo nella lagrangiana del modello A-B i controtermini di Wess-Zumino e le interazioni di Chern-Simons

L = L₀+ L_{W Z} + L_CS (2.45)

con

L_CS = d₁B^µA^νF_A^{α β}²_{µ ν α β} ≡ d₁BA ∧ F_A. (2.46) Per una variazione del campo di gauge A l’azione effettiva anomala e i controtermini trasformano come

δ_AS = d₁

2 hθ_AF_B∧ F_Ai −g_Bg_A² 2! a₁(β)2

4hθ_AF_B∧ F_Ai (2.47) e la richiesta di invarianza della teoria, δ_AS = 0, fissa univocamente il coefficiente d₁ in funzione dell’anomalia sul vertice vettoriale

d₁ = g_Bg_A²

2 a₁(β). (2.48)

La precedente condizione determina il termine di Chern-Simons nella lagrangiana ma, come abbiamo gi`a accennato, equivale a ridefinire il vertice AV V in modo che la corrente vettoriale sia conservata.

Analogamente la trasformazione di gauge del campo B induce la variazione δ_BS = −d₁ ripristina l’invarianza di gauge a livello quantistico.

Osserviamo infine che il valore del coefficiente C_AA non `e diverso da quello ricavato

nella (2.44) poich´e C_AA

M =

µ

−d₁

2 −g_Bg_A² 2

1 4a_n

¶ 1

M₁ = −g_Bg_A² 2

1

4(2a₁(β) + a₃(β)) 1 M₁

= −g_Bg_A² 2

1 4a_n 1

M₁. (2.51)

Concludiamo osservando che i due approcci sono equivalenti, ma risulta pi`u semplice fissare la parametrizzazione del diagramma AVV richiedendo le identit`a di Ward sui vertici vettoriali, piuttosto che introdurre nuove interazioni nella lagrangiana del modello.

2.3 Interazioni di Wess-Zumino nella fase di Higgs-St¨