L’anomalia conforme

Tra tutte le possibili trasformazioni di coordinate x → x⁰ che lasciano l’interval-lo ds² = g_µν(x)dx^µdx^ν invariante ne esistono alcune che corrispondono ad una trasformazione di scala sulla metrica

g_µν(x) → g⁰_µν(x⁰) = Ω(x) g_µν(x). (4.1) Tali mappe si chiamano conformi e, per definizione, preservano gli angoli tra i qua-drivettori. L’insieme di queste trasformazioni costituisce il gruppo conforme che contiene, come sottogruppo, il gruppo di Poincar´e. Infatti le traslazioni e le rota-zioni di Lorentz non cambiano la metrica e corrispondono al limite Ω(x) = 1. Altri

4.1 L’anomalia conforme 69 esempi di trasformazioni conformi sono dati dalle dilatazioni, dalle inversioni

x^µ→ x^0µ= λx^µ, x^µ→ x^0µ = x^µ

x², (4.2)

e dalle trasformazioni conformi speciali che corrispondono a traslazioni precedute e seguite da un’inversione

x^µ→ x^0µ = x^µ+ a^µx²

1 + 2a · x + a²x². (4.3)

Una teoria di campo classica `e invariante conforme se `e possibile introdurre un ten-sore energia-impulso conservato, simmetrico e con traccia nulla. Ma come spesso accade le simmetrie classiche possono essere rotte dalle correzioni quantistiche e nel caso specifico parleremo di anomalia conforme. Inoltre poich´e in alcune teorie `e suf-ficiente richiedere la simmetria di Poicar´e e l’invarianza per dilatazioni per ottenere come conseguenza la simmetria sotto l’intero gruppo conforme, e in effetti questo

`e il caso per l’elettrodinamica, useremo equivalentemente le espressioni anomalia conforme e anomalia di traccia per indicare la rottura quantistica.

I 15 generatori del gruppo conforme possono essere espressi in funzione di un tensore energia-impulso Θ^µν ottenuto dal quello canonico T^µν imponendo la simmetria negli indici {µ, ν} e l’annullarsi della traccia. La possibilit`a di realizzare queste richieste `e intimamente legata alla simmetria conforme della teoria. A tale scopo consideriamo una generica lagrangiana L (Φ(x), ∂_µΦ(x)) che dipende dal campo Φ(x) e dalle sue derivate prime. `E noto che l’invarianza dell’azione per traslazioni spazio-temporali implica che la corrente di Noether associata a tale simmetria sia conservata, nel caso particolare il tensore energia-impulso canonico deve avere divergenza nulla (avendo usato le equazioni del moto)

T^µν = Π^µ∂^νΦ − g^µνL ∂_µT^µν = 0, (4.4) dove Π^µ`e definito da

Π^µ= ∂L

∂∂_µΦ. (4.5)

Invece la simmetria dell’azione per trasformazioni di Lorentz comporta la conserva-zione del tensore momento angolare generalizzato

J^µαβ = x^αT^µβ− x^βT^µα− Π^µΣ^αβΦ (4.6) dove Σ `e legato allo spin e dipende ovviamente dalla rappresentazione interna del campo. Dalla conservazione di J<sup>µαβ</sup> `e evidente che il tensore energia-impulso cano-nico non gode di nessuna particolare simmetria nei suoi due indici, ad eccezione del

caso in cui il campo Φ sia scalare. Nonostante ci`o `e possibile aggiungere a T la diver-genza di un tensore a tre indici B^λµν, antisimmetrico nei primi due (B^λµν = −B^µλν), per costruire una nuova corrente conservata simmetrica

T_B^µν = T^µν+ ∂_λB^λµν T_B^µν = T_B^νµ ∂_µT_B^µν = 0, (4.7) dove B `e detto tensore di Belinfante ed `e dato da

B^λµν = 1 2

³

Π^λΣ^µνΦ − Π^µΣ^λνΦ − Π^νΣ^λµΦ

´

. (4.8)

Inoltre, con questa definizione, la densit`a di momento angolare assume la forma molto semplice

J^µαβ = x^αT_B^µβ− x^βT_B^µα. (4.9) Notiamo infine che la ridefinizione del tensore energia-impulso non si riflette sulle cariche che restano cosi immutate.

Ora consideriamo una trasformazione di scala x^µ → λx^µ con Φ(x) → λ^−lΦ(λx) dove l `e la dimensione di scala del campo e coincide con la sua dimensione in mas-sa. L’azione risulta invariante se la lagrangiana trasforma come L → λ<sup>−d</sup>L dove d `e la dimensione dello spazio-tempo. Tale condizione si verifica solo se tutti gli accoppiamenti della teoria sono adimensionali e ci`o esclude anche termini di massa per i campi. In generale la variazione dell’azione per una trasformazione di scala infinitesima `e

δS = Z

d^dx ² (−∂_µD^µ+ ∆_D(x)) (4.10) dove abbiamo definito la corrente di Noether

D^µ= x_νT^µν+ l Π^µΦ (4.11)

e

∆_D(x) = (l + 1) ∂L

∂∂_µΦ∂_µΦ + l∂L

∂Φ − dL (4.12)

che si annulla se l’azione `e invariante per dilatazioni.

Infine possiamo considerare la variazione dell’azione sotto trasformazioni conformi speciali e infinitesime

δS = Z

d^dx ² (−∂_µK^αµ+ 2x^α∆_D(x) + ∆^α_K(x)) (4.13)

4.1 L’anomalia conforme 71 con

K^αµ = (2x^αx^ν− δ_ν^αx²)T^µν+ 2x_νΠ^µ(l g^να− Σ^να)Φ (4.14) dove ∆_D(x) `e stato gi`a definito nell’equazione (4.12) mentre

∆^α_K(x) = 2Π_ν(l g^αν+ Σ^αν)Φ. (4.15) Se l’azione `e invariante per trasformazioni conformi speciali allora ∆_D = 0 mentre

∆^α_K deve essere una quadridivergenza totale ∆^α_K(x) = 2∂_νσ^αν. In tal caso la corrente di Noether `e

J_K^µα= K^αµ− 2σ^αµ. (4.16)

Se il campo Φ ha spin 1 o 1/2 si trova dal calcolo diretto che σ^αν = 0 e l’invarianza di scala, assieme a quella di Poincar´e, implica l’invarianza sotto tutto il gruppo confor-me. In questa situazione `e possibile ridefinire nuovamente il tensore energia-impulso per annullarne la traccia e preservare al tempo stesso l’equazione di conservazione e la sua simmetria

Θ^µν = T_B^µν+1

2∂_λ∂_ρX^λρµν, (4.17)

con

∂_µΘµν = 0 Θ^µν = Θ^νµ Θ^µ_µ= 0. (4.18) In modo particolare il tensore X deve soddisfare la condizione

g_µν∂_λ∂_ρX^λρµν = 2∂_α∂_λσ^αλ= −2g_µνT_B^µν (4.19) che evidenzia come il tensore energia-impulso di Belinfante T_B^µν abbia gi`a traccia nulla nel caso particolare in cui σ^αλ sia identicamente nullo.

Infine riportiamo le correnti conservate associate all’invarianza per dilatazioni e trasformazioni conformi speciali in funzione del nuovo tensore energia-impulso Θ^µν

J_D^µ = x_νΘ^µν J_K^µα= (2x_νx_α− x²g_να)Θ^µν. (4.20) In una teoria quantistica con una costante d’accoppiamento che varia con il para-metro di rinormalizzazione non `e possibile preservare contemporaneamente le tre propriet`a di Θ^µν qui elencate poich´e la procedura di regolarizzazione, bench´e non violi la simmetria di Poincar´e, introduce inevitabilmente una scala di massa µ che

rompe l’invarianza conforme. Quindi la teoria possiede un tensore energia-impulso conservato e simmetrico ma con una traccia diversa da zero. In conseguenza la cor-rente di Noether associata alle dilatazioni sviluppa un’anomalia e la sua equazione di conservazione `e modificata da un termine proporzionale alla funzione β che descrive l’evoluzione della costante d’accoppiamento g

∂_µJ_D^µ = g_µνΘ^µν = β(g)

2g F_µνF^µν. (4.21)

La ridefinizione della teoria con l’introduzione della scala di rinormalizzazione µ `e in-dispensabile per controllare le divergenze ultraviolette che appaiono nell’espansione perturbativa. Questa procedura induce nella costante d’accoppiamento una dipen-denza dal parametro µ e quindi determina una funzione β(g) non nulla definita come

β(g) = dg

d ln µ. (4.22)

In generale tale funzione, calcolabile perturbativamente, pu`o anche annullarsi. Le regioni cinematiche in cui ci`o avviene sono dette finestre conformi. Queste sono estremamente importanti perch´e mostrano che in tali situazioni le correzioni quan-tistiche si annullano. `E questo il caso, ad esempio, di teorie contenenti un numero speciale di supersimmetrie.