2.3.1 Beamformingclassico
Si consideri il problema di separare una singola componente a frequenza complessa dalle altre utilizzando un filtro FIR a J ingressi come illustrato in Fig. 2.6. Se ci interessa la frequenza ω0, la risposta in frequenza desiderata `e unitaria a frequenza ω0 e nulla altrove. Una soluzione comune
a questo problema consiste nel prendere il vettore d(ω0) come vettore w. Si pu`o dimostrare che
questa e’ la scelta ottima in termini di minimizzazione dell’errore quadratico tra la risposta effettiva e quella ideale. La risposta effettiva `e caratterizzata da un lobo principale (main lobe), detto anche
beam e da molti lobi secondari (sidelobes).
Dal momento che
w = d(ω0) (2.25)
ciascun elemento di w ha modulo unitario. `E quindi possibile finestrare il vettore w (modificando le ampiezze dei suoi elementi) per ottenere il migliore compromesso tra i livelli del lobo principale e dei lobi laterali. Sia T una matrice diagonale J× J che abbia per traccia i coefficienti della finestra,
si ottiene che il vettore dei coefficienti del filtro FIR `e dato da Td(ω).
Nel filtraggio spaziale si `e spesso interessati a ricevere un segnale proveniente da una certa direzione nota θ0. Se si suppone che il segnale sia a banda stretta (a frequenza ω0), una scelta tipica per il vettore dei coefficienti `e il vettore risposta dell’array d(θ0, ω0). L’array/beamformer che ne risulta viene detto array rifasato dal momento che l’uscita di ogni sensore viene sfasato prima della somma. La Fig. 2.2 rappresenta l’ampiezza della risposta effettiva quando w = d(θ0, ω0). Come per il filtro FIR discusso sopra, la larghezza del beam ed il livello dei lobi secondari sono le caratteristiche im-portanti della risposta. Il finestramento pu`o essere sfruttato per controllare la forma della risposta, cio`e per formare il beam. In Fig. 2.10 viene riportata la risposta di un beamformer puntato a +20◦ con finestramento di Hamming, mentre nelle Figg. 2.8 e 2.9 vengono mostrati i valori dei corrispettivi coefficienti in modulo e fase.
L’equivalenza tra array lineari equispaziati a banda stretta ed i filtri FIR (vedi Fig. 2.6) implica che le stesse tecniche per la scelta delle finestre sono applicabili ad entrambi i problemi4. Se l’array `
e a banda stretta e i sensori giacciono su una retta, possono essere usati i metodi che derivano dal progetto delle aperture spaziali continue.
Se l’array `e planare e separabile, allora tecniche per gli array lineari possono essere usate per sin-tetizzare la risposta complessiva 2D, come prodotto delle risposte di due array lineari. Un array planare nel piano xy si dice separabile se la sua risposta pu`o essere scomposta nel prodotto delle risposte di array lineari posti in direzione x e y. La risposta pu`o essere sintetizzata come il prodotto di array lineari posti in direzione x e y.
Se il beamformer `e a banda larga ed impiega filtri FIR, allora il finestramento pu`o essere applicato indipendentemente sia alle uscite dei sensori che alle prese dei filtri FIR, come illustrato in Fig.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
MODULO dei coefficienti
Sensore
Modulo
Figura 2.8: Andamento in MODULO dei coefficienti di un beamformer con finestratura di Hamming. Il puntamento `e a +20◦ ma questa informazione non pu`o essere dedotta da questa figura.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
FASE dei coefficienti
Sensore
Fase [rad]
Figura 2.9: Andamento in FASE dei coefficienti di un con finestratura di Hamming. Il puntamento `
e a +20◦. I coefficienti presentano uno sfasamento lineare precalcolato affinch`e il beamformer punti nella direzione desiderata.
2.3. BEAMFORMING DATA-INDIPENDENT 39 −100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100 −80 −70 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0 BEAMPATTERN DOA [°] Guadagno [dB]
Figura 2.10: Beamformer ottenuto con i coefficienti mostrati nelle figure precedenti. la finestra-tura di Hamming applicata al modulo dei coefficienti ha abbassato notevolmente l’effetto dei lobi secondari, mentre la loro fase determina la direzione di puntamento di +20◦.
Figura 2.11: Questa figura mostra un classico beamformer a larga banda. Nel beamforming classico i coefficienti (t1, t2, . . . , tJ) vengono usati per plasmare il beampattern. Per orientare un array a banda larga, si usano dei filtri per compensare i ritardi di propagazione della sorgente desiderata.
2.11.
I pesi vengono scelti per plasmare la risposta spaziale ed i coefficienti dei filtri FIR per presentare una desiderata risposta temporale. Come detto nel paragrafo 2.2, le risposte spaziale e temporale interagiscono cosicch`e le risposte in tempo e frequenza non possono essere sintetizzate in modo totalmente indipendente.
Un esempio di impiego della struttura di Fig. 2.11 `e il beamforming per somma e ritardi. In tal caso, i filtri FIR approssimano i ritardi di propagazione (fase lineare sulla banda di frequenze di interesse) ed i pesi per il finestramento vengono scelti per formare il main beam e la struttura dei lobi secondari nella risposta spaziale.
2.3.2 Beamformingdata-indipendent generalizzato
I metodi discussi in questo paragrafo si applicano alla progettazione di beamformers che approssi-mano una risposta desiderata del tutto arbitraria. Questo `e interessante per diversi aspetti. Per esempio, si potrebbe desiderare di ricevere ogni segnale proveniente in un certo range di direzioni, in tal caso la risposta desiderata `e unitaria nell’intero range. Si potrebbe sapere a priori che `e presente una forte sorgente di interferenza che arriva da una certo range di direzioni, in tal caso la risposta desiderata `e nulla nel range considerato.
Questi esempi sono analoghi al filtraggio FIR passa-banda e arresta-banda.
Sebbene in questo caso non si tratti pi`u esattamente di beamforming, `e prassi comune riferirsi ancora a questo tipo di filtraggio spaziale come ad un beamforming.
Si consideri la scelta di w tale che la risposta effettiva
r(θ, ω) = wHd(θ, ω) (2.26)
approssimi la risposta desiderata rd(θ, ω). Per la scelta di w possono essere impiegate tecni-che ad hoc, simili a quelle impiegate nella progettazione dei filtri FIR; tuttavia qui si prende in considerazione solo la scelta di w che minimizza la norma pesata Lp:
Lp=
|r(θ, ω) − rd(θ, ω)|p dθ dω
1/p
(2.27) della differenza tra la risposta desiderata e la risposta effettiva. L’approssimazione a Lp pesata `e utilizzata in diverse tecniche di progettazione dei filtri FIR. Le norme pi`u comunemente utilizzate sono L∞ (minmax) e L2 (Least Square).
Tecniche specifiche prevedono:
1. Finestramento della risposta impulsiva ideale (minimizzazione della norma L2con ω continua). 2. Minimi quadrati con campionamento della risposta in frequenza e pesatura lineare
2.3. BEAMFORMING DATA-INDIPENDENT 41
3. Tecnica minmax con algoritmo di Remez (minimizzazione della norma L∞ con ω discreta) 4. Tecnica minmax complessa e progettazione della risposta in modulo (minimizzazione della
norma L∞ con ω discreta)
La progettazione di un filtro FIR corrisponde ad un problema di approssimazione polinomiale, dal momento che la risposta in frequenza 2.6 `e la trasformata di Fourier discreta della sequenza dei coefficienti del filtro FIR. Diversi dei metodi sopracitati sfruttano questa struttura polinomiale. Ad esclusione del caso per il quale la progettazione del beamformer pu`o essere ridotta a geometrie di array lineari equispaziati, la progettazione del beamformer non `e un’approssimazione del problema polinomiale.
In generale, la risposta in 2.12 `e una somma pesata di esponenziali elevati a potenze non intere. Pertanto, i metodi (3) e (4) basati su L∞ non sono applicabili, dal momento che si basano sul teorema delle alternanze per approssimazioni polinomiali. Il metodo delle finestre (1) `e basato sulla trasformata di Fourier tempo-discreta ed anch’essa non `e applicabile. In genere `e applicabile la procedura con L2, che usa i minimi quadrati pesati linearmente (2).
Per illustrare la progettazione dei beamformer data-indipendent mediante ottimizzazione di L2, si consideri il caso di dover minimizzare l’errore quadratico tra la risposta effettiva e la risposta desiderata in P punti (θi, ωi), 1 ≤ i ≤ P . Se P > N allora otteniamo un problema ai minimi
quadrati sovradeterminato min w |AHw− rd|2 (2.28) dove A = [d(θ1, ω1) d(θ2, ω2) . . . d(θP, ωP)]; rd= [rd(θ1, ω1) rd(θ2, ω2) . . . rd(θP, ωP)]H
Purch`e AAH sia invertibile (cio`e che A abbia rango massimo), la soluzione della 2.28 `e data da
w = A+rd (2.29)
dove
A+= (AAH)−1A (2.30)
`
e la pseudo-inversa di A.
Aquesto punto occorre fare una precisazione. Il guadagno di rumore bianco di un beamformer `e definito come la potenza che si ha all’uscita del beamformer quando all’ingresso dei sensori `e presente del rumore bianco di potenza unitaria. Pertanto, la norma al quadrato del vettore dei pesi wHw
rappresenta il guadagno di rumore bianco. Se il guadagno di rumore bianco `e elevato, l’accuratezza con cui w approssima la risposta desiderata `e argomento di discussione, dal momento che l’uscita del beamformer avr`a uno scarso SNR dovuto ai contributi di rumore bianco. La matrice A si dice
malcondizionata quando le dimensioni numeriche dello spazio esplorato da d(θi, ωi) per 1≤ i ≤ P
sono minori di N . Se A `e malcondizionata, allora w pu`o avere una norma molto elevata e pu`o ancora approssimare la risposta desiderata. Per esempio, se viene campionata solo una direzione sorgente, allora il rango di A `e dato approssimativamente dal TBWP per quella direzione. Approssimazioni a basso rango di A e A+ dovrebbero essere utilizzate qualora il rango sia minore di N . Questo assicura che la norma di w non sia inutilmente elevata.
Specifiche direzioni e frequenze possono essere enfatizzate nella 2.28 scegliendo punti campione (θi, ωi) e/o pesando diversamente l’errore per ogni (θi, ωi) ma in genere, purtroppo, non sono disponibili delle linee guida per la scelta della pesatura degli errori e di (θi, ωi).
2.3.3 Confronto tra i metodo classico e metodo generalizzato
Nel caso di beamforming deterministico possono essere impiegati il metodo classico od il metodo
generalizzato a seconda che siano disponibili o meno le DOAdelle RFI principali. In ogni caso, si
suppone che la direzione di provenienza del segnale desiderato sia sempre nota a priori, ovvero che si conosca sempre in che direzione puntare il main beam per osservare la radiosorgente. Si suppone inoltre che tale informazione (espressa anch’essa in forma angolare) venga fornita dall’esterno, da un sistema di puntamento appositamente concepito. La Tab. 2.2 ricapitola la situazione per il beamforming deterministico.
Beamforming: DETERMINISTICO Livello: RF
DOANOTE METODO FUNZIONAMENTO
Segnale desiderato CLASSICO La fase dei coefficienti viene
calcola-ta in modo che il main beam punti nella direzione voluta.
Segnale desiderato + RFI GENERALIZZATO I coefficienti vengono determinati
affinch`e il beampattern presenti il suo massimo in direzione del segnale desiderato ed uno zero in direzione delle RFI.