Un beamformer `e un sistema che forma alla sua uscita un segnale scalare, come una combinazione pesata dei dati ricevuti ad una schiera di sensori.
I coefficienti (o pesi) determinano le caratteristiche di filtraggio spaziale del beamformer e consentono la separazione di segnali aventi sovrapposizione spettrale e differenti posizioni spaziali.
I coefficienti in un beamformer data-indipendent vengono scelti per fornire una risposta fissa del beamformer, indipendentemente dai dati ricevuti.
Nei beamformers ad ottimo statistico la scelta dei coefficienti `e tale da ottimizzare la risposta del beamformer in base alla statistica dei dati.
Spesso la statistica dei dati non `e nota a priori ed inoltre pu`o essere tempo-variante, in questo modo vengono utilizzati algoritmi adattativi per ottenere coefficienti che convergono alla soluzione statisticamente ottimale.
Considerazioni computazionali obbligano l’uso di beamformers solo parzialmente adattativi, con schiere composte da un grande numero di sensori.
Infine, si `e mostrato come si possano seguire diversi approcci per l’implementazione dei beamformers. In Tab. 2.5 vengono ricapitolate le varie tecniche di beamforming viste.
2.8. RIASSUNTO 61
Metodo Tipo Criterio VANTAGGI SVANTAGGI Applicabilit`a alla Radioastronomia. Classico Deterministico I pesi vengono
scel-ti affinch`ela rispo-sta del beamformer sia massima in di-rezione del segnale desiderato.
Semplice - Mini-mizza l’MSE tra risposta effettiva erisposta ideale - Finestrabile per avere controllo sui lobi secondari del beam. - Si estende facilmente al caso 2D - Larga banda
La risposta spazia-leela risposta temporale non sono indipendenti. -Richiede DOA del segnale desiderato.
Buona a livello de-terministico.
Generalizzato Deterministico I pesi vengono scel-ti affinch`ela ri-sposta del beam-former approssimi la risposta deside-rata nota a priori (massima nella di-rezione del segna-le desiderato e nul-la in direzione delle RFI).
Soppressione effica-ce delle RFI. - Dire-zionalit`a program-mabile- Per array planari equispazia-ti si possono usa-rein progettazione letecnicheadottate nel filtraggio FIR.
Pu`o essere rumo-roso. - Non so-no disponibili cri-teri di progettazio-neper lefunzio-ni di pesatura de-gli errori. - Richie-de DOA Richie-del segna-le desiderato e delsegna-le RFI.
Molto buona a li-vello deterministi-co.
MSC Deterministico eadattativo
I coe fficie nti adat-tativi vengono scel-ti sulla basedi un canaleausiliario in modo da cancella-releRFI dal canale primario. Metodo consolida-to - Se mplice - Non sono necessarie le DOA - I coefficien-ti effettuano un fil-traggio sul segna-leausiliario enon sul canaleprincipa-le, dove invece si ha il transito del se- gnaleradioastrono-mico.
Talvolta pu`o can-cellare il segnale desiderato (quando di intensit`a e le va-ta) - Il segnale de-siderato non deve entrare nel canale ausiliario.
Buona.
REF SIGNAL Deterministico eadattativo
I coefficienti vengo-no scelti per mas-simizzarela verosi-miglianza tra il se-gnale ricevuto ed un segnale dato, detto di riferimen-to.
Non sono necessa-rieleDOA Occorre genera-reun segnaledi riferimento e le prestazioni dipen-dono fortemente dalla sua validit`a.
Non applicabile.
MAX SNR Deterministico eadattativo
I coefficienti vengo-no scelti per massi-mizzareil rapporto segnale/rumore. Vera massimizza-zionedell’SNR - Non sono necessarie le DOA Richiede la cono-scenza delle matri-ci di autocorrela-zione Rse Rn- Ri-chiede la risoluzio-nedi un problema agli autovalori. Scarsa. LCMV Deterministico eadattativo I coefficienti vengo-no scelti in modo da minimizzarela varianza del segna-lein uscita sotto vincoli lineari.
Non sono neces-sariea priori le DOA o lematrici di autocorrelazio-ne- pu`o ge stire efficientemente le RFI con DOA nota (LCMV) - flessibile - Sperimentato.
Computazionalmente pesante
Buona.
Capitolo 3
Beamformingdeterministico
Nella prima parte di questo capitolo viene effettuata un’analisi comparata delle varie tecniche di beamforming in ambito deterministico, ovvero nell’ipotesi in cui la statistica dei segnali in gioco sia completamente nota a priori. Il caso adattativo verr`a invece trattato nel capitolo successivo. Nella seconda parte del capitolo si studia l’applicabilit`a di tali tecniche al sistema BEST-1.
Per far questo, verranno introdotte gradatamente delle simulazioni numeriche di complessit`a cre-scente ottenute mediante MATLAB1.
3.1 Effetti del beamformer sul rapporto segnale/rumore
Si consideri un array lineare composto da N sensori equispaziati a distanza d. Sia dk la distanza tra il k-esimo sensore dell’array ed il primo:
dk= (k− 1)d (3.1)
Una sorgente posta a grande distanza dalla schiera trasmette un segnale monocromatico:
s0(t) = s0ej2πf0t (3.2)
la cui ampiezza s0 `e una variabile aleatoria con varianza E[|s0|2] = σ02.
Poich`e la sorgente `e molto lontana dall’array, il fronte d’onda ai sensori pu`o essere considerato piano. Sotto questa ipotesi, il segnale ricevuto dall’n-esimo sensore `e uguale a quello ricevuto dal primo (che viene preso come riferimento) a meno di un ritardo temporale τk, cio`e a meno di un tempo di propagazione:
τk= dksin θ0
c =
dksin θ0
λf0
(3.3)
dove θ0 rappresenta la DOAdella radiosorgente (rispetto alla normale all’array) e c la velocit`a della luce (Fig. 3.1). d x 1 x 2 x N d(N-1)sin(theta) s0(t)
Figura 3.1: Schiera lineare uniforme.
In base a queste considerazioni, il segnale xk(t) ricevuto dal k-esimo sensore vale:
xk(t) = s0ej2πf0tej2πf0τk = s0(t)ej2π(k−1)d
λsin θ0 (3.4)
Omettendo per semplicit`a l’indice temporale t e rappresentando con il vettore x = [x1 x2 . . . xN]T i segnali ricevuti dagli N sensori, si ha:
x = s0d0 (3.5)
dove d0 rappresenta la risposta della schiera al segnale a banda stretta proveniente dalla direzione
θ0 (steering vector ):
d0 = [1 ej2πdλsin θ0 . . . ej2π(N−1)d
λsin θ0]T (3.6)
Nel seguito si consideri d = λ/2 a cui corrisponde il vettore:
d0 = [1 ejπ sin θ0 . . . ejπ(N−1) sin θ0]T (3.7) Si assuma ora che il segnale ricevuto dal k-esimo sensore sia affetto da un disturbo nk, quindi la (3.4) pu`o essere riscritta come:
3.1. EFFETTI DEL BEAMFORMER SUL RAPPORTO SEGNALE/RUMORE 65
xk = s0ejπ(k−1) sin θ0+ nk k = 1, 2, . . . N (3.8)
Il rumore complessivo nk `e ipotizzato gaussiano ed incorrelato ai diversi sensori:
E[|nk|2] = σ2 (3.9)
E[ (nk) (nj)] = 0 ∀k, j = 1, 2, . . . N (3.10)
E[ (nk) (nj)] = 0, E[ (nk) (nj)] = 0,∀n = j (3.11) `
E conveniente esprimere l’equazione 3.8 in forma vettoriale:
x = s0d0+ n (3.12)
dove n `e un vettore casuale complesso gaussiano, n ∼ CN(0, Rn), con media nulla e matrice di covarianza Rn. Si noti che essendo il disturbo incorrelato ai diversi sensori dell’array, si ha:
Rn= σ2IN (3.13)
e che il rapporto segnale/rumore per ciascun sensore assume la forma:
SN Rk= E[|s0|2]
E[|nk|2] =
σ02
σ2 (3.14)
Al fine di aumentare il rapporto segnale/rumore, `e possibile combinare in modo coerente il segnale
s0 proveniente dagli N sensori, compensando i termini di fase ejπ(k−1) sin θ0 espressi in 3.7. E` sufficiente infatti moltiplicare l’uscita del k-esimo sensore per il termine d∗
k(θ0) = e−jπ(k−1) sin θ0 (per
k = 1, 2, . . . , N ) e successivamente sommare le N uscite. Questo equivale ad eseguire il prodotto
tra il vettore dei coefficienti d0H ed il vettore x:
y = d0Hx = N k=1 d∗ k(θ0)xk = y0+ yn (3.15) dove: y0 = s0 N k=1 e−jπ(k−1) sin θ0e+jπ(k−1) sin θ0 = N s 0 (3.16)
yn= N k=1 e−jπ(k−1) sin θ0n k (3.17)
In questo modo gli sfasamenti sul segnale s0 vengono annullati ed `e come se l’array venisse ruotato di un angolo θ0.
Il rapporto segnale/rumore valutato all’uscita y del beamformer diviene:
SN R = E[|Ns0|2]
E[yn]2 = N
2σ02
N σ2 = N SN Rk (3.18)
e dunque viene aumentato di un fattore N rispetto al rapporto segnale/rumore sul singolo sensore. Questo perch`e il segnale ricevuto dalla direzione θ0 si somma in modo coerente, mentre il rumore `e incorrelato ai diversi sensori.
3.2 Beamformingdeterministico in assenza di RFI
Le tecniche di beamforming consistono nel combinare linearmente le N uscite dell’array con oppor-tuni coefficienti:
w = [w1 w2 . . . wN]T (3.19)
in modo da ottenere una stima ragionevole y del segnale s0:
y = wHx = N k=1 w∗ kxk (3.20)
Utilizzando la 3.12, si pu`o esprimere il segnale 3.20 come la somma y = y0+ yn di un segnale y0
dipendente da s0 e di un termine di rumore yn:
y0= s0wHd0= s0 N k=1 w∗ kdk(θ0) (3.21) yn= wHn = N k=1 w∗ knk (3.22)
La potenza del segnale complessivo in uscita sar`a