Brevi cenni sulle Tecniche di Omogeneizzazione

La teoria dell’omogeneizzazione non è di nuova concezione. I primi lavori riguardanti sviluppi asintotici per strutture periodiche risalgono agli anni ’70 (Bensoussan, 1978). La stessa regola delle miscele, utilizzata nel campo dell’Ingegneria Civile per molte- plici applicazioni, può essere giustificata nell’ambito della teoria dell’omogeneizzazione.

La più rudimentale applicazione dell’omogeneizzazione applicata ai solidi murari con- siste sicuramente nella procedura multi-step proposta in letteratura (Pande et al., 1989), per la valutazione dei moduli elastici di murature a concatenamento a cortina; nel pri- mo passo viene eseguita un’omogeneizzazione, ad esempio, orizzontale dei blocchi e dei giunti verticali, mentre nel secondo passo il materiale omogeneizzato precedente- mente ed i giunti orizzontali vengono a loro volta omogeneizzati. I passi di omoge- neizzazione possono anche essere invertiti, è stato tuttavia dimostrato che l’inversione dell’ordine di omogeneizzazione offre risultati diversi in termini di moduli elastici o- mogeneizzati.

Altre tecniche recentemente presentate nella letteratura tecnica (Luciano & Sacco, 1998) propongono delle procedure cinematiche per l’analisi non lineare della muratura, in cui sono a priori fissati i modi di rottura della cella elementare.

In altri casi (Cecchi & Sab, 2002a; Cecchi & Sab, 2002b; Cecchi et al., 2004; Cecchi et al, 2005b), il problema dell’omogeneizzazione della muratura è stato affrontato intro- ducendo dei parametri rappresentativi del modulo caratteristico e sviluppando un’analisi asintotica, sia nel caso di modellazione nel piano che fuori dal piano. In que- sto modo, le proprietà elastiche macroscopiche della muratura vengono individuate in funzione di più parametri, ed il loro campo di variazione viene studiato man mano che questi parametri tendono a zero.

Una analisi completa della teoria dell’omogeneizzazione applicata alla muratura in campo elastico può essere trovata in un lavoro riportato in letteratura (Anthoine, 1995).

Si consideri una parete muraria ad una testa in laterizi pieni e malta cementizia (Fig. 4.2). Essa può essere vista come un composito continuo periodico in quanto costituita da due diversi materiali disposti in maniera periodica: giunti di malta e laterizi. La teo- ria dell’omogeneizzazione per i mezzi periodici permette di ottenere il comportamento globale della muratura da quello dei materiali costituenti; ovvero, corpi periodici ete- rogenei, costituiti da ripetizioni appunto periodiche di un modulo elementare, possono essere analizzati come se fossero corpi omogenei utilizzando le tecniche di omoge- neizzazione.

È possibile individuare all’interno della muratura un modulo (cella unitaria) che con- tiene in piccolo tutte le informazioni geometriche e meccaniche necessarie alla com- pleta descrizione dell’intera parete considerata, e tale che, per ripetizione, possa ripro- durla nel suo complesso.

x1

x2

Fig. 4.2: Muratura di laterizi pieni e malta cementizia, ad una testa e

con tessitura a giunti sfalsati (piano x1,x2).

La condizione di periodicità può essere caratterizzata da una coppia di vettori (v1, v2)

indipendenti tali che le caratteristiche meccaniche del mezzo siano invarianti per ogni traslazione m1v1 + m2v2, con m1 , m2 interi. Un esempio di modulo elementare può esse-

re quello ottenuto dal parallelogramma formato dai due vettori, di area S e contorno ∂ S (Fig. 4.3).

Tale condizione di periodicità permette la formulazione del problema elasto-statico sul modulo elementare definito, avendo assegnato un campo di deformazione uniforme. Il valore medio della tensione ottenuto dalla soluzione del problema di campo fornisce i valori dei moduli elastici che rappresentano il continuo equivalente al materiale di par- tenza.

Per poter applicare la tecnica dell’omogeneizzazione è necessario che i moduli elemen- tari adiacenti siano soggetti alle stesse condizioni di carico, in pratica questo è verifica- to se le dimensioni del modulo base sono piccole se confrontate con quelle dell’intera struttura. v₂ v₁ S v₂ v₁ S v₂ v₁ S v₁ v₂ S

Fig. 4.3: Esempi di modulo caratteristico per la muratura.

Una volta individuata la cella unitaria, è possibile definire il problema di campo. Si considerino i materiali costituenti la muratura, cioè laterizi e malta, entrambi con com- portamento elastico lineare e perfettamente collegati. Si supponga inoltre che su tutto il corpo sia assegnato un campo di deformazione media omogeneo E. Il problema di campo o problema ausiliario sul modulo si può scrivere come:

div σ = 0 su S (equilibrio)

σ = c(y) ε(u) (relazione costitutiva)

cM y ∈ malta

c(y) =

cB _{y ∈ blocco}

ε = E + sym(grad uper_{) (congruenza)}

uper = u – Ey periodico su ∂S (condizioni al bordo - I)

σ n anti-periodico su ∂S (condizioni al bordo - II)

(4.1)

dove σ è il tensore di Cauchy; c tensore di elasticità periodico sul modulo descritto dal- le coordinate y e riferito al laterizio se y ∈ al laterizio, mentre è riferito alla malta se y

∈ alla malta; ε è il tensore di deformazione infinitesima; uper _{è il campo di spostamen-}

to definito sul modulo e deriva dall’imporre che le deformazioni sul contorno ∂S siano congruenti, ovvero non vi siano distacchi o compenetrazioni; u è il campo di sposta- mento sull’intero corpo. La condizione che il vettore tensione σ n sia anti-periodico su ∂S viene imposta sul modulo caratteristico per assicurarsi che σ n sia continuo passan- do da un modulo a quello adiacente. In sostanza, passare da una cella a quella adiacen- te, che è identica alla prima, equivale anche a passare da un lato a quello opposto nella stessa cella S. Pertanto, la condizione che σ n sia continuo si traduce nell’imporre che i vettori tensione su lati opposti del contorno ∂S siano opposti, perché le normali n sono tali, e questo corrisponde a dire che il campo di tensione σ sia periodico su ∂S, ovvero che il vettore tensione σ n sia anti-periodico su ∂S.

La condizione di periodicità di uper _{invece deriva dall’imporre che i campi di sposta-}

menti su due lati opposti del modulo elementare devono essere uguali a meno di uno spostamento rigido.

La soluzione del problema di campo (4.1), nel quale si sono assunte nulle le forze di massa, come di consueto avviene nei problemi di omogeneizzazione vista la dimensio- ne ridotta del modulo caratteristico rispetto all’intero corpo, è allora il campo di spo- stamenti periodico uper che induce un campo di tensione periodico e rispetta l’equazione di equilibrio (4.1), ovvero equilibra il campo di forze indotto dallo stato di deformazione uniforme assegnato E.

Scrivendo il problema (4.1) in termini di uper= u – Ey, eliminando quindi σ, l’unica in- cognita è proprio uper.

Vista la linearità del problema, la soluzione uper, quindi u = uper + Ey, per ogni campo di deformazione macroscopica E, può essere trovata come combinazione lineare delle soluzioni corrispondenti ai tre tensori elementari:

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 0 0 1 11 I ; _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 0 0 22 I ; ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = 2 1 0 0 2 1 21 12 _I I (4.2)

quindi, se uij è soluzione per E = Iij, allora u = Eijuij è soluzione per E = EijIij.

La deformazione locale sarà :

con A tensore del quarto ordine che fornisce le deformazioni infinitesime ε sul modulo caratteristico a partire dalla deformazione media E.

Inoltre, la tensione media sarà:

Σ = < σ > = < c ε(u) > = < c A E > = < c A > E (4.4) dove l’operatore < ⋅ > rappresenta la media : < ⋅ > =

∫

S

ds S

1 . In questo modo, noto uper, dalla (4.4) è possibile trovare:

C = < c A > (4.5)

che rappresenta il tensore di rigidezza omogeneizzato del materiale equivalente a quel- lo di partenza.

Introducendo, quindi, le relazioni (4.5) in un codice agli elementi finiti, definendo la mesh da utilizzare e le opportune condizioni di vincolo e di carico, in (Anthoine, 1995) è stato definita una procedura numerica per ottenere le costanti elastiche omogeneizza- te per murature di diverse dimensioni.