Comportamento meccanico della muratura
2.4. Brevi cenni sulle tecniche di modellazione della muratura A causa della non indifferente complessità del comportamento meccanico della mura-
tura, l’approccio ad una modellazione numerica del suo comportamento strutturale ha portato studiosi e ricercatori a sviluppare numerosi modelli costitutivi caratterizzati da differenti livelli di difficoltà. Dalle soluzioni basate sulle classiche teorie della plastici- tà alle più avanzate formulazioni computazionali, la definizione del metodo più oppor- tuno da utilizzare dipende soprattutto dal tipo di struttura da analizzare, dai dati di in- put e dall’esperienza del programmatore.
La risoluzione di un problema strutturale è funzione della modellazione del comporta- mento del materiale. I modelli costitutivi utilizzabili sono molteplici, ma, nel caso del- le strutture murarie, quelli più adoperati sono il legame elastico, elasto-plastico e non- lineare.
Il primo è ovviamente poco adatto alle murature, soprattutto quelle storiche, ma è di grande aiuto per uno studio preliminare del comportamento strutturale.
L’analisi elasto-plastica ha lo scopo di valutare il carico massimo sopportabile da una struttura (carico limite). L’assunzione di un comportamento plastico implica, da una parte, la determinazione del carico massimo nella fase di collasso, dall’altra, un com- portamento duttile per il materiale oggetto di analisi, applicabile per le strutture mura- rie nell’ipotesi di materiale non resistente a trazione (Capitolo 4). La plasticità è basata sui teoremi statico e cinematico per la determinazione del moltiplicatore di carico che porta la struttura al collasso, ampliamente applicati per lo studio del comportamento meccanico delle murature al collasso (Como & Grimaldi, 1983a, Como & Grimaldi, 1983b).
Il metodo statico fa uso di equazioni di equilibrio ed il moltiplicatore di carico rappre- senta un limite inferiore del carico di collasso. Nel metodo cinematico, viene indivi- duato un meccanismo per la struttura attraverso l’introduzione di cerniere plastiche o linee di snervamento; quindi, l’applicazione del principio dei lavori virtuali permette l’associazione di un moltiplicatore di collasso (limite superiore) al cinematismo pre- scelto.
La determinazione della linea delle pressioni ed il metodo delle cerniere plastiche per l’analisi degli archi in muratura sono esempi di applicazioni dei teoremi statico e ci- nematico rispettivamente (Fig. 2.23).
-a -b Fig. 2.23: Analisi plastica di strutture murarie. -a: Linee delle pressioni – metodo statico; -b: Indivi-
L’analisi non lineare è sicuramente il metodo più adatto per lo studio delle strutture, in grado di individuare la risposta strutturale completa dal campo elastico al collasso. La presenza di giunti con malta o a secco nelle murature, che generalmente rappresentano l’elemento più debole e con comportamento fortemente non lineare, induce le strutture murarie ad una risposta strutturale non lineare anche per bassi valori dei carichi appli- cati. Pertanto, le simulazioni numeriche del comportamento meccanico delle murature sono senz’altro più complete se sviluppate in ambito non-lineare. I modelli costitutivi non-lineari adoperati a tal fine sono numerosi e comprendono approcci basati sulla pla- sticità (ampliamente utilizzati anche per l’analisi di terreni e strutture in c.a.) ovvero sulla meccanica del danno.
In ogni caso, possono essere adoperati diversi livelli di accuratezza per l’analisi delle strutture murarie, secondo i risultati cercati, di solito distinti in micro-modellazione dettagliata, micro-modellazione semplice e macro-modellazione (vedi Capitolo 4). I primi due approcci sono più accurati ed adoperabili nel caso di strutture di piccole di- mensioni, in quanto richiedono un’analisi distinta di tutti i componenti della muratura (blocchi, malta e superfici di interfaccia) e comportano, quindi, un maggiore onere computazionale.
Nella macro-modellazione, indicata per strutture di dimensioni notevoli, la muratura è considerata come un composito omogeneo ed anisotropo, ed il comportamento del composito è descritto in termini delle tensioni e deformazioni medie, con l’assunzione di differenti proprietà elastiche lungo gli assi materiali.
Un’analisi dettagliata della muratura dovrebbe includere la rappresentazione dei bloc- chi e dei giunti di malta. Tale tipo di analisi è particolarmente adatto a strutture di pic- cole dimensioni, soggette a stati di tensione e di deformazione eterogenei, e richiede una buona conoscenza di ogni materiale costituente (malta e blocchi) e dell’interfaccia. All’atto di una modellazione, il comportamento non lineare della muratura può essere interamente concentrato negli elementi di interfaccia per quanto concerne i giunti ed in potenziali linee di frattura verticali al centro dei blocchi. Un modello completo do- vrebbe includere tutti i possibili meccanismi di rottura della muratura: rottura dei giun- ti, scorrimento lungo i giunti verticali o orizzontali, rottura dei blocchi, schiacciamento della muratura.
Uno dei primi tentativi di modellazione della muratura (Page, 1978) è basato sull’utilizzo di micro-modelli e di elementi di interfaccia; il comportamento non linea-
re è stato preso in considerazione in modo semplice mediante l’assunzione di compor- tamento fragile a trazione ed incrudente a taglio/compressione.
A titolo di esempio, recentemente è stato proposto un modello (Lourenço & Rots, 1997b) nel quale sono stati presi in considerazione tutti i possibili meccanismi di rottu- ra, che permette l’introduzione delle giuste proprietà meccaniche dei materiali ottenute attraverso prove sperimentali. Il comportamento del modello, rappresentato in Figura 2.24, include il comportamento anelastico a trazione (cracking), a taglio (sliding) e a compressione (crushing). La sua applicazione per la simulazione di sperimentazioni realmente condotte ha mostrato la buona validità delle ipotesi su cui si basa.
φ taglio compressione trazione c ft fc σ τ
Fig. 2.24: Modello di interfaccia per la muratura (Lourenço & Rots, 1997b).
Lo studio di strutture di grandi dimensioni può, invece, prescindere dalla conoscenza del comportamento meccanico di interazione tra i blocchi ed i giunti, in quanto gene- ralmente non incidente sul comportamento globale della struttura. In questi casi, sareb- be più opportuno considerare modelli continui, nei quali è possibile stabilire un legame tra le tensioni medie e le deformazioni medie nella muratura. Le difficoltà che si ri- scontrano nella formulazione di macro-modelli consistono principalmente nella man- canza di dati sperimentali di riferimento e nella non facile definizione del comporta- mento anelastico anisotropo della muratura. Una delle tecniche più appropriate per il progetto mediante macro-modelli consiste nel ben noto metodo degli elementi finiti, da tempo applicato per l’analisi strutturale della muratura in generale. Attraverso il meto- do degli elementi finiti è possibile effettuare calcoli bi- e tri-dimensionali per diverse condizioni di carico, di vincolo, di materiale e di legame costitutivo, effettuando tutte le ipotesi semplificative del caso, riducendo notevolmente l’onere computazionale.