Cadute di potenziale

In una linea di contatto vi sono delle relazioni che legano la caduta di potenziale alla intensità del carico, in funzione della sezione dei conduttori e della distanza di alimentazione. Rispetto alle normali linee elettriche, vi è una variabilità della posizione dei carichi, perciò la caduta di potenziale riscontrata in un pantografo di un certo treno dipende, oltre che dal suo assorbimento e dalla sua posizione, anche dall’assorbimento e dalla posizione di altri treni che stanno circolando

176

contemporaneamente nella stessa tratta. Bisogna procedere per tentativi per ricercare la condizione in cui si verifica la massima caduta di potenziale e progettare l’impianto in maniera tale che essa sia contenuta nei limiti massimi consentiti.

A partire dalle tabelle orarie, contenenti i tempi di servizio, le potenze impiegate da ogni treno in qualsiasi posizione della linea, e dipendenti da velocità, fase di marcia, pendenza del tracciato e fermate da rispettare, possono essere tracciati dei diagrammi che nei casi fondamentali forniscono:

- l’andamento del potenziale nei vari punti della linea quando un determinato carico 𝐼 viene a trovarsi in un determinato punto della linea stessa;

- l’andamento del valore della caduta di potenziale in corrispondenza degli archetti del pantografo della locomotiva di un treno, assorbente un determinato carico 𝐼, allo spostarsi del treno stesso da un estremo all’altro della linea.

Questi diagrammi vengono tracciati assumendo le seguenti ipotesi semplificative: - la tensione nei punti di alimentazione, cioè all’uscita delle sottostazioni, viene

considerata costante tenendo opportunamente conto in seguito delle variazioni della tensione primaria e delle cadute di potenziale (piccole) all’interno della sottostazione, lasciando così un certo margine rispetto al massimo valore di caduta ammissibile;

- la composizione della linea di contatto e del binario, quindi la resistenza chilometrica del circuito di andata e di ritorno, viene considerata uniforme su tutta la lunghezza della sezione in esame;

- la corrente assorbita da ogni treno viene ritenuta costante, indipendentemente dalla fase di marcia e dalla pendenza del tratto di linea in esame. Si ottengono così le cadute di potenziale valide per un carico standard, fissando in genere un valore unitario come 100 o 1000 A secondo il traffico previsto, da cui sarà facile ricavare le cadute effettive che risultano essere linearmente proporzionali alle prime;

- la corrente assorbita da un treno viene considerata indipendente dal valore di tensione che verrà a riscontrarsi al pantografo della sua locomotiva, per effetto delle cadute di potenziale provocate dal treno stesso e da tutti gli altri presenti sulla tratta. Questa ipotesi è senz’altro accettabile dato che la caratteristica serie su cui lavorano tutti i mezzi di trazione permette di mantenere immutate al variare della tensione la coppia motrice e la corrente assorbita, mentre una riduzione di potenza motrice comporta solo una riduzione della velocità.

177

Dopo aver definito queste premesse, si analizzano diversi casi caratteristici nei riguardi dello schema di alimentazione e della distribuzione dei carichi. Il caso più semplice prevede una linea alimentata da un solo estremo – la cosiddetta linea a

sbalzo – nella quale si trova a circolare un solo treno. In base alle ipotesi elencate, si

nota che rimarrà costante la corrente erogata dall’unica sottostazione, indipendentemente dalla posizione del treno. Applicando la legge di Ohm ed indicando con 𝐼 la corrente assorbita dal treno, con 𝑟 la resistenza chilometrica del circuito (linea di contatto più ritorno) e con 𝑥 la distanza del treno dalla sottostazione, si riscontrerà:

- una caduta di potenziale in corrispondenza del carico pari a: ∆𝑉_𝑥 = 𝑟 𝑥 𝐼

- un andamento lineare da 0 a ∆𝑉𝑥 della caduta di potenziale tra la sottostazione

ed il treno;

- un valore costante della caduta di potenziale al di là del treno e sino all’altro estremo della linea.

Nella figura 111 viene mostrato l’andamento della caduta di potenziale in linea, quando il treno si trova alla distanza X seguirà quindi la spezzata OBE. Allo spostarsi del carico tra la sottostazione e l’estremo opposto della linea, cioè lungo il segmento OC della figura, il punto B, estremo del segmento che misura la caduta di potenziale in corrispondenza del pantografo del treno, si sposterà lungo il segmento OD. La massima caduta di potenziale si verificherà in corrispondenza del treno e, quando questo si troverà all’estremo opposto della linea, rappresentato dal segmento CD, varrà:

∆𝑉_𝑚𝑎𝑥 = 𝑟 𝐿 𝐼

178

È interessante sottolineare come in corrispondenza del pantografo del treno che si sposta da un estremo all’altro della linea, nel caso appena analizzato il segmento OD, il diagramma della caduta di potenziale fornisca gli elementi necessari per conoscere il rendimento della trasmissione di energia tramite il circuito costituito dalla linea di contatto e dal circuito di ritorno. Infatti, l’area contenuta tra l’asse delle ascisse ed il diagramma della variazione ∆𝑉 può essere misurata come:

∫ ∆𝑉

𝐿 0

𝑑𝑠

o con la formula equivalente, quando riferita ad un treno che nel tempo 𝑇 si sposta per l’intera lunghezza 𝐿 con velocità 𝑣:

𝑣 ∫ ∆𝑉𝑑𝑡

𝑇 0

Poiché l’energia dissipata, nella resistenza del circuito di andata e di ritorno, nel tempo 𝑇 con un assorbimento costante 𝐼 è data da:

∆𝑊 = 𝐼 ∫ ∆𝑉𝑑𝑡

𝑇 0

se ne ricava la diretta proporzionalità tra l’area indicata e la perdita di energia. Ne consegue che il rendimento medio della trasmissione durante il transito del treno lungo l’intera tratta valga:

𝜂_𝑚𝑒𝑑 = 1 −∆𝑉𝑚𝑒𝑑 𝑉

dove ∆𝑉𝑚𝑒𝑑 non è altro che l’ordinata media del diagramma di cui si sta trattando e

cioè l’ordinata della sua retta di compenso. Queste considerazioni hanno carattere generale e valgono per i diagrammi che si riferiscono a qualsiasi altro tipo di alimentazione e distribuzione del carico.

In caso di più di un treno presente in una linea a sbalzo, si riconosce la necessità di applicare il principio di sovrapposizione degli effetti. Infatti, come si nota dalla figura 112, nel caso di due treni, assorbenti una corrente 𝐼1 ed 𝐼2, intervallati di una distanza

costante 𝑑, l’andamento della caduta di potenziale in linea nel momento in cui il treno più avanzato abbia raggiunto la distanza 𝑥 sarebbe dato dalla spezzata ODHQ; allo spostarsi tra O ed N del treno che assorbe il carico 𝐼1, la caduta di potenziale in

corrispondenza del suo pantografo viene a variare secondo la spezzata OPP’, mentre la caduta in corrispondenza del pantografo del secondo treno che assorbe un carico

179

𝐼₂ e che segue il primo alla distanza fissa 𝑑, segue l’andamento indicato dal segmento OM.

Figura 112: caduta di potenziale provocata da due carichi in una linea a sbalzo [12]

La massima caduta di potenziale si verifica ancora per 𝑥 = 𝐿 e vale: ∆𝑉_𝑚𝑎𝑥 = 𝑟 (𝐿 − 𝑑)𝐼₂+ 𝑟 𝐿 𝐼₁

oppure:

∆𝑉_𝑚𝑎𝑥 = 𝑟 (𝐿 − 𝑑)(𝐼₁ + 𝐼₂) + 𝑟 𝑑 𝐼₁

Anche in questo caso l’energia dissipata in calore nella linea di contatto e nel binario al transito del treno 1 tra O ed N, sempre seguito a distanza 𝑑 dal treno 2, risulta proporzionale all’area del diagramma e quindi all’area del quadrilatero OMP’N. Se i carichi fossero uguali e pari al valore 𝐼, la massima caduta di potenziale sarebbe uguale a:

∆𝑉_𝑚𝑎𝑥 = 2𝑟(𝐿 − 𝑑)𝐼 + 𝑟 𝑑 𝐼 = 2𝑟 𝐿 𝐼 − 𝑟 𝑑 𝐼

Nel caso di una linea sulla quale circolano numerosi treni, tutti di eguali caratteristiche e tutti egualmente intervallati da una breve distanza – come può avvenire nel caso di una metropolitana – risulta allora lecito considerare il carico uniformemente distribuito: se 𝐼 è la corrente complessivamente assorbita da tutti i treni presenti nella tratta di lunghezza 𝐿, si potrà considerare allora un carico uniformemente ripartito di 𝑖 = 𝐼

𝐿[ 𝐴

𝑘𝑚]. È evidente che con questa ipotesi il diagramma che indica l’andamento

della caduta di potenziale in linea con una data posizione dei carichi coincide con quello che dà l’andamento della caduta di potenziale in corrispondenza ai singoli pantografi in moto sulla linea. Per tracciare l’andamento di quest’ultima curva, basta considerare che la corrente che circola in un punto a distanza 𝑥 dalla sottostazione è quella, di valore (𝐼 − 𝑖𝑥), che va ad alimentare la tratta compresa tra la progressiva 𝑥

180

e l’estremo opposto della linea. In una tratta 𝑑𝑥 alla progressiva 𝑥 si verificherà quindi una caduta di potenziale pari a

𝑟 (𝐼 − 𝑖𝑥) 𝑑𝑥

e la caduta di potenziale tra la sottostazione ed il punto 𝑥 varrà pertanto ∆𝑉_𝑥 = 𝑟 ∫ (𝐼 − 𝑖𝑥)𝑑𝑥 𝑥 0 = 𝑟 𝐼 𝑥 −𝑟 𝑖 𝑥 2 2 dato che 𝑖 = 𝐼/𝐿, questa espressione può essere riscritta come:

∆𝑉_𝑥 = 𝑟 𝐼 𝑥 (1 − 𝑥 2𝐿)

Si giunge così alla seguente figura 113, dalla quale si può notare come la curva OBD sia un arco di parabola; inoltre, pur essendo facilmente intuibile, si può notare come la massima caduta di potenziale, all’estremo B della tratta, assuma lo stesso valore di quella che verrebbe provocata da un carico concentrato, pari al carico totale 𝐼 = 𝑖𝐿, posto al centro della tratta, ed è quindi pari alla metà di quella che il carico stesso provocherebbe se ubicato nel punto estremo B.

Figura 113: caduta di potenziale provocata dalla presenza di un carico uniformemente distribuito nel caso di un’alimentazione a sbalzo [12]

Passando a considerare il caso di una linea alimentato dai suoi due estremi, che è il caso più frequente nelle linee elettrificate in corrente continua, si può considerare che ogni treno presente nella tratta assorbe corrente tanto da una quanto dall’altra sottostazione ed i due assorbimenti risultano ovviamente inversamente proporzionali alla resistenza del circuito verso l’una e verso l’altra fonte di alimentazione. Supponendo uguali i valori di tensione delle due alimentazioni ed uniforme la resistenza chilometrica, ne consegue la seguente conformazione, riportata nella

181

figura 114, del diagramma che dà l’andamento delle correnti erogate dall’una e dall’altra sottostazione quando un carico 𝐼 si sposta tra la prima e la seconda.

Figura 114: andamento delle correnti e della caduta di potenziale provocata dall’alimentazione da entrambi gli estremi di una linea [12]

Quando il carico si trova alla distanza 𝑥 la caduta di potenziale in corrispondenza del suo pantografo vale:

∆𝑉_𝑥 = 𝑥(𝐿 − 𝑥) 𝐿 𝐼

ed essa varia linearmente tra il carico e le sottostazioni, nelle quali assume il valore zero. Il diagramma è quello della spezzata ACB della figura. Allo spostarsi del carico 𝐼 tra le sottostazioni A e B, il punto C si sposta lungo l’arco di parabola ACB e la più alta caduta di potenziale si verifica sempre in corrispondenza del carico, quando esso si trova a metà tratta. Essa vale:

∆𝑉_𝑚𝑎𝑥 =𝑟 𝐿 𝐼 4

Ed è quindi pari alla metà di quella che si verificherebbe se si interrompesse in mezzeria il parallelo tra le due sottostazioni. Se invece la sottostazione B interrompesse la sua alimentazione, ferma restando la continuità della linea, la massima caduta di tensione sarebbe uguale ad 𝑟𝐿𝐼 e si verificherebbe in corrispondenza del carico in B.

Nel caso di alimentazione da entrambi gli estremi, in presenza di più di un treno in linea, come si è fatto in precedenza si può procedere l’analisi con il principio di sovrapposizione degli effetti, giungendo al risultato riportato nella figura seguente … Ipotizzando un carico uniformemente distribuito, sempre con l’alimentazione alla stessa tensione da ambedue gli estremi della tratta, data la perfetta simmetria del

182

sistema, le correnti erogate dall’una all’altra sottostazione resteranno costantemente uguali e pari alla metà del carico totale 𝑖𝐿 e pertanto non si potrà mai verificare alcun passaggio di corrente in alcun senso nel punto centrale della tratta. È come se ogni metà si comportasse come una linea a sbalzo di lunghezza 𝐿/2 e di carico complessivo 𝐼/2.

Adottando le formule viste in precedenza per la linea a sbalzo, si giunge in definitiva ai risultati riportati nella figura 115 ed alla conclusione che, con un carico uniformemente distribuito, contrariamente a quanto avviene con un carico concentrato, interrompendo il parallelo alla mezzeria di una tratta di lunghezza 𝐿, non si modifica nulla agli effetti del valore della massima caduta di tensione. Infatti:

𝑟𝑖𝐿 8 =

𝑟𝑖 (𝐿₂₎

2

2

Figura 115: alimentazione da due estremi, carico uniformemente ripartito [12]