Calcolo degli esponenti critici e punti multicritic

In analogia con quello visto precedentemente calcoliamo gli esponenti critici per la nostra teoria in esame, in particolare lo faremo rispetto ai punti stabili, che nel nostro caso sono P5e P6.

Calcoleremo solamente γ e ν, giacché tutti gli altri esponenti critici sono dipendenti rispetto ai primi due, tramite le relazioni che abbiamo già introdotto. Abbiamo già denito la γ, adesso in analogia con quanto detto possiamo denire γui= − 1 Zr dZr dui β(ui, ε) e γ_w= − 1 Zr dZr dwβ(w, ε).

Adesso possiamo ricavare l'espressione completa della γ per questa teoria: γ = γ_ui+ γ_w.

Facendo i calcoli e sviluppando no al primo ordine rispetto alle costanti di accoppiamento, ricaviamo γ = (N + 2)(u1+ u2) 6 + N w 6 . Calcoliamo γ[(u+ 1, u − 2, κ 0

)]e γ[(u−₁, u+₂, κ0)], che sono rispettivamente uguali a

2 N + 1 N + 8

 ε

da cui possiamo ricavare l'espressione per ν, dalla denizione data nella teoria precedentemente descritta:

ν5,6 = 1 2 +  N + 1 N + 8  ε Dalla relazione di Fisher, per φi= 0, γ5,6 è:

1 + 2 N + 1 N + 8

 ε.

Anche il punto P3per N > 4 è stabile, calcoliamo anche per esso gli esponenti critici, sopramenzionati. Iniziamo calcolando γ  _6ε N + 8, 6ε N + 8, 0  , otteniamo 2 N + 2 N + 8  ε,

da cui possiamo ricavare l'espressione per il primo esponente, dunque: ν3= 1 2 +  N + 2 N + 8  ε.

Procedendo analogamente al caso precedente, deduciamo che: γ3= 1 + 2

 N + 2 N + 8

 ε.

Diversamente dalla teoria con un accoppiamento e un campo, caratterizzata dalla presenza di punti critici, di cui abbiamo copiosamente parlato, in questa teoria sarebbe più opportuno parlare di punti multicritici, così chiamati per il fatto che se rappresentiamo nel diagramma di fase l'andamento delle costanti di accoppiamento della teoria al variare della temperatura, otteniamo più curve che si diramano dal punto critico: più specicamente un punto multicritico è un punto che si osserva all'intersezione di due linee critiche, caratterizzate da dierenti parametri d'ordine.

Nel nostro caso abbiamo due tipi di punti, se la transizione rispetto ai me- desimi risulta continua: bicritici e tetracritici. I primi sono caratterizzati dalla presenza di una sola linea nella fase precritica, che rappresenta la transizione al primo ordine e che si dipana in due rami rispetto al punto critico nella fase postcritica. I secondi sono caratterizzati da una fase mista a bassa tempera- tura, precedente al raggiungimento della temperatura critica, dove coesistono entrambi i parametri d'ordine, cioè dove convivono due linee critiche, per poi diramarsi in altre due linee critiche nella fase postcritica.

Per poter indagare sulla natura del punto multicritico possiamo farlo attra- verso lo studio del segno della quantità ∆ = u1u2− w2:

se ∆ > 0 è tetracritico, se ∆ < 0 allora è bicritico.

Secondo la denizione appena introdotta, possiamo valutare ∆ nei punti stabili: 1) ∆(P5) = u+1u − 2 − κ 0 < 0 (punto bicritico), 2) ∆(P6) = u−1u + 2 − κ 0 < 0 (punto bicritico), 3) ∆(P3) =  6ε N +8 2 > 0 (punto tetracritico).

Come nel caso della teoria φ4_{con un unico accoppiamento siamo di fronte a}

delle transizioni di fase del secondo ordine, ovvero continue, poiché le derivate prime risultano continue al punto critico.

6 Conclusioni

L'approfondimento della teoria sopra descritta ci ha permesso di indagare meglio sul comportamento critico della stessa e stabilire quali fossero gli operatori e dunque gli accoppiamenti rilevanti della teoria, confrontandola con quella ad un unico accoppiamento.

Inoltre abbiamo scoperto che la teoria ammette tre punti multicritici stabili per N > 4 e diversamente, cioè per N < 4, solo due: in particolare nel primo caso abbiamo due punti bicritici e uno tetracritico, mentre non ammette il punto tetracritico nel secondo.

Questo ci permette di concludere dicendo che, dato un certo fenomeno sico descritto dalla teoria di campo in esame, vi è un valore cruciale di N ovvero 4, sotto il quale alcune fasi sono assenti, che è equivalente ad aermare che non si verichi l'occorrenza di precise transizione di fase del sistema, diversamente queste transizioni sono presenti proprio per la presenza di un punto tetracritico. Il nostro studio si è limitato allo studio ad 1-loop, ma naturalmente questo non esula dall'interesse di poterla analizzare rispetto a degli sviluppi successivi, di cui il seguente lavoro ne costituisce solo un trampolino di lancio e una base sulla quale poter prendere spunto.

7 Appendice

In questa sezione riporto le formule che sono servite per la risoluzione degli integrali riportati: Parametrizzazione di Feynman: 1 AB = Z 1 0 dx 1 [Ax + B(1 − x)]2 Integrale ricorrente : Z _dd_x (2π)d (p2₎β (p2_{+ r)}α = Γ(β +d 2)Γ(α − β − d 2) (4π)d2Γ(α)Γ(d 2) rd2−α+β

Un altro integrale ricorrente (per esempio dopo aver posto la massa (r) a zero): Z _dd_x (2π)d 1 (p2₎α 1 [(k − p)2_]β = Γ(α + β −d₂)Γ(d₂− α)Γ(d 2− β) (4π)d2Γ(α)Γ(β)Γ(d − α − β) (k2)d2−α−β

8 Bibliograa

[1]N. Boccara, Sim'etries Bris'ees, Hermann

[2]N. Goldenfeld, Lectures on Phase Transitions and the Renormalization Group, Addison-Wesley.

[3]N. Goldenfeld,Lectures on Phase Transitions and the Renormalization Group, Addison-Wesley.

[4]M. Le Bellac, Quantum and Statistical Field Theory, Oxford Science Publ. [5]L. P. Kadano Physics 2, 263, 1966.

[6]R. Casalbuoni, Appunti per il corso di dottorato: Parte II - Fenomeni critici (A.A. 1994/95).

[7]H. Kleinert, V. Shulte Frohlinde, Critical Properties of φ4 _Theories

[8]P.Calabrese, A. Pellissetto, E.Vicari, Multicritical phenomena in

O(n1) ⊕ O(n2)-symmetric theories", Physical Review B 67, 054505 , (2003).

[9]P.Calabrese, A. Pellissetto, E.Vicari, Multicritical phenomena in O(n1) ⊕ O(n2)-symmetric theories, Physical Review B 67, 054505 , (2003).

[10]P.Calabrese, A. Pellissetto, E.Vicari, Multicritical phenomena in O(n1) ⊕ O(n2)-symmetric theories, Physical Review B 67, 054505 , (2003).

[11]P.Calabrese, A. Pellissetto, E.Vicari, Multicritical phenomena in O(n1) ⊕ O(n2)-symmetric theories, Physical Review B 67, 054505 , (2003).

Ringraziamenti

Desidero ringraziare delle persone che nella mia vita e quindi anche in questo lavoro mi hanno supportato più o meno direttamente.

In primis ringrazio il mio relatore Ettore, nonché mio professore di Fisica Teorica 2 e Relatività Generale durante il corso di laurea magistrale arontato, che con la sua disponibilità, bontà, comprensione e ducia accordatami, mi ha consentito di lavorare con serenità e armonia.

Voglio ringraziare i miei genitori Adriana e Armando, che mi hanno dona- to l'esistenza, per il loro aetto e la loro presenza, perché mi hanno sempre supportato e mi hanno permesso di raggiungere i miei obiettivi e i miei so- gni,lasciandomi sempre scegliere liberamente, nonostante le loro severe dicoltà negli anni e rendendomi sempre ero di essere loro glio.

Grazie a mia sorella Chiara che mi ha sempre stimato ed elogiato per l'impe- gno che ho sempre cercato di profondere e per la dedizione in quello che faccio e le dico grazie altresì, perché con la sua forza e collaborazione mi ha permesso di vivere questi momenti senza troppi oneri.

Ringrazio le mie prozie Anna e Caterina per il loro grandissimo aetto e per il loro supporto morale ed economico: mi hanno consentito con grande generosità di raggiungere questo livello e sono state per me un forte esempio di serietà e correttezza in tutto quello che hanno fatto e continuano a fare.

Ringrazio mia nonna Angela che col suo aetto e il suo interesse ha dedicato anche per me parte della sua vita, ispirandomi sulla tenacia a fare quello che si pensa.

Voglio ringraziare mia zia Rosa Maria per quel rapporto che mi lega: mi ha sempre mostrato la sua sensibilità sempre e soprattutto quando ne ho avuto bisogno, così come mia cugina Laura, altrettanto vicina.

Voglio ringraziare delle persone che sono dei fratelli per me: Marco, mio cugino Ettore, Vito, Daniele, Valerio ed Enrico.

Ognuno di loro in maniera diversa, con un rapporto diverso, mi è sempre stato vicino e il loro confronto mi ha permesso di migliorare: il mio aetto nei

loro confronti è immenso quanto il loro verso di me, in qualsiasi momento e so che ci saranno sempre per me, quanto io per loro.

Ringrazio tutti i miei colleghi, in particolare Chiara, Stefano e inne ad Andrea il cui aetto e la sua disponibilità mi hanno permesso di conseguire questo traguardo, fornendomi un aiuto e sostegno incommensurabile in questo mio percorso.

Ciascuno di loro, in maniera dierente, mi ha sempre supportato per quanto possibile e mi ha fatto sentire sempre in compagnia, in un ambiente gioioso, condividendo momenti spensierati e non.

Inne dedico questo elaborato a mio nonno Santino, che so che sarebbe stato felice del mio percorso e della persona che sono.

Questa è l'unica cosa che posso fare per lui, sebbene non l'abbia conosciuto, se non indirettamente, per la sua prematura dipartita.