Calcolo della matrice di dissimilarità per caratteri misti tramite R

Le variabili originali, utilizzate durante il processo di clusterizzazione, possono essere di tipo misto. In tal caso per il calcolo della matrice di dissimilarità (dij) per

caratteri misti è disponibile, all’interno della funzione daisy nella libreria cluster, l’indice di distanza di Gower.

In generale la matrice X contiene misurazioni effettuate su tutte le scale prese in considerazione, quindi per avere un giudizio complessivo circa la similarità tra gli oggetti di riga si dovrà utilizzare il cosiddetto indice di similarità di Gower:

𝑑_𝑖𝑗 = ∑ 𝑑𝑖𝑗,𝑘

𝑝 𝑘=1

dove dij,k è una misura di similarità fra le unità i e j calcolata con riferimento al k-esimo

attributo, mentre δij,k è una variabile nominale che assume valore unitario (1) se le unità

possono essere confrontate con riferimento all’attributo k, altrimenti assumerà il valore 0; in altre parole, essa denota l’ammissibilità del confronto.

La definizione di queste quantità varia a seconda della tipologia delle variabili: a) Per variabili quantitative:

dij,k = 1 – dij,k = 1 −

|𝑥𝑖𝑘−𝑥𝑗𝑘|

𝑅𝑘 ; δij,k = 1

dove Rk rappresenta il campo di variazione (range) della variabile k;

b) Per variabili qualitative politomiche:

cij,k assume valore unitario (1) se le unità presentano la stessa modalità,

altrimenti assume valore pari a zero; mentre δij,k = 1;

c) Per variabili qualitative dicotomiche:

dij,k Unità i δij,k Unità i

Unità j 1 0 Unità j 1 0

1 1 0 1 1 1

0 0 0 0 1 0

Ora illustreremo un esempio di misura della similarità per caratteri misti: Confronto tra 3 modelli di automobile

Automobile Cilindrata Airbag Stereo di serie Paese di fabbr.

i 1000 1 1 D j 1500 0 1 I r 750 0 0 I 𝑑_𝑖𝑗 = [1 −|1000 − 1500| 1500 − 750 + 0 + 1 + 0] /(1 + 1 + 1 + 1) ≈ 0.33 𝑑_𝑗𝑟= [1 −|1500 − 750| 1500 − 750 + 0 + 0 + 1] /(1 + 0 + 1 + 1) ≈ 0.33 i j r i 0 j dij 0 r dir djr 0

Dunque la caratteristica principale della funzione daisy31, grazie al coefficiente di dissimilarità di Gower (1971), riguarda la sua capacità di leggere all’interno di un

dataset non solo le variabili numeriche ma anche altri tipi di variabili (ad es. nominali,

ordinali, binarie simmetriche/asimmetriche) e di utilizzare le corrette definizioni di distanze.

Se tutte le variabili di x contengono questi tipi di dati (nominali, ordinali, binarie simmetriche/asimmetriche), entrambi gli argomenti metric e stand (vedere la sezione “argomenti”) saranno ignorati e verrà utilizzato come metrica il coefficiente di

Gower. Questo coefficiente può anche essere utilizzato per i dati puramente numerici

inserendo la metrica = "Gower"; con tale coefficiente ogni variabile (colonna), numerica e non, sarà standardizzata e il valore di dissimilarità sarà compreso nell'intervallo [0,1].

Nell'algoritmo daisy le unità mancanti in una fila di x non sono incluse nelle dissimilarità che coinvolgono quella riga.

La sintassi della funzione daisy, necessaria per il calcolo della distanza di Gower, è la seguente:

d = daisy(x, metric = c("euclidean", "manhattan", "gower"), stand = FALSE, type = list())

Specifichiamo gli argomenti:

x matrice numerica dei dati di dimensione nxp. Le dissimilarità o distanze saranno calcolate tra le unità di x. Le colonne di modalità numeric (vale a dire tutte le colonne quando x è una matrice) saranno automaticamente considerate variabili continue, le colonne di tipo factor saranno considerate come variabili nominali, infine le colonne di classe orederd saranno riconosciute come variabili ordinali. Altri tipi di variabili dovranno essere specificati nell'argomento “type”;

metric stringa di caratteri che specifica la metrica da utilizzare. Le distanze attualmente disponibili sono "euclidea" (impostazione predefinita), "manhattan" e "gower". Saranno utilizzate le prime due distanze solo se tutte le variabili sono di tipo nemeric; invece la distanza di "Gower", nota anche

come coefficiente di Gower (1971), sarà impiegata quando alcune colonne di x non sono numeriche e ciò implica una standardizzazione di ciascuna variabile (colonna);

stand se TRUE le unità della matrice x saranno standardizzate prima di calcolare la matrice di dissimilarità. Se FALSE la standardizzazione non sarà effettuata. Se non tutte le variabili di x sono numeriche, stand sarà ignorato e la standardizzazione di Gower sarà applicata in ogni caso, vedere l'argomento metric;

type elenco per specificare alcuni (o tutti) tipi di variabili (colonne) della matrice x non automaticamente rilevate. L'elenco può contenere i seguenti elementi: "ordratio" (variabili ratio scaled da trattare come variabili ordinali), "logratio" (variabili ratio scaled -scale di rapporti- che dovranno essere trasformate logaritmicamente), "asymm" (variabili binarie asimmetriche) e "symm" (variabili binarie simmetriche). Il valore di ogni componente è un vettore contenente i nomi o i numeri delle rispettive colonne di x. Le variabili non elencate all’interno della voce “type” saranno interpretate come descritto nell’argomento x.

3.8.2 Utilizzo della funzione fanny attraverso il software R

Una volta calcolata la matrice di dissimilarità per caratteri misti, mediante l’uso della funzione daisy, e dopo aver definito il numero dei gruppi ottimali, attraverso il metodo di clustering gerarchico classico (del legame completo e di Ward), si eseguirà la fuzzy

clustering utilizzando la funzione fanny presente all’interno del pacchetto cluster del software R.

La sintassi di tale funzione è la seguente:

fanny(x, k, diss = F, metric = "euclidean", stand = F)

dove:

x matrice dei dati o matrice di distanza (dissimilarità);

k numero di cluster da ottenere;

metric è il tipo di metrica da utilizzare per il calcolo della matrice di dissimilarità, può assumere valori "euclidean" o "manhattan", viene ignorato se x è una matrice di dissimilarità;

stand TRUE se si vuole standardizzare i dati prima di procedere al calcolo della matrice di dissimilarità, in alternativa FALSE, viene ignorato se x è una matrice di dissimilarità;

memb.exp Si fissa il valore di m (parametro di fuzziness), cioè il grado sovrapposizione tra i cluster della partizione.

Nella nostra analisi, quindi, partendo dalla matrice di distanza “d” (calcolata utilizzando l’indice di Gower) la funzione fanny dovrà essere trascritta nel seguente modo:

f = fanny(d, k, diss = TRUE, memb.exp = 1.3)

Da suddetta funzione si ricavano i seguenti risultati:

$membership matrice contenente il coefficiente di appartenenza di ogni punto ad ogni cluster;

$coeff coefficiente di Dunn, sia nella versione normale sia in quella standardizzata;

$memb.exp valore di m uguale a 1.3, che è il massimo valore che riesce a distinguere bene i cluster;

$clustering vettore con il nearest crisp clustering per ciascuna unità, ovvero il gruppo di appartenenza più vicino, ovvero ogni oggetto i viene assegnato al cluster v per il quale ha il più alto coefficiente di appartenenza;

$k.crisp numero di cluster ottenuto;

$objective fornisce il valore della funzione obiettivo al termine delle iterazioni ed il numero di iterazioni richieste per ottenere il valore minimo;

$silinfo elenco di tutte le informazioni necessarie per costruire il grafico di

silhouette relativamente nearest crisp clustering; nella prima parte è

riportato per ogni oggetto il cluster di appartenenza, quello più vicino (neighbor) e la silhouette width, sono poi visualizzati la media per ciascun gruppo (clus.avg.widths) e la media complessiva (avg.width).