53
Questi risultati sono ottenuti per mezzo della formula 𝑃(𝑐𝑜𝑠𝛼 𝒏 + 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝒕), dove la forza esercitata dai fotoni è data da 𝑃(𝑐𝑜𝑠𝛼 𝒏) dove n = z e t = x nel sistema di riferimento di Abaqus. Questa pressione viene data nel comando “Load manager → Surface Traction” con versore (0, 0, -1) se α = 0.
5.4.2 Pressione ideale dei raggi riflessi
Per quanto riguarda la parte riflessa idealmente la situazione è abbastanza semplice. La normale della vela corrisponde alla normale del vettore forza risultante tra i raggi incidenti e i raggi riflessi. E’ stato inoltre scelto di utilizzare degli angoli di clock, denominati con Φ, rispettivamente di 0°, 45°, 22.5° e 90°, dove 0° ha versore -y e 90° ha versore -x, al fine di rappresentare la riflessione diffusa sulla superficie della vela.
La parte riflessa viene calcolata ponendo i coefficienti di riflessione perfetta facendo riferimenti alla Fig. 4.1 e alle formule per il calcolo di ft e fn togliendo la parte di
radiazione incidente: nel dettaglio verrà spiegato il procedimento nel seguente paragrafo.
La parte riflessa, a questo punto, è possibile rappresentarla in Abaqus nella sezione “direction → vector” dove è possibile assegnare i versori della forza riflessa.
In seguito si riportano i calcoli eseguiti per i versori delle forze riflesse.
Parte riflessa ideale
α [deg] 𝜑 [deg] vx vy vz
0 0 0.00 E+00 4.56 E-06 4.56 E-06 35 0 0.00 E+00 2.14 E-06 3.06 E-06 35 45 1.51 E-06 1.51 E-06 3.06 E-06 35 22.5 8.20 E-07 1.98 E-06 3.06 E-06 35 90 2.14 E-06 1.31 E-22 3.06 E-06
54
55
Fig. 5.10 Modello trave completa agli elementi finiti.
5.4.3 Carichi inerziali
Abaqus consente di applicare i carichi inerziali mediante il comando “Load → Inertia Relief”. Questo comando serve a bilanciare una struttura non vincolata e soggetta a carichi esterni; questo serve a simulare il movimento della vela solare con la massa [16]. E’ quindi importante specificare la densità di ogni componente nella sezione “material” e le masse concentrate che simulano il sistema di controllo, il payload, e tutti gli altri sottosistemi necessari al funzionamento del satellite; per inserire le masse concentrate si utilizza il comando presente nella sezione “Interaction, Special → Create Inertia → Point/Mass Inertia”, dando rispettivamente le masse descritte nel paragrafo
56
Fig. 5.10 Modello vela solare con forze incidenti e riflesse e inertia relief (in verde).
5.4.4 Pressione reale dei raggi riflessi
Per quanto riguarda i raggi riflessi, prima di procedere in Abaqus, è stato necessario un calcolo primario sulla composizione delle forze e sulla direzione del vettore normale. Facendo riferimento ai coefficienti, riportati di seguito per comodità:
Coefficienti 𝒓̃ s Bf Bb ef eb
MSFC 2004 0.91 0.94 0.79 0.67 0.025 0.27
Tab. 5.6 Coefficienti caratteristici della vela solare
Il calcolo delle forze viene fatto per mezzo delle formule:
57 𝑓𝑛𝑧𝑅𝐼𝐹𝐿 = 𝑓 𝑛− 𝑃 𝑐𝑜𝑠2𝛼 con 𝒇𝑛 = 𝑃𝐴 { (1 + 𝑟̃𝑠)𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 𝐵𝑓 (1 − 𝑠)𝑟̃ 𝑐𝑜𝑠𝛼 + (1 − 𝑟̃) 𝜀𝑓𝐵𝑓− 𝜀𝑏𝐵𝑏 𝜀𝑓− 𝜀𝑏 𝑐𝑜𝑠𝛼} 𝒏
Sommando le risultanti lungo t e lungo n, tra i raggi incidenti e quelli riflessi, e applicando il Teorema di Pitagora si ottiene il vettore risultante agente sulla superficie della vela. Per trovare la direzione del vettore risultante, in questo caso è sufficiente trovare l’inclinazione della risultante rispetto al vettore normale della vela come in
Fig.4.1 e per mezzo dell’equazione:
𝜃 = 𝑡𝑔−1𝑓𝑡
𝑓𝑛
α [deg] Φ [deg] 𝜃 [deg] Intensità incidente [N] Intensità incidente [N]
0 n.d 0 4.56 E-06 4.53 E-06
35 0 24.27 3.74 E-06 2.85 E-06
35 45 24.27 3.74 E-06 2.85 E-06
35 22.5 24.27 3.74 E-06 2.85 E-06
35 90 24.27 3.74 E-06 2.85 E-06
Tab. 5.7 Calcolo angolo di cono per una vela
si procede ora con il calcolo dei versori da inserire a sua volta in Abaqus:
α [deg] Φ [deg] 𝜃 [deg] vx vy vz
0 n.d 0 0.00 n.d. 4.53 E-06
35 0 24.27 1.17 E-06 2.85 E-06 2.59 E-06 35 45 24.27 1.17 E-06 2.01 E-06 2.59 E-06 35 22.5 24.27 1.17 E-06 2.63 E-06 2.59 E-06 35 90 24.27 1.17 E-06 1.74 E-22 2.59 E-06
58
E’ stata inoltre aggiunta un’ulteriore analisi con α = 15°
α [deg] Φ [deg] 𝜃 [deg] vx vy vz
15 90 15.1 9.77 E-07 2.30 E-22 3.62 E-06
Tab. 5.9 Calcolo versori con α = 15°
5.5 Risultati ottenuti
In questo paragrafo verranno esposte tutte le soluzioni ottenute comprese di: deformazioni della vela, forze e momenti a cui è sottoposta la membrana e, infine, aggiornamento del modello matematico.
5.5.1 Deformazioni della vela con i rispettivi momenti e forze
Di seguito verranno riportate le deformazioni delle vele ideali e reali con le rispettive forze e i rispettivi momenti a cui è sottoposta. Per una valutazione migliore sulla differenza tra comportamento ideale e reale, si è deciso di accoppiare le immagini rispettivamente della vela ideale e vela reale per ogni angolo. Si precisa che il tempo in secondi non è un tempo reale, ma un semplice tempo di analisi di Abaqus.
Per comodità verranno riportati solo i valori degli sforzi al completamento della convergenza.
59 - Vela ideale con α = 0°
Fig. 5.11 Deformazioni, in m, vela ideale con α = 0°
60
Fig. 5.13 Momenti, in Nm, vela ideale con α = 0°
Tempo t [s] Fx [N] Fy [N] Fz [N]
2.00
-18.26 E-18 -5.41 E-15 -3.64 E-03
Mx [Nm] My [Nm] Mz [Nm]
547.41 E-12 -9.46 E-12 24.25 E-12
61 - Vela reale con α = 0°
Fig. 5.14 Deformazioni, in m, vela reale con α = 0°
62
Fig. 5.16 Momenti, in Nm, vela reale con α = 0°
Tempo t [s] Fx [N] Fy [N] Fz [N]
2.00
-2.08 E-17 -4.01 E-15 -3.37 E-03
Mx [Nm] My [Nm] Mz [Nm]
4.87 E-03 -8.41 E-11 1.82 E-11
63 - Vela ideale con α = 35° e Φ = 0°
Fig. 5.17 Deformazioni, in m, vela ideale con α = 35° e Φ = 0°
64
Fig. 5.19 Momenti, in Nm, vela ideale con α = 35° e Φ = 0°
Tempo t [s] Fx [N] Fy [N] Fz [N]
2.00
-6.73 E-04 1.35 E-03 -2.51 E-03
Mx [Nm] My [Nm] Mz [Nm]
1.35 E-03 6.77 E-04 -9.45 E-11
65 - Vela reale con α = 35° e Φ = 0°
Fig. 5.20 Deformazioni, in m, vela reale con α = 35° e Φ = 0°
66
Fig. 5.22 Momenti, in Nm, vela reale con α = 35° e Φ = 0°
Tempo t [s] Fx [N] Fy [N] Fz [N]
2.00
-4.85 E-04 7.28 E-04 -2.22 E-03
Mx [Nm] My [Nm] Mz [Nm]
7.32 E-04 4.88 E-04 -6.82 E-11
67 - Vela ideale con α = 35° e Φ = 22,5°
Fig. 5.23 Deformazioni, in m, vela ideale con α = 35° e Φ = 22,5°
68
Fig. 5.25 Momenti, in Nm, vela ideale con α = 35° e Φ = 22,5°
Tempo t [s] Fx [N] Fy [N] Fz [N]
2.00
-4.85 E-04 7.28 E-04 -2.22 E-03
Mx [Nm] My [Nm] Mz [Nm]
7.32 E-04 4.88 E-04 -6.82 E-11
69 - Vela reale con α = 35° e Φ = 22,5°
Fig. 5.26 Deformazioni vela reale con α = 35° e Φ = 22,5°
70
Fig. 5.28 Momenti, in Nm, vela reale con α = 35° e Φ = 22,5°
Tempo t [s] Fx [N] Fy [N] Fz [N]
2.00
-2.61 E-04 7.84 E-04 -2.28 E-03
Mx [Nm] My [Nm] Mz [Nm]
787.55 E-06 262.52 E-06 -33.98 E-12
71 - Vela ideale con α = 35° e Φ = 45°
Fig. 5.29 Deformazioni, in m, vela ideale con α = 35° e Φ = 45°
72
Fig. 5.31 Momenti, in Nm, vela ideale con α = 35° e Φ = 45°
Tempo t [s] Fx [N] Fy [N] Fz [N]
2.00
-7.73 E-04 1.16 E-03 -2.65 E-03
Mx [Nm] My [Nm] Mz [Nm]
1.17 E-03 777.01 E-06 -107.00 E-12
73 - Vela reale con α = 35° e Φ = 45°
Fig. 5.32 Deformazioni, in m, vela reale con α = 35° e Φ = 45°
74
Fig. 5.34 Momenti, in Nm vela reale con α = 35° e Φ = 45°
Tempo t [s] Fx [N] Fy [N] Fz [N]
2.00
-3.04 E-04 6.09 E-04 -2.41 E-03
Mx [Nm] My [Nm] Mz [Nm]
6.12 E-04 3.06 E-04 -3.84 E-11
75 - Vela ideale con α = 35° e Φ = 90°
Fig. 5.35 Deformazioni, in m, vela ideale con α = 35° e Φ = 90°
76
Fig. 5.38 Momenti, in Nm, vela ideale con α = 35° e Φ = 90°
Tempo t [s] Fx [N] Fy [N] Fz [N]
2.00
-1.01 E-03 37.27 E-12 -3.00 E-03
Mx [Nm] My [Nm] Mz [Nm]
495.56 E-12 1.01 E-03 -133.76 E-12
77 - Vela reale con α = 35° e Φ = 90°
Fig. 5.39 Deformazioni, in m, vela reale con α = 35° e Φ = 90°
78
Fig. 5.41 Momenti, in Nm, vela reale con α = 35° e Φ = 90°
Tempo t [s] Fx [N] Fy [N] Fz [N]
2.00
-4.00 E-04 1.28 E-11 -2.54 E-03
Mx [Nm] My [Nm] Mz [Nm]
3.86 E-10 3.47 E-04 -4.16 E-11
Tab. 5.19 Forze e momenti reale con α = 35° e Φ = 90°
Prima di effettuare l’aggiornamento dei coefficienti del modello matematico, per completezza, si riportano l’immagine della deformazione della vela reale con i valori principali avendo un’inclinazione dei raggi solari di α = 15°.
79
Fig. 5.42 Deformazioni, in m, vela reale con α = 15° e Φ = 90°
Tempo t [s] Fx [N] Fy [N] Fz [N]
2.00
-3.63 E-04 1.35 E-11 -3.21 E-03
Mx [Nm] My [Nm] Mz [Nm]
4.78 E-10 3.50 E-04 -3.59 E-11
80
5.5.2 Aggiornamento del modello matematico
Lo scopo di questo paragrafo è quello di aggiornare il modello matematico che descrive la variazione della forza normalizzata in funzione dell’angolo di cono.
Il modello matematico già descritto all’inizio del capitolo 5:
𝒇 = 𝑓0 (𝑐1+ 𝑐2 𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝑐3 𝑐𝑜𝑠4𝜃) 𝒎
dove 𝑓0 è la massima forza esercitata sulla vela con α = 0°.
Forze [N] Componenti totali Componenti totali/(20x20)
Forza totale con A = 1
Fx [N] -2.08 E-17 -5.20 E-20
8.43 E-06
Fy [N] -4.01 E-15 -1.08 E-15
Fz [N] -3.37 E-03 -8.43 E-06
Tab. 5.21 Composizione forze con α = 0° per una vela reale.
Il valore di 𝑓0 è facilmente verificabile anche dal calcolo manuale della forza totale
ponendo A = 1:
per la componente normale
𝒇𝑛 = 𝑃 { (1 + 𝑟̃𝑠)𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 𝐵𝑓 (1 − 𝑠)𝑟̃ 𝑐𝑜𝑠𝛼 + (1 − 𝑟̃)𝜀𝑓𝐵𝑓− 𝜀𝑏𝐵𝑏 𝜀𝑓− 𝜀𝑏 𝑐𝑜𝑠𝛼} 𝒏 = 4.56 ∙ 10−6 { (1 + 0.91 ∙ 0.94)𝑐𝑜𝑠20 + 0.79 (1 − 0.94)0.91 ∙ 𝑐𝑜𝑠0 + (1 − 0.91) 0.025 ∙ 0.79 − 0.27 ∙ 0.67 0.025 − 0.27 𝑐𝑜𝑠0} = 8.43 ∙ 10 −6𝑁
per la componente tangenziale
𝒇𝑡 = 𝑃 (1 − 𝑟̃𝑠)𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝒕
= 𝑃 (1 − 0.91 ∙ 0.94)𝑐𝑜𝑠0 𝑠𝑖𝑛0 = 0 𝑁
81
Forze [N] Componenti totali Componenti totali/(20x20)
Forza totale con A = 1
Fx [N] -3.63 E-04 -9.07 E-07
8.14 E-06
Fy [N] 1.35 E-11 3.36 E-14
Fz [N] -3.21 E-03 -8.03 E-06
Tab. 5.22 Composizione forze con α = 15° per una vela reale.
Infine si conclude con la vela colpita dalla radiazione incidente di α = 35°
Forze [N] Componenti totali Componenti totali/(20x20)
Forza totale con A = 1
Fx [N] -4.00 E-04 -1.00 E-06
6.43 E-06
Fy [N] 1.28 E-11 3.20 E-14
Fz [N] -2.54 E-03 -6.35 E-06
Tab. 5.23 Composizione forze con α = 35° per una vela reale.
L’idea è di creare un sistema di tre equazioni, e tre incognite, una per ogni α studiato. Per far ciò, è necessario trovare gli angoli di cono attraverso la seguente procedura:
1. calcolo l’inclinazione della componente normale. In questo caso sono stati scelti
gli angoli di clock Φ = 90°, per cui sono trascurabili le componenti lungo y;
2. calcolo l’angolo di cono sapendo che 𝜃 = 𝛼 – 𝛷 ; 3. calcolo i rapporti 𝑓/𝑓0;
4. soluzione del sistema nelle incognite c1, c2, c3.
Svolgimento:
1. Calcolo dell’inclinazione per α = 15°
𝛷 = arctan𝐹𝑥
𝐹𝑧 = arctan
−3.63 ∙ 10−4 −3.21 ∙ 10−3 = 9°
82 Calcolo dell’inclinazione per α = 35°
𝛷 = arctan𝐹𝑥
𝐹𝑧 = arctan
−4.00 ∙ 10−4
−2.54 ∙ 10−3= 26°
2. Calcolo dell’inclinazione per α = 15°
𝜃 = 𝛼 – 𝛷 = 9°
Calcolo dell’inclinazione per α = 35°
𝜃 = 𝛼 – 𝛷 = 26°
3. Calcolo rapporti
Calcolo dell’inclinazione per α = 15°
𝑓 𝑓0 =
8.14 ∙ 10−6
8.43 ∙ 10−6 = 0.97
Calcolo dell’inclinazione per α = 35°
𝑓 𝑓0 =
6.43 ∙ 10−6
8.43 ∙ 10−6 = 0.76
4. Soluzione del sistema
𝒇 = 𝑓0 (𝑐1+ 𝑐2 𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝑐3 𝑐𝑜𝑠4𝜃) 𝒎
𝑓
83 { 1 = (𝑐1+ 𝑐2 𝑐𝑜𝑠(4 ∙ 0) + 𝑐3 𝑐𝑜𝑠(4 ∙ 0)) 0.97 = (𝑐1+ 𝑐2cos(2 ∙ 9) + 𝑐3cos(4 ∙ 9)) 0.76 = (𝑐1+ 𝑐2 cos (2 ∙ 26) + 𝑐3 𝑐𝑜𝑠(4 ∙ 26)) I coefficienti risultano: - c1 = 0.337 - c2 = 0.680 - c3 = - 0.017
I coefficienti sono stati riassunti nella seguente tabella.
C1 C2 C3 Ideal sail 0.5 0.5 0 Square sail (old coefficients) 0.349 0.662 -0.011 Square sail (new coefficients) 0.377 0.680 -0.017
Tab. 5.24 Assegnazione dei nuovi coefficienti della vela solare reale.
θ [deg] Ideal sail Non-perfect sail
0 1 1 2 0.998782 0.998197 4 0.995134 0.993696 6 0.989074 0.986215 8 0.980631 0.975787 10 0.969846 0.962457 12 0.956773 0.946281 14 0.941474 0.927329 16 0.924024 0.905685 18 0.904508 0.881442 20 0.883022 0.854707 22 0.85967 0.825596 24 0.834565 0.79424 26 0.807831 0.760779 28 0.779596 0.725362 30 0.75 0.68815 32 0.719186 0.649313
84 34 0.687303 0.609029 36 0.654508 0.567486 38 0.620961 0.524876 40 0.586824 0.481402 42 0.552264 0.43727 44 0.51745 0.39269 46 0.48255 0.347879 48 0.447736 0.303055 50 0.413176 0.258438 52 0.379039 0.214249 54 0.345492 0.170708 56 0.312697 0.128034 58 0.280814 0.086444 60 0.25 0.04615 62 0.220404 0.007358 64 0.192169 66 0.165435 68 0.14033 70 0.116978 72 0.095492 74 0.075976 76 0.058526 78 0.043227 80 0.030154 82 0.019369 84 0.010926 86 0.004866 88 0.001218
Tab. 5.25 Calcolo dell’andamento delle forze parametrizzate in funzione dell’angolo di cono
85
Grafico 5.43 Forze normalizzate per vela ideale e per un modello di forze parametrizzate 0 0,04 0,08 0,12 0,160,2 0,24 0,28 0,32 0,360,4 0,44 0,48 0,52 0,560,6 0,64 0,68 0,72 0,760,8 0,84 0,88 0,92 0,961 1,04 1,08 2 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50 54 58 62 66 70 74 78 82 86 Nor m al is ed f orc e
Cone angle (deg)
Forze normalizzate per vela ideale
e per un modello di forze parametrizzate
86
Grafico 5.44 Forze normalizzate per vela ideale e per un modello di forze parametrizzate della vela della cometa di Halley
87
CAPITOLO 6
Considerazioni sui risultati e conclusioni
Questo lavoro di tesi si è incentrato sullo studio del comportamento di una vela solare sottoposta alla pressione di radiazione proveniente dal Sole. In un primo momento si è voluto aggiornare tutti i grafici eseguiti negli anni settanta dalla JPL con i nuovi coefficienti del materiale estrapolati dalla Marshall Space Flight Center. Il lavoro ha visto un calcolo di tutte le forze, con le rispettive componenti, per valutare la risposta teorica di una vela perfettamente piatta. Nei grafici 4.3 & 4.4 si è voluto mettere in evidenza la differenza tra la forza totale sulla vela presa in esame, ma con un’area di 100x100 metri, con la vela studiata per la missione della cometa di Halley. Da una valutazione preliminare si evince che la variazione dei coefficienti comporta un aumento di spinta di circa il 2.37% della nuova vela solare.
Per quanto riguarda l’analisi agli elementi finiti, si precisa che tutte le analisi sono andate a buon fine e sono stati ottenuti i risultati cercati. Gli angoli di incidenza voluti per lo studio della vela sono stati principalmente con α = 0°, 35° mentre gli angoli di clock sono stati scelti di Φ = 0°, 22.5°, 45°, 90°. Le analisi hanno rilevato nell’insieme che la vela si deforma maggiormente lungo i bordi dell’ipotenusa dei triangoli di membrana. Man mano che l’angolo di clock aumenta, si notano apprezzabili aumenti di deformazione, eccetto la variazione tra Φ = 22.5° e Φ = 45°, i quali comportano una deformazione per una vela ideale a partire da circa 0.019 metri, con angolo di clock nullo, a 0.022 metri con angolo di clock retto.
Sono state in seguito messe a confronto il caso ideale e il caso reale. Prendendo in considerazione le vele con α = 35° e Φ = 0° rispettivamente ideale e reale, è possibile notare che le zone di deformazione maggiore si verificano ai bordi dell’ipotenusa dei triangoli delle membrane e va progressivamente scemando in corrispondenza dei cavi di collegamento. E’ interessante notare la differenza del valore di deformazione tra i due casi: 0.0191 metri per l’ideale e 0.0178 metri per la reale. Questo si verifica perché l’intensità della pressione riflessa nel caso reale è minore che nel caso ideale e questo è dovuto soprattutto al coefficiente 𝒓̃ di riflessione. Questa variazione di deformazione si verifica in tutti gli altri casi eccetto per α = 0° che, pur avendo una piccola variazione di intensità tra raggi incidenti e raggi riflessi, non comporta un cambiamento di deformazione della membrana.
88
Infine è opportuno vedere il modello matematico aggiornato. Una volta estratti i risultati dalle analisi numeriche, si sono voluti ricavare i coefficienti c1, c2, c3 del modello
matematico 𝒇 = 𝑓0 (𝑐1+ 𝑐2 𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝑐3 𝑐𝑜𝑠4𝜃) 𝒎. Come primo step è stato calcolato il rapporto tra le forze 𝑓/𝑓0 dove 𝑓 è l’intensità della forza quando i raggi colpiscono la vela con un angolo diverso dallo zero, mentre 𝑓0 è la massima intensità della forza
incidente, quando α = 0°, e si è calcolato il rapporto tra le forze. Data la particolarità di questa legge matematica, sono state riscontrate notevoli difficoltà nel gestire i rapporti tra forze; si è optato, dopo varie prove, di troncare tali rapporti alla seconda cifra decimale. Il risultato è soddisfacente poiché la curva del modello matematico ottenuto riesce a seguire in maniera migliore l’andamento della curva per una vela ideale.
In conclusione le analisi agli elementi finiti sono andate tutte a buon fine e sono stati ricavati con successo i nuovi coefficienti del modello matematico delle forze parametrizzate in funzione dell’angolo di cono.
89
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