UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PISA
SCUOLA DI INGEGNERIA
Corso di laurea magistrale in ingegneria aerospaziale
Tesi di laurea
ANALISI DELLE FORZE E DELLE DEFORMAZIONI DI
UNA VELA SOLARE
Relatori: Candidato:
Prof. Luisa Boni Andrea Pajarin
Prof. Alessandro Quarta
a
SOMMARIO
Lo scopo della tesi è di studiare, attraverso l’analisi a elementi finiti, il comportamento di una vela solare 20x20 metri sottoposta alla pressione solare a una distanza di 1 AU. Tale pressione si traduce in un carico sulla vela, una volta dispiegata, inducendo, di conseguenza, a una deformazione della membrana.
Al fine di valutare tali deformazioni, si sono svolte analisi agli elementi finiti per mezzo del software Abaqus e sono state ricavate deformazioni, forze e momenti sulla vela, ricostruendo il modello numerico parametrizzato delle forze in funzione dell’angolo di cono tra la radiazione incidente e la direzione del vettore forza.
b
INDICE
CAPITOLO 1 ... 1
1.1 Introduzione ... 1
1.2 Storia ... 1
1.3 Tipologie di vele solare ... 2
CAPITOLO 2 ... 3
2.1 Pressione solare ... 3
2.4 Film della vela solare ... 11
2.4.1 Design ... 11
2.4.2 Substrato... 12
2.4.3 Rivestimento ... 12
2.4.4 Film della vela ... 12
CAPITOLO 3 ... 15
3.1 Introduzione all’analisi agli elementi finiti ... 15
3.2 Modellazione agli elementi finiti ... 15
3.2.1 Cenni sull’analisi non lineare agli elementi finiti ... 15
3.2.2 Metodo iterativo di Newton-Raphson ... 16
CAPITOLO 4 ... 19
4.1 Introduzione ai modelli di forze su una vela solare ... 19
4.2 Modello di forze ... 19
4.3 Aggiornamento dei coefficienti ottici della vela ... 26
4.4 Aggiornamento del calcolo delle forze e dei grafici ... 27
CAPITOLO 5 ... 43
5.1 Architettura della vela solare ... 43
5.1.2 Membrana riflettente ... 45
5.1.3 Travi o boom e cavi ... 48
5.2 Materiali... 48
5.3 Pretensionamento ... 49
c
5.4.1 Pressione dei raggi incidenti ... 52
5.4.2 Pressione ideale dei raggi riflessi ... 53
5.4.3 Carichi inerziali ... 55
5.4.4 Pressione reale dei raggi riflessi ... 56
5.5 Risultati ottenuti ... 58
5.5.1 Deformazioni della vela con i rispettivi momenti e forze ... 58
5.5.2 Aggiornamento del modello matematico ... 80
CAPITOLO 6 ... 87
d
Indice Figure e Grafici
Fig. 1.1 Prototipo di vela solare ... 2
Fig. 2.1 Vela solare piana perfettamente riflettente ... 5
Fig. 2.2 Definizioni clock angle e cone angle ... 6
Fig. 2.3 Angolo di cono ottimale in funzione dell’angolo di cono richiesto ... 7
Fig. 2.4 Ottimizzazione dell’angolo di cono ... 8
Fig. 2.5 Forza totale con le componenti agenti su una vela solare ... 9
Fig. 2.6 Forze incidenti e riflettenti su una vela perfettamente riflettente ... 11
Fig. 2.7 Cross-section di una vela solare ... 13
Fig. 2.8. Modello della vela agli elementi finiti ... 14
Fig 3.1 Metodo iterativo di Newton-Raphson ... 16
Fig. 4.1 Composizione forze per una vela solare non perfettamente riflettente ... 21
Fig. 4.2 (a) Riflessione speculare e (b) riflessione diffusa ... 21
Fig. 4.3 Elemento solido angolare della radiazione riflessa su una vela perfettamente piana e in coordinate angolari ... 22
Fig. 4.4 Bilancio termico di una vela solare ... 25
Grafico 4.1 Andamento delle forze (ideal square sail e non-perfect square sail) in funzione dell’angolo α. A = 1 ... 30
Grafico 4.2 Andamento delle forze (ideal square sail e non-perfect square sail) in funzione dell’angolo α. A = 20x20 ... 31
Grafico 4.3 Andamento delle forze (ideal square sail e non-perfect square sail) in funzione dell’angolo α. A = 100x100... 32
Grafico 4.4 Andamento delle forze (ideal square sail e non-perfect square sail) in funzione dell’angolo α della vela studiata per la cometa di Halley ... 33
Grafico 4.5 Andamento centre-line angle in funzione del pitch angle per una non-perfect solar sail ... 35
Grafico 4.6 Grafico centre-line angle in funzione dell’angolo di pitch per la vela della cometa di Halley ... 36
Grafico 4.7 Andamento del cone angle in funzione dell’angolo di pitch (ideal square sail e non-perfect square sail) ... 38
Grafico 4.8 Andamento del cone angle in funzione dell’angolo di pitch per la vela della cometa di Halley ... 39
Grafico 4.9 Componenti delle forze di una non-perfect sail ... 41
e
Fig. 5.1 Schema vela solare ... 44
Fig. 5.2 Modello di vela solare agli elementi finiti ... 45
Fig. 5.3 Esempio modellazione della membrana di una vela solare ... 46
Fig. 5.4 Dettaglio mesh ... 47
Fig. 5.5 Esempio modellazione trave ... 48
Fig 5.6 Formulazione degli step. ... 50
Fig. 5.7 Valore dello stress dato ai cavi di trazione. ... 50
Fig. 5.8 Stato di pretensionamento. ... 51
Fig. 5.9 Configurazione della vela sottoposta alla pressione solare. ... 52
Fig. 5.8 Assegnazione versori. ... 54
Fig. 5.10 Modello trave completa agli elementi finiti. ... 55
Fig. 5.10 Modello vela solare con forze incidenti e riflesse e inertia relief (in verde). . 56
Fig. 5.11 Deformazioni vela ideale con α = 0° ... 59
Fig. 5.12 Forze vela ideale con α = 0°... 59
Fig. 5.13 Momenti vela ideale con α = 0° ... 60
Fig. 5.14 Deformazioni vela reale con α = 0° ... 61
Fig. 5.15 Forze vela reale con α = 0° ... 61
Fig. 5.16 Momenti vela reale con α = 0°... 62
Fig. 5.17 Deformazioni vela ideale con α = 35° e Φ = 0° ... 63
Fig. 5.18 Forze vela ideale con α = 35° e Φ = 0° ... 63
Fig. 5.19 Momenti vela ideale con α = 35° e Φ = 0° ... 64
Fig. 5.20 Deformazioni vela reale con α = 35° e Φ = 0° ... 65
Fig. 5.21 Forze vela reale con α = 35° e Φ = 0° ... 65
Fig. 5.22 Momenti vela reale con α = 35° e Φ = 0° ... 66
Fig. 5.23 Deformazioni vela ideale con α = 35° e Φ = 22,5° ... 67
Fig. 5.24 Forze vela ideale con α = 35° e Φ = 22,5° ... 67
Fig. 5.25 Momenti vela ideale con α = 35° e Φ = 22,5° ... 68
Fig. 5.26 Deformazioni vela reale con α = 35° e Φ = 22,5° ... 69
Fig. 5.27 Forze vela reale con α = 35° e Φ = 22,5° ... 69
Fig. 5.28 Momenti vela reale con α = 35° e Φ = 22,5° ... 70
Fig. 5.29 Deformazioni vela ideale con α = 35° e Φ = 45° ... 71
Fig. 5.30 Forze vela ideale con α = 35° e Φ = 45° ... 71
Fig. 5.31 Momenti vela ideale con α = 35° e Φ = 45° ... 72
f
Fig. 5.33 Forze vela reale con α = 35° e Φ = 45° ... 73
Fig. 5.34 Momenti vela reale con α = 35° e Φ = 45° ... 74
Fig. 5.35 Deformazioni vela ideale con α = 35° e Φ = 90° ... 75
Fig. 5.36 Forze vela ideale con α = 35° e Φ = 90° ... 75
Fig. 5.38 Momenti vela ideale con α = 35° e Φ = 90° ... 76
Fig. 5.39 Deformazioni vela reale con α = 35° e Φ = 90° ... 77
Fig. 5.40 Forze vela reale con α = 35° e Φ = 90° ... 77
Fig. 5.41 Momenti vela reale con α = 35° e Φ = 90° ... 78
Fig. 5.42 Deformazioni vela reale con α = 15° e Φ = 90° ... 79
Grafico 5.43 Forze normalizzate per vela ideale e per un modello di forze parametrizzate ... 85
Grafico 5.44 Forze normalizzate per vela ideale e per un modello di forze parametrizzate della vela della cometa di Halley ... 86
g
Elenco Tabelle
Tab. 4.1 Aggiornamento coefficienti della vela solare ………...……….27
Tab. 4.2 Composizione delle forze per una vela ideale ….………..…...27
Tab. 4.3 Composizione delle forze per una vela reale ………..……….28
Tab. 4.4 Calcolo del centre-line angle in funzione dell’angolo di pitch ………..…..……33
Tab. 4.5 Calcolo del cone angle ………...…..…...36
Tab. 4.5 Calcolo componenti delle forze ………..…....39
Tab. 5.1 Coefficiente delle forze per una vela ideale e per la vela della JPL ……....….43
Tab. 5.2 Materiali e geometria dei componenti della vela solare ………..……49
Tab 5.3 Proprietà meccaniche dei materiali utilizzati ……….…49
Tab 5.4 Calcolo raggi incidenti……….…..……52
Tab. 5.5 Calcolo versori dei raggi riflessi ……….….………53
Tab. 5.6 Coefficienti caratteristici della vela solare ……….…...……56
Tab. 5.7 Calcolo angolo di cono per una vela ………..……..….57
Tab. 5.8 Calcolo versori ………..……….…………..57
Tab. 5.9 Calcolo versori con α = 15° ………..……...……58
Tab. 5.10 Forze e momenti vela ideale con α = 0°………..…………....60
Tab. 5.11 Forze e momenti vela reale con α = 0° ………..………..…...62
Tab. 5.12 Forze e momenti vela ideale con α = 35° e Φ = 0° ……….……..…….64
Tab. 5.13 Forze e momenti vela reale con α = 35° e Φ = 0°……….………..66
Tab. 5.14 Forze e momenti ideale reale con α = 35° e Φ = 22,5° ……….……68
Tab. 5.15 Forze e momenti reale reale con α = 35° e Φ = 22,5° ……….……..70
Tab. 5.16 Forze e momenti ideale con α = 35° e Φ = 45° ………..……72
Tab. 5.17 Forze e momenti reale con α = 35° e Φ = 45° ………74
Tab. 5.18 Forze e momenti ideale con α = 35° e Φ = 90° ………..……76
Tab. 5.19 Forze e momenti reale con α = 35° e Φ = 90° ……….…….…..78
Tab. 5.20 Forze e momenti reale con α = 15° e Φ = 90° ……….…….…..79
Tab. 5.21 Composizione forze con α = 0° per una vela reale ………80
Tab. 5.22 Composizione forze con α = 15° per una vela reale ……….….81
Tab. 5.23 Composizione forze con α = 35° per una vela reale………..81
Tab. 5.24 Assegnazione dei nuovi coefficienti della vela solare reale………..83
Tab. 5.25 Calcolo dell’andamento delle forze parametrizzate in funzione dell’angolo di cono………...84
1
CAPITOLO 1
1.1 Introduzione
Fino a oggi la propulsione spaziale è stata dominata dalla Terza Legge di Newton. Tutte le forme propulsive, dai motori a combustibile solido ai solar-electric ion drives, fanno affidamento alla reazione della massa, la quale produce un aumento di velocità attraverso una reazione esotermica o elettromagnetica. Una forma di propulsione che trascende dalla reazione della massa è la vela solare. Quest’ultima non è limitata da una reazione finita e può fornire una continua accelerazione per tutto il ciclo di vita della membrana della vela esposta all’ambiente spaziale. La vela, obbedendo anch’essa alla Terza Legge di Newton, subisce un impulso dai fotoni provenienti dalla luce solare e questo urto genera una spinta sulla membrana riflettente.
La quantità di moto trasportata da ogni fotone causa un debolissimo urto: per questo motivo, nell’ordine di generare una spinta sufficiente, la vela deve possedere una superficie abbastanza estesa tale da intercettare il maggior numero di fotoni possibile; inoltre la membrana, per generare maggior spinta, deve essere estremamente riflettente, vicina alla riflessione ideale.
1.2 Storia
Una notevole accelerazione nello studio delle vele è stata compiuta a partire dagli anni settanta con lo sviluppo dello Space Shuttle da parte della Jet Propulsion Laboratory (JPL). Lo scopo fu quello di organizzare una missione per intercettare la Cometa di Halley e di raggiungerla utilizzando un sistema a vela come propulsione. A causa dei tempi e delle difficoltà incontrate, la missione venne cancellata [18].
Nel 2010 la Japan Aerospace Exploration Agency (JAXA) lanciò con successo la sonda IKAROS utilizzando la vela solare come unico sistema propulsivo e compiendo un viaggio interplanetario su Venere [1,2].
Negli ultimi anni si è fatto strada un importante cambiamento nelle missioni spaziali robotiche low-cost da parte di NASA ed ESA con spacecraft altamente capaci per missioni scientifiche attorno alla Terra e nello spazio, con riduzione al minimo della massa. Mentre la missione della Cometa di Halley della JPL necessitava di una vela di 800x800 metri per trasportare un payload di 850 Kg, le future vele solari potranno essere più piccole di una decina volte con carichi di trasporto minori.
2
1.3 Tipologie di vela solare
Il problema fondamentale per le vele solari consiste nell’avere un largo e piatto film riflettente e di minimo peso per la struttura di supporto. Una seconda problematica consiste nel corretto dispiegamento della membrana una volta in orbita mantenendo la membrana il più possibile piatta attraverso un pretensionamento costante applicato ai bordi della vela stessa.
Fig. 1.1 Prototipo di vela solare
Il primo concetto fu la vela quadrata, “square solar sail”, composta da quattro longheroni dispiegabili e collegati nel centro della struttura dove è alloggiato il payload principale. In ogni settore è posta la membrana riflettente collegata, per mezzo di cavi, al centro e alle estremità della struttura.
Una seconda tipologia di vela è di tipo “Heliogyro”, creata da un sistema di pale rotanti che dovrebbero indurre a un tensionamento della membrana.
Il “disc solar sail” è la terza tipologia di vela solare, a forma di disco, ed è la combinazione delle due precedenti. Un film riflettente a forma di disco viene messo in rotazione in modo da indurre un tensionamento della membrana.
3
CAPITOLO 2
2.1 Pressione solare
La radiazione di pressione è dovuta dalla quantità di moto dei fotoni provenienti dal Sole. Dalla legge di Planck, un fotone avente una frequenza ν, trasporta un’energia data da:
𝐸 = ℎ𝑣
dove h è la costante di Planck e vale 6.62x10-34 Js.
La relatività speciale di Einstein, la quale esprime l’equivalenza tra la massa e l’energia, permette di ricavare l’energia totale di un corpo in movimento in questo modo:
𝐸2 = 𝑚02𝑐4+ 𝑝2𝑐2
dove m0 è la massa del corpo in quiete, p è la quantità di moto e c è la velocità della
luce. Il primo termine dell’equazione rappresenta l’energia del corpo a riposo, mentre il secondo termine rappresenta l’energia dovuta al moto.
Per il fotone, che ha una massa nulla, l’energia può essere scritta come:
𝐸 = 𝑝𝑐
Combinando la prima equazione con quest’ultima si ha che la quantità di moto trasportata dal singolo fotone, è data da:
𝑝 = ℎ𝑣 𝑐
Per trovare quest’equazione si è dovuti ricorrere a una combinazione tra meccanica quantistica e la fisica classica.
Da qui per trovare il flusso di energia W alla distanza r dal Sole, è possibile scrivere che:
4 𝑊 = 𝑊𝐸 (𝑅𝐸 𝑟 ) 2 con 𝑊𝐸 = 𝐿𝑠 4𝜋𝑅𝐸2
dove Ls è la luminosità solare relativa alla distanza Sole-Terra RE e WE è il flusso di
energia misurato alla distanza della Terra rispetto al Sole.
Usando le precedenti equazioni, si ha che l’energia ∆E trasportata attraverso la superficie di area A normale alla radiazione incidente nel tempo ∆t è data da:
∆E = W A ∆t
Questa energia trasporta quindi una quantità di moto ∆p data da:
∆𝑝 = ∆𝐸 𝑐
La pressione P esercitata sulla superficie è definita dalla quantità di moto trasportato per l’unità di tempo; in termini di area unitaria, si esplicita come:
𝑃 = 1 𝐴(
∆𝑝 ∆𝑡)
La pressione che si scarica sulla superficie è causata dalla quantità di moto trasportata dai fotoni ed è di:
𝑃 = 𝑊 𝑐
Per una superficie perfettamente riflettente la pressione esercitata è il doppio del valore ottenuto dalla precedente relazione, in quanto deriva dalla quantità di moto trasferita alla superficie dai fotoni incidenti e dalla reazione fornita dai fotoni riflessi. La pressione di radiazione su una vela solare posta alla distanza di 1 au può essere ora
5
calcolata considerando che il flusso di radiazione varia approssimativamente del 3.5% durante l’anno. Si assume WE = 1368 Js-1m-2. Il valore esercitato su una vela
perfettamente riflettente è di 9.12x10-6 Nm-2. [3,4,21]
2.2 Forza su una vela solare perfettamente riflettente
In questo paragrafo viene trattato lo studio della forza totale esercitata sulla vela mantenuta perfettamente piana in base al suo orientamento rispetto al Sole.
Per una vela solare di area A con n versore diretto lungo la normale alla superficie, la forza esercitata da un fotone con direzione ui sulla membrana riflettente è
data da:
𝒇𝒊= 𝑃𝐴(𝒖𝑖∙ 𝒏)𝒖𝑖
dove 𝐴(𝒖𝑖 ∙ 𝒏) è l’area proiettata della vela nella direzione ui come in Fig 2.1
Fig. 2. 1 Vela solare piana perfettamente riflettente
I fotoni riflessi eserciteranno una forza di uguale intensità della forza incidente, ma nella direzione -ur:
6
Usando la composizione di versori, si ha 𝒖𝒊− 𝒖𝒓 = 2(𝒖𝒊∙ 𝒏)2𝒏 e la forza totale f
esercitata sulla vela è data da:
𝒇 = 2𝑃𝐴(𝒖𝑖∙ 𝒏)2𝒏 quindi sostituendo si ha [5]: 𝒇 = 2𝐴𝑊𝐸 𝑐 ( 𝑅𝐸 𝑟 ) 2 (𝒖𝑖∙ 𝒏)2𝒏
L’orientazione del vettore forza è definito attraverso il cone angle α, angolo di cono, compreso tra il versore normale alla superficie della vela e la direzione vela-Sole e il clock angle δ, angolo di clock nel piano della vela ed è la proiezione del versore normale su un piano immaginario perpendicolare alla linea Sole-vela e una certa direzione di riferimento.
7
Il vettore normale n è definito in termini dell’angolo di clock e dell’angolo di cono:
𝒏 = cos α 𝒓̂ + sin α cos δ 𝒑̂ + 𝑠𝑖𝑛α cosδ 𝒑̂𝑥𝒓̂
dove p e r sono rispettivamente i versori perpendicolare e radiale del piano orbitale. Le manovre per il trasferimento orbitale richiedono processi di ottimizzazione in modo da massimizzare la pressione esercitata sulla vela in una certa direzione. Se si vuole aumentare il semiasse maggiore dell’orbita, una soluzione è quella di aumentare la pressione massima in direzione della velocità.
Fig. 2.3 Angolo di cono ottimale in funzione dell’angolo di cono richiesto
Scrivendo l’equazione di una direzione arbitraria lungo la quale si vuole massimizzare la pressione di radiazione e la componente della forza lungo la direzione data:
8
𝒒 = cos α̃ 𝒓 + sin α̃ cos δ̃ 𝒑̂ + 𝑠𝑖𝑛α̃ cosδ̃ 𝒑̂𝑥𝒓̂
dove α̃ e δ̃ sono gli angoli di cono e di clock richiesti
𝑓𝑞 = 2 𝑃𝐴 (𝒏 ∙ 𝒓̂)2(𝒏 ∙ 𝒒)
Sostituendo la prima nella seconda, imponendo che δ − δ̃ = 0 per allineare il clock angle al vettore q si ottiene la seguente relazione:
2 𝑠𝑖𝑛𝛼 cos(𝛼 − 𝛼̃) + 𝑐𝑜𝑠𝛼 sin(𝛼 − 𝛼̃) = 0
dopo alcuni passaggi, è possibile trovare che l’angolo di cono che massimizza il semiasse maggiore è:
tan 𝛼∗ = −3 + √9 + 8 (𝑡𝑎𝑛𝛼̃)2
4 𝑡𝑎𝑛𝛼̃
La variazione dell’angolo ottimale di cono 𝛼∗ con il richiesto angolo di cono 𝛼̃ è
rappresentata nella Fig. 2.4. In generale è possibile osservare che l’angolo ottimale è sempre minore dell’angolo di cono richiesto poiché il modulo della forza diminuisce aumentando l’angolo di cono.
9
E’ possibile inoltre osservare che l’angolo di cono ottimale è limitato a 35° e quando l’angolo di cono stesso richiesto si avvicina a 90°, la forza subisce una riduzione della forza totale all’incrementare nell’angolo di cono stesso. La Fig. 2.5 rappresenta la variazione della forza totale di radiazione come una funzione dell’angolo di cono e della proiezione della forza della pressione di radiazione nella direzione q.
Fig 2.5 Forza totale con le componenti agenti su una vela solare
La Fig 2.5 rappresenta le componenti delle forze agenti sulla vela. La componente trasversale ha un massimo a 35.26°, mentre quella radiale diminuisce in maniera monotona con l’aumentare dell’angolo di cono. Per questo motivo si è deciso di procedere con l’analisi di vele solare inclinate a 0° e a 35° di angolo e di studiarne la deformabilità ideale e reale [6].
10
2.3 Comportamento di una vela sottoposta alla pressione
solare
La vela solare deve avere le caratteristiche di leggerezza e massima estensione, in modo da captare il maggior numero di fotoni, per riuscire a produrre accelerazioni apprezzabili. Alla distanza Terra-Sole, la pressione di radiazione vale 4.56x10-6 Nm-2,
come descritto nel capitolo precedente, e causa una spinta sulla vela in grado di accelerarla nello spazio. Per confrontare tra loro più vele solari viene usato il parametro di accelerazione caratteristica definita come l’accelerazione a cui la vela è sottoposta se orientata perpendicolarmente ai raggi solari e ad una distanza di 1 AU dal Sole.
L’accelerazione caratteristica a0 è definita come:
𝑎0 =
2𝜂𝑃
𝜎 con σ = 𝑚
𝐴
dove σ è la massa della vela solare per unità di area, P è la pressione della radiazione solare, η è l’efficienza della vela che tiene conto della riflessione non perfetta e della non perfetta planarità del film della vela; il termine 2 comprende i raggi incidenti e dei raggi riflessi.
Una vela avente una membrana di 2 μm riesce a produrre un’accelerazione di 1 mms-1, mentre vele “ultra-thin” possono raggiungere accelerazioni di 6 mms-1.
Come detto in precedenza, i fotoni provenienti dal Sole intercettano la vela colpendo la membrana, dopodiché i fotoni riflessi inducono un impulso ulteriore sulla membrana stessa. Questi due impulsi vengono sommati e la direzione della normale risulta essere perpendicolare al film riflettente per una vela ideale.
11
Fig. 2.6 Forze incidenti e riflettenti su una vela perfettamente riflettente
L’orientazione della vela solare, e quindi del vettore forza, è descritta dal “pitch angle”, chiamato α, come in Fig. 2.6. Man mano che l’angolo di pitch aumenta, la pressione di radiazione diminuisce a causa della diminuzione dell’area proiettata della vela e della componente della radiazione diretta normalmente verso il Sole.
2.4 Film della vela solare
2.4.1 Design
Per quanto riguarda il substrato del film, deve essere scelto un materiale che risponda alle caratteristiche di maneggiabilità, pieghevolezza e dispiegamento una volta in orbita. Il film è inoltre rivestito di un materiale riflettente per un efficiente grado di riflessione dei fotoni e deve garantire una certa resistenza alla trazione poiché, una volta dispiegata la vela, il materiale sottoposto a stress non deve presentare lacerazioni che potrebbero propagarsi lungo tutto il film. Altro aspetto importante si verifica nell’irraggiamento termico e nella propagazione di calore. Quando la radiazione di pressione colpisce il materiale riflettente, parte dell’energia viene assorbita dal substrato di materiale e, di conseguenza, tale energia deve essere emessa nel lato
12
opposto della superficie. Il substrato, poiché è sottoposto a variazioni di temperatura, non deve presentare importanti espansioni o contrazioni termiche.
Il film una volta dispiegato non può presentare raggrinzimenti che andrebbero a compromettere la riflessione della pressione solare [19].
2.4.2 Substrato
Il substrato è il componente che dà un maggior contributo alla massa della vela solare. Il materiale scelto come substrato per la vela solare è il Kapton, una pellicola poliimmide avente una densità di 1.42 gm-2, con delle buone proprietà meccaniche e
termiche; il Kapton risponde, inoltre, alla necessità di essere rivestito con materiale riflettente ed essere impacchettato per poi venire dispiegato in orbita [19].
2.4.3 Rivestimento
Il substrato deve subire, come già detto, un rivestimento con materiale metallico riflettente, avente inoltre un alto punto di fusione in modo tale da garantirne l’integrità.
Il metallo ottimale candidato per ricoprire il ruolo di materiale riflettente è l’alluminio. Questo materiale ha infatti una bassa densità e una proprietà riflettente che varia tra i 0.88 e 0.91. Il rivestimento deve garantire un’alta emissività termica sul lato buio in modo da creare un controllo termico passivo. Si è scelto di usare un film di cromo come controllo termico avente un’emissività dell’ordine di 0.64 [19].
2.4.4 Film della vela
La cross-section della vela in Kapton è riportata in Fig. 2.7. La vela solare ha tipicamente il substrato di Kapton spesso 2 μm, rivestito su una superficie da un film spesso 100 nm di alluminio. La faccia opposta del substrato è ricoperta da uno strato di cromo spesso 100 nm al fine di garantire il controllo termico passivo [19].
13
Fig. 2.7 Cross-section di una vela solare
2.5 Analisi agli elementi finiti di una vela solare
L’analisi agli elementi finiti si è dimostrata uno strumento efficace per predire il comportamento di una vela solare prima che sia testata fisicamente. Talvolta, specialmente per vele con lato superiore ai 20 metri, è difficile testare in laboratorio il comportamento della membrana riflettente a causa dei limiti fisici d’ingombro. Inoltre il film essendo molto sottile, nell’ordine dei micron, può subire lacerazioni e rotture a causa della forza di gravità.
Dato quindi l’importante successo degli elementi finiti nel predire il comportamento di una vela, in questo scritto, si procederà con diverse analisi numeriche aventi lo scopo di descrivere la differenza di comportamento tra vela ideale e vela reale considerando i nuovi coefficienti del materiale riflettente; in un secondo momento, si procederà con l’aggiornamento dei coefficienti del modello matematico descrivente l’andamento delle forze in funzione dell’angolo di cono di una vela deformata.
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Fig. 2.8. Modello della vela agli elementi finiti
In questa tesi verrà considerata solamente il tipo di vela quadrata, square solar sail, come mostrato in Fig. 2.8, in riferimento all’analisi numerica applicata alla deformazione della vela solare studiata dalla JPL, nel corso degli anni ’70, durante gli studi preliminare della missione sulla cometa di Halley.
15
CAPITOLO 3
3.1 Introduzione all’analisi agli elementi finiti
Per lo svolgimento delle analisi FEM è stato utilizzato il software commerciale ABAQUS V 6.11 poiché è un programma specializzato nelle analisi numeriche non lineari.
Le membrane delle vele solari rappresentano un problema ingente per l’analisi strutturale per via delle loro geometrie estreme. Piccoli carichi a cui sono soggetti film in orbita producono deflessioni molto più grandi dello spessore della vela sottoposta a un pretensionamento generato dai cavi di collegamento della membrana alla struttura.
Per questo motivo, come detto anche in precedenza, l’utilizzo di Abaqus come strumento di analisi non lineare si rivela necessario al fine di ottenere risultati che riescano a prevedere il comportamento della vela in un ambiente spaziale.
3.2 Modellazione agli elementi finiti
3.2.1 Cenni sull’analisi non lineare agli elementi finiti
L’equazione di equilibrio di una struttura discretizzata con il metodo degli elementi finiti è data dalla relazione matriciale del tipo
{𝐹} = [𝐾] ∙ {𝑑}
dove {𝐹} è il vettore delle forze nodali, [𝐾] è la matrice rigidezza e {𝑑} il vettore degli spostamenti nodali. L’equazione è di tipo lineare e questo significa che a una variazione ∆x dello spostamento, si avrà la una variazione proporzionale delle forze.
Quando tale condizione non viene più verificata, si è di fronte a un problema non
lineare. Si ha non linearità quando si è in presenza di grandi spostamenti e
deformazioni; in questi casi la geometria della struttura va cambiando in maniera non trascurabile, per questo motivo a ogni spostamento è necessario considerare la geometria aggiornata [17].
La relazione che lega deformazioni e spostamenti dipende dal valore degli spostamenti stessi:
16
In questo caso si ha che [𝐾] dipende da d e quindi l’equazione diviene:
{𝐹} = [𝐾(𝑑)] ∙ {𝑑}
La soluzione non potrà trovarsi in forma chiusa, per cui si dovrà ricorrere a uno dei metodi che forniscono soluzioni approssimate; uno di questi è il Metodo di
Newton-Raphson.
Il metodo incrementale consiste nel linearizzare a tratti la relazione {𝐹} − {𝑑}, cioè assumere che [K(d)] sia costante a tratti.
3.2.2 Metodo iterativo di Newton-Raphson
Per affrontare i problemi di non linearità, Abaqus utilizza il metodo iterativo di Newton-Raphson, che ha il particolare vantaggio di fornire un risultato sufficientemente vicino alla soluzione reale.
Fig 3.1. Metodo iterativo di Newton-Raphson
Il carico è applicato interamente dall’inizio e il valore dello spostamento {𝑑} è raggiunto per mezzo del procedimento iterativo.
17
Se [𝐾𝑇(𝑑0)] è la matrice tangente nelle condizioni iniziali, si calcola il valore dello spostamento alla fine della prima iterazione, assumendo che tale matrice si mantenga costante. In questo modo si ricava il primo spostamento:
{∆𝑑1} = [𝐾𝑇 (𝑑0)]−1{𝐹}
In corrispondenza di questo spostamento la risultante delle forze nella struttura non sarà pari a {𝐹}, ma soltanto la forza che la struttura stessa è in grado di equilibrare per effetto del legame effettivo {𝐹} − {𝑑}; punto A nella Fig 3.1
Tale forza vale:
{𝐹𝑒,1} = ∫[𝐵]𝑇 [𝐸]{𝜀
1}𝑑𝑉
essendo [B], [E] o {ℰ1} dipendenti dallo spostamento secondo il tipo di non linearità e
calcolate nel punto A. In questo modo, il sistema di carichi non è equilibrato dal sistema di azioni interne della struttura. Si ha la soluzione quando {𝐹} − {𝐹𝑒,1} ≤ 𝑒 con e un numero positivo e piccolo. In questa configurazione la soluzione si avvicina a quella esatta quando il sistema di azioni interne tende a equilibrare il sistema di carichi applicati dall’esterno. Se ciò non si verifica, si eseguono altre iterazioni applicando carichi non equilibrati con l’obiettivo di trovare le entità degli incrementi di spostamento che consentono di avvicinarsi alla relazione precedente, cioè si itera finché l’entità tra i due carichi non sia minore o uguale a e.
Al carico non equilibrato, dopo la prima iterazione, corrisponde una matrice [𝐾𝑇(𝑑1)] nel punto A. L’incremento di spostamento è di:
{∆𝑑2} = [𝐾𝑇(𝑑1)]−1({𝐹} − {𝐹𝑒,1})
Risulta:
{𝑑2} = {𝑑1} + {∆𝑑2}
18
Come in precedenza, se risulta {𝐹} − {𝐹𝑒,2} ≤ 𝑒 la convergenza è raggiunta,
altrimenti si calcola [𝐾𝑇(𝑑2)] e si procede con l’iterazione [23].
Nel capitolo 5 verrà descritta in dettaglio la modellazione della vela agli elementi finiti.
19
CAPITOLO 4
4.1 Introduzione ai modelli di forze su una vela solare
Una forza esercitata su una vela non perfettamente riflettente è ottenuta considerando la riflessione, l’assorbimento e l’emissività termica della vela stessa. Questo è ottenuto per mezzo di un certo numero di coefficienti ricavati sperimentalmente attraverso opportuni test svolti sulla membrana. In questo capitolo verrà assunta una vela perfettamente piatta e verranno analizzati i modelli matematici da usare nell’analisi FEM.
4.2 Modello di forze
La forza totale esercitata dalla pressione di radiazione solare sulla vela è data da:
𝒇 = 𝒇𝑟+ 𝒇𝑎 + 𝒇𝑒
dove 𝑓𝑟 è la forza dovuta alla riflessione, 𝑓𝑎 è la forza dovuta dall’assorbimento e
𝑓𝑒 è la forza dovuta all’emissività dovuta dalla radiazione.
Le proprietà ottiche del film della vela possono essere definiti per mezzo di tre coefficienti: - 𝑟̃ di riflessione; - 𝑎 di assorbimento; - 𝜏 di trasmissione dove 𝑟̃ + 𝑎 + 𝜏 = 1 Se 𝜏 = 0 si ha che 𝑎 = 1 − 𝑟̃
20
L’orientazione della vela è definita da un versore normale n alla superficie della vela e da un vettore unitario t diretto lungo la superficie e normale a n come nella
Fig.4.1. La direzione dei fotoni incidenti è definita dal versore u e la direzione speculare
dei fotoni riflessi da s.
La relazione tra i versori è:
𝐮 = cosα 𝐧 + sinα 𝐭 𝐬 = −cosα 𝐧 + sinα 𝐭
dove α è l’angolo di pitch della vela solare tra la normale alla superficie e la linea del Sole come in Fig 4.1.
La forza esercitata sulla vela dovuta all’assorbimento dei fotoni è data da 𝑃𝐴 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝒖, dove 𝐴 𝑐𝑜𝑠𝛼 è l’area proiettata della vela solare nella direzione u. Risolvendo questa forza con le componenti normali e tangente, si ha:
𝒇𝒂= 𝑃𝐴 ( 𝑐𝑜𝑠2𝛼 𝒏 + 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝒕 )
A questo punto una frazione 𝒓̃ dei fotoni incidenti verrà riflessa, mentre un’altra frazione verrà anch’essa riflessa, ma non specularmente. Esiste infatti, per materiali non perfettamente riflettenti, una diffusività cioè la luce viene riflessa con angoli diversi dall’angolo speculare a quello di pitch [5].
21
Fig. 4.1 Composizione forze per una vela solare non perfettamente riflettente
Il coefficiente di diffusività è dato da:
𝒔 = 1 − 𝐷 𝒓̃
dove D è la misura della diffusività della superficie.
22
Coefficienti Non-Lambertiani
L’irradianza del materiale della vela, quando viene colpita dall’irraggiamento solare, è data da 𝐸𝑖 = (𝑃𝑖
𝐴
⁄ ) ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 [W/m2] dove P
i è la potenza incidente causata dalla pressione
di radiazione e A è l’area totale.
La Fig.4.3 rappresenta l’angolo solido elementare di riflessione di una superficie piatta.
Fig. 4.3 Elemento solido angolare della radiazione riflessa su una vela perfettamente piana e in coordinate angolari
Si denoti con σ [m2] l’area di superficie dell’emisfero, centrato nel punto di
incidenza della luce. L’ angolo elementare solido di riflessione, noto come dω, è dato dalla variazione di θ, l’angolo tra la direzione dei raggi riflessi e la normale alla superficie, e di Φ, angolo di clock.
Si ha che:
𝑑𝜔 = sin 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝛷
La radianza Lr [Wm-2sr-1] è data da [7]:
𝐿𝑟 = 𝐼𝑟 𝐴 𝑐𝑜𝑠𝜃
23 dove l’intensità è data da:
𝐼𝑟 = 𝑑𝑃𝑟 𝑑𝜔
con Pr potenza di riflessione.
La BRDF (Bi-directional Reflenctance Distribution Function) è definita:
𝐵𝑅𝐷𝐹 = 𝑑𝑃𝑟
𝑑𝜔 ⁄ 𝑃𝑖𝑐𝑜𝑠𝜃
Se per un momento viene ignorato l’assorbimento, è possibile scrivere che la forza normale in termini di raggi incidenti e riflessi vale:
𝐹𝑛 = 𝑃𝑖
𝑐 𝑐𝑜𝑠𝛼 + ∫ 𝑑𝑃𝑟
𝑐 𝑑𝜎
con c velocità della luce. Sostituendo si ha:
𝐹𝑛 =
𝐸𝑖𝐴 𝑐 [𝑐𝑜𝑠
2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝛼 ∫ 𝐵𝑅𝐷𝐹 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜔]
Sapendo che la riflessione dipende da 𝒓̃𝒔 e la diffusività da 𝒓̃(1 − 𝒔) è possibile scrivere che: 𝐹𝑛 = 𝐸𝑖𝐴 𝑐 [𝑐𝑜𝑠 2𝛼 + 𝒓̃𝒔 𝑐𝑜𝑠𝛼 ∫ 𝛿(𝜃 − 𝛼)𝛿(𝜃) cos(𝜃) 𝑑𝜔 ∫ 𝛿(𝜃 − 𝛼)𝛿(𝜃)𝑑𝜔 + 𝒓̃𝒔 𝑐𝑜𝑠𝛼 ∫ 𝑓𝑑(𝜃, 𝜙)𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜔 ∫ 𝑓𝑑(𝜃, 𝜙) 𝑑𝜔 ] dove ∫ 𝛿(𝜃 − 𝛼)𝛿(𝜃) cos(𝜃) 𝑑𝜔 ∫ 𝛿(𝜃 − 𝛼)𝛿(𝜃)𝑑𝜔 = 𝑐𝑜𝑠𝛼 e
24 ∫ 𝑓𝑑(𝜃, 𝜙)𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜔
∫ 𝑓𝑑(𝜃, 𝜙) 𝑑𝜔
= 𝑩𝒇
è il coefficiente “non-Lambertian” che per una superficie lambertiana vale 2/3 [8,22].
Dopo aver accennato i coefficienti s e 𝑩𝒇, si prosegue ora con la dimostrazione del modello di forze.
Ripartendo dalla forza assorbita
𝒇𝒂= 𝑃𝐴 ( 𝑐𝑜𝑠2𝛼 𝒏 + 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝒕 )
si ha che una frazione di fotoni s sarà riflessa nella direzione s, il che contribuisce a una forza frs nella direzione -s
𝒇𝒓𝒔 = −(𝑟̃𝑠)𝑃𝐴 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝒔
e un’altra frazione sarà soggetta a una riflessione non speculare
𝒇𝒓𝒖 = 𝐵𝑓𝑟̃(1 − 𝑠)𝑃𝐴 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝒏
La forza totale riflessa è data quindi dalla scomposizione della prima equazione e dalla somma di tutte e tre, risulta:
𝒇𝑟 = 𝑃𝐴[(𝑟̃𝑠 𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 𝐵𝑓(1 − 𝑠)𝑟̃ 𝑐𝑜𝑠𝛼)𝒏 − 𝑟̃𝑠 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝒕]
Una parte dei fotoni che vengono assorbiti sono a sua volta emessi sotto forma di radiazione termica da entrambe le superfici della vela. La potenza termica emessa per unità di superficie alla temperatura T è data da 𝜀𝜎̃𝑇4, dove 𝜎̃ è la costante di
Stefan-Boltzmann e 𝜀 l’emissività della superficie. La forza di emissione termica è data da:
𝒇𝑐 = 𝜎̃𝑇
4
25
dove 𝜀𝑓 e 𝜀𝑏 sono le emissività anteriore e posteriore.
Fig. 4.4 Bilancio termico di una vela solare
La temperatura della vela può essere ottenuta dal bilanciamento termico tra input e output di (𝜀𝑓− 𝜀𝑏) 𝜎̃𝑇4 come in Fig 4.2. L’input termico è dato da (1 − 𝑟̃)𝑊 𝑐𝑜𝑠𝛼 con
W il flusso solare incidente sulla vela. La radiazione di pressione è data da W/c e la
temperatura della vela può essere scritta come
𝑇 = [(1 − 𝑟̃)𝑐 𝑃 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝜎̃(𝜀𝑓− 𝜀𝑏) ]
1/4
La forza esercitata dalla “re-radiation” è data da
𝒇𝑐 = 𝑃𝐴 (1 − 𝑟̃ )
𝜀𝑓𝐵𝑓− 𝜀𝑏𝐵𝑏 𝜀𝑓− 𝜀𝑏
𝑐𝑜𝑠𝛼 𝒏
Sommando tutti i contributi e scomponendo la forza totale nelle componenti trasversale e normale, si ottengono le seguenti formule:
26 𝒇𝑛 = 𝑃𝐴 { (1 + 𝑟̃𝑠)𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 𝐵𝑓 (1 − 𝑠)𝑟̃ 𝑐𝑜𝑠𝛼 + (1 − 𝑟̃) 𝜀𝑓𝐵𝑓− 𝜀𝑏𝐵𝑏 𝜀𝑓− 𝜀𝑏 𝑐𝑜𝑠𝛼} 𝒏 𝒇𝑡 = 𝑃𝐴 (1 − 𝑟̃𝑠)𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝒕
dove la forza totale può essere scritta come
𝒇 = 𝑓𝒎
𝑓 = √𝑓𝑡2 + 𝑓 𝑛2
Dove m è il vettore unitario in direzione della forza totale. La direzione rispetto alla normale della vela è dato da
tan 𝛷 = 𝑓𝑡 𝑓𝑛
dove Φ è chiamato centre-line angle [5].
4.3 Aggiornamento dei coefficienti ottici della vela
Nel 2004 furono eseguiti nuovi test sul materiale della vela solare, aggiornando così alcuni coefficienti ottici fatta eccezione di s e di Bf.
L’aggiornamento del valore di 𝒓̃ è basato sul test ottico compiuto dalla Marshall Space Flight Center (MSFC) [9] che fissò un valore del film della vela coperto da 100 nm di alluminio a 0.94. Il precedente valore di 𝒓̃ trovato dalla JPL, nel 1978, era di 0.88. La MSFC fece ulteriori test per misurare le emissività anteriore e posteriore e i nuovi valori cambiarono drammaticamente dalla misurazione precedente. I nuovi valori sono ef = 0.025 e eb = 0.27.
Infine venne assegnato il valore di 0.67 per quanto riguarda il valore di distribuzione lambertiana e venne usato questo valore nei test per la Lunar Flashlight, una missione in data di lancio a novembre 2018, ma posticipata nel gennaio 2019.
27
Riassumendo, la seguente tabella mette in luce le variazioni di coefficienti tra la misurazione della JPL nel 1978 e della MSFC nel 2004 per una vela solare quadrata [10].
Coefficienti 𝒓̃ s Bf Bb ef eb
Ideal sail 1 1 2/3 2/3 0 0
JPL 1978 0.88 0.94 0.79 0.55 0.05 0.55 MSFC 2004 0.91 0.94 0.79 0.67 0.025 0.27
Tab. 4.1 Aggiornamento coefficienti della vela solare.
4.4 Aggiornamento del calcolo delle forze e dei grafici
In riferimento al paragrafo 4.2, si è voluto ottenere l’aggiornamento della composizione delle forze in relazione all’angolo di pitch.
Composizione delle forze.
α [deg] Ft Fn Ftot (ideale)
0 0 9.120 E-06 9.120 E-06 2 0 9.108 E-06 9.108 E-06 4 0 9.075 E-06 9.075 E-06 6 0 9.020 E-06 9.020 E-06 8 0 8.943 E-06 8.943 E-06 10 0 8.845 E-06 8.845 E-06 12 0 8.725 E-06 8.725 E-06 14 0 8.586 E-06 8.586 E-06 16 0 8.427 E-06 8.427 E-06 18 0 8.249 E-06 8.249 E-06 20 0 8.053 E-06 8.053 E-06 22 0 7.840 E-06 7.840 E-06 24 0 7.611 E-06 7.611 E-06 26 0 7.367 E-06 7.367 E-06 28 0 7.109 E-06 7.109 E-06 30 0 6.840 E-06 6.840 E-06 32 0 6.558 E-06 6.558 E-06 34 0 6.268 E-06 6.268 E-06 36 0 5.969 E-06 5.969 E-06 38 0 5.663 E-06 5.663 E-06 40 0 5.351 E-06 5.351 E-06 42 0 5.036 E-06 5.036 E-06
28 44 0 4.719 E-06 4.719 E-06 46 0 4.400 E-06 4.400 E-06 48 0 4.083 E-06 4.083 E-06 50 0 3.768 E-06 3.768 E-06 52 0 3.456 E-06 3.456 E-06 54 0 3.150 E-06 3.150 E-06 56 0 2.851 E-06 2.851 E-06 58 0 2.561 E-06 2.561 E-06 60 0 2.280 E-06 2.280 E-06 62 0 2.010 E-06 2.010 E-06 64 0 1.752 E-06 1.752 E-06 66 0 1.508 E-06 1.508 E-06 68 0 1.279 E-06 1.279 E-06 70 0 1.066 E-06 1.066 E-06 72 0 8.708 E-07 8.708 E-07 74 0 6.929 E-07 6.929 E-07 76 0 5.337 E-07 5.337 E-07 78 0 3.942 E-07 3.942 E-07 80 0 2.750 E-07 2.750 E-07 82 0 1.766 E-07 1.766 E-07 84 0 9.964 E-08 9.964 E-08 86 0 4.437 E-08 4.437 E-08 88 0 1.110 E-08 1.110 E-08 90 0 3.422 E-38 3.422 E-38
Tabella 4.2 Composizione delle forze per una vela ideale
α [deg] Ft Fn Ftot (reale)
0 0.000 E+00 8.433 E-06 8.433 E-06 2 2.299 E-08 8.422 E-06 8.422 E-06 4 4.588 E-08 8.392 E-06 8.392 E-06 6 6.854 E-08 8.340 E-06 8.341 E-06 8 9.087 E-08 8.269 E-06 8.270 E-06 10 1.127 E-07 8.178 E-06 8.179 E-06 12 1.340 E-07 8.067 E-06 8.069 E-06 14 1.547 E-07 7.938 E-06 7.940 E-06 16 1.747 E-07 7.791 E-06 7.793 E-06 18 1.937 E-07 7.626 E-06 7.629 E-06 20 2.119 E-07 7.445 E-06 7.448 E-06 22 2.290 E-07 7.247 E-06 7.251 E-06 24 2.450 E-07 7.035 E-06 7.040 E-06 26 2.597 E-07 6.810 E-06 6.814 E-06 28 2.733 E-07 6.571 E-06 6.577 E-06
29
30 2.855 E-07 6.321 E-06 6.328 E-06 32 2.963 E-07 6.061 E-06 6.068 E-06 34 3.056 E-07 5.792 E-06 5.800 E-06 36 3.135 E-07 5.515 E-06 5.524 E-06 38 3.198 E-07 5.232 E-06 5.241 E-06 40 3.246 E-07 4.943 E-06 4.954 E-06 42 3.278 E-07 4.652 E-06 4.663 E-06 44 3.294 E-07 4.358 E-06 4.370 E-06 46 3.294 E-07 4.063 E-06 4.076 E-06 48 3.278 E-07 3.769 E-06 3.783 E-06 50 3.246 E-07 3.478 E-06 3.493 E-06 52 3.198 E-07 3.189 E-06 3.205 E-06 54 3.135 E-07 2.906 E-06 2.923 E-06 56 3.056 E-07 2.630 E-06 2.647 E-06 58 2.963 E-07 2.361 E-06 2.379 E-06 60 2.855 E-07 2.101 E-06 2.120 E-06 62 2.733 E-07 1.851 E-06 1.871 E-06 64 2.597 E-07 1.613 E-06 1.634 E-06 66 2.450 E-07 1.388 E-06 1.409 E-06 68 2.290 E-07 1.176 E-06 1.199 E-06 70 2.119 E-07 9.802 E-07 1.002 E-06 72 1.937 E-07 7.994 E-07 8.225 E-07 74 1.747 E-07 6.352 E-07 6.588 E-07 76 1.547 E-07 4.885 E-07 5.124 E-07 78 1.340 E-07 3.600 E-07 3.841 E-07 80 1.127 E-07 2.503 E-07 2.745 E-07 82 9.087 E-08 1.600 E-07 1.840 E-07 84 6.854 E-08 8.956 E-08 1.127 E-07 86 4.588 E-08 3.925 E-08 6.038 E-08 88 2.299 E-08 9.345 E-09 2.482 E-08 90 4.039 E-23 -1.684 E-24 4.042 E-23
30
Grafico 4.1 Andamento delle forze (ideal square sail e non-perfect square sail) in funzione dell’angolo α. A = 1
31
Grafico 4.2 Andamento delle forze (ideal square sail e non-perfect square sail) in funzione dell’angolo α. A = 20x20
32
Grafico 4.3 Andamento delle forze (ideal square sail e non-perfect square sail) in funzione dell’angolo α. A = 100x100
33
Grafico 4.4 Andamento delle forze (ideal square sail e non-perfect square sail) in funzione dell’angolo α della vela studiata per la cometa
di Halley
Calcolo del centre-line angle.
α [deg] Ft Fn Φ real [deg]
0 0.000 E+00 8.433 E-06 0.000 2 2.299 E-08 8.422 E-06 0.156 4 4.588 E-08 8.392 E-06 0.313 6 6.854 E-08 8.340 E-06 0.470 8 9.087 E-08 8.269 E-06 0.629 10 1.127 E-07 8.178 E-06 0.789 12 1.340 E-07 8.067 E-06 0.952 14 1.547 E-07 7.938 E-06 1.116 16 1.747 E-07 7.791 E-06 1.284 18 1.937 E-07 7.626 E-06 1.455
34
Tabella 4.4 Calcolo del centre-line angle in funzione dell’angolo di pitch
Dalla Tab. 4.4 si è estratto il grafico del centre-line angle in funzione dell’angolo di pitch per una non-perfect solar sail.
20 2.119 E-07 7.445 E-06 1.630 22 2.290 E-07 7.247 E-06 1.809 24 2.450 E-07 7.035 E-06 1.994 26 2.597 E-07 6.810 E-06 2.184 28 2.733 E-07 6.571 E-06 2.381 30 2.855 E-07 6.321 E-06 2.586 32 2.963 E-07 6.061 E-06 2.798 34 3.056 E-07 5.792 E-06 3.020 36 3.135 E-07 5.515 E-06 3.253 38 3.198 E-07 5.232 E-06 3.498 40 3.246 E-07 4.943 E-06 3.757 42 3.278 E-07 4.652 E-06 4.031 44 3.294 E-07 4.358 E-06 4.323 46 3.294 E-07 4.063 E-06 4.635 48 3.278 E-07 3.769 E-06 4.970 50 3.246 E-07 3.478 E-06 5.333 52 3.198 E-07 3.189 E-06 5.726 54 3.135 E-07 2.906 E-06 6.156 56 3.056 E-07 2.630 E-06 6.629 58 2.963 E-07 2.361 E-06 7.152 60 2.855 E-07 2.101 E-06 7.737 62 2.733 E-07 1.851 E-06 8.395 64 2.597 E-07 1.613 E-06 9.145 66 2.450 E-07 1.388 E-06 10.007 68 2.290 E-07 1.176 E-06 11.011 70 2.119 E-07 9.802 E-07 12.198 72 1.937 E-07 7.994 E-07 13.626 74 1.747 E-07 6.352 E-07 15.378 76 1.547 E-07 4.885 E-07 17.580 78 1.340 E-07 3.600 E-07 20.429 80 1.127 E-07 2.503 E-07 24.247 82 9.087 E-08 1.600 E-07 29.587 84 6.854 E-08 8.956 E-08 37.426 86 4.588 E-08 3.925 E-08 49.454 88 2.299 E-08 9.345 E-09 67.885 90 4.039 E-23 -1.684 E-24 -87.611
35
Grafico 4.5 Andamento centre-line angle in funzione del pitch angle per una non-perfect solar sail
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 2 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50 54 58 62 66 70 74 78 82 86 Cen tre -li n e a n g le (de g )
Pitch angle (deg)
36
Grafico 4.6 Grafico centre-line angle in funzione dell’angolo di pitch per la vela della cometa di Halley
La tabella rappresenta il calcolo del cone angle per una vela ideale e per una non perfettamente riflettente.
α [deg] Cone angle ideal [deg] Cone angle Non-perfect sail [deg]
0 0 0 2 2 2 4 4 4 6 6 6 8 8 7 10 10 9 12 12 11 14 14 13 16 16 15
37
Tabella 4.5 Calcolo del cone angle
18 18 17 20 20 18 22 22 20 24 24 22 26 26 24 28 28 26 30 30 27 32 32 29 34 34 31 36 36 33 38 38 35 40 40 36 42 42 38 44 44 40 46 46 41 48 48 43 50 50 45 52 52 46 54 54 48 56 56 49 58 58 51 60 60 52 62 62 54 64 64 55 66 66 56 68 68 57 70 70 58 72 72 58 74 74 59 76 76 58 78 78 58 80 80 56 82 82 52 84 84 47 86 86 37 88 88 20 90 90 178
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Il seguente grafico rappresenta l’andamento del cone angle in funzione dell’angolo di pitch per una vela ideale e per una vela non perfettamente riflettente.
Grafico 4.7 Andamento del cone angle in funzione dell’angolo di pitch (ideal square sail e non-perfect square sail)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 2 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50 54 58 62 66 70 74 78 82 86 Con e a n g le (de g )
Pitch angle (deg)
Cone angle per una vela solare ideale e reale
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Grafico 4.7 Andamento del cone angle in funzione dell’angolo di pitch per la vela della cometa di Halley
La tabella rappresenta il calcolo delle forze.
α [deg] Fa Fr Fc
0 9.120 E-06 8.194 E-06 -4.483 E-07 2 9.109 E-06 8.189 E-06 -4.481 E-07 4 9.076 E-06 8.173 E-06 -4.472 E-07 6 9.020 E-06 8.147 E-06 -4.459 E-07 8 8.943 E-06 8.111 E-06 -4.440 E-07 10 8.845 E-06 8.064 E-06 -4.415 E-07 12 8.726 E-06 8.007 E-06 -4.385 E-07 14 8.586 E-06 7.940 E-06 -4.350 E-07 16 8.427 E-06 7.863 E-06 -4.310 E-07 18 8.249 E-06 7.776 E-06 -4.264 E-07 20 8.053 E-06 7.679 E-06 -4.213 E-07 22 7.840 E-06 7.572 E-06 -4.157 E-07 24 7.611 E-06 7.456 E-06 -4.096 E-07
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Tabella 4.5 Calcolo componenti delle forze
Il grafico sottostante rappresenta l’andamento delle forze, assorbita, riflessa ed emessa, incidenti sulla membrana di una vela solare.
26 7.367 E-06 7.331 E-06 -4.030 E-07 28 7.110 E-06 7.196 E-06 -3.958 E-07 30 6.840 E-06 7.053 E-06 -3.883 E-07 32 6.559 E-06 6.901 E-06 -3.802 E-07 34 6.268 E-06 6.740 E-06 -3.717 E-07 36 5.969 E-06 6.571 E-06 -3.627 E-07 38 5.663 E-06 6.394 E-06 -3.533 E-07 40 5.352 E-06 6.209 E-06 -3.434 E-07 42 5.037 E-06 6.017 E-06 -3.332 E-07 44 4.719 E-06 5.818 E-06 -3.225 E-07 46 4.401 E-06 5.612 E-06 -3.114 E-07 48 4.083 E-06 5.399 E-06 -3.000 E-07 50 3.768 E-06 5.180 E-06 -2.882 E-07 52 3.457 E-06 4.955 E-06 -2.760 E-07 54 3.151 E-06 4.725 E-06 -2.635 E-07 56 2.852 E-06 4.489 E-06 -2.507 E-07 58 2.561 E-06 4.248 E-06 -2.376 E-07 60 2.280 E-06 4.002 E-06 -2.241 E-07 62 2.010 E-06 3.752 E-06 -2.105 E-07 64 1.753 E-06 3.498 E-06 -1.965 E-07 66 1.509 E-06 3.241 E-06 -1.823 E-07 68 1.280 E-06 2.980 E-06 -1.679 E-07 70 1.067 E-06 2.717 E-06 -1.533 E-07 72 8.709 E-07 2.451 E-06 -1.385 E-07 74 6.929 E-07 2.182 E-06 -1.235 E-07 76 5.338 E-07 1.912 E-06 -1.084 E-07 78 3.942 E-07 1.640 E-06 -9.322 E-08 80 2.750 E-07 1.368 E-06 -7.786 E-08 82 1.766 E-07 1.094 E-06 -6.240 E-08 84 9.965 E-08 8.207 E-07 -4.686 E-08 86 4.438 E-08 5.467 E-07 -3.127 E-08 88 1.111 E-08 2.730 E-07 -1.564 E-08 90 3.422 E-38 4.784 E-22 -2.746 E-23
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CAPITOLO 5
Nel paragrafo 4.4 si è analizzato il comportamento della vela assumendo implicitamente che sia perfettamente piatta. Ogni vela sottoposta alla pressione solare subisce una deformazione del film e di conseguenza la distribuzione delle forze e dei momenti cambiano al deformarsi della vela stessa. Durante lo studio della missione sulla Cometa di Halley, la JPL sviluppò un modello di forze derivato dall’integrazione numerica della forza di pressione di radiazione sulla membrana curva della vela.
Questo modello di forze è stato parametrizzato come una funzione dell’angolo di
cono tra la radiazione incidente e la direzione del vettore forza.
𝒇 = 𝑓0 (𝑐1+ 𝑐2 𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝑐3 𝑐𝑜𝑠3𝜃) 𝒎
dove 𝑓0 è la forza esercitata quando la vela solare è orientata normalmente verso il Sole. I coefficienti c1, c2, c3 sono caratteristici delle forze della vela e sono riportati nella
tabella seguente.
C1 C2 C3
Ideal sail 0.5 0.5 0
Square sail 0.349 0.662 -0.011
Tab. 5.1 Coefficiente delle forze per una vela ideale e per la vela della JPL
In questo capitolo verrà trattata la modellazione agli elementi finiti della vela solare, la modellazione delle forze e i risultati ottenuti con l’aggiornamento dei coefficienti delle forze c1, c2, c3.
5.1 Architettura della vela solare
La vela solare è un sistema di propulsione che utilizza la pressione di radiazione solare dalla quale riceve una spinta necessaria a eseguire manovre in orbita e cambiamenti di assetti dei satelliti. Nel centro è situato il satellite con tutti i suoi sottosistemi. Per risparmiare risorse computazionali si sono modellati i componenti principali della vela con elementi bidimensionali e monodimensionali, il payload con una massa concentrata di 25 kg all’estremità della struttura centrale che viene modellata
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con una trave di due metri, le membrane per il controllo sono state modellate con masse concentrate di 0.58 kg, i sottosistemi del satellite con un’unica massa concentrata di 35 kg.
Dai vertici delle travi e dalla struttura centrale per mezzo di cavi vengono collegate le membrane triangolari e messe in tensione. La connessione tra i vari componenti viene eseguita con elementi “join” in modo da garantire il vincolo su tutti i gradi di libertà traslazionali.
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La seguente figura illustra il modello agli elementi finiti della vela solare.
Fig. 5.2 Modello di vela solare agli elementi finiti
5.1.2 Membrana riflettente
Per modellare il film riflettente è stato fatto uso degli “elementi shell”, elementi tridimensionali che mantengono la rigidezza flessionale della membrana consentendo una previsione più accurata dello stato di tensione.
Nel passato, la modellazione con elementi shell a integrazione ridotta con spessore 25 μm [12,13,20], unita all’aggiunta di imperfezioni viscose le quali non si verificano realmente nel campo spaziale, ha permesso di ottenere risultati approssimativi di previsione del comportamento della vela soggetta a carico di pressione, risolvendo così i problemi di convergenza dell’analisi numerica.
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Nella presente tesi ci si pone lo scopo di valutare i carichi di pressione dovuti alla radiazione solare con elementi shell senza stabilizzazione e utilizzando l’integrazione non ridotta attraverso il programma Abaqus [11].
Fig. 5.3 Esempio modellazione della membrana di una vela solare
Mesh
La fase di costruzione della mesh richiede un particolare accorgimento. Considerando che è stata fatta una ripartizione della membrana della vela e sono stati assegnati elementi quadrati (Quad) e triangolari (Tri), è opportuno porre quest’ultimi lungo i due cateti del triangolo, vedi Fig. 5.3 & 5.4. Il motivo per questa scelta sta nel
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fatto che gli elementi triangolari soffrono sensibilmente di over-stiffness e i due cateti avranno un deformazione minore rispetto all’ipotenusa del triangolo.
Questo ha permesso di migliorare la convergenza dell’analisi e di abbattere notevolmente i tempi di calcolo.
Fig. 5.4 Dettaglio mesh
Per la membrana sono stati usati elementi S4, con integrazione di quattro punti per lato, necessari a modellare componenti caratterizzati da una dimensione spaziale notevolmente più piccola rispetto alle altre due. Questi elementi sono adatti per l’analisi accurata degli stati di stress in presenza anche di momenti flettenti. Non sono stati usati elementi solidi poiché è stato assunto che lo stress nello spessore della membrana resti costante, permettendo così di risparmiare risorse computazionali.
Il lato lungo della membrana è stato modellato, come detto in precedenza, con elementi triangolari denominati S3.
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5.1.3 Travi o boom e cavi
Per le travi sono stati scelti gli elementi “beam” monodimensionale in cui la rigidezza è associata alle deformazioni del segmento con cui è stata modellata la trave. Le deformazioni posso essere di allungamento, di flessione o di torsione. L’elemento associato da Abaqus è B31.
Nella seguente figura viene riportato l’esempio di modellazione.
Fig. 5.5 Esempio modellazione trave
I cavi sono stati modellati con elementi monodimensionali “truss” che presentano la sola rigidezza assiale. A questo elemento Abaqus associa il nome T3D2.
5.2 Materiali
La seguente tabella sintetizza i componenti, le proprietà dei materiali e le geometrie di una vela solare utili per la modellazione agli elementi finiti.
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Travi o boom Control Mast Cavi Membrana
Materiale Composito Isotropo Kevlar Kapton
Sezione/Raggio [m] Tubo circolare 0.229 Tubo circolare 0.005 Solid. circolare 0.0005 N.D.
Spessore 7.5 E-06 0.005 N.D. 2.5 E-06
Tab. 5.2 Materiali e geometria dei componenti della vela solare
Composito Isotropo Kevlar Kapton
Densità [Kg/m3] 1908 7660 1440 1572 Modulo Elastico x109 [N/m2] E1 = 124 E2 = 100 E3 = 100 G12 = 47 G13 = 38 G23 = 46 124 62 2.48 Poisson ν12 = 0.3 ν13 = 0.3 ν23 = 0.3 0.3 0.36 0.34
Tab 5.3 Proprietà meccaniche dei materiali utilizzati
5.3 Pretensionamento
Abaqus necessita di un’assegnazione della procedura in cui operare ed assegnare le varie forze e tensioni, quindi è d’obbligo, dopo aver assemblato la vela, procedere con la formulazione degli “step” come nella Fig 5.6.
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Fig 5.6 Formulazione degli step.
Al fine di diminuire la deformazione eccessiva della vela e, quindi rendere più efficace l’urto con i fotoni, è opportuno pretensionare la membrana. Il pretensionamento viene dato ai cavi che collegano i vertici della membrana alle travi con un valore di 2.35 E+07 N/m2, come riportato in Fig. 5.7, per mezzo del comando “Predefined field →
Stress”.
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Il pretensionamento consigliato in letteratura è di raggiungere un valore di 7 kPa al centro della membrana e questo permette di avere un buon compromesso tra deflessione e formazione di “grinze” che non permetterebbero una buona riflessione una volta spiegata la vela solare [14, 15].
Fig. 5.8 Stato di pretensionamento.
5.4 Carico di pressione
Arrivati a questo punto è necessario modellare il sistema di forze generate dalla pressione solare incidente e quello delle forze riflesse. Il calcolo della pressione incidente viene banalmente svolto suddividendo l’incidenza solare nei due versori t e n, rispettivamente tangente e normale, alla superficie della vela.
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Fig. 5.9 Configurazione della vela sottoposta alla pressione solare.
Per l’analisi numerica sono stati scelti gli angoli di incidenza
• α = 0° • α = 35°
• α = 15° solamente per aggiornare il modello matematico.
5.4.1 Pressione dei raggi incidenti
Per il calcolo dell’intensità incidente ponendo P = 4.56 x 10-6 Pa, si ha che:
α [deg] Intensità t Intensità n
0 0.00 E+00 4.56 E-06 35 2.62 E-06 3.74 E-06 35 2.62 E-06 3.74 E-06 35 2.62 E-06 3.74 E-06 35 2.62 E-06 3.74 E-06
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Questi risultati sono ottenuti per mezzo della formula 𝑃(𝑐𝑜𝑠𝛼 𝒏 + 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝒕), dove la forza esercitata dai fotoni è data da 𝑃(𝑐𝑜𝑠𝛼 𝒏) dove n = z e t = x nel sistema di riferimento di Abaqus. Questa pressione viene data nel comando “Load manager → Surface Traction” con versore (0, 0, -1) se α = 0.
5.4.2 Pressione ideale dei raggi riflessi
Per quanto riguarda la parte riflessa idealmente la situazione è abbastanza semplice. La normale della vela corrisponde alla normale del vettore forza risultante tra i raggi incidenti e i raggi riflessi. E’ stato inoltre scelto di utilizzare degli angoli di clock, denominati con Φ, rispettivamente di 0°, 45°, 22.5° e 90°, dove 0° ha versore -y e 90° ha versore -x, al fine di rappresentare la riflessione diffusa sulla superficie della vela.
La parte riflessa viene calcolata ponendo i coefficienti di riflessione perfetta facendo riferimenti alla Fig. 4.1 e alle formule per il calcolo di ft e fn togliendo la parte di
radiazione incidente: nel dettaglio verrà spiegato il procedimento nel seguente paragrafo.
La parte riflessa, a questo punto, è possibile rappresentarla in Abaqus nella sezione “direction → vector” dove è possibile assegnare i versori della forza riflessa.
In seguito si riportano i calcoli eseguiti per i versori delle forze riflesse.
Parte riflessa ideale
α [deg] 𝜑 [deg] vx vy vz
0 0 0.00 E+00 4.56 E-06 4.56 E-06 35 0 0.00 E+00 2.14 E-06 3.06 E-06 35 45 1.51 E-06 1.51 E-06 3.06 E-06 35 22.5 8.20 E-07 1.98 E-06 3.06 E-06 35 90 2.14 E-06 1.31 E-22 3.06 E-06
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55
Fig. 5.10 Modello trave completa agli elementi finiti.
5.4.3 Carichi inerziali
Abaqus consente di applicare i carichi inerziali mediante il comando “Load → Inertia Relief”. Questo comando serve a bilanciare una struttura non vincolata e soggetta a carichi esterni; questo serve a simulare il movimento della vela solare con la massa [16]. E’ quindi importante specificare la densità di ogni componente nella sezione “material” e le masse concentrate che simulano il sistema di controllo, il payload, e tutti gli altri sottosistemi necessari al funzionamento del satellite; per inserire le masse concentrate si utilizza il comando presente nella sezione “Interaction, Special → Create Inertia → Point/Mass Inertia”, dando rispettivamente le masse descritte nel paragrafo
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Fig. 5.10 Modello vela solare con forze incidenti e riflesse e inertia relief (in verde).
5.4.4 Pressione reale dei raggi riflessi
Per quanto riguarda i raggi riflessi, prima di procedere in Abaqus, è stato necessario un calcolo primario sulla composizione delle forze e sulla direzione del vettore normale. Facendo riferimento ai coefficienti, riportati di seguito per comodità:
Coefficienti 𝒓̃ s Bf Bb ef eb
MSFC 2004 0.91 0.94 0.79 0.67 0.025 0.27
Tab. 5.6 Coefficienti caratteristici della vela solare
Il calcolo delle forze viene fatto per mezzo delle formule:
57 𝑓𝑛𝑧𝑅𝐼𝐹𝐿 = 𝑓 𝑛− 𝑃 𝑐𝑜𝑠2𝛼 con 𝒇𝑛 = 𝑃𝐴 { (1 + 𝑟̃𝑠)𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 𝐵𝑓 (1 − 𝑠)𝑟̃ 𝑐𝑜𝑠𝛼 + (1 − 𝑟̃) 𝜀𝑓𝐵𝑓− 𝜀𝑏𝐵𝑏 𝜀𝑓− 𝜀𝑏 𝑐𝑜𝑠𝛼} 𝒏
Sommando le risultanti lungo t e lungo n, tra i raggi incidenti e quelli riflessi, e applicando il Teorema di Pitagora si ottiene il vettore risultante agente sulla superficie della vela. Per trovare la direzione del vettore risultante, in questo caso è sufficiente trovare l’inclinazione della risultante rispetto al vettore normale della vela come in
Fig.4.1 e per mezzo dell’equazione:
𝜃 = 𝑡𝑔−1𝑓𝑡
𝑓𝑛
α [deg] Φ [deg] 𝜃 [deg] Intensità incidente [N] Intensità incidente [N]
0 n.d 0 4.56 E-06 4.53 E-06
35 0 24.27 3.74 E-06 2.85 E-06
35 45 24.27 3.74 E-06 2.85 E-06
35 22.5 24.27 3.74 E-06 2.85 E-06
35 90 24.27 3.74 E-06 2.85 E-06
Tab. 5.7 Calcolo angolo di cono per una vela
si procede ora con il calcolo dei versori da inserire a sua volta in Abaqus:
α [deg] Φ [deg] 𝜃 [deg] vx vy vz
0 n.d 0 0.00 n.d. 4.53 E-06
35 0 24.27 1.17 E-06 2.85 E-06 2.59 E-06 35 45 24.27 1.17 E-06 2.01 E-06 2.59 E-06 35 22.5 24.27 1.17 E-06 2.63 E-06 2.59 E-06 35 90 24.27 1.17 E-06 1.74 E-22 2.59 E-06
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E’ stata inoltre aggiunta un’ulteriore analisi con α = 15°
α [deg] Φ [deg] 𝜃 [deg] vx vy vz
15 90 15.1 9.77 E-07 2.30 E-22 3.62 E-06
Tab. 5.9 Calcolo versori con α = 15°
5.5 Risultati ottenuti
In questo paragrafo verranno esposte tutte le soluzioni ottenute comprese di: deformazioni della vela, forze e momenti a cui è sottoposta la membrana e, infine, aggiornamento del modello matematico.
5.5.1 Deformazioni della vela con i rispettivi momenti e forze
Di seguito verranno riportate le deformazioni delle vele ideali e reali con le rispettive forze e i rispettivi momenti a cui è sottoposta. Per una valutazione migliore sulla differenza tra comportamento ideale e reale, si è deciso di accoppiare le immagini rispettivamente della vela ideale e vela reale per ogni angolo. Si precisa che il tempo in secondi non è un tempo reale, ma un semplice tempo di analisi di Abaqus.
Per comodità verranno riportati solo i valori degli sforzi al completamento della convergenza.
59 - Vela ideale con α = 0°
Fig. 5.11 Deformazioni, in m, vela ideale con α = 0°
60
Fig. 5.13 Momenti, in Nm, vela ideale con α = 0°
Tempo t [s] Fx [N] Fy [N] Fz [N]
2.00
-18.26 E-18 -5.41 E-15 -3.64 E-03
Mx [Nm] My [Nm] Mz [Nm]
547.41 E-12 -9.46 E-12 24.25 E-12
61 - Vela reale con α = 0°
Fig. 5.14 Deformazioni, in m, vela reale con α = 0°
