Calcolo della resistenza di contatto

Notiamo che i nanotubi continuano ad essere schematizzati come segmenti, e in uno spazio tridimensionale la probabilità che essi si intersechino è quasi nulla, ovvero la probabilità relativa a tale evento è 0 nonostante esso non sia impossibile (in realtà, il programma colloca i nanotubi in uno spazio discretizzato, quindi la probabilità che due segmenti disposti casualmente si intersechino è molto piccola ma non nulla). La principale dierenza rispetto al caso in due dimensioni consiste proprio nell'assenza di intersezioni e nella presenza di resistenze di contatto tra i nanotubi. Come visto in precedenza, esse valgono: Rcontact= h 2e2 · 1 M τ

dove M è in numero di modi di conduzione e τ la probabilità di trasmissione. Que- st'ultima assume l'espressione:

τ =    exp− dvdW dtunnel  0≤d≤r1+r2+dvdW exp−d−r1−r2 dtunnel  r1+r2+dvdW≤d≤r1+r2+dcutof f   

dove r1 e r2 sono i raggi, d è la distanza tra gli assi dei due nanotubi, dvdW è la distanza

di van der Waals e dtunnelè la lunghezza caratteristica di tunneling. La quantità d−r1−r2

indica pertanto la distanza tra le superci del nanotubo (si vedrà in seguito che questo non è in realtà sempre vero).

Fissati M,∆E,r1,r2, ciò che determina la resistenza di contatto è la distanza d. Si

procede ora pertanto ad elaborare un algoritmo per il calcolo la distanza tra due segmenti genericamente disposti nello spazio.

3.2.2.1 Calcolo della distanza d

Consideriamo una retta r passante per i punti A ≡ (x1, y1, z1)e B ≡ (x2, y2, z2) e una

Figura 3.22:

Vogliamo ricavare le coordinate dei punti J e K tali che JK rappresenti la minima distanza tra le rette r e s. Descriviamo ciascuna di tali rette con una coppia di equazioni, una che fornisce y in funzione di x e l'altra che fornisce z in funzione di x.

Equazioni della retta r:      y = ar(x − x1) + y1 z = br(x − x1) + z1 con ar = _xy2₂−y_−x1₁ e br = z_z2₂−z_−z1₁

Equazioni della retta s:      y = as(x − x3) + y3 z = bs(x − x3) + z3 con as = y_x4₄−y−x33 e bs= z4−z3 z4−z3

Ci poniamo come obiettivo il calcolo della distanza tra le due rette, ovvero la lunghezza del segmento più corto che congiunge le rette stesse. Consideriamo un generico punto V

di ascissa ˚xsulla retta r e un generico punto W di ascissa_bxsulla retta s. Calcoliamo ora,

tramite il teorema di Pitagora, il quadrato della lunghezza del segmento che congiunge tali punti: V W2(˚x,x) = (˚b x −bx) 2_{+ [y(˚x) − y(} b x)]2+ [z(˚x) − z(bx)] 2 = = (˚x −_bx)2+ [ar(˚x − x1) + y1− as(bx − x1) − y3] 2 + [br(˚x − x1) + z1− bs(x − xb 1) − z3] 2

V W risulta essere funzione delle ascisse dei due punti. E' facile notare che tale funzione

è continua e derivabile in ogni punto e che: lim ˚x→+∞V W 2 (˚x,x) = +∞_b lim b x→+∞V W 2 (˚x,x) = +∞_b lim ˚x→−∞V W 2 (˚x,x) = +∞_b lim b x→−∞V W 2 (˚x,x) = +∞b

E' evidente che tale funzione ammette pertanto minimi relativi, dei quali uno sarà il minimo assoluto. Si deniscono i seguenti parametri:

k = y1− y3− as(x − xb 3)

w = z1− z3− bs(x − xb 3)

r = y3− y1− ar(˚x − x1)

t = z3− z1− br(˚x − x1)

I punti stazionari della funzione si ottengono ponendo uguali a 0 le derivate parziali della stessa: δ δ˚xV W 2 (˚x,x) = 2(˚_b x −x) + 2a_b r[ar(˚x − x1) + k] + 2br[br(˚x − x1) + w] = 0 δ V W2(˚x,x) = 2(˚x −x) + 2as[as(x − x3) + r] + 2bs[bs(x − x3) + t] = 0

Dal sistema sopra riportato si ricava: ˚xmin= b2_s(x3+ ary3+ a2rx1− ary1) + −br(z1− z3) 1 + a2s
+ asx3(as− ar) b2 s(a2r+ 1) − 2bs(arbras− br) + a2s(b2r+ 1) − 2aras+ a2r+ b2r + + a 2 sb2rx1+ ar(y3− y1) + x1 a2r+ b2r
+ as(y1− y3− arx1) b2 s(a2r+ 1) − 2bs(arbras− br) + a2s(b2r+ 1) − 2aras+ a2r+ b2r + +bs[(z1− z3) (1 + aras) − br(x1+ x3) + as(y1− bry3− 2arbrx1)] b2 s(a2r+ 1) − 2bs(arbras− br) + a2s(b2r+ 1) − 2aras+ a2r+ b2r b xmin = b2_r(x1+ asy1+ a2sx3− asy3) + −bs(z3− z1) 1 + a2r
+ arx1(ar− as) b2 s(a2r+ 1) − 2bs(arbras− br) + a2s(b2r+ 1) − 2aras+ a2r+ b2r + + a 2 rb2sx3+ as(y1− y3) + x3 a2s+ b2s
+ ar(y3− y1− asx3) b2 s(a2r+ 1) − 2bs(arbras− br) + a2s(b2r+ 1) − 2aras+ a2r+ b2r + +br[(z3− z1) (1 + aras) − bs(x1+ x3) + ar(y3− bsy1− 2asbsx3)] b2 s(a2r+ 1) − 2bs(arbras− br) + a2s(b2r+ 1) − 2aras+ a2r+ b2r

Dato che la soluzione del sistema è unica, questa fornisce il minimo assoluto della funzione cercato. J e K, come già detto, sono i punti di r e s che minimizzano la distanza tra le rette:

J = V (˚xmin, y(˚xmin), z(˚xmin))

K = W (xbmin, y(bxmin), z(xbmin))

Per calcolare la minima distanza tra le rette, è suciente sostituire i valori delle ascisse

trovate nell'equazione V W2(˚x,_bx)ed estrarre la radice quadrata del valore trovato:

J K = q

V W2(˚xmin,xbmin)

Si vuole ora calcolare la minima distranza tra i due segmenti AB e CD. Analizziamo tre dierenti casi.

CASO 1

Supponiamo che J  AB e K  CD come in gura 3.22. E' del tutto evidente che se

J K rappresenta la minima distanza tra le rette r e s, essa rappresenta anche la minima

distanza tra AB e CD.

Pertanto, dati due segmenti AB e CD, si applica il procedimeno descritto in precedenza per trovare i punti J e K, e successivamente si verica che questi appartengano ai suddetti segmenti, ovvero che siano vere le condizioni:

xA≤ xJ ≤ xB

xC ≤ xK ≤ xD

Se le disequazioni sopra riportate sono vericate, JK è la minima distanza tra AB e

CASO 2

Si supponga che almeno uno tra i punti J e K non appartenga ai due segmenti. Cominiciamo l'analisi del caso con una breve dimostrazione.

Consideriamo una retta r passante per i punti 1 ≡ (x1, y1, z1) e 2 ≡ (x2, y2, z2) e un

punto M ≡ (xM, yM, zM)esterno ad essa.

Equazione della retta r:      y = ar(x − x1) + y1 z = br(x − x1) + z1 con ar = _xy2₂−y−x11 e br = z2−z1 z2−z1 Figura 3.23:

Supponiamo di voler trovare la minima distanza tra M e r. Tracciamo il piano α per- pendicolare a r passante per M che interseca la retta stessa in un punto N: quest'ultimo è tale che MN sia la minima distanza cercata.

Figura 3.24:

Per dimostrarlo, supponiamo per assurdo che esista un punto L  r e diverso da N tale che ML < MN. Applicando il Teorema di Pitagora risulta:

M L2 = M N2+ N L2

Che implica ML > MN, il che è in aperta contraddizione con quanto detto prima. Per calcolare le coordinate di N, imponiamo che il vettore che rappresenta la retta r sia perpendicolare al vettore MN, ovvero poniamo uguale a 0 il prodotto scalare:

(1 ar br) · (xM − xN yM − yN zM − zN)

Imponendo l'ulteriore condizione che il punto N si trovi sulla retta r, si ricava il sistema:      (xM − xN) + ar(yM − yN) + br(zM − zN) = 0 y = ar(xN− x1) + yr z = br(xN − x1) + zr Che ha soluzione:

       xN = xM+aryM+brzM−brz1+b 2 rx1 1+a1+b1 yN =

arbrzM+a2ryM+arxM−arbrz1−a2rx1+ary1−arx1+b21y1+y1

1+a1+b1

zN = b

2

rzM+arbryM+brxM+arz1+z1−arbrx1−brx1

1+a1+b1

Consideriamo ora l'immagine sottostante:

Figura 3.25:

Abbiamo come nel caso 1 due rette r e s su cui giacciono due segmenti AB e CD. La lunghezza del segmento JK rappresenta ancora una volta la minima distanza tra r e s, ma poichè J non appartiene ad AB, JK non è la minima distanza tra i due segmenti (si potrebbe supporre senza perdita di generalità anche che K non appartenga a CD, l'analisi che segue resterebbe quasi la medesima).

Prendiamo ora un generico punto E sul segmento AB e cerchiamo la minima distanza tra questo punto e la retta s. Per farlo, come illustrato in precedenza, tracciamo il piano perpendicolare a s passante per il punto E, che interseca s stesso in un punto F. La minima distanza cercata è EF , e se F  CD, questa rappresenta anche la minima distanza tra E e CD.

Figura 3.26:

Ci chiediamo ora come vari la minima distanza tra E e CD variando la scelta del punto E. È piuttosto evidente che se la distanza del punto E da J aumenta, aumenta anche la distanza del punto F da K. Dall'analisi svolta nel caso 1 ricaviamo che il valore della funzione che esprime la lunghezza di un generico segmento aumenta se entrambi i punti tendono ad allontanarsi dai punti di minima distanza J e K (la funzione tende a innito per entrambe le variabili che tendono a innito sia in senso positivo che negativo e non ci sono altri punti stazionari). Pertanto, se E si allontana da J, F si allontana da K, e la lunghezza del segmento EF cresce. Per minimizzare EF , è pertanto necessario scegliere E in modo tale che EJ sia minimo. Nell'esempio sopra, il punto del segmento AB che minimizza EJ è chiaramente B. Chiamiamo G il punto F corrispondente a B.

Figura 3.27:

Abbiamo pertanto considerato il minimo valore della distanza di ogni punto del seg- mento AB dal segmento CD, e abbiamo trovato che il minimo di tali minimi si ha in corrispondenza del punto B. Possiamo ripetere il medesimo ragionamento invertendo il ruolo dei segmenti: consideriamo ora il minimo valore della distanza di ogni punto del segmento CD dal segmento AB, e troviamo il minimo di tali minimi. Ragionando come in precedenza, si dovrebbe scegliere un punto E del segmento CD che sia il più possibile vicino a K, stando però attenti al fatto che il corrispondente punto F deve appartenere segmento AB (è infatti facile vericare che se come punto E si seleziona proprio K, il punto F risulta essere J, che non appartiene ad AB). Il punto che soddisfa questa carat- teristica, che indichiamo con H, è quello che ha come punto F corrispondente il punto B, che è il punto del segmento AB più vicino a J.

Figura 3.28:

Abbiamo trovato il punto di AB che ha minore distanza minima da CD e il punto di CD che ha minore distanza minima da AB. La minore di queste due distanze (BG e BH) è chiaramente la minima distanza tra AB e CD. Poichè BG è perpendicolare a

CD si può applicare il Teorema di Pitagora:

BG2+ GH2 = BH2

da cui risulta che BG < BH, il che implica che la minima distanza tra AB e CD è BG. L'unico problema che rimane da risolvere consiste nell'individuazione del punto B: sappiamo infatti che esso è uno degli estremi dei segmenti, ma non sappiamo quale (non è possibile dedurre intuitivamente la posizione relativa dei segmenti senza svolgere dei calcoli). Per semplicità, si ricavano le distanze tra ciascun estremo e il punto F corrispondente (se esistente) e di queste si prende la minima.

CASO 3

Nel caso 2 si è dato per scontato che è sempre possibile trovare un punto E su uno dei due segmenti tale che un piano perpendicolare al segmento stesso passante per E

interseca l'altro segmento in un punto F. In realtà questo non è necessariamente vero, come si può constatare nell'immagine sottostante:

Figura 3.29:

I piani perpendicolari ad AB passanti per A e B non intersecano il segmento CD (e di conseguenza, non intersecano il segmento CD nemmeno i piani perpendicolare passanti per gli altri punti di AB). Un analogo discorso vale per C, D, e i punti tra essi compresi. In questa situazione, ripetiamo il ragionamento eettuato nel caso 2. Scegliamo due generici punti E e F sui segmenti AB e CD: se E si allontana da J e F si allontana da K, la lunghezza del segmento EF aumenta. Pertanto, la minima distanza tra AB e CD è la lunghezza del segmento che ha per estremi i punti di AB e CD che sono più vicini a J e K, ovvero gli estremi B e D:

Figura 3.30:

Per trovare la minima distanza, pertanto, si calcolano le lunghezze di tutti i segmenti che congiungono l'estremo di un segmento a un estremo dell'altro, e di queste si prende quella minore.

DISTANZA TRA LE SUPERIFICI DEI NANOTUBI

Nel calcolare il parametro d, i nanotubi sono stati schematizzati come segmenti, quando essi sono in realtà cilindri. La distanza d può essere pertanto vista come la minima distanza tra gli assi dei nanotubi, e non tra i nanotubi stessi.

E' piuttosto facile vedere che nel caso 1 la minima distanza tra due nanotubi di raggio

r1e r2, che rappresenta anche lo spessore della barriera di potenziale, è data da:

s1 = d − r1− r2

Questo è anche il valore che è stato impiegato per il calcolo del coeciente di trasmis-

segmento di lunghezza d che collega gli assi dei nanotubi non è perpendicolare ad en- trambi. Consideriamo l'immagine 3.27, relativa al caso 2: il segmento BG di minima

distanza è perpendicolare al segmentoCD, ma non al segmentoAB. Dettor1 il raggio

del nanotubo AB er2quello del nanotubo CD, la minima distanza tra le superci dei

nanotubi è data da:

s2 = d − r1sinα − r2

dove α rappresenta un angolo che tiene conto dell'inclinazione del nanotubo AB rispetto al nanotubo CD. Nell'immagine 1.75, relativa al caso 3, si verica la medesima situazione, con la dierenza che il segmento di minima distanza non è perpendicolare nè ad AB, nè a CD. In questo caso, la minima distanza tra i nanotubi è:

s3 = d − r1sinα − r2sinβ

dove α e β tengono conto dell'inclinazione dei nanotubi.

Pochè la lunghezza di un nanotubo è normalmente molto maggiore del suo raggio, è facile vedere che il caso di gran lunga più frequente è il numero 1, mentre i casi 2 e 3 si vericano molto di rado (è improbabile che la minima distanza tra due nanotubi sia in corrispondenza dell'estremo di uno dei due o addirittura di entrambi). Pertanto, dato

che il calcolo degli angoli α e β è piuttosto complesso, si è deciso di porreα = 45o _e

β = 45o per qualsiasi coppia di nanotubi. Si ha quindi:

s2 = d − √ 2 2 r1− r2 s2= d − √ 2 2 (r1+ r2)

Nota: è possibile mostrare che, se nel caso 2 il punto G si trova in prossimità del punto C o del punto D (vedi gura 3.27), si ha:

s2 = d − r1sinα − r2sinβ

come per il caso 3. Essendo però tale caso molto improbabile, si è deciso di trascurarlo nel calcolo del coeciente di trasmissione.

DISTANZA DI CUTOFF E ALTRI PARAMETRI

Seguendo l'esempio visto nel capitolo 2, se la minima distanza d tra due nanotubi

innita e non inserita nel circuito, mentre se risulta inferiore alla distanza di van der

Walls (dvdW), essa viene ssata a quest'ultimo valore, al di sotto del quale non può

scendere per le ragioni esposte nel capitolo 2. Le distanze dcutof f e dvdW e i parametri

M e ∆E vengono ssati a tempo di compilazione, e possono essere cambiati dall'utente

solo modicando il programma prima dell'esecuzione. Le distanze di cuto e di van der Walls scelte per ricavare tutti i graci che verranno mostrati in seguito sono le stesse del capitolo 2:

dvdW = 0, 34nm

dcutof f = 1, 4nm

3.2.3 Mappa della rete

Come nel caso bidimensionale, viene costruita una mappa della rete che contenga un elenco dei punti "nodes", una lista di punti vicini "next_nodes" e una lista di conduttanze adiacenti "G". Rispetto al caso bidimensionale, sussiste tuttavia una dierenza: i nodi della rete non nascono dall'intersezione di segmenti, ma dalla presenza di contatti elettrici tra nanotubi. Ogni volta che una resistenza di contatto viene calcolata, il reciproco di questa questa viene aggiunta ad una lista "G_C" in cui vengono incluse anche le coordinate degli estremi della resistenza stessa. Nel momento in cui nella mappa della rete viene inserito l'estremo di una resistenza di contatto, in "next_nodes" vengono inseriti i punti vicini dell'unico nanotubo a cui il punto appartiene e l'altro estremo presente in "G_C". La lista "G" viene aggiornata in maniera analoga, inserendo le conduttanze vicine presenti sul nanotubo che include il punto e la conduttanza di contatto ricavata sempre da "G_C". Ad esempio, considerando i nanotubi AB e CD in gura 1.67, si ottiene la seguente mappa dei nodi: