A I processi di conteggio
A.3 Cambio aleatorio di tempo nel processo di Poisson
A.3 Cambio aleatorio di tempo nel processo di Poisson
Supponiamo che tutti i processi presi in considerazione siano de niti su uno spazio di probabilità (Ω, F, P ) e che siano misurabili come mappe a valori nello spazio D = D([0, +∞), R) delle funzioni càdlàg con la topologia J1 di Skorokhod e la sua associataσ-algebra di Borel generata dagli aperti.
Nel Capitolo 1 abbiamo voluto costruire dei processi che descrivessero la dinamica discontinua di una popolazione di individui. Mettiamoci nel caso di sole nascite, cioè nella situazione di dover costruire un processo (X(t))t≥0 che descriva l'andamento di
una popolazione i cui individui si riproducano secondo una funzione del loro numero. Consideriamo (N(t))t≥0 un processo di Poisson standard e X(0) una variabile aleatoria
ad esso indipendente. Un modo per modellizzare le nascita sarebbe
B(t) = N Z t 0 λ(X(s), s)ds , t ≥ 0. In questo modo X(t) = X(0) + B(t).
Come abbiamo accennato in precedenza, questa de nizione è ricorsiva. Non veri cheremo nei dettagli che questa sia, in eetti, una buona de nizione, ma lasciamo alcuni riferimenti per approfondire la teoria del random time change, ad esempio [1], [2], [4].
Abbiamo
Lemma A.5. Il processo (Xt)t costruito come
X(t) = X(0) + B(t), t ≥ 0, è ben de nito come elemento aleatorio di D.
Teorema A.6. (Decomposizione di Doob-Meyer)
Se Y è una submartingala a traiettorie positive, E[Yt] < ∞per ogni t e Y è adattata alla
ltrazione (Ft)t, allora esiste un processo A che sia Ft-prevedibile detto compensatore di
Y tale che le sua traiettorie siano positive e debolmente crescenti, E[At] < ∞ per ogni
t, e Mt := Yt− At sia una Ft-martingala. Il conmpensatore è unico nel senso che due
versioni hanno traiettorie uguali quasi certamente. Per la dimostrazione rimandiamo a [8].
Se M è una martingala di quadrato integrabile, cioè E[M2
t] < ∞ per ogni t, allora
M2 è una submartingala che veri ca le ipotesi del Teorema A.6. Denotiamo con hMi t il
compensatore di M2, detto anche variazione quadratica prevedibile. Il processo hMi t è
ben de nito per tutte le martingale localmente a quadrato integrabile.
Date due martingale di quadrato integrabile X e Y , diciamo covariazione quadratica prevedibile il processo
hX, Y it= 1
4(hX + Y it− hX − Y it), che ha la proprietà di essere il compensatore di XtYt.
In generale, i processi [M]te hMit sono diversi, il secondo è prevedibile, ma il primo
Teorema A.7. Siano X, Y martingale locali con X0 = Y0 = 0. Allora esiste un unico
processo [X, Y ]tcon traiettorie a variazione nita su intervalli limitati tale che [X, Y ]0=
0 e
• XY − [X, Y ]è una martingala locale, • J [X, Y ] = (J X)(J Y ).
Equivalentemente
Teorema A.8. Siano X, Y martingale locali con X0 = Y0= 0. Allora
[X, Y ]t= P − lim k→∞ n−1 X j=0 Xtk j+1∧t− Xtkj∧t Ytk j+1∧t− Ytkj∧t ,
quando il limite esiste ed è indipendente dalle partizioni {0 = tk
0 < tk1 < · · · < tkn = T }
con passo in nitesimo per k → ∞.
Quindi [X]t = [X, X]t. Se X è una martingala localmente di quadrato integrabile,
allora sia X2− hXiche X2− [X]sono martingale locali. La dierenza è però il fatto che
[X] non è prevedibile. Sottraendo troviamo che [X] − hXi è anch'esso una martingala locale, quindi hXi è contemporaneamente il compensatore di X2 e [X]. Nel caso X sia
continua, allora [X] = hXi = [X]c.
Lemma A.9. (Variazione quadratica per processi a salti unitari)
Se N è un processo di conteggio non esplosivo e a salti unitari, adattato alla ltrazione Ft, con E[N(t)] < ∞ per ogni t, e se il compensatore A di N dato dal Teorema A.6 è continuo, allora il processo M ≡ N − A è una F-martingala a quadrato integrabile con variazioni quadrate date da
hM i = A, [M ] = N. Rimandiamo a [4] per la dimostrazione.
Nella costruzione che abbiamo visto, il processo N
Rt
0λ(X(s), s)ds
ha traiettorie positive e debolmente crescenti. Esso è quindi una submartingala rispetto alla propria ltrazione naturale. Sottraendo il compensatore, possiamo ottenere una martingala M. Questa martingala risulta inoltre di quadrato integrabile, ammettendo rappresentazione M2− hM i, dove hMi è la variazione quadratica prevedibile che in questo caso coincide col compensatore.
Per procedere nella costruzione dobbiamo fare attenzione alle ltrazioni. In questo contesto dobbiamo usare il completamento di
Ft= σ X(0), N Z t 0 λ(X(s), s)ds : 0 ≤ s ≤ t , t > 0. Si può dimostrare che
M (t) ≡ N Z t 0 λ(X(s), s)ds − Z t 0 λ(X(s), s)ds
sia una martingala rispetto a questa ltrazione. Quindi possiamo scrivere una nuova rappresentazione
X(t) = X(0) + M (t) + Z t
0
A.3. CAMBIO ALEATORIO DI TEMPO NEL PROCESSO DI POISSON 39
Lemma A.10. (Random time change per processi Poisson standard)
Sia N un processo Poisson standard rispetto alla nltrazione Fte sia (Λt)t≥0un processo
stocastico con traiettorie continue, debolmente crescenti, positive, tale che Λt sia tempo
d'arresto rispetto a Ft per ogni t ≥ 0. Inoltre, supponiamo che
E[Λt] < ∞, E[NΛt] < ∞, t ≥ 0.
Allora N ◦ Λ = (NΛt)t≥0 è un processo di conteggio non esplosivo a salti unitari tale che
M ≡ N ◦ Λ − Λè una FΛ-martingala a quadrato integrabile, con variazioni quadratiche
hM it= Λt, [M ]t= NΛt.
Appendice B
Sul modello FKPP
Abbiamo osservato nel Capitolo 3 che l'equazione FKPP ∂
∂tu(t, x) = 1
2∆u(t, x) + (1 − u(t, x))u(t, x), u(x, 0) = u0(x), (B.1) non veri ca le ipotesi di limitatezza richieste dai risultati di convergenza che abbiamo enunciato, infatti il termine non lineare (1 − u)u ha crescita quadratica.
B.1 Regioni invarianti per FKPP
Per estendere la validità dei teoremi di convergenza anche al modello FKPP, abbiamo bisogno di dimostrare separatamente che le soluzioni di (B.1) siano limitate, a meno di scegliere delle condizioni iniziali opportune. Eettivamente questo è possibile:
Teorema B.1. L'equazione (B.1) con condizione iniziale u0 ∈ [0, 1] di classe UCb2(Rd)
ammette una e una sola soluzione u ∈ [0, 1], anch'essa di classe UC2
b(Rd) per ogni t.
Dimostrazione. Diamo solo un'idea della dimostrazione, si veda [5]. Passo 1. Si dimostra il teorema per l'equazione ausiliaria
∂ ∂tu =
1
2∆u + (1 − u)u + h(u)
dove h è una funzione regoalre, tale che h(0) > 0, h(1) < 0. Questo passo si divide in tre parti ulteriori.
Passo 1a. Si dimostra che l'equazione generale ∂
∂tu = 1
2∆u + f (u)
ammette esistenza ed unicità locale di soluzioni deboli se f è regolare.
Ciò si può fare osservando che se f = 0 si ha esistenza e unicità della soluzione u(t, x) =
Z
Rd
G(t, x − y)u0(y)dy = (G(., t) ∗ u0)(x),
con G nucleo dell'equazione del calore
G(t, x) = (4πkt)−d/2exp −|x| 2 4kt . 41
Costruiamo l'operatore Pt: Cb0(Rd) → Cb0(Rd) dato da
Pt(v)(x) = (G(., t) ∗ v)(x).
Se f ∈ C0([0, T ], U C2
b(Rd)) si può mostrare che esiste una e una sola soluzione classica
dell'equazione generale, essa si scrive come
u(t, x) = (Ptu0)(x) +
Z t 0
(Pt−sf (s))(x)ds.
Passo 1b. Si dimostra che le soluzioni deboli di (B.1) sono anche soluzioni classiche se u0 è regolare.
Le soluzioni deboli dell'equzione ausiliaria sono quelle di classe C0
b che soddisfano puntualmente u(t, x) = (Ptu0)(x) + Z t 0 (Pt−sf (s))(x)ds.
Proposizione B.2. Se u è una soluzione classica, allora è anche soluzione debole. Se u è soluzione debole e u0 ∈ U Cb2(Rd) allora u è soluzione classica.
Teorema B.3. Supponiamo che il termine non lineare f nell'equazione generale sia una funzione continua, localmente lipschitziana. Sia u0 ∈ U Cb2(Rd). Allora esiste una
soluzione debole dell'equazione generale su un intervallo [0, τ], la cui ampiezza dipende solo dalla norma uniforme di u0.
Dimostrazione. Si veda [5].
Passo 1c. Per l'equazione ausiliaria è possibile fornire una stima a priori in norma uniforme, cioè se u0(x) ∈ [0, 1] allora u(x, t) ∈ [0, 1]. Questo conclude la dimostrazione
per l'equazione ausiliaria.
Per questo risultato si può utilizzare l'approccio delle regioni invarianti, si rimanda a [5] e al lavoro [11], cap.14, per i dettagli. Diamo uno schema nel seguito.
Supponiamo che u sia una soluzione di ∂
∂tu = 1
2∆u + (1 − u)u + h(u)
su un intervallo [0, T ]. Per assurdo, supponiamo che u0 ∈ [0, 1]e che [0, 1] non sia inva-
riante, cioè esista (t0, x0) tale che u(t0, x0) 6∈ [0, 1].
Si può dimostrare (omettiamo la dimostrazione, si veda [5] pag.114 e seguenti) che esiste un tempo t0 ∈ [0, T ]tale che
1. t0 > 0,
2. u(t, x) ∈ [0, 1] per ogni x ∈ Rde ogni t ∈ [0, t 0],
3. u(t0, x0) ∈ {0, 1}per qualche x0 ∈ Rd.
Separiamo i casi della condizione (2). Se u(t0, x0) = 1, deduciamo: