Un approccio stocastico allo studio della dinamica limite di sistemi di particelle moderatamente interagenti

UNIVERSITÀ DI PISA

Dipartimento di Matematica

Corso di Laurea Magistrale in Matematica

Tesi di Laurea

UN APPROCCIO STOCASTICO

ALLO STUDIO DELLA DINAMICA LIMITE

DI SISTEMI DI PARTICELLE

MODERATAMENTE INTERAGENTI

Relatore: Candidato:

Prof. Franco Flandoli Gianluca Finocchio

Controrelatore: Prof. Dario Trevisan

Alla mia famiglia

Indice

Introduzione vii

1 Il modello generale 1

1.1 Costruzione del modello . . . 1

1.1.1 Densità per il sistema . . . 1

1.1.2 Interazione "moderata" . . . 2

1.2 Dinamica del sistema . . . 2

1.3 Dinamica limite . . . 5

1.4 Teoremi di convergenza . . . 6

1.4.1 Ipotesi tecniche . . . 6

1.4.2 Enunciati . . . 7

1.5 Risultati ausiliari . . . 8

2 Modello con interazione locale moderata 13 2.1 Dinamica del sistema . . . 13

2.2 Teoremi limite . . . 14

2.2.1 Risultati . . . 14

2.2.2 Dimostrazione del Teorema 2.2 . . . 15

3 Modello puramente proliferativo 25 3.1 Dinamica del sistema . . . 25

3.2 Teoremi Limite . . . 28

3.2.1 Risultati . . . 28

3.2.2 Dimostrazione del Teorema 3.2 . . . 29

A I processi di conteggio 35 A.1 Processo di Poisson standard . . . 35

A.2 Processo di Poisson non omogeneo . . . 36

A.3 Cambio aleatorio di tempo nel processo di Poisson . . . 37

B Sul modello FKPP 41 B.1 Regioni invarianti per FKPP . . . 41

B.2 Troncamento di FKPP . . . 43 C Esistenza, unicità e regolarità delle soluzioni 45

D Dimostrazione del Teorema 1.3 47

Bibliograa 51

Introduzione

In questo lavoro di tesi descriviamo i modelli per sistemi di particelle interagenti discussi da Karl Oelschläger in On the Derivation of Reaction-Diusion Equations as Limit Dy-namics of Systems of Moderately Interacting Stochastic Proceses, analizziamo le tecniche adoperate per la derivazione della dinamica limite e ne verichiamo l'applicabilità in due esempi particolari.

I modelli trattati riguardano una popolazione di circa N ∈ N individui in Rd_{, suddivisi}

in K > 0 specie dierenti, che possono muoversi nello spazio oppure nascere, mutare e morire come conseguenza della loro reciproca interazione.

Ogni particella k occupa una posizione PN,k

t ∈ Rd al tempo t, quindi possiamo

utilizzare il processo empirico

t → S_tN = 1 N X k δ_PN,k t ,

per descrivere il comportamento collettivo degli individui. La somma è da intendersi sugli individui vivi al tempo t ≥ 0.

Studiamo le proprietà di tale processo integrandolo con funzioni test regolari, in particolare ricaviamo l'equazione debole risolta da SN

t grazie alla decomposizione di Itô

di hSN t , φ(., t)i = Z Rd φ(x, t)S_tN(dx) = 1 N X k φ(P_tN,k, t),

in cui possiamo evidenziare i contributi dei vari termini di interazione locale. Otteniamo un sistema di K equazioni se consideriamo separatamente i processi empirici SN,r

t degli

individui appartenenti ad una stessa specie r = 1, . . . , K.

Introducendo delle versioni regolari dei processi empirici abbiamo modo di forma-lizzare l'interazione locale di tipo moderato. Con questa espressione si intende il fatto che il comportamento di ogni individuo dipenda dallo stato della restante popolazio-ne in un intorno macroscopicamente piccolo (di volume innitesimo per N → ∞) e microscopicamente grande (contiene un numero innito di particelle per N → ∞).

Richiediamo che la dinamica spaziale degli individui sia regolata da una equazione dierenziale stocastica della forma

dP_tN,k= FN(PtN,k, t)dt + σrdWtk,

dove Wk_{sono moti browniani indipendenti e il termine F}

N racchiude l'interazione fra le

varie particelle.

Per quanto riguarda invece i processi di nascita, morte e cambio di specie (mutazione), li costruiamo come riscalamenti aleatori di una famiglia di processi di Poisson standard indipendenti. Tale riscalamento viene eettuato con una intensità stocastica che dipende essa stessa dalla storia passata delle particelle.

Siamo interessati al comportamento del sistema di particelle nel limite N → ∞. Un argomento euristico permette di esibire un sistema di equazioni limite e delle soluzioni sr(., t), r = 1, . . . , K, candidate limite dei processi empirici.

Utilizzando delle stime di tipo energia è possibile dimostrare che delle particolari versioni regolari dei processi SN,r

t convergano, coi loro gradienti, alle densità sr(., t) in

norma L2 _{e uniformemente nel tempo.}

Come corollario enunciamo un risultato che garantisca la convergenza di SN,r

t a sr(., t)

in topologia debole* nello spazio M+(Rd) delle misure positive nite su Rd.

L'elaborato è strutturato da una parte principale, contenente i tre capitoli, e da una parte di approfondimenti in forma di appendici.

Nel primo capitolo esponiamo i dettagli di quanto detto in questa introduzione, enun-ciamo i teoremi di convergenza nella massima generalità e dimostriamo alcuni risultati ausiliari che saranno utili nella trattazione dei capitoli successivi.

Nel secondo capitolo trattatiamo nei dettagli un esempio particolare, ci mettiamo nel caso di una singola specie, K = 1, e supponiamo che gli individui siano soggetti esclusivamente ad una dinamica spaziale, quindi non possono riprodursi o morire. Diamo i dettagli delle stime di tipo energia e dimostriamo un teorema di convergenza.

Nel terzo capitolo analizziamo un altro caso particolare, anche questa volta con sin-gola specie, con la dierenza che trascuriamo la componente di interazione locale nella dinamica spaziale e supponiamo che l'unico cambiamento di stato interno possibile sia la proliferazione. Questo caso è interessante perché include il modello FKPP. La trattazione delle stime di tipo energia per questo caso particolare viene solo accennata nell'articolo originale, noi ne verichiamo la validità e dimostriamo un teorema di convergenza anche in questo caso.

La parte di approfondimento è dedicata alla discussione dei maggiori problemi che sorgono nel corso della costruzione dei modelli o delle dimostrazioni dei risultati di convergenza. Approfondiamo i seguenti argomenti:

• Appendice A: la costruzione dei processi di nascita, morte, mutazione; • Appendice B: estensione al modello FKPP dei teoremi di convergenza; • Appendice C: le ipotesi di esistenza, unicità e regolarità utilizzate; • Appendice D: la dimostrazione del secondo teorema di convergenza.

Abbiamo preferito non includere questi dettagli nei capitoli a cui si riferiscono in modo da non appesantirne la trattazione.

Capitolo 1

Il modello generale

In questo capitolo presentiamo nella sua generalità il modello descritto in [9]. Daremo prima le linee guida per la costruzione del processo empirico della popolazione e delle sue regolarizzazioni tramite convoluzione. In seguito imporremo la dinamica spaziale sugli individui per mezzo di un sistema di equazioni dierenziali stocastiche e costruiremo dei processi di conteggio che permettano di sintetizzare la dinamica discontinua della popolazione come insieme. Inne enunceremo i teoremi di convergenza e dimostreremo alcuni risultati ausiliari.

1.1 Costruzione del modello

Consideriamo per ogni N ∈ N una popolazione di circa N individui in Rd_{, supponiamo}

inoltre che questa popolazione sia essa stessa suddivisa in K specie dierenti. Per iden-ticare gli individui, li numeriamo progressivamente con un indice k ∈ N, in modo che per eventuali nuovi nati si utilizzino degli indici mai usati in precedenza.

Denotiamo M(N, r, t) l'insieme degli individui della specie r vivi al tempo t ≥ 0. Analogamente indichiamo con M(N, t) = SrM (N, r, t) l'insieme di tutti gli individui

vivi al tempo t ≥ 0. Indichiamo con PN,k

t ∈ Rd la posizione dell'individuo k ∈ M(N, t)

al tempo t ≥ 0.

Per descrivere le proprietà collettive degli individui appartenenti ad una stessa specie, oppure della popolazione in generale, introduciamo i processi empirici

t → S_tN,r = 1 N X k∈M (N,r,t) δ_PN,k t , r = 1, . . . , N, e t → S_tN = K X r=1 S_tN,r = 1 N X k∈M (N,t) δ_PN,k t ,

dove δx è la misura di Dirac concentrata in x ∈ Rd.

1.1.1 Densità per il sistema

L'ipotesi essenziale del modello è che la dinamica di ogni individuo dipenda dalla congu-razione della restante popolazione in un piccolo intorno. Utilizziamo quindi delle versioni

regolari della misura empirica per trattare questa interazione locale: sN,r(x, t) =  S_tN,r∗ VN  (x), sˆN,r(x, t) =  S_tN,r∗ ˆVN  (x), (1.1) dove ” ∗ ” rappresenta la convoluzione. Le funzioni VN, ˆVN sono densità di probabilità

ottenute tramite riscalamento di opportuna funzione V1 ssata, simmetrica e regolare:

VN(x) = αdNV1(αNx), VˆN(x) = ˆαdNV1( ˆαNx), (1.2)

con

αN = Nβ/d, αˆN = N ˆ

β/d_{, (1.3)}

per parametri β, ˆβ ssati e tali che

0 < β < d

d + 2, 0 < ˆβ < β

d + 1. (1.4)

Osservazione. Come vedremo nel seguito, utilizzeremo il parametro ˆβ per modulare la dipendenza locale dell'interazione fra particelle. Il parametro β sarà invece d'aiuto per formulare i risultati di convergenza.

1.1.2 Interazione "moderata"

Quando parliamo di interazione di tipo moderato intendiamo dire che il comportamento di un individuo dipende dallo stato di tutti quelli contenuti in un intorno macroscopica-mente piccolo, cioè di volume innitesimo per N → ∞, e microscopicamacroscopica-mente grande, che cioè contenga un numero innito di individui nel limite di N → ∞.

Per apprezzare meglio questo concetto, ssiamo le idee supponendo che V1 sia la

funzione indicatrice di B(1, 0), cioè la palla centrata in 0 e di volume unitario in Rd_,

sebbene essa non verichi le ipotesi di regolarità che abbiamo richiesto. In questo caso particolare abbiamo sN,r(x, t) = 1 Nα d N · #  M (N, r, t) ∩ B(α−d_N , x) = numero di particelle di M(N, r, t) in B(α −d N , x) volume di B(α−d N , x) · 1

taglia della popolazione. L'elemento di spazio ∆x = B(α−d

N , x) ha volume pari a α −d N = N

−β_{, quindi innitesimo}

per N → ∞. D'altro canto, se supponiamo che le particelle siano distribuite in maniera regolare, ci si aspetta che al suo interno vi sia una quantità di individui dell'ordine di N α−d_N = N1−β, che tende a innito se N → ∞, dato che β < 1.

In questo senso indendiamo sN,r e ˆsN,r come densità delle sottopopolazioni.

1.2 Dinamica del sistema

Il modello che stiamo costruendo permette di trattare due dinamiche dierenti: • il cambiamento di posizione nello spazio,

1.2. DINAMICA DEL SISTEMA 3

La dinamica spaziale è descritta da un sistema di equazioni dierenziali stocastiche. Sia k ∈ M(N, r, t), imponiamo

dP_tN,k = FN,r(PtN,k, t)dt + σrdWtk, (1.5)

dove Wk _{sono moti browniani in R}d_{standard e indipendenti e, per r = 1, . . . , K, σ} rsono

matrici non degeneri ssate e FN,r funzioni a valori in Rd dipendenti dalla posizione x e

dalle densità ˆsN,q, q = 1, . . . , K, nel seguente modo:

FN,r(x, t) = GN,r(x, t) − K X q=1 DN,qr(x, t)∇sN,q(x, t), GN,r(x, t) = ˜Gr(x, ˆsN,1, . . . , ˆsN,K), DN,qr(x, t) = ˜Dqr(x, ˆsN,1, . . . , ˆsN,K), (1.6)

qui le funzioni ˜Gr e ˜Dqr sono, rispettivamente, a valori in Rd e Rd× Rd. Imponiamo la

restrizione per cui il secondo contributo della funzione FN,r modellizzi la repulsione fra

gli individui, ma non l'attrazione, per evitare che il sistema collassi.

Per quanto riguarda i cambiamenti di stato interno, essi rappresentano una dinamica discontinua della popolazione. Un individuo k ∈ M(N, r, t) in posizione PN,k

t = y può:

• uscire da M(N, r, t) ed entrare in M(N, q, t), q 6= r, con tasso tN,rq(y, t),

• dar vita ad un nuovo individuo k∗ ∈ M (N, q, t)in posizione y, con tasso bN,rq(y, t),

• morire, con tasso dN,r(y, t).

Per i tassi appena introdotti richiediamo la stessa dipendenza locale che abbiamo dato in precedenza: tN,rq(x, t) = ˜tN,rq(x, ˆsN,1, . . . , ˆsN,K), bN,rq(x, t) = ˜bN,rq(x, ˆsN,1, . . . , ˆsN,K), dN,r(x, t) = ˜dN,r(x, ˆsN,1, . . . , ˆsN,K). (1.7) Inoltre ˜ tN,rr ≡ 0, r = 1, . . . , K.

Supponiamo che tutte le funzioni utilizzate ˜

GN,r, ˜DN,rq, ˜tN,rq, ˜bN,rq, ˜dN,r, siano di classe Cb∞. (1.8)

Abbiamo bisogno di costruire dei processi di conteggio che ci permettano di tenere traccia dei cambiamenti nella struttura della popolazione, spendiamo dunque quache pa-rola sulla loro costruzione. L'idea basilare è quella di utilizzare dei processi di Poisson standard indipendenti e riscalarne i tempi utilizzando i tassi precedentemente introdotti, così che i cambiamenti di stato interno avvengano ad istanti casuali che dipendano dallo stato di un individuo e dei suoi vicini.

Consideriamo dunque delle famiglie, indicizzate da k ∈ N, di processi di Poisson stan-dard (Nc,k

N,rq(t))t≥0, (N b,k

N,rq(t))t≥0, (N d,k

seguente riscalamento aleatorio dei tempi, detto in letteratura random time change: t∗,k_N,rq(t) = N_N,rqc,k  Z t 0 1M (N,r,u)(k)tN,rq(PuN,k, u)du  , b∗,k_N,rq(t) = N_N,rqb,k  Z t 0 1_{M (N,r,u)}(k)bN,rq(PuN,k, u)du  , d∗,k_N,r(t) = N_N,rd,k  Z t 0 1M (N,r,u)(k)dN,r(PuN,k, u)du  . (1.9)

Osserviamo che le intensità stocastiche date dai processi

1_{M (N,r,u)}(k)tN,rq(PuN,k, u), 1M (N,r,u)(k)bN,rq(PuN,k, u), 1M (N,r,u)(k)dN,r(PuN,k, u),

dipendono dalla posizione aleatoria dell'individuo k ∈ M(N, r, u), ma quest'ultima a sua volta dipende dalla storia dei salti precedenti. La denizione è quindi ricorsiva ed è ne-cessario dimostrare che sia ben posta. Rimandiamo in Appendice la discussione su questi processi, accenniamo qui al fatto che essi siano procesi di conteggio non esplosivi e con ampiezza di salto unitaria [4].

Possiamo esplicitare il ruolo di questi processi:

hS_tN,r, 1i = hS₀N,r, 1i + 1 N ∞ X k=1  K X q=1 (b∗,k_N,qr(t) + t∗,k_N,qr(t) − t∗,k_N,rq(t)) − d∗,k_N,r(t)  , hS_tN, 1i = hS₀N, 1i + 1 N ∞ X k=1  K X r,q=1 b∗,k_N,rq(t) − K X r=1 d∗,k_N,r(t)  .

Nel seguito useremo la formula di Itô in presenza di processi a salti, la richiamiamo brevemente. Sia f : R → R, diciamo

f (t−) := lim

s↑t f (s),

J f (t) := f (t) − f (t−), l'ampiezza del salto di f in t.

Sia (Xt)t≥0 un processo stocastico. Deniamo la sua variazione quadratica come

[X]t:= P − lim k→∞ n−1 X j=0  X_tk j+1∧t− Xtkj∧t 2 ,

quando il limite in probabilià esiste ed è indipendente dalle partizioni {0 = tk

0 < tk1 <

· · · < tk

n = T } con passo innitesimo per k → ∞. Denotiamo la parte continua della

variazione quadratica con

[X]c_t = [X]t−

X

s≤t

J X_s2. Lemma 1.1. Sia X una semimartingala in Rd_{tale che X}

t, Xt− abbiano valori in U ⊂ R

aperto e f : U × I → Rd _{di classe C}2,1

b . Allora f(Xt, t) è una semimartingala e

f (Xt, t) − f (X0) = Z t 0 ∂ ∂sf (Xs, s)ds + Z t 0 ∇f (Xs−, s−) · dXs+ 1 2 d X i,j=1 Z t 0 ∂2 ∂i∂j f (Xs−, s−)d[Xi, Xj]cs +X s≤t  J f (Xs, s) − ∇f (Xs−, s−) · J Xs  .

1.3. DINAMICA LIMITE 5

Ora che abbiamo tutti gli strumenti necessari, possiamo studiare il comportamento della misura empirica integrandola con funzioni test regolari. Sia quindi φ ∈ C2,1

b (Rd×

R+), denotiamo hµ, fi = R_Rdφ(x)µ(dx) per una misura µ su Rd, abbiamo

hS_tN,r, φ(., t)i = hS₀N,r, φ(., 0)i + Z t 0  S_uN,r, FN,r(., u) · ∇φ(., u) + 1 2 d X m,n=1 (σrσrT)mn∇m∇nφ(., u) + ∂ ∂uφ(., u) −  K X q=1 tN,rq(., u) + dN,r(., u)  φ(., u)  + K X q=1 hS_uN,q, (tN,qr(., u) + bN,qr(., u))φ(., u)i  du + M_N,r1 (φ, t) + M_N,r2 (φ, t), r = 1, . . . , K, (1.10) dove M_N,r1 (φ, t) = 1 N Z t 0 X k∈M (N,r,u) ∇φ(P_uN,k, u) · dW_uk, M_N,r2 (φ, t) = −1 N Z t 0 X k∈M (N,r,u) φ(P_uN,k, u)  K X q=1 (t∗,k_N,rq(du) − tN,rq(PuN,k, u)du) + (d∗,k_N,r(du) − dN,r(PuN,k, u)du)  + 1 N Z t 0 X k∈M (N,r,u) φ(P_uN,k, u)  K X q=1 (t∗,k_N,qr(du) − tN,qr(PuN,k, u)du) + (b∗,k_N,qr(du) − bN,qr(PuN,k, u)du)  . (1.11) I processi M1

N,r(φ, t)e MN,r2 (φ, t)sono martingale rispetto alla ltrazione naturale (Ft)t≥0

generata dal processo

t → (P_tN,k, 1_{M (N,r,t)}(k))χk_t, k ∈ N, r = 1, . . . , K, dove (χk

t)t è l'insieme dei tempi di vita della particella k.

1.3 Dinamica limite

Prima di poter enunciare i risultati di convergenza riguardanti i processi empirici, pos-siamo chiederci quale possa essere la dinamica limite. Euristicamente parlando, se le S_tN,r convergessero, in un senso da specicare, a delle misure Sr con densità regolari sr

rispetto alla misura di Lebegue, allora anche le sN,r convergerebbero alla stessa densità

e lo stesso varrebbe per i gradienti, in quanto prodotto di convoluzione fra SN,r t e una

Seguendo questa idea, se riuscissimo a dimostrare che i termini di martingala fossero trascurabili, ad esempio mostrando che la loro variazione quadratica tenda a 0 per N → ∞, avremmo come candidate le densità soluzioni dell'equazione ottenuta tramite limite formale a partire da (1.10): hsr(., t), φ(., t)i = hs∗_r, φ(., 0)i + Z t 0  sr(., u), F∞,r(., u) · ∇φ(., u) +1 2 d X m,n=1 (σrσrT)mn∇m∇nφ(., u) + ∂ ∂uφ(., u) −  K X q=1 t∞,rq(., u) + d∞,r(., u)  φ(., u)  + K X q=1

hsq(., u), (t∞,qr(., u) + b∞,qr(., u))φ(., u)i

 du,

(1.12)

r = 1, . . . , K, t ≥ 0, e sr densità di S0N,r. Abbiamo usato la notazione

G∞,r(x, t) = ˜Gr(x, s1(x, t), . . . , sK(x, t)),

D∞,qr(x, t) = ˜Dqr(x, s1(x, t), . . . , sK(x, t)),

t∞,rq(x, t) = ˜tN,rq(x, s1(x, t), . . . , sK(x, t)),

b∞,rq(x, t) = ˜bN,rq(x, s1(x, t), . . . , sK(x, t)),

d∞,r(x, t) = ˜dN,r(x, s1(x, t), . . . , sK(x, t)).

L'equazione (1.12) è la formulazione debole di ∂ ∂tsr(x, t) = −∇ ·  sr(x, t)F∞(x, t)  +1 2 d X m,n=1 (σrσrT)mn∇m∇nsr(x, t) −  K X q=1 t∞,rq(x, t) + d∞,r(x, t)  sr(x, t) + K X q=1 (t∞,qr(x, t) + b∞,qr(x, t))sq(x, t), sr(., 0) = s∗r(x), r = 1, . . . , K. (1.13)

Vedremo più avanti un risultato che garantisca in eetti che, per qualche T ∈ (0, ∞), la quantità supt≤T||sN,r(., t) − sr(., t)||22 è innitesima per N → ∞.

1.4 Teoremi di convergenza

1.4.1 Ipotesi tecniche

Assumiamo anche la funzione V1 si possa scrivere come

V1(x) = (W1∗ W1)(x) =

Z

Rd

1.4. TEOREMI DI CONVERGENZA 7

per qualche densità di probabilità W1 simmetrica e tale che

˜

W1 ∈ Cb2(Rd), (1.15)

| ˜W1(λ)| ≤ C exp(−C0|λ|), (1.16)

|∆ ˜W1(λ)| ≤ C(1 + |λ|2)| ˜W1(λ)|, (1.17)

con

v → | ˜W1(vλ)|, v ≥ 0, decrescente per ogni λ ∈ Rd ssato. (1.18)

Abbiamo usato la notazione ˜f (λ) =R

Rdf (x) exp(−iλx)dxche rappresenta la trasformata

di Fourier per funzioni f ∈ L2_(Rd_{). Deniamo inoltre}

WN = NβW1(Nβ/dx), WˆN = N ˆ β_W 1(N ˆ β/d_x), hN,r(x, t) = (SN,r(t) ∗ WN)(x), r = 1, . . . , K. (1.19)

Anche hN(., t) è una densità della popolazione di particelle al tempo t.

Osservazione. Le ipotesi (1.14-1.17) garantiscono che WN, VN, ˆVN ∈ Cb∞ per ogni

N ∈ N. Quindi le funzioni sN,r(., t), ˆsN,r(., t), hN,r(., t) sono regolari e

        ∂k1+···+kd (∂x1)k1. . . (∂xd)kd ˆ sN,r(., t)         ∞ ≤ C(k1, . . . , kd)hStN,r, 1i ˆα k1+···+kd+d N , k1, . . . , kd∈ N, r = 1, . . . , K, t ≥ 0, (1.20)

dove C(k1, . . . , kd) è un termine costante che dipende dagli indici tra parentesi. Vale

l'analoga stima per le altre due densità.

Per quanto riguarda le condizioni sui coecienti di (1.13), supponiamo che esista una matrice simmetrica e denita positiva E = (Eij)i,j=1,...,K, tale che

K X j,q=1 Eij( ˜Dqi(. . . )xq) · xj ≥ 0, i = 1, . . . , K, x1, . . . , xK ∈ Rd, (1.21) e anche K X j,q=1 Eqjxq· (σjσjT)xj ≥ C K X q=1 |x_q|2_{, x} 1, . . . , xK ∈ Rd. (1.22)

In assenza di risultati generali sull'esistenza e l'unicità di una soluzione regolare di sistemi parabolici del tipo (1.13), assumiamo quanto segue:

Esiste T > 0 per cui il sistema (1.13) abbia unica soluzione (s1, . . . , sK)che sia

di classe C∞

b su [0, T ], le funzioni sr siano positive e, insieme a tutte le loro

derivate parziali, integrabili uniformemente in t ≤ T .

(1.23)

Rimandiamo alle Appendici una discussione su tale richiesta.

1.4.2 Enunciati

Teorema 1.2. Assumiamo, oltre a (1.1-1.8), (1.14-1.23), anche

lim N →∞P  K X r=1 ||hN,r(., 0) − s∗r(.)||22 ≥ δ  = 0, ∀δ > 0,

e lim n→∞_{N ∈N}supP h hS₀N, 1i ≥ n i = 0. Allora, per ogni δ > 0, vale

lim N →∞P  K X r=1  sup t≤T ||hN,r(., t) − sr(., t)||22+ Z T 0 ||∇hN,r(., t) − ∇sr(., t)||22dt  ≥ δ  = 0, dove sr(., t), r = 1, . . . , K, è l'unica soluzione (1.13).

Consideriamo sullo spazio M+(Rd)delle misure positive nite su Rd la metrica

d(µ, ν) = sup{hµ − ν, f i : f ∈ C_b1(Rd), ||f ||∞+ ||∇f ||∞≤ 1},

la quale genera la topologia debole* [3].

Teorema 1.3. Nelle ipotesi del Teorema 1.2, se vale

lim n→∞_{N ∈N}supP  K X r=1 D S₀N,r, ψ2 E ≥ n  = 0,

con ψ(x) = log(2 + |x|2_{), allora per ogni δ > 0}

lim N →∞P  K X r=1  sup t≤T d(S_tN,r, s(., t)) ≥ δ  = 0.

Daremo delle dimostrazioni per il Teorema 1.2 nel caso particolare di modelli con sola interazione locale o puramente proliferativi. La dimostrazione del Teorema 1.3 è rimandata invece in Appendice.

In [9] il Teorema 1.2 viene trattato solo nel caso in cui tutte le funzioni in (1.8) siano nulle ad eccezione dei termini ˜DN,qr. Il caso con contributo dei termni proliferativi viene

solo accennato. Noi lo studieremo nel capitolo 3.

1.5 Risultati ausiliari

Enunciamo alcuni risultati che ci saranno utili nel seguito. Cominciamo con semplici proprietà, conseguenza delle costruzioni che abbiamo fatto in precedenza.

Proposizione 1.4. Se h è una funzione su Rd _{a valori reali, allora}

(S_tN,r∗ h)(x) = hSN,r_t , h(x − ·)i. Dimostrazione. (S_tN,r∗ h)(x) = Z Rd h(x − y)S_tN,r(dy) = 1 N X k∈M (N,r,t) h(x − P_tN,k).

Proposizione 1.5. Da (1.14) segue che

1.5. RISULTATI AUSILIARI 9 Dimostrazione. VN(x) = αdNV1(αNx) = αdN(W1∗ W1)(αNx) = αdN Z Rd W1(αNx − y)W1(y)dy = αd_N Z Rd W1(αNx − αNz)W1(αNz)αdNdz.

Corollario 1.6. Dal risultato precedente si ricava facilmente che sN,r(x, t) = (hN,r(., t) ∗ WN)(x).

Proposizione 1.7. (Trasferimento della convoluzione)

Siano h una funzione a valori reali, g una funzione positiva e simmetrica, µ una misura positiva su Rd_{. Se h ∗ g è µ-integrabile, allora}

hµ, h ∗ gi = hµ ∗ g, hi.

Dimostrazione. Possiamo applicare il teorema di Fubini e sfruttare la simmetria di g. hµ, h ∗ gi = Z Rd (h ∗ g)(x)µ(dx) = Z Rd  Z Rd h(y)g(x − y)dy  µ(dx) = Z Rd  Z Rd g(x − y)µ(dx)  h(y)dy = Z Rd  Z Rd g(y − x)µ(dx)  h(y)dy = Z Rd (µ ∗ g)(x)h(y)dy.

Proposizione 1.8. Da (1.15) segue che, se f è una funzione L2_(Rd_),

||f ∗ WN||22 ≤ C||f ||22 Dimostrazione. Abbiamo ||f ∗ W_N||2 2= (2π)d Z Rd | ˜f (λ)|2| ˜WN(λ)|2dλ ≤ (2π)d Z Rd | ˜f (λ)|2| ˜W1(λ/αN)|2dλ ≤ C Z Rd | ˜f (λ)|2dλ.

Presentiamo ora un lemma contenuto in [9]. Lemma 1.9. Supponiamo che f, ∇f ∈ L2_(Rd_{), allora}

||f − f ∗ W_N||2₂ ≤ Cα−2_N ||∇f ||2₂. Vale un risultato analogo con ˆWN e ˆβ.

Sia ora UN(x) = |x|WN(x), per ogni misura µ positiva su Rd e per ogni  > 0 vale

||µ ∗ UN||22 ≤ Cα2−2N ||µ ∗ WN|| 2

2+ hµ, 1i2exp(−C 0

α_N). Inoltre, per ogni misura µ nita su Rd _vale

||µ ∗ ˆVN||22 ≤ ||µ ∗ VN||22 ≤ ||µ ∗ WN||22.

Dimostrazione. ||f − f ∗ WN||22 = Z Rd | ˜f (λ)|2|1 − (2π)d/2W˜N(λ)|2dλ = Z Rd | ˜f (λ)|2|1 − (2π)d/2W˜1(λ/αN)|2dλ = Z Rd | ˜f (λ)|2|1 − (2π) d/2_W˜_1(λ/αN)|2 |λ/αN|2 |λ/αN|2dλ ≤ α−2_N (2π)d||∇ ˜W1||2∞ Z Rd | ˜f (λ)|2|λ|2dλ,

abbiamo usato che ˜W1(0) = (2π)−d/2. L'ipotesi (1.15) ci permette di concludere la prima

parte del lemma. Consideriamo ora ||µ ∗ U_N||2₂= Z Rd  Z Rd µ(dy)WN(x − y)|x − y| 2 dx ≤ Z Rd  Z Rd µ(dy)WN(x − y)  A|x − y|2+ 1 A 2 dx, A > 0. Inoltre vale (2π)−d/2 Z Rd e−iλxWN(x)x2dx = −∆ ˜WN(λ) = −α−2N ∆ ˜W1(λ/αN).

Quindi, usando (1.16,1.17) abbiamo

||µ ∗ UN||22 ≤ (2π)d Z Rd |˜µ(λ)|2     − Aα−2_N ∆ ˜W1(λ/αN) + 1 A ˜ WN(λ)     2 dλ ≤ C Z Rd |˜µ(λ)|2 A 2 α4 N  1 +     λ αN     4 + 1 A2  | ˜WN(λ)|2dλ ≤ C  A2α4−4_N + 1 A2  Z Rd |˜µ(λ)|2| ˜WN(λ)|2dλ + A 2 α4_N Z {|λ≥α1+_N } |˜µ(λ)|2     λ αN     4 | ˜WN(λ)|2dλ  ≤ C  A2α4−4_N + 1 A2  ||µ ∗ W_N||2₂+ A 2 α4_N Z {σ≥α N} ||˜µ||2∞σ4exp(−C0|σ|)αdNdσ  ≤ C(α2−2_N )||µ ∗ WN||22+ hµ, 1i2exp(−C 0 α_N), dove nell'ultimo passaggio abbiamo scelto A = α1−

N .

Resta da mostrare l'ultima parte del lemma. Abbiamo

||µ ∗ ˆVN||22= (2π)d Z Rd |µ(λ)|2| ˜VN(λ)|2dλ = (2π)2d Z Rd |µ(λ)|2| ˜W1(λ/ ˆαN)|4dλ ≤ (2π)2d Z Rd |µ(λ)|2| ˜W1(λ/αN)|4dλ = ||µ ∗ VN||22 ≤ (2π)d Z Rd |µ(λ)|2| ˜W1(λ/αN)|2dλ = ||µ ∗ WN||22,

1.5. RISULTATI AUSILIARI 11

nell'ultimo passaggio abbiamo usato che

(2π)d/2| ˜W1(λ)| ≤ 1,

per la densità di probabilità W1.

Il risultato seguente è estratto dal lavoro [9], ma esso non compare enunciato a parte, anzi la sua dimostrazione indiretta è contenuta nei conti necessari alle stime che vedremo nei capitoli successivi. Abbiamo deciso di evidenziarlo in anticipo, così da alleggerire le dimostrazioni più avanti.

Lemma 1.10. (Tipo commutatore)

Sia µ un misura positiva nita su Rd_{, f una funzione L-lipschitz e g una funzione L}2_(Rd_),

allora µ, |f (g ∗ WN) − (f g) ∗ WN| ≤ L||g||2  Cα2−2_N ||µ ∗ WN||22+ hµ, 1i2exp(−C 0 α_N)  . Dimostrazione. Sriviamo l'integrando come

f (x)(g ∗ WN)(x) − ((f g) ∗ WN)(x) =

Z

Rd

WN(y)(f (x) − f (x − y))g(x − y)dy.

Quindi

|f (x)(g ∗ WN)(x) − ((f g) ∗ WN)(x)| ≤ L

Z

Rd

|g(x − y)| · |y|WN(y)dy = L|g| ∗ UN.

Possiamo concludere

hµ, |f (g ∗ W_N) − (f g) ∗ WN|i ≤ Lhµ, |g| ∗ UNi = Lhµ ∗ UN, |g|i ≤ L||µ ∗ UN||2||g||2,

Capitolo 2

Modello con interazione locale

moderata

In questo capitolo prendiamo in esame un caso semplice del modello generale proposto al capitolo precedente. Ci mettiamo nel caso di una sola specie, cioè K = 1, e trascuriamo la componente di "tipo gradiente" dell'interazione locale insieme a quelle di cambiamento di stato interno. Le proprietà di un modello simile sono state trattate in [10] con un approccio di tipo mean-eld.

2.1 Dinamica del sistema

In questa situazione abbiamo soltanto una dinamica spaziale della forma dP_tN,k = ˜GP_tN,k, ˆsN(PtN,k, t)



dt + dW_tk, k = 1, . . . , N,

(2.1)

dove i Wk _{sono moti browniani in R}d _{indipendenti e la funzione ˜G : R}d_{× R}

+→ Rd è di

classe C∞ b .

Il processo empirico della popolazione in questo caso è una somma su un insieme deterministico di indici, in quanto le particelle non possono nascere o morire. Se sup-poniamo quindi che il numero di particelle iniziali sia N (in generale dell'ordine di N) allora S_tN = 1 N N X k=1 δ_PN,k t (2.2) e hS_tN, 1i = hS₀N, 1i = 1, ∀t ≥ 0.

Ricaviamo adesso la formula di Ito per l'integrazione di funzioni test rispetto al processo empirico.

Proposizione 2.1. Per ogni funzione φ ∈ C2,1

b (Rd× R+) si ha hS_tN,φ(., t)i = hS₀N, φ(., t)i + Z t 0 D SN_u , GN(., u) · ∇φ(., u) + 1 2∆φ(., u) + ∂ ∂uφ(., u) E du + M_N1(φ, t), (2.3) 13

dove M_N1(φ, t) = 1 N N X k=1 Z t 0 ∇φ(PN,k s ) · dWsk

è una martinagala rispetto alla ltrazione (Ft)t≥0 generata dal processo t → PtN,k,

k = 1, . . . , N.

Dimostrazione. L'assenza di salti nella struttura della popolazione rende il calcolo molto semplice. hSN t , φ(., t)i = 1 N N X k=1 φ(P_tN,k, t) = 1 N N X k=1 φ(P₀N,k, 0) + 1 N N X k=1  Z t 0 ∂ ∂uφ(P N,k u , u) + 1 2∆φ(P N,k u , u)du + Z t 0 ∇φ(P_uN,k, u) · dP_uN,k  = hS₀N, φ(., 0)i Z t 0 D S_uN, GN(., u) · ∇φ(., u) + 1 2∆φ(., u) + ∂ ∂uφ(., u) E du + 1 N N X k=1 Z t 0 ∇φ(P_uN,k, u) · dW_uk.

2.2 Teoremi limite

Seguendo l'argomento euristico del capitolo precedente, la densità s(x, t) candidata limite è la soluzione di hs(., t), f (., t)i = hs∗(.), f (., 0)i + Z t 0 hs(., u), G∞(., u)∇f (., u) + 1 2∆f (., u) + ∂ ∂uf (., u)idu, (2.4)

dove G∞(x, t) = ˜G(x, s(x, t)). Questa equazione è la forma debole di

∂ ∂ts(x, t) = −∇ · G∞(x, t)s(x, t)
+ 1 2∆s(x, t), s(x, 0) = s ∗_{(x). (2.5)} 2.2.1 Risultati

In questo caso non dobbiamo preoccuparci di controllare l'evoluzione temporale della popolazione, gli individui sono sempre gli stessi ad ogni istante. Enunciamo il primo risultato di convergenza, sfruttando che hSN

0 , 1i = 1. Teorema 2.2. Assumiamo (1.1-1.8), (1.14-1.18),(1.23). Se lim N →∞P||hN(., 0) − s ∗_(.)||2 2 ≥ δ = 0, δ > 0,

2.2. TEOREMI LIMITE 15

allora per ogni δ > 0 vale

lim N →∞P  sup t≤T ||h_N(., t) − s(., t)||2₂+ Z T 0 ||∇h_N(., t) − ∇s(., t)||2₂dt  ≥ δ  = 0,

dove s(., t) è l'unica soluzione di (2.5).

2.2.2 Dimostrazione del Teorema 2.2

Per arrivare a mostrare la convergenza enunciata nel Teorema 2.2 possiamo applicare la formula di Itô al processo ||hN(., t) − s(., t)||22.

Proposizione 2.3. Vale la seguente identità:

||hN(., t) − s(., t)||22+ Z t 0 ||∇hN(., u) − ∇s(., u)||22du = ||hN(., 0) − s(., 0)||22− 1 N∆VN(0) Z t 0 hS₀N, 1idu + Z t 0  hS_uN, GN(., u) · ∇(sN(., u) − s(., u) ∗ WN)i + hs(., u), G∞(., u) · ∇(s(., u) − hN(., u))i  du + 2 N N X k=1 Z t 0 (∇sN(PuN,k, u) − ∇s(., u) ∗ WN)(PuN,k)) · dWuk. (2.6)

Dimostrazione. Per semplicare i conti riscriviamo

||hN(., t) − s(., t)||22= hhN(., t) − s(., t), hN(., t) − s(., t)i

= hhN(., t), hN(., t)i − 2hhN(., t), s(., t)i + hs(., t), s(., t)i

= A(t) − 2B(t) + C(t)

ed applichiamo il calcolo stocastico separatamente ad ognuno di questi termini. Comin-ciamo con il termine A, dobbiamo scriverlo in una forma che ci permetta di applicare la formula di Itô. A(t) = hhN(., t), hN(., t)i = hS_tN ∗ W_N, S_tN ∗ W_Ni = hS_tN, S_tN ∗ V_Ni = 1 N N X l=1 Z Rd VN(x − PtN,l)StN(dx) = 1 N2 N X k,l=1 VN(PtN,k− P N,l t ).

Ogni termine della somma è funzione regolare di una somma di due processi stocastici. Notiamo subito che se k = l si ha dVN(PtN,k − P

N,l

scrivere dVN(PtN,k(t) − P N,l t ) = ∇VN(PtN,k− P N,l t ) · dP N,k t + 1 2∆VN(P N,k t − P N,l t )dt − ∇V_N(P_tN,k− P_tN,l) · dP_tN,l+1 2∆VN(P N,k t − P N,l t )dt = ∇VN(PtN,k− P N,l t ) · dP N,k t + ∇VN(PtN,l− P N,k t ) · dP N,l t + ∆VN(PtN,k− P N,l t )dt Quindi dA(t) = 1 N2 N X k,l=1 dVN(PtN,k− P N,l t ) = 2 N2 N X k,l=1 k6=l  GN(PtN,k, t) · ∇VN(PtN,k− P N,l t ) + 1 2∆VN(P N,k t − P N,l t )  dt + 2 N2 N X k,l=1 k6=l ∇V_N(P_tN,k− P_tN,l) · dW_tk = 2 N2 N X k,l=1  GN(PtN,k, t) · ∇VN(PtN,k− P N,l t ) + 1 2∆VN(P N,k t − P N,l t )  dt − 1 N2 N X k=1 ∆VN(0)dt + 2 N2 N X k,l=1 k6=l ∇VN(PtN,k− P N,l t ) · dWtk = 2  hS_tN, GN(., t) · ∇sN(., t)i − 1 2h∇hN(., t), ∇hN(., t)i  dt − 1 N∆VN(0)hS N t , 1idt + 2 N N X k=1 ∇sN(PtN,k, t) · dWtk. (2.7) Analogamente B(t) = hhN(., t), s(., t)i = hStN, s(., t) ∗ WNi,

2.2. TEOREMI LIMITE 17 quindi dB(t) = dhS_tN, s(., t) ∗ WNi = hS_tN, GN(., t) · ∇s(., t) ∗ WN + 1 2∆s(., t) ∗ WN + ∂ ∂ts(., t) ∗ WNidt + 1 N N X k=1 ∇(s(., t) ∗ WN)(PtN,k) · dWtk = hS_tN, GN(., t) · ∇s(., t) ∗ WN + ∆s(., t) ∗ WN − (∇ · (G∞(., t)s(., t))) ∗ WNidt + 1 N N X k=1 ∇(s(., t) ∗ WN)(PtN,k) · dWtk =hS_tN, GN(., t) · ∇s(., t) ∗ WNi + hs(., t), G∞(., t) · ∇hN(., t)i − h∇hN(., t), ∇s(., t)i  dt + 1 N N X k=1 ∇(s(., t) ∗ W_N)(P_tN,k) · dW_tk. (2.8) Inne dC(t) = dhs(., t), s(., t)i =  hs(., t), G∞(., t) · ∇sN(., t)i − 1 2h∇s(., t), ∇s(., t)i  dt. (2.9) Mettendo insieme i contributi di (2.7-2.9) scriviamo in forma integrale l'equazione che stavamo cercando: ||h_N(., t) − s(., t)||2₂ = ||hN(., 0) − s(., 0)||22− Z t 0 ||∇h_N(., u) − ∇s(., u)||2₂du − 1 N∆VN(0) Z t 0 hSN 0 , 1idu + Z t 0  hS_uN, GN(., u) · ∇(sN(., u) − s(., u) ∗ WN)i + hs(., u), G∞(., u) · ∇(s(., u) − hN(., u))i  du + 2 N N X k=1 Z t 0 (∇sN(PuN,k, u) − ∇s(., u ∗ WN)(PuN,k)) · dWuk.

Il nostro obiettivo è ora quello di stimare i termini a destra di (2.6), in modo da poter applicare la disuguaglianza di Gronwall. Ci occuperemo separatamente dei vari addendi. Lemma 2.4. Dalle proprietà di VN segue che

1

N|∆VN(0)| Z t

0

Lemma 2.5. Vale che Z t 0   hS N u , GN(., u) · ∇(sN(., u) − s(., u) ∗ WN)i + hs(., u), G∞(., u) · ∇(s(., u) − hN(., u))i   du ≤ C(hS₀N, 1i4+ 1)  t ˜C N−2β/d+ N−2 ˆβ/d+ N2 ˆβ(d+1)/dN2β(−1)/d
+ ˜C Z t 0 ||hN(., u) − s(., u)||22du + 1 ˜ C Z t 0 ||∇hN(., u) − ∇s(., u)||22 du  . Dimostrazione. Prima di cominciare a stimare il modulo dell'integrando, è utile riscri-vere questo termine in modo da far comparire le dierenze tra SN

t e la densità s(., t).

Vorremmo arrivare ad utilizzare la disuguaglianza di Hölder, ma per farlo dobbiamo prima assicurarci di integrare rispetto a misure assolutamente continue rispetto alla mi-sura di Lebesgue. Il nostro obiettivo è quello di metterci in condizioni di applicare la Proposizione 1.7. hS_tN, GN(., t) · ∇(sN(., t) − s(., t) ∗ WN)i + hs(., t), G∞(., t) · ∇(s(., t) − hN(., t))i = hS_tN − s(., t), GN(., t) · ∇(sN(., t) − s(., t) ∗ WN)i + hs(., t), GN(., t) · ∇(sN(., t) − s(., t) ∗ WN) + G∞(., t) · ∇(s(., t) − hN(., t))i = D1_N(t) + D2_N(t). (2.10) Riguardo a D1

N(t) di (2.10), se non fosse per il contributo di GN, potremmo applicare

direttamente il Lemma (1.7). Non è così, maneggiamolo ulteriormente: D1_N(t) = hS_tN− s(., t), G_N(., t) · ∇(sN(., t) − s(., t) ∗ WN)i

= hS_tN− s(., t), (G_N(., t) · ∇(hN(., t) − s(., t))) ∗ WNi

+ hS_tN − s(., t), G_N(., t) · (∇(hN(., t) − s(., t)) ∗ WN)

− (GN(., t) · ∇(hN(., t) − s(., t))) ∗ WNi

= J_N1(t) + J_N2(t). Possiamo subito stimare J1

N(t), data la sua forma particolare:

|J_N1(t)| =    D (S_tN − s(., t)) ∗ W_N, GN(., t) · (∇hN(., t) − ∇s(., t)) E   =    D hN(., t) − s(., t) ∗ WN, GN(., t) · (∇hN(., t) − ∇s(., t)) E   =D|h_N(., t) − s(., t) ∗ WN|, |GN(., t) · (∇hN(., t) − ∇s(., t))| E ≤ C||hN(., t) − s(., t) ∗ WN||2||∇hN(., t) − ∇s(., t)||2 ≤ C||hN(., t) − s(., t)||2+ ||s(., t) − s(., t) ∗ WN||2  ||∇hN(., t) − ∇s(., t)||2 ≤ C||h_N(., t) − s(., t)||2+ N−β/d  ||∇h_N(., t) − ∇s(., t)||2 ≤ C ˜C(||hN(., t) − s(., t)||22+ N−2β/d) + 1 ˜ C||∇hN(., t) − ∇s(., t)|| 2 2.

2.2. TEOREMI LIMITE 19

Spendiamo qualche parola sulla forma di J2

N(t). Ad esso si può applicare il Lemma 1.10,

cioè può essere messo in una forma di tipo commutatore: |J_N2(t)| ≤ hS_tN+ s(., t), ||∇GN(., t)||∞|∇hN(., t) − ∇s(., t)| ∗ UNi ≤ ||∇G_N(., t)||∞||(StN + s(., t)) ∗ UN||2||∇hN(., t) − ∇s(., t)||2 ≤ CNβ(d+1)/dˆ _(hSN t , 1i + 1)(Nβ(−1)/d(||hN(t)||2+ 1) + (hStN, 1i + 1) exp(−C0Nβ/d)) · ||∇h_N(., t) − ∇s(., t)||2 ≤ C ˜CN2 ˆβ(d+1)/dN2β(−1)/d(hS_tN, 1i4+ 1)(||hN(., t) − s(., t)||22+ 1) + 1 ˜ C||∇hN(., t) − ∇s(., t)|| 2 2, (con 0 <  < 1 − ˆβ(d + 1)/β). (2.11) Osservazione. La stima (2.11) è di importanza chiave perché contiene i termini più delicati. Da una parte abbiamo dovuto stimare il contributo di ||∇GN(., t)||∞ usando

(1.20), in mancanza di una stima uniforme in N. Dall'altra, abbiamo dovuto utilizzare il Lemma 1.9. I contributi che ne ricaviamo hanno una dipendenza dalle potenze di N che possiamo rendere innitesima scegliendo opportunamente . Infatti

N

ˆ

β(d+1)+β(−1)

d −−−−→ 0,N →∞

per  come in (2.11). L'accortezza tecnica che permette di arrivare a questo contributo innitesimo è l'utilizzo di due densità ausiliarie, una dipendente da ˆβ, quella che compare in GN, e l'altra dipendente da β, usata nella costruzione di WN e UN. Ciò permette di

rimodulare l'interazione locale, dipendente da ˆβ, senza perturbare le densità WN.

Se avessimo usato lo stesso parametro per scrivere la dipendenza locale e costruire la densità ausiliaria, qui avremmo avuto un termine della forma

Nβ(d+1)+β(−1)d > N

β(d+1)−β

d = Nβ

e non ci sarebbe stato modo di renderlo innitesimo. Riprendiamo dal termine D2

N(t) di (2.10). Abbiamo bisogno di ulteriori passaggi

prima di poter fare una stima utile, nonostante le funzioni GN e G∞ siano limitate

non possiamo stimare in maniera grossolana, altrimenti ci troveremmo con degli addendi costanti limitati ma non innitesimi.

D2_N(t) = hs(., t), GN(., t) · ∇(sN(., t) − s(., t) ∗ WN) + G∞(., t) · ∇(s(., t) − hN(., t))i

= hs(., t), (GN(., t) − G∞(., t)) · ∇(sN(., t) − s(., t) ∗ WN)i

+ hs(., t), G∞(., t) · ∇(sN(., t) − s(., t) ∗ WN − hN(., t) + s(., t))i

= K_N1(t) + K_N2(t).

(2.12) Questa scrittura è migliore della precedente perché GN(., t) e G∞(., t) sono la stessa

ed ottenere |K_N1(t)| = |hs(., t), (GN(., t) − G∞(., t)) · ∇(sN(., t) − s(., t) ∗ WN)i| ≤ C||ˆsN(., t) − s(., t)||2||∇sN(., t) − ∇s(., t) ∗ WN||2 ≤ C(||ˆsN(., t) − hN(., t)||2+ ||hN(., t) − s(., t)||2)||∇sN(., t) − ∇s(., t) ∗ WN||2 ≤ C ˜C  ||hN(., t) − s(., t)||22+ N −2 ˆβ/d₊ 1 ˜ C||∇hN(., t) − ∇s(., t)|| 2 2

Ecco l'importanza della scrittura che abbiamo utilizzato, il termine costante che non dipende dalle norme è innitesimo.

Rimane un'ultimo termine da trattare, questa volta basta solo riordinare la scrittura grazie alla Proposizione 1.7:

|K_N2(t)| = |hs(., t), G∞(., t) · ∇(sN(., t) − s(., t) ∗ WN − hN(., t) + s(., t))i| = |hs(., t)G∞(., t) − (s(., t)G∞(., t)) ∗ WN, ∇hN(., t) − ∇s(., t)i| ≤ CN− ˆβ/d||∇hN(., t) − ∇s(., t)||2 ≤ C ˜CN−2 ˆβ/d+ 1 ˜ C||∇hN(., t) − ∇s(., t)|| 2 2. (2.13)

Di nuovo, i termini costanti isolati sono innitesimi.

Mettendo insieme le stime di tutti i contributi descritti ed integrando nel tempo, otteniamo la tesi.

Lemma 2.6. Denotiamo M∗

N(t) il termine martingala, vale

E  sup t≤T |M_N∗(t)|2  ≤ CNβ−1hS₀N, 1iE  Z T 0 ||∇hN(., u) − ∇s(., u)||22du  .

Dimostrazione. Utilizziamo la disuguaglianza di Doob ed il fatto che la martingala sia una somma nita di integrali rispetto a moti browniani indipendenti.

E  sup t≤T |M_N∗(t)|2  ≤ ≤ 4E|M∗ N(T )|2  = 16 N2E     N X k=1 Z T 0 (∇sN(PuN,k, u) − ∇s(., u) ∗ WN)(PuN,k) · dWuk     2 = 16 N2 N X k=1 E     Z T 0 (∇sN(PuN,k, u) − ∇s(., u) ∗ WN)(PuN,k) · dWuk     2 = 16 N2 N X k=1 E  Z T 0 |∇sN(PuN,k, u) − ∇s(., u) ∗ WN(PuN,k)|2du  = 16 NE  Z T 0 hS_uN, |∇sN(., u) − ∇s(., u) ∗ WN|2idu  ≤ C NE  Z T 0

hh_N(., u), |∇hN(., u) − ∇s(., u)|2idu

 ≤ CNβ−1_hSN 0 , 1iE  Z T 0 ||∇h_N(., u) − ∇s(., u)||2₂du  . (2.14)

2.2. TEOREMI LIMITE 21

Siamo quindi arrivati al seguente risultato. Proposizione 2.7. Vale la stima:

sup t≤T ||h_N(., t) − s(., t)||2₂+ Z T 0 ||∇h_N(., t) − ∇s(., t)||2₂dt ≤ ≤ ChS₀N, 1i4+ 1  ||hN(., 0) − s∗(.)||22+ ˜C Z T 0 ||hN(., t) − s(., t)||22dt + ˜CT (N−2β/d+ N−2 ˆβ/d+ N2 ˆβ(d+1)/dN2β(−1)/d+ Nβ(d+2)/d−1) + 1 ˜ C Z T 0 ||∇h_N(., t) − ∇s(., t)||2₂dt + sup t≤T |M_N∗(t)|  . (2.15)

Alleggeriamo le notazioni introducendo fN(T ) = sup t≤T ||hN(., t) − s(., t)||22, gN(T ) = Z T 0 ||∇h_N(., t) − ∇s(., t)||2₂dt, C0= C  hS₀N, 1i4+ 1  , γ(N, T ) = sup t≤T |M_N∗(t)|, α(N, T ) = ˜CT (N−2β/d+ N−2 ˆβ/d+ N2 ˆβ(d+1)/dN2β(−1)/d+ Nβ(d+2)/d−1). Possiamo quindi dedurre da (2.15) che

fN(T ) ≤ C0(fN(0) + α(N, T ) + γ(N, T )) +  C0 ˜ C − 1  gN(T ) + C0C˜ Z T 0 fN(t)dt ≤ C0(fN(0) + α(N, T ) + γ(N, T )) + C0C˜ Z T 0 fN(t)dt,

scegliendo ˜C > C0. Per Gronwall, usando il fatto che il termine non integrale è crescente

in T , fN(T ) ≤ C0(fN(0) + α(N, T ) + γ(N, T ))eC0 ˜ CT ≤ K1(fN(0) + α(N, T ) + γ(N, T )). (2.16) Da (2.15) e da quanto appena fatto, deduciamo

gN(T ) ≤  1 −C0 ˜ C −1 C0(fN(0) + α(N, T ) + γ(N, T ) + ˜CT fN(T )) ≤ K2(fN(0) + α(N, T ) + γ(N, T )). (2.17) Denotiamo χ0 = 1{fN(0)≤δ0}, abbiamo PfN(T ) > δ  ≤ PfN(T ) > δ, fN(0) > δ0  + PfN(T ) > δ, fN(0) ≤ δ0  ≤ PfN(0) > δ0  + P  fN(T ) > δ, fN(0) ≤ δ0  . = PfN(0) > δ0  + PfN(T ) > δ, χ0 = 1  = PfN(0) > δ0  + Pχ0fN(T ) > δ  ≤ PfN(0) > δ0  + 1 δE h χ0fN(T ) i .

Allo stesso modo P  gN(T ) > δ  ≤ PfN(0) > δ0  +1 δE h χ0gN(T ) i . Dobbiamo stimare quindi le quantità Eχ0fN(T )



e Eχ0gN(T )

 . Lemma 2.8. Vale la stima uniforme

sup N ∈N Eχ₀gN(T ) ≤ K2(δ0+ 1). Dimostrazione. Da (2.17) abbiamo Ehχ0gN(T ) i ≤ K₂(δ0+ α(N, T )) + K2E h χ0γ(N, T ) i ≤ K2(δ0+ α(N, T )) + K2  E h χ0γ(N, T )2 i1/2 ≤ K₂(δ0+ α(N, T )) + K2  C0Nβ−1E h χ0gN(T ) i1/2 , nell'ultima disuguaglianza abbiamo usato (2.14). Riscriviamo quanto ottenuto come

E h χ0gN(T ) i − K₂1/2C₀1/2N(β−1)/2  E h χ0gN(T ) i1/2 ≤ K2(δ0+ α(N, T )), quindi  E h χ0gN(T ) i1/2 E h χ0gN(T ) i1/2 − K₂1/2C₀1/2N(β−1)/2  ≤ K2(δ0+ α(N, T )).

Quest'ultima disuguaglianza ci fornisce la stima uniforme cercata, se prendiamo l'estremo superiore su N ∈ N.

Corollario 2.9. Per il termine di martingala vale

lim N →∞E  χ0sup t≤T |M_N∗(t)|  = 0. Dimostrazione. Usando (2.14) abbiamo

E  χ0γ(N, T )  ≤  E  χ0γ(N, T )2 1/2 ≤ C₀1/2N(β−1)/2  Ehχ0gN(T ) i1/2 . La tesi segue dalla stima uniforme ottenuta nel risultato precedente.

Possiamo nalmente riprendere la stima delle probabilità, i risultati precedenti ga-rantiscono che (2.16) e (2.17) possono stimarsi come

PfN(T ) > δ  ≤ PfN(0) > δ0  +1 δE h χ0fN(T ) i ≤ PfN(0) > δ0  + 1 δ(δ0+ β(N, T )), P  gN(T ) > δ  ≤ PfN(0) > δ0  +1 δE h χ0gN(T ) i ≤ PfN(0) > δ0  +1 δ(δ0+ β(N, T )), con β(N, T ) successione innitesima in N.

2.2. TEOREMI LIMITE 23

• ssiamo  > 0;

• scegliamo δ₀ tale che δ₀/δ < /4; • esiste N1 tale che β(N1, T )/δ < /4;

• esiste N2 tale che P



fN2(0) > δ0

 < /2; • scegliamo N = max(N1, N2).

Questo ci basta per concludere che per ogni  > 0 esiste N tale che

P (fN(T ) > δ) < , P (gN(T ) > δ) < .

Capitolo 3

Modello puramente proliferativo

In questo capitolo descriviamo un altro caso particolare, si tratta del modello puramente proliferativo. Ci mettiamo nel caso di una sola specie, K = 1, e trascuriamo tutti i termini della dinamica spaziale ad eccezione del termine browniano. Avremo invece un contributo proliferativo non nullo, quindi gli individui possono riprodursi.

Un motivo di interesse nella trattazione di questo caso specico è il fatto che il modello FKPP (Fisher-Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov) sia di questa forma, con dinamica limite

∂ ∂tu =

1

2∆u + (1 − u)u, u(x, 0) = u0.

Siccome la parte proliferativa di FKPP non rispetta le ipotesi di limitatezza richieste nel Capitolo 1, discutiamo separatamente nelle Appendici la validità dei teoremi di convergenza.

3.1 Dinamica del sistema

Come abbiamo accennato, la dinamica spaziale è ridotta al minimo:

dP_tN,k= dW_tk, (3.1)

dove Wk _{sono R}d_{-moti browniani standard indipendenti.}

Ogni individuo k ∈ M(N, t) in posizione y = PN,k

t può indurre un cambiamento

discontinuo della popolazione dando vita ad un nuovo individuo k∗ _{∈ M (N, t), situato}

anch'esso in y al momento della nascita, con tasso bN(y, t). Abbiamo la dipendenza

locale

bN(x, t) = ˜b(x, ˆsN(x, t)), ˜b ∈ Cb∞. (3.2)

I processi di conteggio che ci permettono di sintetizzare la dinamica della popolazione sono b∗,k_N (s) = β_Nk  Z s 0 1M (N,u)(k)bN(PuN,k, u)du  , con βk

N processi di Poisson standard indipendenti.

Osservazione. Siccome il modello è puramente proliferativo, il numero delle particelle vive ad ogni istante non può diminuire nel tempo. Questo signica che hSN

s , 1i ≤ hStN, 1i

se s ≤ t, in particolare hSN

T , 1i = supt≤ThStN, 1i. Inoltre possiamo esplicitare il processo

empirico e scriverlo come

hS_tN, 1i = hS₀N, 1i + 1 N ∞ X k=1 b∗,k_N (t).

Osservazione. Le restrizioni imposte dalla proliferazione ci permettono di fare alcune considerazioni su ogni particella k, considerata su un intervallo [0, t]. Se la particella k è viva al tempo s ≤ t, essa resterà viva per ogni tempo successivo, mancando qualcosa che possa farla morire. Se quindi chiamiamo τk

N il tempo aleatorio di nascita dell'indiduo

k, l'insieme dei tempi in cui l'individuo è vivo è [τk, +∞). Osserviamo inoltre che se τ_Nk 6= 0, cioè se l'individuo k non è di quelli già vivi al tempo iniziale, allora τk

N è uno dei

tempi di salto del proesso b∗,¯k

N con ¯k genitore di k, è quindi un tempo d'arresto.

Osservando che k ∈ M(N, t) ⇐⇒ τk

N ≤ t, possiamo dunque riscrivere la misura

empirica come SN_t = 1 N ∞ X k=1 χN,k_t δ_PN,k t , dove χN,k t = 1[τk N,∞](t). Per ogni φ ∈ C 2,1 b (Rd× R+) vale hS_tN, φ(., t)i = 1 N X k∈M (N,t) φ(P_tN,k, t) = 1 N ∞ X k=1 χN,k_t φ(P_tN,k, t). (3.3)

Otteniamo quindi una somma (nita) di processi a salti e possiamo applicare i risultati di analisi stocastica.

Proposizione 3.1. Vale la formula

hS_tN, φ(., t)i = = hS₀N, φ(., 0)i + Z t 0 D S_uN,1 2∆φ(., u) + ∂ ∂uφ(., u) + φ(., u)bN(., u) E du + M_N1(φ, t) + M_N2(φ, t), dove M_N1(φ, t) = 1 N ∞ X k=1 Z t τk_∧t ∇φ(P_Nk(s), s) · dWk(s), M_N2(φ, t) = 1 N ∞ X k=1 Z t τk_∧t φ(P_Nk(s), s)(b∗,k_N (ds) − bN(PNk(s), s)ds)

sono martingale rispetto alla ltrazione naturale (Ft)t≥0 generata dal processo

3.1. DINAMICA DEL SISTEMA 27

Dimostrazione. L'equazione cercata è una conseguenza della formula di Itô per processi a salti, presentiamo un conto leggermente diverso, utilizzando la notazione delle indicatrici.

hS_tN, φ(., t)i = = 1 N ∞ X k=1 χN,k_t φ(P_tN,k, t) = 1 N ∞ X k=1 χN,k₀ φ(P₀N,k, 0) + 1 N ∞ X k=1  Z t τk_∧t dφ(P_uN,k, u) + Z t 0 φ(P_uN,k, u)dχN,k_u + Z t 0 dχN,k_u dφ(P_uN,k, u)  .

Abbiamo usato la notazione del prodotto dei dierenziali per indicare il termine di cova-riazione.

Ci soermiamo brevemente sul legame che esiste fra i processi b∗,k N e χ

N,k

t , k ∈ N ed

in particolare fra i loro salti. Innanzitutto, il processo χN,k

t può saltare al più una sola

volta, il salto avviene al tempo τk

N di nascita dell'inidivduo k, oltre il quale il processo

resta denitivamente costante. Invece il processo b∗,k

N salta ogni volta che l'individuo k

dà vita ad altre particelle, ma non quando k stesso nasce. Infatti, al tempo di nascita di kil processo b∗,k_N è il valore al tempo 0 di un processo di Poisson standard, cioè 0.

Per ssare le idee, supponiamo che k0sia un individuo vivo al tempo 0 e che al tempo

T1 esso dia vita a k1. L'integrazione rispetto a db∗,k_N produce dei salti del tipo

φ(PN,k0

T1 , T1) − φ(P

N,k0

T1− , T1−),

nessun salto per k1 se da quest'ultimo non nasce nulla. L'integrazione rispetto a dχN,k

produrrebbe invece salti del tipo

φ(PN,k1

T1 , T1) − φ(P

N,k1

T1− , T1−),

nessun salto per k0 perché vivo in 0. In quest'ultima formula compare il limite sinitro

in T1 della posizione di k1, nato proprio in T1. Non ha senso quindi parlare di tempi

precedenti a questo. Bisogna utilizzare la convenzione

φ(PN,k1

T1− , T1−) := φ(P

N,k0

T1− , T1−),

cosi che le due formule siano equivalenti, dato che

φ(PN,k0

T1 , T1) = φ(P

N,k1

T1 , T1)

Quanto appena detto ci permette di scrivere, usando anche il fatto che la covariazione sia nulla, hS_tN, φ(., t)i = hS₀N, φ(., 0)i + Z t 0 D S_uN,1 2∆φ(., u) + ∂ ∂uφ(., u) E du + 1 N ∞ X k=1 Z t τk_∧t ∇φ(P_uN,k, u) · dW_uk + 1 N ∞ X k=1 Z t τk_∧t φ(P_uN,k, u)b∗,k_N (du) = hS₀N, φ(., 0)i + Z t 0 D S_uN,1 2∆φ(., u) + ∂ ∂uφ(., u) + φ(., u)bN(., u) E du + M_N1(φ, t) + M_N2(φ, t).

3.2 Teoremi Limite

Il ragionamento euristico illustrato nel primo capitolo suggerisce come candidata limite la soluzione di hs(., t), φ(., t)i = hs∗(0), φ(., 0)i + Z t 0 hs(., u),1 2∆φ(., u) + ∂

∂uφ(., u) + b∞(., u)φ(., u)idu,

(3.4)

dove b∞(x, t) = ˜b(x, s(x, t)).

La riscrittura in forma forte di questa equazione è ∂ ∂ts(x, t) = 1 2∆s(x, t) + b∞(x, t)s(x, t), s(x, 0) = s ∗ (x). (3.5) 3.2.1 Risultati

In questo esempio particolare, l'evoluzione nel tempo della popolazione richiede un con-trollo aggiuntivo sulla crescita degli individui. Diamo il risultato di convergenza in questo caso. Teorema 3.2. Assumiamo (1.1-1.8), (1.14-1.18), (1.23). Se lim N →∞P||hN(., 0) − s ∗_(.)||2 2≥ δ = 0, ∀δ > 0, e lim n→∞_{N ∈N}supPhS N 0 , 1i ≥ n = 0.

Allora per ogni δ > 0 vale

lim N →∞P  sup t≤T ||hN(., t) − s(., t)||22+ Z T 0 ||∇hN(., t) − ∇s(., t)||22dt  ≥ δ  = 0, dove s(., t) è la soluzione di (3.5).

3.2. TEOREMI LIMITE 29

3.2.2 Dimostrazione del Teorema 3.2

L'idea della dimostrazione è esattamente quella del capitolo precedente: • ricavare la decomposizione di Itô del processo ||hN(., t) − s(., t)||22,

• mostrare che i termini di martingala sono trascurabili per N → ∞,

• ottenere una stima per la parte a variazione limitata in modo da poter applicare la disuguaglianza di Gronwall.

Nel seguito vericheremo che anche in presenza di contributo proliferativo, valgolo i risultati di convergenza di [9].

Proposizione 3.3. Vale la seguente identità:

||hN(., t) − s(., t)||22+ Z t 0 ||∇hN(., u) − ∇s(., u)||22du = = ||hN(., 0) − s(., 0)||22− 1 N∆VN(0) Z t 0 hSN_u , 1idu + 2 Z t 0  hS_uN, bN(., u)(sN(., u) − s(., u) ∗ WN)i

− hs(., u), b∞(., u)(hN(., u) − s(., u))i

 du + 2 N ∞ X k=1 Z t τ_Nk∧t (∇sN(PuN,k, u) − ∇(s(., u) ∗ WN)(PuN,k)) · dWuk + 2 N ∞ X k=1 Z t τk N∧t (sN(PuN,k, u) − (s(., u) ∗ WN)(PuN,k))(b ∗,k N (du) − bN(P N,k u , u)du). (3.6) Dimostrazione. L'impostazione dei conti per ricavare questa formula è identica a quella trattata nel capitolo precedente. L'unica dierenza è che, come visto sopra, invece di avere una somma nita deterministica di processi di Itô abbiamo una somma aleatoria (nita q.c.) che può essere scritta in termini di processi di salto.

La presenza del contributo proliferativo produce un nuovo termine di martingala e un termine di compensatore.

Lemma 3.4. Dalle proprietà di VN segue che

1 N|∆VN(0)| Z t 0 hSN u , 1idu ≤ tCNβ(d+2)/d−1hStN, 1i.

Lemma 3.5. Vale che Z t 0   hS N

u , bN(., u)(sN(., u) − s(., u) ∗ WN)i − hs(., u), b∞(., u)(hN(., u) − s(., u))i

  du ≤ C(hS_tN, 1i4+ 1)  t ˜C N−2β/d+ N−2 ˆβ/d+ N2 ˆβ(d+1)/dN2β(−1)/d
+ ˜C + 1 ˜ C Z t 0 ||h_N(., u) − s(., u)||2₂du  .

Dimostrazione. Proviamo ad applicare le idee del capitolo precedente. L'obiettivo è di nuovo quello di produrre termini che dipendano dalle dierenze delle densità e applicare la disuguaglianza di Hölder.

hS_tN, bN(., t)(sN(., t) − s(., t) ∗ WN)i − hs(., t), b∞(., t)(hN(., t) − s(., t))i

= hS_tN− s(., t), bN(., t)(sN(., t) − s(., t) ∗ WN)i

+ hs(., t), bN(., t)(sN(., t) − s(., t) ∗ WN) + b∞(., t)(s(., t) − hN(., t))i

= D1_N(t) + D_N2(t).

Notiamo immediatamente l'analogia con quanto fatto nel capitolo precedente. Ripetiamo gli stessi passaggi algebrici per i due ultimi addendi.

D1_N(t) = hS_tN− s(., t), (bN(., t)(hN(., t) − s(., t))) ∗ WNi

+ hS_tN − s(., t), bN(., t)((hN(., t) − s(., t)) ∗ WN)

− (b_N(., t)(hN(., t) − s(., t))) ∗ WNi

= J_N1(t) + J_N2(t).

(3.7)

Non ripetiamo tutti i passaggi visti nel capitolo precedente, abbiamo già visto come ottenere le stime seguenti.

|J_N1(t)| = |hS_tN − s(., t), (b_N(., t)(hN(., t) − s(., t))) ∗ WNi| ≤ C(||h_N(., t) − s(., t) ∗ WN||2+ ||sN(., t) − s(., t) ∗ WN||2)||hN(., t) − s(., t)||2 ≤ C ˜C(||hN(., t) − s(., t)||22+ N −2β/d ) + 1 ˜ C||hN(., t) − s(., t)|| 2 2. (3.8) Il termine J2

N è anche in questo caso in forma di commutatore, possiamo applicare il

Lemma 1.10 e ottenere |J_N2(t)| ≤ C||∇bN||∞||(StN + s(., t)) ∗ UN||2||hN(., t) − s(., t)||2 ≤ C||∇b_N||∞(Nβ(−1)/d(||hN(., t)||2+ 1) + (hStN, 1i + 1) exp(−C0Nβ/d)) · ||hN(., t) − s(., t)||2 ≤ C ˜CN2 ˆβ(d+1)/dN2β(−1)/d(hS_tN, 1i4+ 1)(||hN(., t) − s(., t)||22+ 1) + 1 ˜ C||hN(., t) − s(., t)|| 2 2 (con 0 <  < 1 − ˆβ(d + 1)/β). (3.9)

Anche in questo caso, come nel capitolo precedente, possiamo stimare la norma uniforme del gradiente dei coecienti con un contributo tale da rendere trascurabili le costanti additive. Proseguiamo con D2_N(t) = hs(., t), (bN(., t) − b∞(., t))(sN(., t) − s(., t) ∗ WN)i + hs(., t), b∞(., t)(sN(., t) − s(., t) ∗ WN − hN(., t) + s(., t))i = K_N1(t) + K_N2(t). (3.10)

3.2. TEOREMI LIMITE 31

Di nuovo con passaggi algebrici già visti otteniamo |K_N1(t)| ≤ C||sN(., t) − s(., t)||2||hN(., t) − s(., t)||2 ≤ C(||sN(., t) − s(., t) ∗ ˆVN||2+ ||s(., t) − s(., t) ∗ ˆVN||2)||hN(., t) − s(., t)||2 ≤ C(||h_N(., t) − s(., t)||2+ N− ˆβ/d)||hN(., t) − s(., t)||2 ≤ C ˜C(||hN(., t) − s(., t)||22+ N −2 ˆβ/d_{) +} 1 ˜ C||hN(., t) − s(., t)|| 2 2, |K2 N(t)| ≤ C||s(., t) − s(., t) ∗ WN||2||hN(., t) − s(., t)||2 ≤ C ˜CN−2β/d+ 1 ˜ C||hN(., t) − s(., t)|| 2 2. (3.11)

Non dobbiamo ripetere la stima per il termine di martingala che dipende dai moti browniani, l'abbiamo già stimato nel capitolo precedente. Concludiamo occupandoci del termine martingala aggiuntivo, derivante dal contributo dei termini di proliferazione:

M_N∗(t) = 2 N ∞ X k=1 Z t τk N∧t (sN(PuN,k, u) − (s(., u) ∗ WN)(PuN,k))(b ∗,k N (du) − bN(P N,k u , u)du). Lemma 3.6. Vale E  sup t≤T |M_N∗(t)|2  ≤ CT Nβ−1hSN_T , 1iE  sup t≤T ||hN(., t) − s(., t)||22  .

Dimostrazione. Usiamo la disguaglianza di Doob e le proprietà della martingala M∗ N(t)

approfondite nelle Appendici. In particolare sfruttiamo la formula per il compensatore ed il fatto che le covariazioni quadratiche siano nulle.

E  sup t≤T |M_N∗(t)|2  ≤ ≤ 4Eh|M_N∗(T )|2i = 16 N2 ∞ X k=1 E  Z T τk N∧T (sN(PuN,k, u) − (s(., u) ∗ WN)(PuN,k)) · (b∗,k_N (du) − bN(PuN,k, u)du) 2 = 16 N2 ∞ X k=1 E  Z T τk N∧T |s_N(P_uN,k, u) − (s(., u) ∗ WN)(PuN,k)|2bN(PuN,k, u)2du  = 16 NE  Z T 0

hSN(u), |(sN(., u) − s(., u) ∗ WN)bN(., u)|2idu



≤ C NE

 Z T 0

hhN(., u), |hN(., u) − s(., u)|2idu

 ≤ CNβ−1hSN_T , 1iE  Z T 0 ||h_N(., t) − s(., t)||2₂dt  .

Riunendo i contributi di tutti i termini otteniamo: Proposizione 3.7. Vale la stima:

sup t≤T ||hN(., t) − s(., t)||22+ Z T 0 ||∇hN(., t) − ∇s(., t)||22dt ≤ ≤ ChS_TN, 1i4+ 1  ||h_N(., 0) − s∗(.)||2₂+ ˜C Z T 0 ||h_N(., t) − s(., t)||2₂dt + ˜CT (N−2β/d+ N−2 ˆβ/d+ N2 ˆβ(d+1)/dN2β(−1)/d+ Nβ(d+2)/d−1) + 1 ˜ C Z T 0 ||∇hN(., t) − ∇s(., t)||22dt + sup t≤T | ˜M_N∗(t)|  . (3.12)

A questa stima è facile dare una forma in cui sia applicabile il lemma di Gronwall e ripercorrere quanto visto nel Capitolo 2, pertanto il risultato di convergenza è dimostrato anche nel caso proliferativo, a meno di dominare il processo hSN

T , 1i.

Un modo di procedere è costruire un processo YN

t che domini stocasticamente hStN, 1i,

nel senso che

Y_tN ≥ hS_tN, 1i, t ≥ 0, P − q.c.

Dobbiamo quindi costruire una nuova dinamica, sovrapposta a quella descritta preceden-temente. Consideriamo allora una popolazione iniziale di N0 = N hS0N, 1i individui, sia

B = ||˜b||∞, usando la stessa famiglia di processi di Poisson standard costruiamo nuovi

processi di nascita: B_N∗,k(s) = β_Nk  Z s 0 1_{M (N,u)}˜ (k)Bdu  .

Abbiamo denotato con ˜M (N, s) l'insieme degli individui vivi al tempo s relativamente a questa nuova dinamica, in questo caso tutti gli individui hanno tasso di proliferazione costante B e i processi di salto sono indipendenti.

Costruiamo il processo YN t imponendo Y_tN = 1 N  N0+ X k∈ ˜M (N,t) B_N∗,k(t)  = hS₀N, 1i + 1 N X k∈ ˜M (N,t) B_N∗,k(t),

Questa costruzione garantisce che i salti di YN

t siano sempre più numerosi di quelli

di hSN t , 1i, in quanto Z s 0 bN(PuN,k, u)du ≤ Z s 0 Bdu, k = 1, . . . , N0,

cioè ognuna delle particelle iniziali prolifera più rapidamente nella nostra nuova dinamica e questo comportamento viene mantenuto per gli individui nati successivamente. Questo è possibile solo perché abbiamo utilizzato riscalamenti della stessa famiglia di processi di Poisson. Ne deduciamo che

Y_tN ≥ hSN

t , 1i, ∀t ≥ 0, P − q.c.

3.2. TEOREMI LIMITE 33

Verichiamo quindi che per YN

t valga la condizione di limitatezza

lim

n→∞_{N ∈N}supPY N

T ≥ n = 0.

Per far questo sfruttiamo il fatto che il processo di nascita con tasso costante B a salti indipendeti sia un processo di Yule.

Vale il seguente risultato.

Lemma 3.8. Esiste un γ > 0 tale che supNE

h

exp(γY_TN) i

< ∞.

Dimostrazione. Seguiamo l'approccio di [6]. Osserviamo che il processo YN

t si può

scri-vere come una somma di N0 processi di Yule Zk, riscalati con N−1, ognuno dei quali

rappresenti la discendenza di uno degli individui vivi al tempo t = 0. Quindi

Y_TN = 1 N N0 X k=1 Z_Tk.

Dalle costruzioni fatte abbiamo che i Zk

T sono indipendenti ed indenticamente distribuiti,

k = 1, . . . , N0.

Usiamo quindi la disuguaglianza di Jensen ed otteniamo

sup N E h exp(γY_TN) i = sup N  E  exp γ NZ 1 T N ≤ Ehexp(γZ_T1) i . Siccome Z1

T ha distribuzione geometrica di parametro B, l'ultimo termine a destra è

nito se γ < 1 1−exp(−BT ).

Appendice A

I processi di conteggio

Un processo (N(t))t≥0 è detto processo di conteggio se N(t) rappresenta il numero di

"eventi" realizzatisi nell'intervallo [0, t]. Un tale processo deve rispettare le seguenti proprietà:

• N (t) ≥ 0 per ogni t ≥ 0. • N (t) è un numero naturale. • Se s < t, allora N(s) < N(t).

• Se s < t, l'incremento N((s, t]) = N(t) − N(s) è il numero di eventi che si sono realizzati nell'intervallo (s, t].

Un processo di questo tipo si dice a incrementi indipendenti se i numeri di eventi che si realizzano in intervalli temporali disgiunti sono indipendenti. In particolare, N(s) è indipendente da N(t + s) − N(s) per ogni s, t ≥ 0.

Il processo si dice a incrementi stazionari se la distribuzione del numero di eventi in un certo intervallo dipende solo dalla lunghezza di quell'intervallo. Detto altrimenti, N ((s, s + t])ha la stessa distribuzione di N((0, t]) per ogni s, t ≥ 0.

Diciamo che un processo di conteggio (N(t))t≥0ha salti unitari se l'ampiezza di salto

è 1, cioè se i suoi tempi di salto sono q.c. strettamente crescenti. Diciamo che il processo è non esplosivo se N(t) < ∞ q.c. per ogni t ≥ 0, cioè se i tempi di salto sono tali che Tn→ ∞ se n → ∞.

A.1 Processo di Poisson standard

Denizione A.1. Un processo di conteggio (N(t))t≥0 si dice di Poisson con intensità

(tasso) λ, λ > 0 se: 1. N(0) = 0.

2. Il processo ha incrementi indipendenti.

3. N((s, s + t]) ha legge P oisson(λt) per ogni s, t ≥ 0, cioè

P (N ((s, s + t]) = n) = e−λt(λt)

n

n! , n ∈ N+. 35

Se λ = 1, il processo si dice di Poisson standard.

La proprietà (iii) della denizione implica che (N(t))t≥0 abbia incrementi stazionari

e anche

E[N (t)] = λt, t ≥ 0, da cui si comprende come mai λ si dica tasso del processo.

Diamo una versione costruttiva della denizione precedente.

Denizione A.2. Un processo di conteggio (N(t))t≥0 si dice di Poisson con intensità

(tasso) λ, λ > 0 se

N (t) =X

n≥1

1(0,t](Tn), t ≥ 0,

per una successione (Tn)n≥1 avente incrementi (Yn)n≥1 indipendenti ed identicamente

distribuiti con legge Exp(λ). I tempi Tn si dicono tempi di salto o di arrivo, mentre gli

Yn si dicono tempi di attesa o stazionamento associati a (N(t))t≥0.

Un processo di conteggio (N(t))t≥0 è univocamente determinato dai suoi tempo di

salto (Tn)n≥1 e si può dimostrare che queste denizioni sono equivalenti.

Possiamo generalizzare le denizioni date permettendo una intesità dipendente dal tempo.

A.2 Processo di Poisson non omogeneo

Denizione A.3. Un processo di conteggio (N(t))t≥0 si dice di Poisson non omogeneo

con intensità λ(t), t ≥ 0, se: 1. N(0) = 0.

2. Il processo ha incrementi indipendenti.

3. N((s, t]) ha legge P oisson(m(t) − m(s)), dove m(t) = Rt

0λ(u)du è l'intensità

cumulativa del processo.

La condizione (iii) della denizione implica che il processo non abbia incrementi stazionari, a meno che λ(t) ≡ λ per qualche λ > 0. Notiamo inoltre che la funzione

m(t) = Z t

0

λ(u)du, t ≥ 0, denisce una misura localmente nita ν su [0, ∞) tale che

ν((s, t]) := m(t) − m(s), 0 ≤ s < t < ∞,

detta misura intensità del processo. Nel caso omogeneo, la misura intensità è un multiplo della misura di Lebesgue.

Diamo la versione equivalmente costruttiva della denizione precedente.

Denizione A.4. Un processo di conteggio (N(t))t≥0 si dice di Poisson non omogeneo

con intensità λ(t), t ≥ 0, se

N (t) = ˆN (m(t)), t ≥ 0, dove ( ˆN (t))t≥0 è un processo di Poisson standard.

A.3. CAMBIO ALEATORIO DI TEMPO NEL PROCESSO DI POISSON 37

A.3 Cambio aleatorio di tempo nel processo di Poisson

Supponiamo che tutti i processi presi in considerazione siano deniti su uno spazio di probabilità (Ω, F, P ) e che siano misurabili come mappe a valori nello spazio D = D([0, +∞), R) delle funzioni càdlàg con la topologia J1 di Skorokhod e la sua associata

σ-algebra di Borel generata dagli aperti.

Nel Capitolo 1 abbiamo voluto costruire dei processi che descrivessero la dinamica discontinua di una popolazione di individui. Mettiamoci nel caso di sole nascite, cioè nella situazione di dover costruire un processo (X(t))t≥0 che descriva l'andamento di

una popolazione i cui individui si riproducano secondo una funzione del loro numero. Consideriamo (N(t))t≥0 un processo di Poisson standard e X(0) una variabile aleatoria

ad esso indipendente. Un modo per modellizzare le nascita sarebbe

B(t) = N  Z t 0 λ(X(s), s)ds  , t ≥ 0. In questo modo X(t) = X(0) + B(t).

Come abbiamo accennato in precedenza, questa denizione è ricorsiva. Non vericheremo nei dettagli che questa sia, in eetti, una buona denizione, ma lasciamo alcuni riferimenti per approfondire la teoria del random time change, ad esempio [1], [2], [4].

Abbiamo

Lemma A.5. Il processo (Xt)t costruito come

X(t) = X(0) + B(t), t ≥ 0, è ben denito come elemento aleatorio di D.

Teorema A.6. (Decomposizione di Doob-Meyer)

Se Y è una submartingala a traiettorie positive, E[Yt] < ∞per ogni t e Y è adattata alla

ltrazione (Ft)t, allora esiste un processo A che sia Ft-prevedibile detto compensatore di

Y tale che le sua traiettorie siano positive e debolmente crescenti, E[At] < ∞ per ogni

t, e Mt := Yt− At sia una Ft-martingala. Il conmpensatore è unico nel senso che due

versioni hanno traiettorie uguali quasi certamente. Per la dimostrazione rimandiamo a [8].

Se M è una martingala di quadrato integrabile, cioè E[M2

t] < ∞ per ogni t, allora

M2 _{è una submartingala che verica le ipotesi del Teorema A.6. Denotiamo con hMi} t il

compensatore di M2_{, detto anche variazione quadratica prevedibile. Il processo hMi} t è

ben denito per tutte le martingale localmente a quadrato integrabile.

Date due martingale di quadrato integrabile X e Y , diciamo covariazione quadratica prevedibile il processo

hX, Y i_t= 1

4(hX + Y it− hX − Y it), che ha la proprietà di essere il compensatore di XtYt.

In generale, i processi [M]te hMit sono diversi, il secondo è prevedibile, ma il primo

Teorema A.7. Siano X, Y martingale locali con X0 = Y0 = 0. Allora esiste un unico

processo [X, Y ]tcon traiettorie a variazione nita su intervalli limitati tale che [X, Y ]0=

0 e

• XY − [X, Y ]è una martingala locale, • J [X, Y ] = (J X)(J Y ).

Equivalentemente

Teorema A.8. Siano X, Y martingale locali con X0 = Y0= 0. Allora

[X, Y ]t= P − lim k→∞ n−1 X j=0  X_tk j+1∧t− Xtkj∧t  Y_tk j+1∧t− Ytkj∧t  ,

quando il limite esiste ed è indipendente dalle partizioni {0 = tk

0 < tk1 < · · · < tkn = T }

con passo innitesimo per k → ∞.

Quindi [X]t = [X, X]t. Se X è una martingala localmente di quadrato integrabile,

allora sia X2_{− hXiche X}2_{− [X]sono martingale locali. La dierenza è però il fatto che}

[X] non è prevedibile. Sottraendo troviamo che [X] − hXi è anch'esso una martingala locale, quindi hXi è contemporaneamente il compensatore di X2 _{e [X]. Nel caso X sia}

continua, allora [X] = hXi = [X]c_.

Lemma A.9. (Variazione quadratica per processi a salti unitari)

Se N è un processo di conteggio non esplosivo e a salti unitari, adattato alla ltrazione F_t, con E[N(t)] < ∞ per ogni t, e se il compensatore A di N dato dal Teorema A.6 è continuo, allora il processo M ≡ N − A è una F-martingala a quadrato integrabile con variazioni quadrate date da

hM i = A, [M ] = N. Rimandiamo a [4] per la dimostrazione.

Nella costruzione che abbiamo visto, il processo N 

Rt

0λ(X(s), s)ds



ha traiettorie positive e debolmente crescenti. Esso è quindi una submartingala rispetto alla propria ltrazione naturale. Sottraendo il compensatore, possiamo ottenere una martingala M. Questa martingala risulta inoltre di quadrato integrabile, ammettendo rappresentazione M2− hM i, dove hMi è la variazione quadratica prevedibile che in questo caso coincide col compensatore.

Per procedere nella costruzione dobbiamo fare attenzione alle ltrazioni. In questo contesto dobbiamo usare il completamento di

Ft= σ  X(0), N  Z t 0 λ(X(s), s)ds  : 0 ≤ s ≤ t  , t > 0. Si può dimostrare che

M (t) ≡ N  Z t 0 λ(X(s), s)ds  − Z t 0 λ(X(s), s)ds

sia una martingala rispetto a questa ltrazione. Quindi possiamo scrivere una nuova rappresentazione

X(t) = X(0) + M (t) + Z t

0