La corrente di TaylorCouette è tra le correnti uide più studiate nella storia della uidodi- namica in quanto rappresenta una delle poche soluzioni ricavabili in forma chiusa integrando le equazioni di NavierStokes. La corrente di TaylorCouette è quel usso stazionario che si sviluppa tra due cilindri concentrici rotanti, supposti di lunghezza in nita. Pertanto, date le proprietà di simmetria della corrente, essa è descrivibile come una corrente piana puramente azimutale, la cui intensità varia solo lungo la coordinata radiale interna ai cilindri. La sua espressione analitica è data dalla seguente relazione
uθ(r) = U (r) = ω − η2 η(1 + η)r+ η(1 − ω) (1 − η)(1 − η2) 1 r, (A.2)
dove η e ω sono due parametri caratteristici del nostro problema: η = Ra
Rb rappresenta il
rapporto tra i raggi dei cilindri, ω = Ωb
Ωa invece rappresenta il rapporto tra le velocità angolari
A.4 Capitolo 4: Stabilità lineare e sua applicazione alla
corrente di Taylor-Couette
La stabilità lineare della corrente di TaylorCouette può essere studiata trascurando il ter- mine non lineare nelle equazioni di NavierStokes linearizzate attorno al usso base di Taylor Couette. Il problema dello studio della stabilità lineare si riconduce a un problema agli auto- valori nel quale l'autovalore s è funzione dei parametri che intervengono nella scrittura delle equazioni linearizzate, ossia s = s(Re, α, β, η, ω), dove ω indica il rapporto tra le velocità an- golari dei cilindri. Studiare la stabilità lineare signi ca determinare il segno della parte reale di s in funzione dei parametri da cui dipende. Poiché, nel caso generale, essa rappresenta una ipersuper cie nello spazio descritto da Re, α, β, η, ω, in questa tesi si è descritta la relazione di dispersione facendo variare al più solo due parametri alla volta. Dalla letteratura è noto che le prime biforcazioni a cui la corrente di TaylorCouette va incontro sono due, e sono date rispettivamente da disturbi assialsimmetrici e non assialsimmetrici. La corrente che si genera nel primo caso forma i cosiddetti vortici di Taylor, la seconda forma i vortici a spirale. Sono stati studiati quindi questi ussi secondari, ricavando i punti critici prima nel piano β − Re, poi nel piano Reo, Re, per due valori del rapporto tra i raggi η = 0.95 e η = 0.3. Le curve
neutre nel caso dei vortici di Taylor sono mostrate in gura A.1, mentre in gura A.2 viene mostrato il pattern formato e l'andamento del modo marginalmente stabile lungo la coordinata radiale scalata x. Per quanto riguarda invece i vortici a spirale, essi sono vortici che non si
Axial wavenumber - β 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Reynolds number - Re 150 200 250 300 350 400 Unstable region Re∗ Unstable wavenumbers bandwidth: ∆β∗ un Stable region (β c, Rec) = (3.13, 185)
(a) Curva neutra per η = 0.95
Outer cylinder Reynolds number - Re
o -200 -150 -100 -50 0 50 Reynolds number - Re 0 50 100 150 200 250 300 Neutral curve Rayleigh's line: ω = η2 Critical point: (Reo, Re) = (0, 185)
Unstable region (viscous case)
Unstable region (inviscid case)
Stable/Unstable region (viscous/inviscid case)
(b) Curva neutra nel piano Re−Reocalcolata per il valore critico del numero d'onda assiale βc= 3.13
Figure A.1: Curve neutre per η = 0.95
propagano inalterati lungo la direzione azimutale dal momento che non sono assialsimmetrici, α 6= 0. Pertanto, come si evince dalla gura A.3, tendono ad avvolgersi a spirale attorno alle pareti del cilindro interno. Il pattern cosi generato e l'andamento delle componenti di velocità relative al modo marginalmente stabile sono mostrati nelle gure A.4a e A.4c.
Radial coordinate - r 19 19.5 20
Axial coordinate - z
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 (a) Pattern TVScaled radial coordinate - x
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Real part of the marginally stable eigenmodes
-0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 Radial eigenmode Azimuthal eigenmode Axial eigenmode
(b) Parte reale dell'autovettore marginal- mente stabile
Scaled radial coordinate - x
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Imaginary part of the marginally stable eigenmodes
-0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 Radial eigenmode Azimuthal eigenmode Axial eigenmode
(c) Parte immaginaria dell'autovettore marginalmente stabile
Figure A.2: Linee di corrente e andamento componenti di velocità relative ai vortici di Taylor per η = 0.95
(a) Vortci a spirale (b) Vortici di Taylor
Figure A.3: Visualizzazione dei pattern caratteristici attorno ai cilindri: vortici a spirale A.3a; vortici di Taylor A.3b
Radial coordinate - r 19.219.419.619.8 20
Axial coordinate - z
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5(a) Linee di corrente dei vortici a spirale.
Scaled radial coordinate - x
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Real part of the marginally stable eigenmodes
-0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 Radial eigenmode Azimuthal eigenmode Axial eigenmode
(b) Parte reale dell'autovettore marginalem- nte stabile.
Scaled radial coordinate - x
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Imaginary part of the marginally stable eigenmodes
-0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 Radial eigenmode Azimuthal eigenmode Axial eigenmode
(c) Parte immaginaria dell'autovettore marginalemnte stabile.
Figure A.4: Linee di corrente e componenti di velocità per i vortici a spirale generati ad α = 3, ω = −0.8, η = 0.95, Rec= 266.1, βc= 3.08.
A.5 Capitolo 5: stabilità non lineare
Lo studio della stablità non lineare riveste particolare importanza nell'andare a determinare la stablità di punti non iperbolici del sistema dinamico in considerazione. Questi sono stati di equilibrio per cui il tasso di crescita delle perturbazioni predetto dalla teoria lineare nel tempo è nullo e dunque nulla può essere detto a riguardo della sua stablità o meno. L'inclusione della non linearità nella trattazione del problema può aiutare a predire il segno del tasso di crescita e quindi portare alla stabilità o all'instablità del punto non iperbolico. Nei problemi di uidodi- namica, e in particolare in quello trattato in questa tesi, il tasso di crescita delle perturbazioni è rappresentato da una funzione continua che de nisce la parte reale degli autovalori del sistema lineare associato. Tale funzione, è stata ridotta a una funzione dipendente da solo due variabili: il numero di Reynolds R e il numero d'onda assiale β
σ= σ(R, β). (A.3)
Dalla teoria lineare, si sa che in un determinato punto critico (Rc, βc), il usso base di Taylor
Couette diventa un punto sso non iperbolico del sistema delle equazioni di NavierStokes e il tasso di crescita in quel punto si annulla. Allora, l'idea è quella di espandere in serie di Taylor la relazione di dispersione σ(R, β) nell'intorno del punto critico e di andare quindi a trovare delle scale di tempo e di lunghezza che possano far intervenire nello studio della stabilità anche i termini non lineari responsabili della stabilizzazione o meno del sistema nell'intorno del punto critico. Espandendo la funzione σ no al secondo ordine, si possono introdurre due scale "lente": una scala temporale T = 2t e una scala spaziale ξ = z. Il parametro =qR−Rc
Rc è
detto parametro d'ordine del problema non lineare ed è supposto essere su cientemente piccolo. Andando quindi ad esprimere il campo di velocità e di pressione in funzione anche delle variabili lente, ossia u = u(r, t, T, ξ), p = p(r, t, T, ξ), e chiamando A(T, ξ) l'ampiezza delle perturbazioni ai vari ordini in , si è ottenuta l'equazione di GinzburgLandau nella forma
∂TA= c1A+ c2∂2ξA − kA|A|
2. (A.4)
L'equazione di GinzburgLandau descrive la dinamica debolmente non lineare del nostro sis- tema nell'intorno del punto critico (Rc, βc). La dinamica debolmente non lineare è data dalla
propagazione di un pacchetto d'onda avente numero d'onda pari a βc e che è quindi guidato
dal modo marginalmente stabile. L'equazione di GinzburgLandau così ricavata è stata utiliz- zata per predire il comportamento dei vortici di Taylor, nell'ipotesi che il cilindro esterno sia fermo e che il gap tra i cilindri sia piccolo. Si sono infatti trovate quattro dierenti tipologie di soluzioni: due stazionarie e due non stazionarie. Per entrambe, si è trovata la soluzione sia quando l'ampiezza si propaga in modo periodico lungo l'asse dei cilindri, sia quando invece si sono imposte opportune condizioni al contorno. In particolare, riguardo quest'ultimo caso, si sono imposte delle condizioni di Dirichlet omogenee ad una determinata lunghezza assiale, in modo da valutare come i vortici si propagano e scompaiano qualora venga messa nel sistema una parete che ripristini la corrente base di TaylorCouette. Infatti, studiare questa condizione per l'equazione di GinzburgLandau, è equivalente a studiare il problema di NavierStokes completo ∇ · u = 0, ∂tu+ (u · ∇)u + ∇p − 1 R∇ 2 u= 0, u|SL = uT C, u|t=0= uIn, (A.5)
dove SL indica il contorno del dominio uido tra le pareti poste a z = −L e z = L, uT C indica
il campo di moto di TaylorCouette, uIn indica un opportuno campo di velocità iniziale. La
soluzione del problema completo (A.5), è stata quindi comparata con la soluzione approssimata risolvendo il problema di GinzburgLandau con condizioni al contorno omogenee e si è potuto osservare come il modello di GinzburgLandau predica bene la formazione e la propagazione dei vortici lungo i cilindri, in particolare anche vicino alle pareti. Un esempio di questo risultato è dato in gura A.5. L'equazione di GinzburgLandau è stata inoltre studiata con un termine
(a) Pattern ottenuto con la DNS. Axial coordinate - z -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Radial coordinate - r5.8 6 6.2 6.4 6.6 -0.05 0 0.05
(b) Pattern ottenuto con l'equazione di GinzburgLandau.
Figure A.5: Comparazione della struttura dei vortici ottenuti con una simulazione DNS A.5a e con il modello di GinzburgLandau A.5b.
forzante dipendente in generale dallo spazio e dal tempo. Anche in questo caso, si è riscontrata una buona a dabilità da parte del modello ridotto dell'equazione di GinzburgLandau nel descrivere il problema completo simulato con la DNS.