Casi tipici del criterio di resistenza per le terre

Mezzo puramente attritivo (0, c=0)

Mezzo puramente coesivo (=0, c0) Criterio Mohr-Coulomb

Criterio di Tresca Mezzo con attrito  e coesione c





 c

c + tan







tan



 c

c

Terreni a grana fine s.c.

Terreni cementati

Terreni a grana grossa Terreni a grana fine n.c.

Terreni a grana fine (in CND)

c’ +  ’ tan’

 ’ tan’

s

_U

Modelli costitutivi

Elastico (isotropo, lineare) Basic

Rigido perfettamente plastico

 y

q

 s

q

p

Superficie di snervamento (e di rottura)

Stati tensionali possibili

Stati tensionali impossibili

' q , p

v s 

 , q

p

Stati tensionali possibili

Modelli costitutivi

Elastico (isotropo, lineare) – plastico perfetto Simple

 y

q

 S

q

p

Superficie di snervamento (e di rottura)

Stati tensionali possibili (elasticità) Stati tensionali

impossibili

Modelli costitutivi

Elastico (isotropo, non lineare) – plastico incrudente (Cam Clay e modifiche, MCC)

- la superficie di plasticizzazione F non coincide con quella di rottura;

- la superficie di plasticizzazione ‘evolve’ (incrudisce) con lo sviluppo di deformazioni plastiche; in percorsi deviatorici fino al raggiungimento delle condizioni di stato critico ;

- sviluppo di deformazioni plastiche anche per percorsi di carico prevalentemente isotropi.

Advanced ( … 1970 !)

1

1 2

0 1

2 3

M

incrudimento positivo (hardening) 0

3

incrudimento negativo (softening)

q, δ^p_S

1 32 4

0

p’, δ^p_V p’_C1

1

2 4

2 3 1

3

Condizioni di drenaggio nei terreni saturi

• t = 0: drenaggio impedito  variazione di volume nulla;

u  0, ’= - u  cedimento iniziale (immediato) w₀ (u non in equilibrio con le condizioni idrauliche al contorno) (CONDIZIONI NON DRENATE, CND)

Fondazione (sovraccarico)

t

w

 ’ 

u

w_c

w₀ w_∞

•t  : drenaggio ‘libero’  u=0, ’=  cedimento finale (totale) w_= w₀+w_c

(u in equilibrio con le condizioni idrauliche al contorno) (CONDIZIONI DRENATE, CD)

•t > 0: consolidazione  u(t)  0; ’=-u=f(t)  cedimenti di consolidazione w_c = w(t) (PROCESSI DI CONSOLIDAZIONE)

u

In un terreno saturo, soggetto ad una variazione di tensione totale  istantanea e successivamente costante nel tempo, si verificano tre condizioni di drenaggio successive :

w_∞

u/_w

Condizioni necessarie per il verificarsi delle condizioni drenate: esistenza di connessione idraulica e velocità di applicazione della variazione di stato tensionale totale lenta rispetto ai tempi necessari per la dissipazione della variazione di pressione interstiziale indotta.

Nei terreni di permeabilità elevata (terreni a grana grossa) le condizioni drenate si raggiungono, nella

maggioranza dei casi applicativi, istantaneamente, contestualmente all’applicazione di una variazione di stato tensionale totale (o di una variazione del regime delle pressioni interstiziali).

Nei terreni di bassa permeabilità (terreni a grana fine) le condizioni drenate si raggiungono, nella maggioranza dei casi applicativi (che sono caratterizzati da velocità di applicazione dei carichi non modeste), solo dopo un tempo più o meno lungo dall’applicazione di una variazione di stato tensionale totale (o di una variazione del regime delle pressioni interstiziali.

Nei terreni a grana grossa le condizioni drenate si raggiungono già per t = 0 Nei terreni a grana fine le condizioni drenate si raggiungono per t  

Essendo noti i valori delle pressioni interstiziali:

è possibile utilizzare l’approccio di analisi in termini di tensioni efficaci.

Condizioni drenate

Si definiscono condizioni drenate CD(o di lungo termine, LT) quelle per cui la variazione delle tensioni efficaci coincide con la variazione delle tensioni totali in ogni istante t:

’(t)= (t) per ogni t.

Ciò implica, per il principio delle tensioni efficaci, che u(t) =0.

In queste condizioni:

• il fluido interstiziale è in quiete o in moto permanente

• le quote piezometriche sono ottenibili dall’analisi di filtrazione

• la distribuzione delle pressioni interstiziali è disaccoppiata da quella delle tensioni totali

Condizioni non drenate (nei terreni a grana fine)

Si definiscono condizioni non drenate CND(o di breve termine, BT) quelle per cui non si ha variazione di massa nell’elemento di volume di terra. In condizioni di saturazione, ciò implica che il volume dell’acqua non varia e, quindi, che la deformazione volumetrica è nulla.

Generalmente, in condizioni non drenate, si ha quindi : u ≠ 0 e, quindi, ’ ≠ .

Condizione sufficiente per il verificarsi delle condizioni non drenate, indipendentemente dalla velocità di applicazione dei carichi, in un mezzo saturo: disconnessione idraulica (vedi prove di laboratorio).

Se invece c’è connessione idraulica, le condizioni non drenate si verificano solo se velocità di applicazione della variazione di stato tensionale totale è molto elevata rispetto ai tempi necessari per la dissipazione delle variazioni di pressione interstiziale.

Nei terreni di permeabilità elevata (terreni a grana grossa) le condizioni non drenate, in sito, non si verificano sostanzialmente mai, in quanto le variazioni delle pressioni interstiziali indotte dalla variazione di stato tensionale associata alla realizzazione di un opera si dissipano istantaneamente (eccezione: sisma !!!).

Nei terreni di bassa permeabilità (terreni a grana fine) le condizioni non drenate si verificano all’atto

dell’applicazione dei carichi (t=0), e possono permanere per tempi relativamente lunghi. Molto spesso, nei tempi di costruzione di un opera (alcuni mesi), i terreni grana fine permangono in condizioni non drenate.

NON essendo generalmente noti i valori delle pressioni interstiziali:

NON è generalmente possibile utilizzare l’approccio di analisi in termini di tensioni efficaci;

. Si ricorre ad un approccio di analisi in termini di tensioni totali

Condizioni non drenate (nei terreni a grana fine)

In condizioni non drenate, un terreno a grana fine saturo soggetto ad una variazione di stato tensionale totale non si deforma volumetricamente; sono però possibili (in dipendenza della geometria del problema) deformazioni di taglio.

0 0 t

v





Processi di consolidazione dei terreni saturi

Analogia del pistone idraulico (monodimensionale)

(molla  rigidezza scheletro solido, valvola  permeabilità del terreno):

w

Consolidazione = fenomeno idrodinamico transitorio

dalle condizioni di drenaggio impedito (condizione non drenata CND, t=0) alle condizioni di drenaggio libero (condizione drenata CD, t=)

 k Ipotesi: variazione di tensione totale  applicata istantaneamente a t=0 e mantenuta costante.

- valvola chiusa (CND): w=0  ’=0  u=;

- valvola ‘molto’ aperta (terreni a grana grossa):

per t≥0: u=0  ’=  w≠0=w

_

(CD) - valvola ‘poco’ aperta (terreni a grana fine):

per t=0: w=0  ’=0  u= (CND)

per t  : u=0  ’=  w≠0=w

_

(CD)

per 0 < t < : w  ’  u  : consolidazione

Condizioni non drenate nei terreni a grana fine

In un terreno a grana fine saturo soggetto a variazioni di stato tensionale,

sono possibili variazioni di volume (_v) solo per effetto di variazioni di massa (contenuto) d’acqua presente nei

pori: w  0  _v 0

All’istante iniziale (t = 0) del processo di variazione delle tensioni totali (),

il drenaggio (che implica variazioni di contenuto d’acqua) è impedito: w = 0  _v  0

Per il calcolo degli incrementi di tensione totale = f(P,), e anche dei cedimenti w = f(, E,) il mezzo elsatico saturo bifase è trattabile come mezzo elastico monofase (equivalente)

incompressibile (_v 0) ma capace di deformarsi per distorsione (_s  0).

0 0 t

v





u

E

u

, 

u    





 





 



3 ) 1 ( 2

taglio a

rigidezza

) 2 1 ( 3

a volumetric rigidezza

u u

u

u u

E G E

K E



Ciò equivale ad assumere =_u=0.5 e pertanto:



z

Approcci per le analisi delle condizioni non drenate

Nel mezzo bifase, le variazioni di pressioni interstiziali sono accoppiate a quelle delle tensioni efficaci

 = ’ + u

e la ripartizione di  tra le fasi è ottenibile imponendo la congruenza.

Nell’ambito della teoria dell’elasticità, sono possibili quindi due diversi approcci per l’analisi degli stati tensionali e deformativi indotti da un processo di carico in condizioni non drenate (o ”di breve termine”

o ”a t=0”):

Approccio alle… tensioni totali tensioni efficaci

incrementi tensioni totali  = f(P, _u)

incrementi pressioni interstiziali

Non definiti u = f()

incrementi tensioni efficaci ’ =  - u

caratterizzazione terreno monofase equivalente (E_u ; _u = 0.5) scheletro solido (E’ ; ’)

calcolo deformazioni  = f(, E_u, _u)  = f(’, E’, ’)

In linea di principio, dovrebbero fornire risultati congruenti nell’ipotesi di validità della teoria elastica.

) ' 1 ( 2

' ' E

3 G E ) 1

( 2

G E

^u

u

u u

    



 

In particolare, per un mezzo elastico isotropo:

Parametri di pressione interstiziale

La definizione dei ‘coefficienti di ripartizione’ esprime in genere u = f()

separando i contributi di componente sferica e deviatorica dell’incremento tensionale Skempton (1954) definì i ‘parametri di pressione interstiziale’ A e B

riferendosi a condizioni di compressione cilindrica (prove triassiali)

 ^{A ( )} 

B ) ,

( f

u   

₁

 

₃

  

₃

  

₁

  

₃



B

3

u   

  u  BA (  

₁

  

₃

)

incremento (sferico) di ₃ incremento di ₁

3





3



1



3



1

B3

q

u p p ,  ,

q

u p p ,  ,

B3

) Δσ BA(Δ₁  ₃

3

1

Δσ

Δ  

Consolidazione monodimensionale - Teoria di Terzaghi

2 2 v

u u

t c z

 

 ^ 



^{2 1}



w ed

v

kE L T

c

^

 

L’equazione reggente la consolidazione monodimensionale è :

avendo definito il coefficiente di consolidazione verticale

ed è integrabile purchè siano assegnate:

 condizioni al contorno

 distribuzione iniziale delle sovrappressioni (dall’analisi in condizioni non drenate)

La soluzione è rappresentabile mediante curve dette isocrone (distribuzioni, per un fissato t, di

u

t t

( )

u z

Consolidazione monodimensionale – Soluzione adimensionale

Rappresentazione grafica in termini di isocrone adimensionali u(Z,T)/

H Z  z





Consolidazione monodimensionale – grado di consolidazione

In generale, conviene esprimere l’andamento del fenomeno mediante:

• grado di consolidazione

• grado di consolidazione medio

0

( , ) ( , ) 1

( ) u z t U z t

  u z

0

0 0

0

0

( , ) ( ) 1

( )

z H

z z H

z

u z t dz U t

u z dz



  





^c

w

w

) t ( U  w

A B C

U AB

 AC

significato geometrico

area abdca U  area abeca

z/H=1

a b

c d

e

0 2

0 2

( ) 1 2 n (2 1) 2

n T i

U t u e i

n



 



 

         

Consolidazione monodimensionale – Soluzione sintetica

2

0

( ) 1 ( , )

H

ed

w t t z dz

E  ^

  ^{  ( 0 , z )  0  w}

⁰

^{ 0 }

0 2

0 2

( ) 1 2 n (2 1) 2

n T i

U t u e i

n



 



 

         

Inoltre, stante l’ipotesi di linearità del legame costitutivo:

2 2

0

0 0

1 1

( ) ( , ) ( )

H H

c

ed ed

w w z dz u z dz

E  ^ E

      

( ) ( )

( ) ( )

_c

w t w t

U t  w  w

Si ha: 

Interpretazione della curva di consolidazione sperimentale

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90

0,1 1 10 100 1000 10000

Log(t) (min)

w (mm)

U=0.0

w

t50

U=0.5

U=1.0

tangente al punto di flesso

w

t 4t

asintoto obliquo cedimento di

consolidazione primaria

Metodo di Casagrande

Principio: depurare la w(t) sperimentale della ‘testa’ e della ‘coda’ per estrarne - cedimento di consolidazione primaria, wc

- coefficiente di consolidazione primaria verticale, c_V - coefficiente di consolidazione secondaria, c



50 2

v

t

H 197 . c  0 

ho

c 

  tan

h0=2H

per t ridotti, approssimativamente si ha::

2 ) t ( w

) t 4 ( t w

w   

intersezione tra la tangente nel punto di flesso e l’asintoto obliquo

50 2 250 v

v v c

t H 197 . c 0

197 . H 0

t T c

50 . 0 2 U

: w

c       

t C e

log



 



o o

s

h t

h w

C  t 





tan

log /

,

log 





 





 

oppure

Fasi del procedimento di Casagrande

1. Cedimento immediato w₀ (rigidezza sistema , nullo in condizioni di saturazione)

2. Cedimento secondario ws

(ribaltamento  estrapolazione a t=0)

3. Cedimento di consolidazione wc

w

c

 w

f

– w

0

- w

s

4. Coefficiente di consolidazione cv

5. Coefficiente di consolidazione secondaria C_

Prove di compressione edometrica Curva di compressibilità

0,300 0,400 0,500 0,600 0,700 0,800 0,900

1 10 100 1000 10000

Nel documento passante in peso, p (%) (pagine 45-63)