passante in peso, p (%)

Meccanismi di formazione dei terreni naturali

Processo Agenti Prodotti

Formazione disgregazione meccanici (erosione) fisici (variazione climatiche)

terreni a grana grossa



alterazione chimici (reazioni con acque acide) terreni a grana fine

Trasporto acqua, vento, ghiaccio terreni sciolti

Sedimentazione gravità, correnti 

Diagenesi sovraccarichi litostatici,

precipitazioni saline terreni addensati terreni cementati

I terreni naturali, o rocce sciolte, discendono da processi di

trasformazione

delle rocce lapidee

Meccanismi di formazione dei terreni naturali

Classificazione dei depositi sedimentari

Terre a grana grossa e Terre a grana fine

La dimensione delle particelle condiziona la natura delle interazioni meccaniche solido–solido e solido-fluido

Terre Dimensioni Materiale Granuli Interazione s–s e s-f

grana grossa 10m ÷ 10 cm Framm. roccia (> 1mm)

Framm. minerali (< 1mm) Inerti Solo meccaniche (forze di massa)

grana fine 10 Å ÷ 10 m Fillosilicati Attivi Meccaniche + elettrochimiche (forze superficiali)

Terre a grana grossa (sabbie) Terre a grana fine (argille) Scheletro solido: aggregato particellare costituito dall'insieme dei granuli di una terra

Struttura delle Terre

Proprietà fisico-meccaniche dello scheletro solido Dimensioni

+ Forma

+

Mineralogia

Addensamento o

Consistenza

(assetto interparticellare)

Proprietà ‘intrinseche’ Grandezze di stato Storia tensionale

+ + sovraconsolidazione

I granuli delle terre

Prove di laboratorio su un campione di terreno

Proprietà meccaniche

Compressibilità (CEd, TX) Resistenza (TX, TD)

Deformabilità (TX)

Contenuto d’acqua (w) Peso dell’u.d.v. ()

Porosità (n  e) Composizione

- reazione con HCl → presenza di carbonati - reazione con H₂O₂ → sostanze organiche Colore  alterazione, ossidazione

Meso/Macrostruttura  stratificazioni, fessure

TX C Ed TD

Granulometria Limiti di Atterberg Peso specifico grani

Identificazione (proprietà

intriseche) Materiale

‘rimaneggiato’

Materiale

‘indisturbato’

Proprietà idrauliche

Provini

Caratteristiche Fisiche Generali Parametri di Stato

Identificazione sito Modalità prelievo (campionamento) Aspetto materiale

Riconoscimento generale

Natura multifase di un ‘geomateriale’

Roccia lapidea Roccia sciolta

Compatta Porosa (terra)

Solido

Liquido Gas

Aumento di porosità e di presenza delle fasi fluide

lo stato naturale di un mezzo multifase

si può caratterizzare attraverso proprietà fisiche

definite dai rapporti tra volumi e pesi della fase solida e delle fasi fluide

Schemi a ‘fasi separate’

solido = scheletro continuo di particelle solide + complessi di adsorbimento, comprendente i vuoti occupati da liquido + gas

→ analisi con la meccanica dei mezzi porosi liquido = corrisponde al solo liquido libero (interstiziale), in genere acqua

→ analisi con l’idraulica dei mezzi porosi gas = corrisponde in genere all’aria → privo di peso

g w

s v

s V V V V

V

V      P  P _s  P _w

Rapporti tra le fasi

V

V

V

P

P

V P

V

(P

=0)

solido peso

acqua

 peso



s w

P w P

solido volume

solido

 peso





s s s

V P

fluido volume

fluido

 peso





w w w

V P

totale volume

fluido solido

peso 

 



 V

P P

totale volume

solido

 peso



 V

P

d

• peso specifico del solido, 

 peso specifico del fluido, 

 peso secco dell'unità di volume, 

1) Rapporti tra i pesi e tra pesi e volumi

• contenuto d'acqua, w

 peso (umido) dell'unità di volume, 

P

P

P

V

V

V

V

V

= 9.81  10 kN/m³

Risulta in genere 

< 

<  < 

totale volume

vuoti volume



 V n V^v

solido volume

vuoti volume





s v

V e V

n n V

V V e V

s

v  

 / 1

/

e e V

V V n V

s s v

 

 / 1

/

vuoti volume

acqua volume





v r w

V S V

 indice dei vuoti (o 'indice di porosità'), e

relazioni tra n ed e:

• grado di saturazione, S

:

2) Rapporti tra i volumi

• porosità, n



 



   



 n

V V V V

V_{s v}

1

V

V

V

V

V

Grandezza Minimo Massimo Condizione

n 0 solido continuo

1 vuoto

e 0 solido continuo

 vuoto

S_r 0 mezzo asciutto

1 mezzo saturo

Condizioni limite:



 



    e

V V V V

V

s v s s

1

Nomenclatura (posto F₁> F₂> F₃> F₄):

F₁ = frazione prevalente  ‘F₁’ 25%<F₂<50%  ‘con F₂’ 10%<F₃<25%  ‘F₃-osa’

5%<F₄<10%  ‘debolmente F₄-osa’

10 60

d

CU  d

CU>>1  terreno assortito

Analisi granulometrica - Fondamenti

Obiettivo:

determinare la distribuzione ponderale delle dimensioni dei granuli (granulometria) di un terreno Procedure:

Terreni granulari (d > 75 m)  analisi mediante setacciatura Terreni fini (d < 75 m)  analisi mediante sedimentazione

Coefficiente di uniformità, CU:

( per terreni a grana grossa) ( disuniformità!) 

Ghiaia d > 2mm

Sabbia 2mm > d > 0.06mm Limo 0.06mm > d > 0.002mm Argilla d < 0.002mm

Sabbia 55% (F1) Sabbia Limo 27% (F2) con limo Argilla 13% (F3) argillosa

Ghiaia 5% (F4) debolmente ghiaiosa

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100

diametro, d (mm)

passante in peso, p (%)

Argilla Limo Sabbia Ghiaia

Classifica A.G.I.

(ne esistono altre (CNRUNI, ASHTO, )

Limiti di consistenza - Fondamenti

Obiettivo:

quantificare il grado di interazione solido-acqua (dipendente da granulometria

e

I limiti di Atterberg vengono utilizzati per classificare i terreni a grana fine

Gli stati fisici di interesse tecnico sono normalmente 'umidi‘

per cui si fa in genere riferimento a:

• limite di plasticità w

• limite di liquidità w

• indice di plasticità I

= w

– w

e non al limite di ritiro w

M = limi C = argille

O = sostanze organiche

ML Limi inorganici da bassa a media plasticità CL Argille inorganiche da bassa a media plasticità OL Limi e argille organiche di bassa plasticità MH Limi inorganici di alta plasticità

CH Argille inorganiche di alta plasticità

OH Argille organiche da media a alta plasticità

L = bassa plasticità H = alta plasticità Carta di plasticità (USCS)

0 10 20 30 40 50 60 70 80

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

limite di liquidità, wL (%)

indice di plasticità, IP (%)

linea A: IP = 0.73(wL-0.20)

CL ML

OL ML

OH MH CH

CL

Carta di Plasticità

bassa media alta

• La carta USCS deriva dalla carta ‘capostipite’ di Casagrande

• Per una data mineralogia, sia w

che I

aumentano con la frazione argillosa (CF)

Attività (CF = frazione argillosa (clay fraction) = passante a 2m)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 frazione argillosa, CF (%)

indice di plasticità, I (%)

Elevata Attività

Bassa Attività

25 .

 1 A

5 .

0

A

A parità di composizione ( attività) mineralogica, un aumento di frazione argillosa (CF=passante<2m) determina un aumento proporzionale di I_P e w_L

spostamento parallelo alla linea A sulla carta di plasticità

Carta di Attività

Addensamento e consistenza

Significato:

Individuazione dello stato naturale di un terreno

in relazione alle sue condizioni limite (o di riferimento) di porosità e/o contenuto d’acqua

Terreni Proprietà CFG di riferimento Parametro Granulari Addensamento Indice dei vuoti, e Densità relativa

Fini Consistenza Contenuto d’acqua, w Indice di consistenza

Densità relativa dei terreni granulari Indice di Consistenza dei terreni fini

  ^{0 , 1}

min max

max





 

e e

e

D

e ^{  }  ^{  } 



  ,

P L P

L L

c

I

w w

w w

w I w

e_max = minima densità, misurata con deposizione “pluviale”

e_min = massima densità, misurata con addensamento per vibrazione

w_P = limite di plasticità

(stato semisolido → plastico) w_L = limite di liquidità

(stato plastico → fluido)

D

e

1 0

e

e min

I

w

1 0

w

w P

 0

 1

Valutazione empirica dell’addensamento dei terreni a grana grossa

Addensamento e consistenza

Addensamento D_r Test

Molto sciolto 0.0 ÷ 0.2 Possibile infliggere a mano una barra d’acciaio per circa 1 m Sciolto 0.2 ÷ 0.4 Abbastanza facile da scavare con la vanga o da penetrare con la barra Mediamente

sciolto/add. 0.4 ÷ 0.6 Difficile da scavare con la vanga o da penetrare con la barra Addensato 0.6 ÷ 0.8 Molto difficile da scavare con la vanga o da penetrare con la barra

È possibile infiggere un picchetto per 5–10 cm con la mazza battente Molto addensato 0.8 ÷ 1.0 Impossibile da scavare con la vanga o da penetrare con la barra

Valutazione empirica della consistenza dei terreni a grana fine

Consistenza I_c Test

Molto tenera < 0.0 Si estrude tra le dita quando è pressata

Tenera 0.0 ÷ 0.5 Si modella con leggera pressione delle dita Facile da incidere con l’unghia

Mediamente

consistente 0.5 ÷ 1.0 Si modella con forte pressione delle dita Abbastanza facile da incidere con l’unghia Consistente >1.0 Non modellabile con la pressione delle dita

Difficile da incidere con l’unghia Molto consistente >> 1.0 Molto difficile da incidere con l’unghia

solido plastico fluido

Stati tensionali e deformativi nelle terre

Approccio Rigoroso

Meccanica mezzi discontinui Solido particellare + Fluido continuo

Approccio Ingegneristico (dim. opere >> dim. granuli)

Meccanica continuo

Solido & Fluido = continui sovrapposti

Grandezze:

← Statiche →

← Cinematiche →

← Idrauliche → Forze interparticellari

Spostamenti Pressioni

Tensioni Deformazioni

Pressioni

Stati tensionali e deformativi nelle terre

Le dimensioni dei granuli sono molto piccole rispetto ai volumi di terreno interessati da variazioni dello stato di sollecitazione indotte dalla realizzazione delle opere di ingegneria (e anche rispetto alle dimensioni dei provini di terreno sottoposti a prove di laboratorio):

è possibile ricorrere agli strumenti della meccanica del continuo.

Il “Principio delle tensioni efficaci” (K. Terzaghi, 1936)

a) Le tensioni in ogni punto di una sezione attraverso una massa di terra possono essere calcolate dalle tensioni principali totali σ

, σ

e σ

che agiscono in quel punto. Se i pori della terra sono pieni d’acqua ad una pressione u, le tensioni principali totali si dividono in due parti. Una parte, u, agisce nell’acqua e nella fase solida, con uguale intensità, in ogni direzione. Le differenze σ’

= σ

– u, σ’

= σ

– u e σ’

= σ

– u rappresentano un incremento rispetto alla pressione interstiziale ed hanno sede esclusivamente nella fase solida della terra. Questa frazione della tensione principale totale sarà chiamata tensione principale efficace.

b) tutti gli effetti misurabili di una variazione dello stato di tensione, come la

compressione, la distorsione e la variazione di resistenza al taglio, sono dovuti

esclusivamente a variazioni delle tensioni efficaci.

dove [I] = matrice identità (I

=1, I

=0)

• Tensore delle tensioni efficaci     ^{'    u }   ^I

u (la pressione del fluido che riempe i pori) è denominata la ‘pressione interstiziale’

 

 







 









 







 



























 







 





























1 0

0

0 1

0

0 0

1 u

z zy

zx

yz y

yx

xz xy

x

z zy

zx

yz y

yx

xz xy

x

Le tensioni efficaci

Componenti ottaedrali e invarianti di tensione

Piano ottaedrale = piano ortogonale alla trisettrice del quadrante 1, 2, 3 (coseni direttori n

=n

=n

= √3/3)

Proiettando le 

, 

, 

( ⇔ considerando l’equilibrio del tetraedro):



 

 



1 3 2 1

3 3 2 3

1

3 3

I I

I

oct oct































 







 



p = tensione media

3

3 2

1

   

 





p

q = tensione deviatorica 

 

 



2 1 2

3             



q

2 2 1 1

3 3

I I

q p I





  p, q = invarianti di tensione

Queste due grandezze (tensionali) descrivono sinteticamente

la componente isotropa e quella di taglio dello stato tensionale agente sull’elemento

Componenti ottaedrali e invarianti di deformazione

Nel riferimento principale per le deformazioni, proiettando 

, 

, 

:



 

 



1 3

2 1

3 3 2 2 3

2

3 3

E E

E

oct oct































 







 





= deformazione volumetrica



= deformazione distorsionale

2 2 1 1

3 3

2 E E

E

s v











 

, 

= invarianti di deformazione



 

 



3 2

2            

 



3 2

3   

   





Queste due grandezze deformative descrivono sinteticamente

le variazioni di volume e di forma dell’elemento

Problema tenso-deformativo piano

Ipotesi tipica: ogni piano verticale (x, z) è di simmetria

⇓

• stato di deformazione piano  

= 

= 

= 0

• in ipotesi di mezzo elastico  

= 

= 0

• 

= tensione principale 

(indipendente da y) Problemi tipo

prove di taglio muri di sostegno travi di fondazione

2 2

3 1

 

 



Problema tenso-deformativo piano

L = lavoro di deformazione per unità di volume = 

∙

+ 

∙

+ 

∙

Cerchi di Mohr di stato piano

tensioni deformazioni



= 0 ⇒  L   ₁   ₁   ₃   ₃  ...  s   _v  t   _

 1

2

3 1

 

  t



3 



2

3 1

 

  s

2 2

3 1

 

 



 1

2



3 



s (= ascissa del centro) = tensione media nel piano

t (= raggio del cerchio) = tensione deviatorica nel piano

Problema tenso-deformativo assialsimmetrico

Ipotesi: l’asse verticale (z) è di simmetria radiale

⇓

• ovunque 

= 

e 

= 

• in asse: = 0  direzioni principali => assiale (verticale) e radiale (orizzontale) (questo non è verificato in generale in altri punti)

Problemi tipo

prove di compressione fondazioni circolari pali

Problema tenso-deformativo assialsimmetrico

L = lavoro di deformazione per unità di volume = 

∙

+ 

∙

+ 

∙



= 

, 

= 

  L   ₁   ₁  2  ₃   ₃  ...  p   _v  q   _s

tensioni deformazioni

 1



2 

3  

  ₁

2



2 

3  



Cerchi di Mohr di stato assialsimmetrico

q Fasi dello studio dei problemi di geotecnica

1) descrizione dello stato tensionale totale []

che equilibra i carichi esterni q e le forze di volume con gli strumenti analitici della Meccanica del continuo

⇓

per gli incrementi di  indotti da q, il sottosuolo eterogeneo e multifase è assimilato a un mezzo omogeneo monofase

2) ripartizione delle tensioni totali

tra scheletro solido (tensioni efficaci [’]) e acqua (pressioni interstiziali u)

⇓

necessità di considerare le condizioni idrauliche al contorno

e gli effetti prodotti dal moto dell’acqua nello scheletro solido

q



3) determinazione sperimentale del legame costitutivo del terreno in relazione alla combinazione di componenti normali e tangenziali

⇓

schemi sperimentali e modello costitutivi ‘ad hoc’

con controllo e ‘disaccoppiamento’

delle componenti della sollecitazione

q

Semplificazione legame costitutivo

Incrementi di sollecitazione prevalentemente isotropi (azioni di compressione) Realtà

(osservazione sperimentale)

Idealizzazione

(modello costitutivo)

 ^







Realtà

(osservazione sperimentale)

Idealizzazione

(modello costitutivo)

 ^







Incrementi di sollecitazione prevalentemente deviatorici (azioni di taglio)

Analisi Stati Limite di Esercizio (SLE) Analisi Stati Limite Ultimi (SLU)

Mezzo elastico lineare Mezzo rigido – (perfettamente) plastico

Ulteriore idealizzazione legame costitutivo



 , ^



 ,





• Soluzione dipendente solo dagli incrementi _ij

• Reversibilità del legame tensio-deformativo

• Applicabilità principio sovrapposizione effetti

• Soluzione dipendente dallo stato iniziale

• Deformazioni non reversibili

• Principio sovrapposizione effetti non valido

' ( )

z

( ) z u z ( )

   

Le tensioni litostatiche rappresentano la condizione iniziale di ogni problema di ingegneria geotecnica.

Procedura di calcolo standard in un mezzo stratificato:

 

v

  z u

h v h

v

 u  

 , , , ,

 

h

z

1

1

( )

v

z

h

z

  

   

' ( )

z K

' ( )

z

  

( ) ' ( ) ( )

h

z

z u z

   

andamento con z continuo, lineare a tratti (in ogni strato omogeneo)

andamento continuo, lineare a tratti se u lineare

andamento discontinuo, ma lineare a tratti se u lineare andamento discontinuo, ma lineare a tratti se u lineare

Stato di tensione litostatico

è il coefficiente di spinta in quiete

) (

)

( z

z z

u    

In condizioni idrostatiche:

Le velocità v delle particelle d’acqua nei terreni sono talmente basse che variabile ‘causa’ = quota piezometrica [L] =

g 2 v

H u

w

 







u H h

w

 







Approccio fenomenologico:

1. individuazione variabili fisiche ‘causa’ ed ‘effetto’ caratterizzanti il fenomeno (verifica analogie e differenze con il moto idraulico in condotte e canali) 2. studio legame fisico-meccanico tra cause ed effetti macroscopici

h

Moto dell’acqua nelle Terre: la quota piezometrica

Scelta della variabile ‘causa’

idraulica delle condotte  carico idraulico totale [L] =

 0



w

u





t Q V



 

) nA (

Q A

v Q

n n



 



 

Scelta della variabile ‘effetto’

idraulica delle condotte  portata filtrante [L³T^-1]

Nel mezzo poroso si potrebbe considerare:

portata per sezione netta = velocità media [LT^-1]

Scelta più pratica:

variabile ‘effetto’ = velocità di filtrazione [L³T^-1]

v

v n

v

Moto dell’acqua nelle Terre: la velocità di filtrazione

n n

A nv n Q A

v Q 



 



 

Esperienza di d’Arcy (o Darcy)

In condizioni di flusso stazionario e monodimensionale:

Q h

v k k i

A L

   

k = conducibilità idraulica (o coefficiente di permeabilità) [LT^-1]

(costante dipendente da caratteristiche del fluido e del mezzo poroso)

rappresenta la facilità con la quale il fluido può muoversi nei vuoti interparticellari i = gradiente idraulico (o cadente piezometrica) [adim.]

1 i

L A

 h

La legge di Darcy vale nella quasi totalità dei problemi geotecnici, ad eccezione i casi in cui il numero di Reynolds è molto alto

(forti gradienti idraulici, porosità elevate; p. es. nelle rocce fratturate).

permeametro Les fontaines publiques de la ville de Dijon

(Darcy, 1856)

Valori tipici del coefficiente di permeabilità

Terreni sabbiosi

k > 10

cm/s Terreni argillosi

k < 10

cm/s

Terreni limosi

10

<k<10

cm/s

Il coefficiente di permeabilità k

La conducibilità idraulica (il coefficiente di permeabilità) k di un mezzo poroso dipende sia dalle proprietà dello scheletro solido sia da quelle del fluido interstiziale. Si può porre:

= ‘coefficiente di permeabilità assoluto’, dipendente solo dallo scheletro solido

_w, _w= peso specifico e viscosità del fluido

I principali fattori che influenzano k sono quindi:

• per un dato fluido, la temperatura (da cui dipendono _w e _w);

• per lo scheletro solido, la granulometria (influenza dimensione e tortuosità degli interstizi).

w

k

k 

 

L’ influenza della granulometria è (per esempio) evidente nella relazione empirica per sabbie uniformi:

(Hazen, 1911)

(k in cm/s, c=0.4 ÷ 1.2, D10 in mm)

che mostra a dipendenza di k soprattutto dalla dimensione dei granuli più fini.

102

D

c

k  

k

Equazione di continuità + legame velocità-carico idraulico

 ^{grad ( h )}  ^{ 0 }

div (equazione di Laplace)

La soluzione dell’equazione di Laplace è costituita da due famiglie di superfici (3D) o di curve (in 2D).

Graficamente di moto di filtrazione è descritto da:

• Superfici isopieziche = superfici ‘equipotenziali’, dove h è costante ;

• Linee di flusso = superfici (o curve) di flusso, dove i vettori velocità sono tangenti alla curva stessa (ortogonali alle isopieziche se la permeabilità è isotropa)

Proprietà delle due famiglie di curve:

• la quota piezometrica decresce lungo una linea di flusso

• lungo un ‘tubo di flusso’ (superficie generata da linee di flusso) la portata è costante

• non c’è flusso lungo una superficie isopiezica

h h  

h h  

h q  v   A  cos .t

Filtrazione stazionaria in un mezzo omogeneo e isotropo

0

2

h 



Moti di filtrazione modimensionali

Se è sufficiente una sola variabile geometrica per descrivere il fenomeno si parla di moti di filtrazione monodimensionali (o anche ‘uniformi’ se stazionari)

( )

u  

h  

Sia s la variabile geometrica (direzione del flusso); l’eq. di Laplace si scrive allora:

2

2

0

d h ds 

Il gradiente idraulico è costante.

dh cos

i t

ds  

con le associate condizioni al contorno

h   A Bs

La pressione del fluido è combinazione lineare di 2 funzioni lineari: è quindi lineare anche essa

b

Problemi di filtrazione piana e reti idrodinamiche

In un problema piano (v_y = 0):

 superfici  linee isopieziche

 la soluzione dell’eq. di Laplace può essere ricercata per via grafica, disegnando la rete idrodinamica, costituita da due famiglie di curve (isopieziche e linee di flusso) tracciate rispettando le ‘condizioni al contorno’ per h e v e, che nel caso di isotropia della permeabilità sono tra loro ortogonali.

Nella maglia elementare s  a, la portata è data da

n i i

i

q v a k i a k h a b

     

(s = distanza tra due linee isopieziche, a = distanza tra due linee di flusso = sezione tubo) superficie piezometrica

= 1^aisopiezica

h+h h-h

h a

v || superficie impermeabile

Calcolo di portata e pressioni interstiziali

Tracciando una rete a maglie con rapporto tra i lati costante (a_i/b_i=cost) e compatibile con le condizioni al contorno:

i i

q k ha

   b costante lungo ogni tubo di flusso

 q = costante in ogni tratto di tubo di flusso tra due isopieziche

 h = perdita di carico tra due isopieziche = costante nell’intera rete

H = variazione totale di carico idraulico

n_h= numero di campi tra le isopieziche (salti equipotenziali)

h

h H n

   

H q

i i i

q q q

i h i h i

a a n a

Q n q n k h n k k H k H C

b n b n b

         

) h ( u_w 

 Calcolo portata filtrante Q (n_q= numero di tubi di flusso):

 Distribuzione pressioni interstiziali u:

 H 2 1

1 2 n

n

k

In Geotecnica, le relazioni (legami costitutivi, soluzioni di problemi quali il carico limite, le tensioni orizzontali agenti in condizioni di equilibrio limite, … sviluppate con riferimento ad un mezzo continuo possono essere applicate secondo due diverse procedure:

al solido continuo poroso

(Scheletro solido) a un mezzo monofase equivalente (cfr: ‘condizioni non drenate‘)

Analisi ‘in tensioni efficaci’ (’)

Parametri elastici con apici (E’, ’, K’, G’)

Il terreno come mezzo continuo elastico

Analisi ‘in tensioni totali’ () (in c.n.d. !)

Parametri elastici con pedice U (E

, 

, K

, G

) N.B.: se S

=1.0 K

=h; (

=0.5)

Applicazione rigorosa del PTE (SEMPRE, quando possibile !)

Ignorando la ripartizione tra le fasi

(SOLO nell’ipotesi di incomprimibilità volumetrica)

 u











u 









 







 

Proprietà del mezzo plastico:

• esiste una soglia di sollecitazione (tensione di snervamento, 

) oltre la quale si manifestano deformazioni plastiche permanenti (

) (non recuperabili  non elastiche)

e indipendenti dalla durata del processo di carico (non viscose)

• oltre lo snervamento, l’incremento di deformazione plastica è funzione:

- dello stato tensionale raggiunto (sempre)

- dell’incremento di stato tensionale (se il mezzo è incrudente)

T

Materiale duttile: ‘strain hardening’ (incrudimento positivo)

Plasticità perfetta

Il terreno come mezzo plastico

• se il mezzo è perfettamente plastico (non incrudente):

- snervamento e rottura coincidono

Materiale fragile: ‘strain softening’ (incrudimento negativo)



e 

p 



 y

La superficie limite (luogo degli stati tensionali di rottura) è, in genere:

- indipendente dalla giacitura dell’elemento

- ben approssimabile, in un limitato campo di tensioni normali, con un andamento lineare

componenti di tensione

tangenziale  e normale  (‘) (sul piano di rottura)

tensioni principali

massima ₁ (‘₁) e minima ₃ (‘₃)

invarianti di tensione

deviatorica q e media p (p’)

Si può esprimere mediante un legame analitico tra componenti dello stato di tensione (efficace):

Rappresentazione del criterio di resistenza di un terreno



 

u









u u P

P’

P P’

q

p ^p

u

Esprimendo il comportamento a rottura in termini di :, la curva limite nel piano di Mohr è:

- simmetrica rispetto all’asse  (non è così per le altre due rappresentazioni) - caratterizzabile dall’espressione:











 c tan

Dal punto di vista fenomenologico, si può dire che:

c = coesione = resistenza al taglio (allo scorrimento) in assenza di tensioni normali c

c

Il criterio di resistenza di Mohr-Coulomb









tan  = attrito = incremento della resistenza al taglio (allo scorrimento) con 

( = angolo di resistenza al taglio)

Casi tipici del criterio di resistenza per le terre

Mezzo puramente attritivo (0, c=0)

Mezzo puramente coesivo (=0, c0) Criterio Mohr-Coulomb

Criterio di Tresca Mezzo con attrito  e coesione c





 c

c + tan







tan



 c

c

Terreni a grana fine s.c.

Terreni cementati

Terreni a grana grossa Terreni a grana fine n.c.

Terreni a grana fine (in CND)

c’ +  ’ tan’

 ’ tan’

s

Modelli costitutivi

Elastico (isotropo, lineare) Basic

Rigido perfettamente plastico

 y

q

 s

q

p

Superficie di snervamento (e di rottura)

Stati tensionali possibili

Stati tensionali impossibili

' q , p

v s 

 , q

p

Stati tensionali possibili

Modelli costitutivi

Elastico (isotropo, lineare) – plastico perfetto Simple

 y

q

 S

q

p

Superficie di snervamento (e di rottura)

Stati tensionali possibili (elasticità) Stati tensionali

impossibili

Modelli costitutivi

Elastico (isotropo, non lineare) – plastico incrudente (Cam Clay e modifiche, MCC)

- la superficie di plasticizzazione F non coincide con quella di rottura;

- la superficie di plasticizzazione ‘evolve’ (incrudisce) con lo sviluppo di deformazioni plastiche; in percorsi deviatorici fino al raggiungimento delle condizioni di stato critico ;

- sviluppo di deformazioni plastiche anche per percorsi di carico prevalentemente isotropi.

Advanced ( … 1970 !)

1

1 2

0 1

2 3

M

incrudimento positivo (hardening) 0

3

incrudimento negativo (softening)

q, δ^p_S

1 32 4

0

p’, δ^p_V p’_C1

1

2 4

2 3 1

3

Condizioni di drenaggio nei terreni saturi

• t = 0: drenaggio impedito  variazione di volume nulla;

u  0, ’= - u  cedimento iniziale (immediato) w₀ (u non in equilibrio con le condizioni idrauliche al contorno) (CONDIZIONI NON DRENATE, CND)

Fondazione (sovraccarico)

t

w

 ’ 

u

w_c

w₀ w_∞

•t  : drenaggio ‘libero’  u=0, ’=  cedimento finale (totale) w_= w₀+w_c

(u in equilibrio con le condizioni idrauliche al contorno) (CONDIZIONI DRENATE, CD)

•t > 0: consolidazione  u(t)  0; ’=-u=f(t)  cedimenti di consolidazione w_c = w(t) (PROCESSI DI CONSOLIDAZIONE)

u

In un terreno saturo, soggetto ad una variazione di tensione totale  istantanea e successivamente costante nel tempo, si verificano tre condizioni di drenaggio successive :

w_∞

u/_w

Condizioni necessarie per il verificarsi delle condizioni drenate: esistenza di connessione idraulica e velocità di applicazione della variazione di stato tensionale totale lenta rispetto ai tempi necessari per la dissipazione della variazione di pressione interstiziale indotta.

Nei terreni di permeabilità elevata (terreni a grana grossa) le condizioni drenate si raggiungono, nella

maggioranza dei casi applicativi, istantaneamente, contestualmente all’applicazione di una variazione di stato tensionale totale (o di una variazione del regime delle pressioni interstiziali).

Nei terreni di bassa permeabilità (terreni a grana fine) le condizioni drenate si raggiungono, nella maggioranza dei casi applicativi (che sono caratterizzati da velocità di applicazione dei carichi non modeste), solo dopo un tempo più o meno lungo dall’applicazione di una variazione di stato tensionale totale (o di una variazione del regime delle pressioni interstiziali.

Nei terreni a grana grossa le condizioni drenate si raggiungono già per t = 0 Nei terreni a grana fine le condizioni drenate si raggiungono per t  

Essendo noti i valori delle pressioni interstiziali:

è possibile utilizzare l’approccio di analisi in termini di tensioni efficaci.

Condizioni drenate

Si definiscono condizioni drenate CD(o di lungo termine, LT) quelle per cui la variazione delle tensioni efficaci coincide con la variazione delle tensioni totali in ogni istante t:

’(t)= (t) per ogni t.

Ciò implica, per il principio delle tensioni efficaci, che u(t) =0.

In queste condizioni:

• il fluido interstiziale è in quiete o in moto permanente

• le quote piezometriche sono ottenibili dall’analisi di filtrazione

• la distribuzione delle pressioni interstiziali è disaccoppiata da quella delle tensioni totali

Condizioni non drenate (nei terreni a grana fine)

Si definiscono condizioni non drenate CND(o di breve termine, BT) quelle per cui non si ha variazione di massa nell’elemento di volume di terra. In condizioni di saturazione, ciò implica che il volume dell’acqua non varia e, quindi, che la deformazione volumetrica è nulla.

Generalmente, in condizioni non drenate, si ha quindi : u ≠ 0 e, quindi, ’ ≠ .

Condizione sufficiente per il verificarsi delle condizioni non drenate, indipendentemente dalla velocità di applicazione dei carichi, in un mezzo saturo: disconnessione idraulica (vedi prove di laboratorio).

Se invece c’è connessione idraulica, le condizioni non drenate si verificano solo se velocità di applicazione della variazione di stato tensionale totale è molto elevata rispetto ai tempi necessari per la dissipazione delle variazioni di pressione interstiziale.

Nei terreni di permeabilità elevata (terreni a grana grossa) le condizioni non drenate, in sito, non si verificano sostanzialmente mai, in quanto le variazioni delle pressioni interstiziali indotte dalla variazione di stato tensionale associata alla realizzazione di un opera si dissipano istantaneamente (eccezione: sisma !!!).

Nei terreni di bassa permeabilità (terreni a grana fine) le condizioni non drenate si verificano all’atto

dell’applicazione dei carichi (t=0), e possono permanere per tempi relativamente lunghi. Molto spesso, nei tempi di costruzione di un opera (alcuni mesi), i terreni grana fine permangono in condizioni non drenate.

NON essendo generalmente noti i valori delle pressioni interstiziali:

NON è generalmente possibile utilizzare l’approccio di analisi in termini di tensioni efficaci;

. Si ricorre ad un approccio di analisi in termini di tensioni totali

Condizioni non drenate (nei terreni a grana fine)

In condizioni non drenate, un terreno a grana fine saturo soggetto ad una variazione di stato tensionale totale non si deforma volumetricamente; sono però possibili (in dipendenza della geometria del problema) deformazioni di taglio.

0 0 t

v





Processi di consolidazione dei terreni saturi

Analogia del pistone idraulico (monodimensionale)

(molla  rigidezza scheletro solido, valvola  permeabilità del terreno):

w

Consolidazione = fenomeno idrodinamico transitorio

dalle condizioni di drenaggio impedito (condizione non drenata CND, t=0) alle condizioni di drenaggio libero (condizione drenata CD, t=)

 k Ipotesi: variazione di tensione totale  applicata istantaneamente a t=0 e mantenuta costante.

- valvola chiusa (CND): w=0  ’=0  u=;

- valvola ‘molto’ aperta (terreni a grana grossa):

per t≥0: u=0  ’=  w≠0=w

(CD) - valvola ‘poco’ aperta (terreni a grana fine):

per t=0: w=0  ’=0  u= (CND)

per t  : u=0  ’=  w≠0=w

(CD)

per 0 < t < : w  ’  u  : consolidazione

Condizioni non drenate nei terreni a grana fine

In un terreno a grana fine saturo soggetto a variazioni di stato tensionale,

sono possibili variazioni di volume (_v) solo per effetto di variazioni di massa (contenuto) d’acqua presente nei

pori: w  0  _v 0

All’istante iniziale (t = 0) del processo di variazione delle tensioni totali (),

il drenaggio (che implica variazioni di contenuto d’acqua) è impedito: w = 0  _v  0

Per il calcolo degli incrementi di tensione totale = f(P,), e anche dei cedimenti w = f(, E,) il mezzo elsatico saturo bifase è trattabile come mezzo elastico monofase (equivalente)

incompressibile (_v 0) ma capace di deformarsi per distorsione (_s  0).

0 0 t

v





u

E

, 

u    





 





 



3 ) 1 ( 2

taglio a

rigidezza

) 2 1 ( 3

a volumetric rigidezza

u u

u

u u

E G E

K E



Ciò equivale ad assumere =_u=0.5 e pertanto:



z

Approcci per le analisi delle condizioni non drenate

Nel mezzo bifase, le variazioni di pressioni interstiziali sono accoppiate a quelle delle tensioni efficaci

 = ’ + u

e la ripartizione di  tra le fasi è ottenibile imponendo la congruenza.

Nell’ambito della teoria dell’elasticità, sono possibili quindi due diversi approcci per l’analisi degli stati tensionali e deformativi indotti da un processo di carico in condizioni non drenate (o ”di breve termine”

o ”a t=0”):

Approccio alle… tensioni totali tensioni efficaci

incrementi tensioni totali  = f(P, _u)

incrementi pressioni interstiziali

Non definiti u = f()

incrementi tensioni efficaci ’ =  - u

caratterizzazione terreno monofase equivalente (E_u ; _u = 0.5) scheletro solido (E’ ; ’)

calcolo deformazioni  = f(, E_u, _u)  = f(’, E’, ’)

In linea di principio, dovrebbero fornire risultati congruenti nell’ipotesi di validità della teoria elastica.

) ' 1 ( 2

' ' E

3 G E ) 1

( 2

G E

u

u u

    



 

In particolare, per un mezzo elastico isotropo:

Parametri di pressione interstiziale

La definizione dei ‘coefficienti di ripartizione’ esprime in genere u = f()

separando i contributi di componente sferica e deviatorica dell’incremento tensionale Skempton (1954) definì i ‘parametri di pressione interstiziale’ A e B

riferendosi a condizioni di compressione cilindrica (prove triassiali)

 ^{A ( )} 

B ) ,

( f

u   

 

  

  

  



B

u   

  u  BA (  

  

)

incremento (sferico) di ₃ incremento di ₁

3











B3

q

u p p ,  ,

q

u p p ,  ,

B3

) Δσ BA(Δ₁  ₃

3

1

Δσ

Δ  

Consolidazione monodimensionale - Teoria di Terzaghi

2 2 v

u u

t c z

 

 ^ 





w ed

v

kE L T

c

 

L’equazione reggente la consolidazione monodimensionale è :

avendo definito il coefficiente di consolidazione verticale

ed è integrabile purchè siano assegnate:

 condizioni al contorno

 distribuzione iniziale delle sovrappressioni (dall’analisi in condizioni non drenate)

La soluzione è rappresentabile mediante curve dette isocrone (distribuzioni, per un fissato t, di

u

( )

u z

Consolidazione monodimensionale – Soluzione adimensionale

Rappresentazione grafica in termini di isocrone adimensionali u(Z,T)/

H Z  z





Consolidazione monodimensionale – grado di consolidazione

In generale, conviene esprimere l’andamento del fenomeno mediante:

• grado di consolidazione

• grado di consolidazione medio

0

( , ) ( , ) 1

( ) u z t U z t

  u z

0

0 0

0

0

( , ) ( ) 1

( )

z H

z z H

z

u z t dz U t

u z dz



  



w

w

) t ( U  w

A B C

U AB

 AC

significato geometrico

area abdca U  area abeca

z/H=1

a b

c d

e

0 2

0 2

( ) 1 2 n (2 1) 2

n T i

U t u e i

n



 



 

         