Caso limite 1: EaJa/EtJt 0, Arco infinitamente flessibile rispetto alla

Come già accennato in precedenza, i ponti che ricadono in questo caso limite vengono detti anche ponti di tipo Langer, cioè dotati di elementi ad arco sottili e snelli rispetto alla trave molto rigida; i due elementi strutturali sono collegati dai pendini di sospensione.

L’arco di un ponte di questo genere, essendo infinitamente flessibile, non è capace di sopportare azioni flettenti, per cui le azioni ripartite che vengono trasmesse dai pendini hanno per forza come poligono funicolare la linea d’asse dell’arco qualsiasi sia il carico esterno. Dunque l’arco sarà soggetto soltanto a sforzo normale. In tale

73 ottica, si intuisce che le tensioni calcolate sull’arco sono sottostimate, mentre quelle calcolate sulla trave sovrastimate, in quanto si trascura il momento flettente sull’arco (Petrangeli, 1996).

L’equazione che governa l’assorbimento del momento globale in una certa sezione xS si può scrivere nel seguente modo:

M(xS) = Mt(xS) + Hy(xS)

Cioè il momento viene assorbito soltanto da due contributi: il momento sollecitante sulla trave e la coppia generata dalla spinta, essendo nullo il contributo dell’arco. Inoltre, i momenti flettenti risulteranno modesti in quanto dovuti soltanto alla discontinuità reale dei pendini. Si ottimizza così la funzione di arco e trave: l’uno resiste a sforzo normale e l’altra funge da catena e da trave, assorbendo sia sforzo normale che momento flettente.

L’impalcato si comporta approssimativamente come trave semplicemente appoggiata in quanto i pendini non possono considerarsi appoggi fissi.

Figura 7-13- Schema di ponte Langer

Il problema sarebbe caratterizzato da molte incognite iperstatiche se non fosse che si è trascurato il momento flettente sui cavi; in ragione di ciò e delle ipotesi elencate nel 7.5.4, è lecito considerare come unica incognita la spinta H e quindi lo sforzo normale sull’arco.

Si procede dunque al calcolo della spinta H relativa a questo caso limite facendo riferimento ad un sistema a via inferiore.

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Si considera una sezione S dell’arco di un ponte a via inferiore e si evidenziano le forze interne in equilibrio; il carico q è generico ed è applicato sulla trave in quanto il ponte è a via inferiore. Inoltre, si evidenzia il fatto che l’arco è soggetto a solo sforzo normale, per quanto detto in precedenza riguardo alle caratteristiche del sistema con trave rigida rispetto all’arco.

Figura 7-14 - Sollecitazioni su arco e trave, Caso Limite 1

Il momento Mt nella trave nella sezione S può essere espresso con la seguente equazione ottenuta facendo polo nella sezione dell’arco:

MT(x* V ∙ x +„_$+ H ∙ y(x* 0 → MT(x* V ∙ x „_$ H ∙ y(x*

Chiamando mv(x) il momento dovuto ai carichi esterni e alle reazioni, si ha:

MT(x* m[(x* H ∙ y(x*, m[(x* V ∙ x „_$

mv è anche il momento in una sezione generica di una trave in semplice appoggio avente la medesima luce dell’arco; ciò fa intuire che, per H = 0, si ha il comportamento uguale ad una trave. Per H≠0 invece scatta il meccanismo ad arco, e la spinta si oppone

75 ai carichi esterni con una deformata che tende le fibre esterne, tanto maggiore quanto più l’arco è rigido, cioè tanto più si discosta dal comportamento a trave (infatti, più la spinta tende a diminuire, più il sistema si trasforma man mano da arco-trave a trave).

Tornando al problema, si era detto che può essere ricondotto ad una sola incognita H, viste le ipotesi fatte; per poter ricavare il suo valore ci si serve del metodo delle forze. Si individua quindi un sistema principale ed uno fittizio; quello principale sarà soggetto ai carichi originari esterni e sarà svincolato il grado di libertà corrispondente all’incognita cercata (spinta orizzontale). Il sistema fittizio invece vede soltanto un carico unitario applicato nella direzione corrispondente ad H.

Si decide di svincolare la catena in mezzeria introducendo un doppio pendolo che permetta lo scorrimento orizzontale.

Figura 7-15 - Sistema principale 0)

Poiché è permesso lo spostamento orizzontale fra i due tratti di trave, lo sforzo normale in essa è nullo, così come è nullo quello nell’arco, poiché N = H/cosα. Quindi:

Na,0(x) = Nt,0(x) = 0

Dunque il momento sarà semplicemente quello dovuto alla reazione e al carico distribuito:

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Figura 7-16 - Sistema fittizio 1)

Come detto in precedenza, si impone la forza unitaria di trazione e si guarda l’equilibrio di una parte di struttura:

Figura 7-17 - Sollecitazioni su arco e trave, sistema fittizio 1)

Si decide di proiettare lo sforzo N dell’arco nelle direzioni orizzontale e verticale in modo tale da avere un minor numero di variabili possibili nelle equazioni. Dall’equilibrio alla traslazione orizzontale, verticale e alla rotazione, si ottengono le seguenti sollecitazioni:

• N , (x* ∙ cosα + 1 0 → N , _}VIó

• N , (x* ∙ sinα VT, (x* 0 → VT, N , (x* ∙ sinα tgα • 1 ∙ y(x* + MT, (x* 0 → MT, y(x*

77 Sfruttando ora la sovrapposizione degli effetti, si possono ottenere le sollecitazioni dello schema iperstatico originario (reale, cioè senza sconnessione nella catena) come somma delle sollecitazioni indotte dai carichi originari esterni nella struttura principale 0 e di quelle indotte dal carico unitario nel sistema fittizio 1 moltiplicate ciascuna per le incognite iperstatiche; in generale si ha (chiamando η la sollecitazione generica e considerando n incognite iperstatiche Xi):

η η + ∑ XcPÓ PηP

dove η0 è la sollecitazione indotta nel sistema principale e ηiquella indotta nel sistema fittizio.

Nel caso in esame si ha:

NT(x* NT, (x* + X ∙ NT, , VT(x* VT, (x* + X ∙ VT, (x*, MT(x* MT, + X ∙ MT, la stessa cosa per le sollecitazioni nell’arco.

Impostando ora il PLV secondo cui Lve=Lvi si ha:

0 Ø_{TE [F}NT, ∙ ‡,¹Bô_l? ‡, dx + Ø_{TE [F}VT, ∙ ˜‡,¹_Ý?Bô˜‡, χdx +Ø_{TE [F}MT, ∙ A‡,¹BôA‡, lÔ dx + Ø N , ∙ €,¹ Bô €, l? ds + Ø VE}V , ∙ E}V ˜€,¹Bô˜€, Ý? χds + Ø ME}V , ∙ A€,¹BôAlÔ €, dx

Il lavoro virtuale esterno è nullo poiché si riferisce al lavoro compiuto dalle forze del sistema 1 sugli spostamenti del sistema reale iperstatico; dato che in quest’ultimo non è consentito lo scorrimento orizzontale nella catena, il lavoro è per forza nullo.

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Trascurando inoltre la deformabilità tagliante e considerando i valori di sollecitazione trovati dei due sistemi precedentemente, l’equazione diventa:

0 Ø_{TE [F}1 ∙ Bô∙_l? dx +Ø y ∙ ³Bô∙(ö÷* lÔ dx TE [F + Ø }VIó∙ u Bô∙_Ž‚•ø l? v ds E}V X ∙ (Ø_{TE [Fl?}G_+ Ø_{TE [F}÷_lÔ$dx+ Ø_E}V}VI$_{ó l?}ds* Ø_{TE [F}÷∙ _lÔ³(_*dx

Dunque l’incognita iperstatica X = H risulta pari a:

H Ø

y(x* ∙ m[(x* ETJT dx TE [F

Ø_{TE [F}y(x*_ETJT dx+ Ø_{TE [FE}dx_TAT+ Ø_{E}Vcos α E A ds} 1

Confrontando questa soluzione relativa al caso limite di arco infinitamente flessibile rispetto alla trave con quella riferita all’arco a due cerniere:

H ØE}VM[y dsEJ Ø_E}Vy ds_EJ+ Ø_E}VEAds

si nota che al posto della rigidezza flessionale dell’arco è stata sostituita quella della trave; il termine Ø G_

l‡?‡

TE [F viene inserito soltanto per i ponti a via inferiore per tenere in conto la deformabilità della catena, come detto in precedenza. Le due formule risultano quindi analoghe.

Nel caso in cui si consideri un arco a spinta eliminata, l’espressione di H vede un termine in più a denominatore legato alla rigidezza assiale della catena:

79 H Ø M[(x*y(x* dsEJ

Ø y(x* ds_{EJ + ØEA +}ds _ETl_AT

I risultati che si ottengono per l’arco a due cerniere e per quello a spinta eliminata sono molto simili in quanto (come si verificherà nel seguito) i termini di rigidezza assiale costituiscono un contributo trascurabile rispetto a quelli flessionali; sono infatti dell’ordine di 10-6.

Avendo quindi identificato l’espressione della spinta nel caso limite di ponte Langer, si può fare un confronto tra questa e quella per un ponte ad arco a spinta eliminata:

ARCO A SPINTA ELIMINATA ARCO-TRAVE, ARCO ∞ flex

ä Ø ùú(û*í(û* åæçî Ø í(û*Èåæ

çî + Øçè +åæ çýüèý

ä Øýêéúþí(û*∙Íú(û*çýîý åû

Ø_{ýêéúþçýèý}åûBØ_ýêéúþí(û*È_çýîýåûBØ_{éêëìëìæÈ çéèé}Ç åæ

7.5.6. Caso limite 2: EaJa/EtJt ∞, arco infinitamente rigido rispetto alla trave

Come già detto, in questo caso l’arco, essendo molto rigido, assorbe anche momento flettente oltre a sforzo normale; la trave lavora come tirante e localmente a flessione, trasferendo i carichi ai pendini e, quindi, all’arco.

Dunque, il secondo caso limite può essere studiato come un arco a due cerniere o arco a spinta eliminata:

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ARCO A SPINTA ELIMINATA ARCO A DUE CERNIERE

ä Ø ùúí åæçî Ø íÈåæ

çî + Øçè +åæ çýüèý

H Ø M[y dsEJ Ø y ds_{EJ + ØEA}ds

L’equazione che governa l’assorbimento del momento esterno da parte degli elementi della struttura per l’arco a due cerniere è la seguente:

M(xS) = Ma(xS) + Hy(xS) in quanto è nullo il contributo della trave.