Ipotesi per il calcolo e ruolo delle rigidezze

Lo studio di questa tipologia di ponte può essere condotto semplificando la struttura a metà, data la simmetria dei carichi e della geometria.

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Le ipotesi su cui ci si può basare per condurre un calcolo approssimato sono le seguenti (Petrangeli, 1996):

Poter considerare la luce fra i pendini piccola in modo tale da approssimarli ad una distribuzione continua (a “cortina”). Se si hanno interassi tra 1/10L e 1/30L è possibile raggiungere un livello buono di rigidezza della cortina in modo tale da far funzionare in modo ottimale il sistema (Viviani, 2008).

Trascurare la deformazione assiale dei cavi; in questo modo si ipotizza che gli abbassamenti di trave e arco in punti di uguale ascissa siano coincidenti. A rigore, questa ipotesi vale soltanto per le sezioni verticali in corrispondenza di un elemento di sospensione; ma poiché essi sono in genere sufficientemente vicini come supposto nella prima ipotesi, è possibile ritenere che si abbia una cortina di sospensione continua e che quindi l’uguaglianza degli spostamenti si abbia anche in tutte le sezioni verticali generiche. Ciò si verifica nella maggior parte dei casi reali (Raithel, 1977).

Queste prime due ipotesi consentono di far lavorare al meglio arco e trave in quanto, se si abbandona l’assunzione di spostamenti uguali, si rischia di ridurre il ponte all’impalcato (che lavora come se fosse una trave appoggiata) con l’arco che regge solo il peso proprio.

Le successive ipotesi sono:

Trascurare la rigidezza flessionale dei pendini, e cioè considerarli incernierati ad arco e trave in modo tale da poter escludere un qualsiasi loro assorbimento di momento flettente.

Considerare un momento d’inerzia costante lungo tutta la trave; se ciò non corrisponde alla realtà, è lecito considerare un momento d’inerzia medio.

69 Per quanto riguarda quindi la rigidezza assiale dei pendini si è già discusso la questione in precedenza (si vedano le prime due ipotesi); riguardo invece alla rigidezza assiale dell’arco rispetto alla trave e viceversa, si può dire che è conveniente adottare una rigidezza modesta per la seconda in quanto la sua deformabilità può generare momenti flettenti non trascurabili dovuti alla caduta di spinta.

Infatti, considerando il caso semplice di arco a due cerniere con carichi permanenti, si può valutare la caduta di spinta ΔH conseguente alla deformabilità della catena tramite il metodo della spinta addizionale.

Si considera un arco soggetto a solo sforzo normale in cui cioè il suo asse coincide con la curva delle pressioni; svincolando un’imposta, la spinta che si genera sarà H0; essa sarà associata ad un accorciamento pari a Δl che tende ad avvicinare le due imposte:

Figura 7-10 - Spinta associata allo spostamento ξ0

Essendo N Ö¹

}VI× poiché nell’arco si ha solo sforzo normale, si ricava che tale accorciamento è pari a ξ Ø ¹GI

l? cosθ

E}V ØE}VH l?GI .

La condizione statica dell’arco però richiede che gli spostamenti orizzontali siano nulli, quindi deve per forza nascere un’altra spinta ∆H contraria ad H per riportare al punto di partenza la cerniera:

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Figura 7-11 - Spostamento associato alla spinta ΔH (sistema deformante)

Lo spostamento δ dovuto a ∆H si ricava imponendo la congruenza e impostando il PLV con l’utilizzo di un sistema ausiliario:

Figura 7-12 - Sistema lavorante

Lvi = Lve: ξ Ø NÚ_{dl + Ø V}Ú_{dγ + Ø M}Ú_{dφ Ø N′} l?ds + Ø V′E}V Ý?ܘ E}V E}V E}V E}V ds + Ø_E}VM′A_lÔds

Con N’, M’,V’ riferiti al sistema ausiliario e N, V ed M riferiti al sistema reale. Essendo N’ = 1·cosθ, V’ = 1·sinθ, M’ = 1·y ed N, V e M rispettivamente N’·ΔH, V’·ΔH e M’·ΔH, imponendo poi la congruenza (ξ = ξ0) e facendo alcune semplificazioni (considerando Þß

71 á Ø (cosθ*(ΔHcosθ*_{E}V l?}GI + Ø (sinθ*(ΔHsinθ*_E}V ÜGI_Ý? + Ø (y*(ΔHy*_E}V GI_lÔ

Ø_E}VΔH(cos θ*_l?GI + Ø ΔHsin θ_E}V ÜGI_Ý?+ Ø ΔHy_E}V GI_lÔ Ø (ΔH cos θ +_E}V ΔHsin θlÜ_Ý*_l?GI+ Ø ΔHy_E}V GI_lÔ Ø (ãä*_{éêëì çè}åæ+ Ø ãäíÈ åæ

çî éêëì ΔH Ø ds EA E}V Ø_E}Vy ds_{EJ + ØE}VEA}ds ∙ H ±∆l Ø_E}Vy ds_{EJ + ØE}VEA}ds

Di conseguenza la spinta alle imposte sarà: H = H0 – ΔH.

Se si trascura la deformazione per taglio, si giunge alla seguente espressione:

ΔH Ø

ds EA E}V

Ø_E}Vy ds_{EJ + ØE}V}cos α ds_EA ∙ H

Si nota quindi che la caduta di spinta in un arco deformabile assialmente provoca dei momenti flettenti positivi (ΔH ·y) inevitabili anche nel caso in cui l’arco coincida con la funicolare dei carichi permanenti, quando l’accorciamento elastico fa spostare la linea d’asse da quella delle pressioni; inoltre, all’aumentare della deformabilità dell’arco diminuisce la spinta H (perché la caduta di spinta aumenta) ed esso tende ad avvicinarsi sempre di più a una trave appoggiata e quindi a non assolvere più alla funzione per cui viene progettato; i momenti flettenti aumentano (Margiotta, 2011). Inoltre si può vedere come, per valori di f/l bassi, il primo termine al denominatore diminuisca e quindi la caduta di spinta aumenti. Per cedimenti orizzontali importanti in ponti molto ribassati, quindi, si possono avere problemi strutturali dovuti alla caduta di spinta generata da tali spostamenti.

Per un sistema arco-trave in cui è presente anche una catena, la caduta di spinta è dovuta alla deformabilità della stessa; infatti, per un sistema a spinta eliminata, affinché la trave abbia la funzione di catena, una delle due imposte deve essere libera

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di spostarsi orizzontalmente. Ma ciò fa sì che ci sia un’ulteriore diminuzione della spinta dovuta alla deformazione del tirante. La differenza, quindi, rispetto alla caduta di spinta di un arco a due cerniere è che si ha in aggiunta il termine legato alla rigidezza assiale della catena (l/EA):

∆H Ø ds EA E}V + lE_TA_T Ø y ds_{EJ +E}l TAT E}V + ØE}VEAds ∙ H

Tale espressione si ottiene facendo la stessa ipotesi adottata per il calcolo della spinta H, cioè Ül

Ý 1; nel caso in cui si trascuri la deformazione per taglio, si ha:

∆H Ø ds EA E}V + lE_TA_T Ø y ds_{EJ +E}l TAT

E}V + Ø cos α dsE}V EA

∙ H

Rimane da analizzare il rapporto tra le rigidezze flessionali di arco e trave; come già accennato in precedenza, vengono di seguito analizzati i due casi limite.

7.5.5. Caso limite 1: EaJa/EtJt 0, Arco infinitamente flessibile rispetto