Il fatto che si sia parlato di modalit`a di classificazione delle variabili casuali, ha introdotto un possibile problema legato ad esse: la codifica dei loro valori. Esistono infinit`a di codifiche utilizzabili, di diverso tipo: alcune hanno una corrispondenza univoca (o addirittura biunivoca) tra bit che si vuole trasmet-tere e simbolo ad esso associato. D’altro canto, altre addirittura non hanno alcuna corrispondenza con il bit che si intende trasmettere. Non trattiamo per ora l’argomento in profondit`a, ed occupiamoci esclusivamente di alcuni esempi pratici di codifiche.
7.5.1 Esempio Pratico 1 : il codice AMI
Il codice AMI (Alternate Marking Insertion) codifica i simboli (lavorando ovviamente sulle variabili aleatorie) nel seguente modo:
• ’0’ codifica an= 0;
• ’1’ codifica an= ±1.
Il ± indica il fatto che, alternativamente, una volta avremo an = +1, una volta an = −1, alternandosi dunque sempre dalla precedente. La codifica AMI quindi non `e univoca, poich`e serve di fatto una traccia della memoria passata, al fine di poterla interpretare correttamente.
Si noti che, poich`e il numero di +1 eguaglia circa quello di −1, abbiamo che:
E [x(t)] =< x(t) >= 0
7.5.2 Esempio pratico 2
Determinare la densit`a spettrale di potenza Px{f } di un segnale
modu-lato NRZ antipodale in banda base e senza correlazione, dato un simbolo impulsivo rettangolare di altezza unitaria causale.
Vediamo come procedere: innanzitutto, riprendiamo la definizione di base del segnale x(t):
x(t) =
+∞
X
n=−∞
anf (t − nTS) Da qua, abbiamo che:
Px{f } = D |F (f )|2σ2 a+ (ma· D)2 +∞ X n=−∞ |F (nD)|2δ(f − nD)
Per quanto riguarda il parametro ma, si pu`o calcolare come valore atteso:
ma= E [an] = 1 · 0, 5 + (−1) · 0, 5 = 0 Abbiamo dunque che:
Px{f } = |F (f )|
2
Tb
Dalla descrizione del simbolo, abbiamo che:
f (t) = pTS
µ
t − TS
2 ¶
La trasformata di Fourier del simbolo sar`a un seno cardinale:
F (f ) = F {f (t)} = Tb· sin(πf Tb) πf Tb e
−j2πfTb2
Il modulo quadro a questo punto si potr`a banalmente calcolare come:
|F (f )|2 = Tb2·sin
2(πf Tb) (πf Tb)2
Come sappiamo conoscendo questa funzione da Teoria dei Segnali, il mas-simo assoluto `e pari a Tb; la banda null-to-null di questo segnale, inoltre, sar`a pari a:
B00= 1
Tb
Definiamo a questo punto (in questo esempio pratico, ma che comunque avr`a valore universale) l’efficienza spettrale η come:
η = Br B
Dove Br `e il bitrate, e B una banda del segnale (molto spesso in questo ambito si usa la B00, ossia la banda null-to-null appena usata).
In questo esercizio, quindi:
η = Br
B =
Br Br = 1
Abbiamo dunque concluso il calcolo di Px{f }, considerando alcuni casi
particolari, ed alcuni esempi pratici.
7.6 Sistemi di trasmissione digitali
Abbiamo gi`a visto che un sistema di trasmissione digitale si pu`o schematiz-zare in questo modo:
Modellizziamo meglio il blocco includente gli ultimi tre blocchi: abbiamo il Tx digitale, dopo il quale vediamo il canale, che si pu`o pensare come un filtro, la cui risposta all’impulso `e pari a hc(t). Il ricevitore digitale si pu`o modellizzare anch’esso come un filtro, con risposta ad impulso hR(t); questo secondo filtro da noi verr`a chiamato ’filtro di ricezione’.
In uscita dal secondo filtro vi `e un campionatore, in grado di campionare per l’appunto il segnale y(t) in punti tk = t0+ kTS.
Il decisore `e un dispositivo in grado di produrre, a partire dai segnali campionati y(tk), la sequenza di bit.
Il primo filtro `e dovuto ad effetti di filtraggio del canale, che potrebbero ad esempio tagliare un certo range di armoniche. Il secondo `e un filtro da noi inserito e progettato, al fine di eliminare pi`u rumore possibile. da qua nasce quindi un discorso un po’ complicato: ’quanto’ deve poter tagliare il nostro fil-tro, hR(t)? Il filtro deve essere stretto, ma non troppo, altrimenti taglierebbe parte del segnale utile, distorcendolo. Il campionatore seleziona un valore di
y(t) per ciascun periodo TS, selezionando solo un punto dall’intero simbolo. lo schema a blocchi si pu`o semplificare, considerando ’assieme’ i due blocchi hc(t) e hR(t), in un unico filtro, h(t), definito come:
h(t) = hc(t) ⊗ hR(t) Otterremo dunque:
Quanto vale y(t) ? Utilizzando le conoscenze acquisite in Teoria dei Segnali sui sistemi LTI, vediamo che:
y(t) = x(t) ⊗ h(t)
x(t) =
+∞
X
n=−∞
anf (t − nTS) Quindi, possiamo dire che:
y(t) = x(t) ⊗ h(t) =
+∞
X
n=−∞
anδ(t − nTS) ⊗ f (t) ⊗ h(t)
Definendo dunque g(t) il prodotto di convoluzione tra f (t) e h(t), possi-amo riscrivere tutto ci`o come:
y(t) =
+∞
X
n=−∞
ang(t − nTS)
per ogni TS dovremo tuttavia campionare un singolo punto, tk:
tk = t0+ kTS Dunque, otterremo che:
y(tk) = y(t)|tk=t0+kTS = +∞ X n=−∞ ang(tk− nTS) = +∞ X n=−∞ ang(t0+ kTS− nTS) I tk sono detti ’istanti di campionamento’ e, affinch`e il decisore pos-sa ricostruire un ’1’ piuttosto che uno ’0’, devono essere scelti in maniera adeguata.
7.6.1 Esempio Pratico
Presentiamo un esempio pratico di come bisogna comportarsi, dinnanzi a problemi di questo tipo.
Dato un segnale x(t) binario, antipodale, NRZ, con f (t) porta causale di ampiezza 1, possiamo dire ci`o:
Possiamo pensare che:
g(t) = x(t) ⊗ h(t)
g(t) pu`o essere simile, un po’ pi`u regolare, dal momento che la
con-voluzione tende a regolarizzare una curva. Tra poco presenteremo il segnale
discorso che non abbiamo ancora ben affrontato ed evidenziato: la scelta del
tk.
Al variare di k in Z abbiamo diversi istanti di campionamento tk. Essi non si possono scegliere ’a caso’, ma devono essere selezionati (dal progettista del sistema di trasmissione), in modo che il decisore possa distinguere, con una certa sensibilit`a, l”1’ dallo ’0’. Quello che non potremo dunque fare, `e posizionare i tk, o meglio il primo di essi, t0, in prossimit`a del massimo o del minimo del simbolo: in questo modo, i ciclo successivi rimarranno o sullo stesso livello, o andranno in un altro livello, sensibilmente differente dal primo.
Scegliendo il t0 in una posizione di massimo, dunque, si pu`o discriminare violentemente le differenze, evidenziandole, e permettendo cos`ı al decisore di non avere problemi.
A seconda di quanto il massimo sia piatto, ossia a seconda di quanto sia larga la parte pi`u elevata del simbolo, si potr`a avere una zona pi`u o meno utilizzabile per la scelta del t0: se infatti il massimo `e molto esteso, si ha maggiore possibilit`a di scelta del punto di campionamento iniziale.