Modula-tion
Il formato in assoluto pi`u utilizzato in ambito di telecomunicazioni `e la QAM, ossia (come suggerisce il titolo della sezione) la Quadrature Amplitude Mod-ulation: si tratta di una modulazione contemporaneamente di ampiezza, e di fase. Detto in altre parole, si utilizzano le componenti sia in fase che in quadratura rispetto alla portante. Ci`o significa che il segnale modulato avr`a una forma del tipo:
s(t) = x(t) cos(2πfct) − y(t) sin(2πfct)
In questo ambito, non abbiamo legami particolari tra x(t) e y(t): possono essere due segnali digitali in banda base qualunque, in teoria anche con diver-so bitrate. In teoria perch`e in pratica i segnali utilizzati si usano in maniera furba: si scelgono infatti segnali di tipo PAM (Pulse Amplitude Modulat-ed) multilivello, in banda base. Nello spazio delle fasi, infatti, questi hanno una disposizione geometrica con una distribuzione pi`u opportuna rispetto ad altre; consideriamo un esempio pratico:
Questo tipo di configurazione, di geometria, ci permette di considerare
in questo modo, in questo esempio possiamo considerare di avere 4 diversi valori di ampiezza per quanto riguarda la parte reale e la parte immaginaria. Quello che abbiamo appena presentato `e il 16-QAM: ciascun simbolo ha sostanzialmente bisogno di 4 bit per essere rappresentato.
Le tecniche M-QAM sono quelel che si utilizzano quando `e necessario risparmiare banda: lo spettro di potenza sar`a infatti sostanzialmente simile a quello di una MPSK, poich`e quelli che vengono trasmessi sono sostanzial-mente fasori. Al fine di guadagnare in termini di prestazioni, si utiliz-zano costellazioni a baricentro nullo (come quella presentata nell’esempio di 16-QAM).
La banda null-to-null `e pari al doppio del baudrate, 2D, esattamente come nel caso dell’MPSK, e dunque:
B0−0 = 2D = 2 · Br
nbit
Supponiamo di avere due trasmissioni con lo stesso bitrate Br, una me-diante modulazione 2PSK, una meme-diante 128-QAM. Abbiamo che:
2P SK −→ B0−0 = 2Br
128 − QAM −→ nbit = log2(128) = 7 −→ B0−0= 2Br 7
Quello che abbiamo ottenuto in questo esempio banale, `e un sistema in grado di occupare una banda 7 volte pi`u stretta! Ci`o, nel caso di trasmissioni quali quelle via etere, dove la banda `e un bene prezioso e da non sperperare, `e assolutamente utile!
Questo tipo di modulazione `e utilizzatissimo; una delle pi`u celebri appli-cazioni `e il MODEM telefonico v. 34 (33.6 kb/s): esso utilizzava una 1664-QAM, ossia una QAM a 1664 simboli. Questo tipo di tecnologia rappresenta quasi il massimo raggiunto (a parte il v. 90, il 56 kb/s, che utilizzava un truc-co partitruc-colare per aumentare la velocit`a di trasmissione). Da ci`o, si capisca quanto sia stata importante l’introduzione di questo tipo di modulazione.
Capitolo 11
Analisi delle Prestazioni delle
Modulazioni Digitali
Ci occuperemo ora di valutare le varie modulazioni digitali appena introdotte, sotto il punto di vista delle prestazioni; se per ora abbiamo semplicemente fatto alcune presentazioni, ora inizieremo ad occuparci di un punto di vista pi`u ’tecnico’.
11.1 PSK (Phase Shift Keying)
I simboli trasmissibili, si(t), sono come abbiamo visto semplicemente dei fasori, in cui la variabile `e la fase; il tempo di vita, la durata di questi fasori, `e il tempo di simbolo TS. Avremo dunque che:
si(t) = A cos(2πfct + ψ1)pTS(t)
Come impulsi consideriamo impulsi rettangolari sfasati; utilizzando le leggi dela trigonometria, otteniamo:
si(t) = ApTS(t) [cos(2πfct) cos(ψ1) − sin(2πfct) sin(ψ1)]
Ogni simbolo si pu`o dunque rappresentare, nel tempo di vita TS, come una combinazione lineare di seno e coseno. Al fine di determinare le prestazioni, dovremo introdurre la teoria dello spazio dei segnali, e determinare una base ortonormale per i segnali si(t), sia in questo caso che in altri casi (che studieremo pi`u avanti).
Una base ortogonale sar`a dunque:
Ψ2(t) = pTS(t) sin(2πfct) · (−1)
Scegliamo di introdurre il −1 al seno per comodit`a, come vedremo in seguito. Normalizziamo dunque questi elementi di base, ottenendo:
ˆ Ψ1(t) = r 2 TS cos(2πfct)pTS(t) ˆ Ψ2(t) = − r 2 TSsin(2πfct)pTS(t)
Si noti che questo discorso, queste formule, valgono per una generica MPSK, con M > 2. Per una BPSK, le cose si fanno pi`u interessanti, poich`e avremo bisogno esclusivamente di un elemento per la base ortonormale (come potevamo immaginare dalla presentazione: abbiamo visto che il seno risulta essere sempre nullo per qualsiasi codifica scelta); avremo dunque che, se
M = 2:
ψi = {0; π}
s1(t) = A cos(2πfct) s2(t) = A cos(2πfct + π)
La funzione generante lo spazio di questi segnali sar`a banalmente:
ˆ Ψ1(t) =
r 2
TS cos(2πfct)pTS(t)
Si ricordi dunque che `e possibile fare semplificazioni, se si parla di un BPSK!
Torniamo al nostro MPSK generico: i singoli simboli
si(t) = A cos(2πfct + ψi)pTS(t), i = 1...N
Si possono rappresentare geometricamente rispetto alla base ortonormale, mediante un vettore nel piano delle fasi:
~ si = Ã cos(ψi) · A · r TS 2 ; sin(ψi) · A · r TS 2 !
Ci`o che abbiamo appena fatto coincide con la rappresentazione della costellazione; l’energia di ~si varr`a:
εs~i = A2 Ãr TS 2 !2 ¡ cos2(ψi) + sin2(ψi)¢= A2TS 2 Questo `e ragionevole, poich`e la potenza della sinusoide `e A2
2 (come sap-piamo da tempo); moltiplicando per il tempo di esistenza, `e ovvio che si ottenga l’energia, come ci potevamo aspettare.
Come sar`a fatto il ricevitore? Abbiamo visto che nello spazio dei segnali il ricevitore `e un demodulatore con in ingresso un segnale r(t), ed in uscita le varie componenti ri del vettore ~r nella base ortonormale; il decisore ricever`a i simboli trasmessi, e dunque i bit dalla codifica. Sappiamo che i ri si ricavano mediante i prodotti scalari come vuole Gram-Schmidt:
r1 =< r(t)| ˆΨ1(t) >= Z +∞
−∞
r(t) ˆΨ∗1(t)dt =
Ma essendo il tutto limitato nel tempo di vita TS, ed essendo reale la funzione della base ortonormale, abbiamo:
= Z TS
0
r(t) ˆΨ1(t)dt Analogamente per quanto riguarda r2, avremo:
r2 =< r(t)| ˆΨ2(t) >= Z TS
0
r(t) ˆΨ2(t)dt Dove abbiamo che:
ˆ Ψ1(t) = r 2 TS cos(2πfct)pTS(t) ˆ Ψ2(t) = − r 2 TSsin(2πfct)pTS(t)
Questo sar`a il ricevitore ottimo, implementante il criterio di minima distanza, come visto in precedenza.