Cenni sul calcolo di Itô

In questo paragrafo riportiamo alcuni risultati di calcolo dierenziale basato sul- l'integrale stocastico di Itô, come la sua formula per derivare una funzione del tipo t 7→ f(Xt), con X ∈ E e f derivabile due volte. Ne diamo una versione con

ipotesi molto generali:

Teorema 2.6.0.71 (Formula di Itô)

Sia X = (X1_{, ..., X}d_{)a valori in R}d_{tale che X}i _{∈ E, ∀ i = 1, ..., d; sia f ∈ C}2_(Rd_).

Allora vale q.c. f (X) = f (X0) + d X i=1 f0 i(X) · Xi+ 1 2 d X i,j=1 f00 ij(X) · [Xi, Xj] ⇔ ⇔ f (Xt) = f (X0) + d X i=1 Z _t 0 f0 i(X)dXsi+ 1 2 d X i,j=1 Z _t 0 f00 ij(Xs)d[Xi, Xj]s

oppure in forma dierenziale

df (Xs) = d X i=1 f0 i(X)dXsi+ 1 2 d X i,j=1 f00 ij(X)d[Xi, Xj]s .

Per una dimostrazione, si veda [5] alle pagine 340-341.

La denizione del processo [X, Y ] è stata data per via assiomatica, e questo rende dicili i calcoli. Allora utilizziamo una classe particolare di processi, i processi di Itô, per i quali è stato dimostrato originalmente il teorema 2.6.0.71:

Denizione 2.6.0.72 (Processi di Itô)

Sia (Ω, F, P, (Ft)t∈T), T = [0, T ] uno spazio ltrato. Sia X ∈ E. Si dice che Y è

un processo di Itô reale se si può scrivere quasi certamente come

Yt = Y0+ Z _t 0 Ksds + Z _t 0 HsdXs ∀ t ∈ T (2.2) con 1) Y0 F0-misurabile;

2) (Kt)t∈T e (Ht)t∈T sono processi adattati;

3) R₀T |Ks|ds < +∞ q.c;

4) R₀T |Hs|2ds < +∞ q.c.

Proprietà 2.6.0.73 La decomposizione di un processo di Itô è unica a meno di modicazioni.

2.6. Cenni sul calcolo di Itô 25 Diamo di seguito due risultati fondamentali per il calcolo dierenziale stocastico. Lemma 2.6.0.74 Siano Yt = Y0+ R_t 0 Ksds + R_t 0 HsdXs e Yt0 = Y00 + R_t 0 Ks0ds + R_t

0 Hs0dXs due processi di Itô. Allora si ha

[Y, Y0_] t=

Z _t

0

HsHs0d[X]s .

Per una dimostrazione, si veda [7] alla pagina 46.

Proposizione 2.6.0.75 (Formula di integrazione per parti) Siano X, Y ∈ E. Allora vale

XY = X0Y0+ X · Y + Y · X + [X, Y ] ⇔ ⇔ XtYt = X0Y0+ Z _t 0 XdYs+ Z _t 0 Y dXs+ [X, Y ]t .

Per una dimostrazione, si veda [5] alla pagina 339.

Come esempio particolare otteniamo che se Wt è un processo di Wiener d-

dimensionale, allora [Wi_{, W}j_]

t= tδij (δij è il simbolo di Kronecker).

In un contesto più generale, queste proprietà sono fondamentali per risolvere le equazioni dierenziali stocastiche implicate nei modelli di Finanza matematica che saranno presentate nel prossimo capitolo.

Capitolo 3

Nozioni fondamentali di Finanza

Matematica

In questo capitolo, introduciamo i concetti veramente fondamentali di Finanza e ne diamo una descrizione rigorosa in termini di processi stocastici. Cercheremo di limitare agli esempi la terminologia tecnica di questa disciplina e di non utiliz- zare la terminologia anglosassone all'infuori dello stretto necessario. Presentiamo anche, per motivi storici, le caratteristiche principali del modello ideato da Sa- muelson, Black e Scholes per un mercato nanziario, che ha avuto molto successo e che utilizzeremo per fare alcuni esempi. La teoria presentata nei prossimi capi- toli però non implica la scelta di nessun modello particolare, ma ha l'ambizione di applicarsi a una formalizzazione generale di mercato nanziario.

3.1 Mercato nanziario e portafoglio

Introduciamo i concetti base della Finanza; ssiamo uno spazio probabilizzato e ltrato (Ω, F, P, (Ft)t∈T).

Un mercato nanziario è un numero nito di attivi nanziari (azioni, bonds, opzioni...), i prezzi delle unità dei quali sono rappresentati dai processi stocastici

{Si_{}. Nel seguito ci riferiremo direttamente a S}i _{come ad un attivo, anche se}

impropriamente, per semplicità di esposizione.

Sono stati elaborati vari modelli per rappresentare l'andamento dei prezzi del mercato. Presenteremo in questo paragrafo i tratti comuni di quelli ai quali si applicano i risultati della tesi, e nel paragrafo 3.6 a pagina 36 presenteremo in dettaglio il modello di Samuelson-Black-Scholes.

Generalmente, si denota con S0 _{o con B l'attivo privo di rischio; preferiremo la}

seconda notazione perché non dà adito a confusioni. La terminologia privo di rischi signica che il processo Bt soddisfa la seguente condizione:

½

dBt = rBtdt, r ∈ R;

B0 = 1.

La soluzione di questa equazione è data da Bt = e , come si può provare facil-

mente; r è detto pertanto tasso d'interesse. Gli altri attivi con rischio soddisfano equazioni dierenziali stocastiche che dipendono dal particolare modello. Diamo ora la denizione precisa di quanto visto nora:

Denizione 3.1.0.76 Un mercato nanziario è un processo stocastico positivo

S = (B, S1_{, ..., S}d_{) a valori in R}d+1_{. Viste le diverse proprietà delle sue compo-}

nenti, per maggiore chiarezza indichiamo S con (B, S), con S un processo a valori in Rd_{, separando l'attivo senza rischio da quelli con rischio.}

Osservazione 3.1.0.77 Avremo presto bisogno di denire un integrale del tipo R_t

0HsdSs. D'ora in avanti quindi supponiamo quindi che ogni processo Si sia

atto ad essere un buon processo integratore, cioè alla luce del paragrafo 2.5 a pagina 20, una semimartingala continua.

Passiamo ora ad altre nozioni fondamentali:

Denizione 3.1.0.78 Una strategia è un processo stocastico φt prevedibile e

limitato a valori in Rd+1_{; la sua componente i-esima è la quantità di unità di attivo}

i-esimo possedute al tempo t. Scriviamo φt= (Ht0, ..., Htd) oppure φ = (Ht0, Ht),

H a valori in Rd_{, per separare, come prima, la quantità di unità di attivo privo}

di rischio da quella di unità di attivi con rischio. Il valore del portafoglio al tempo t è il prodotto scalare

V_tφ:=­φt, St ® Rd+1 = H 0 tBt+ ­ Ht, St ® Rd .

Con un abuso di terminologia si chiamerà semplicemente Vφ

t portafoglio, e se il

riferimento alla strategia è chiaro dal contesto, lo si indicherà semplicemente con

Vt.

Denizione 3.1.0.79 Sia φ = (H0_{, H)una strategia tale che} RT

0 |Hs0| ds < +∞

q.c. e R₀T kHk2

sds < +∞ q.c; φ è una strategia autonanziata se vale una delle

seguenti due condizioni equivalenti: i) dVφ t = Ht0dBt+ ­ Ht, dSt ® Rd; ii) Vφ t = H00B0+hH0, S0iRd+ R_t 0 Hs0dBs+ R_t 0 HsdSs = V φ 0 + R_t 0 ¡ H0 sdBs+HsdSs ¢ Si vede che la ii) è la versione integrale della i); dalle ipotesi, sappiamo che en- trambi gli integrali sono ben deniti.

Se la strategia φ è autonanziata, si dice anche che il portafoglio Vφ

t è autonan-

3.1. Mercato nanziario e portafoglio 29 Dato un processo positivo, lo si può prendere come numerario di riferimento, cioè si possono dividere tutti i processi implicati nel modello per il processo preso come riferimento. In particolare, se si sceglie come numerario di riferimento un attivo del mercato, si ottiene che i prezzi di tutti gli altri attivi vengono espressi in termini di unità di questo attivo. Scegliamo come numerario l'attivo senza rischio B.

Denizione 3.1.0.80 Sia (B, S) un mercato nanziario in cui B è l'attivo senza rischio. Prendiamo come numerario di riferimento l'attivo senza rischio B, e otteniamo per un processo di un prezzo Si

t il processo attualizzato (o scontato,

seguendo la letteratura anglosassone) che lo rappresenta: e Si t := Si t Bt = e−rt_Si t .

Il valore del portafoglio Vtattualizzato è denito come eVt = _BVt_t = Ht0+ hHt, eStiRd.

Anche in questo caso, con un abuso di terminologia si indicherà eVtsemplicemente

come portafoglio attualizzato.

Vogliamo ora tradurre in termini di processi attualizzati la condizione di auto- nanziamento:

Proposizione 3.1.0.81 Sia φ = (H0_{, H) una strategia tale che} RT

0 |Hs0| ds <

+∞q.c. eR₀T kHk2

sds < +∞q.c. Allora la strategia è autonanziata se e solo se

vale una delle seguenti due condizioni equivalenti: i) deV_tφ= HtdeSt;

ii) eV_tφ= V₀φ+R₀tHsdeSs q.c.

Per una dimostrazione, si veda [7] alle pagine 64-65.

Ogni investitore ha delle preferenze diverse, e quindi non dà la stessa rilevanza di un altro allo stesso valore del portafoglio. Per esempio, se l'investitore è molto aggressivo e ambizioso, darà una grande importanza ad un valore alto del porta- foglio, mentre viceversa se è prudente sarà più attento a non perdere piuttosto che a guadagnare molto. In Finanza, si associa a ciascun investitore una funzio- ne, detta funzione di utilità, che ne caratterizza le preferenze. Ne diamo ora una denizione precisa aggiungendo alcune ipotesi di cui chiariremo il senso subito dopo:

Denizione 3.1.0.82 (Funzione di utilità)

Una funzione di utilità è una funzione U : R ∈ [−∞, +∞) concava, crescente e tale che:

1) l'insieme dom(U) := {x ∈ R | U(x) > −∞} è un insieme non vuoto di [0, ∞)_;

2) U è continua, positiva e strettamente decrescente nella parte interna di dom(U);

3) vale lim

x→+∞U

0_{(x) = 0.}

Chiariamo il senso di queste ipotesi.

La condizione 1) signica semplicemente che un portafoglio con valore nega- tivo non viene considerato utile.

Per comprendere la condizione 2), ragioniamo nel modo seguente, che non è rigoroso ma ha il vantaggio di essere intuitivo. Consideriamo un incremento ∆x: nel nostro caso, rappresenta un'unità molto piccola del valore del portafoglio: per esempio un euro, un dollaro ecc. Passando al limite in cui ∆x → 0, si ha

U (x+∆x)−U (x)

∆x → U0(x), e quindi scriviamo U(x + ∆x) − U(x) ∼= U0(x)∆x. Si vede

allora che U0_{(x)è (quasi) l'utilità data all'unità ∆x nel momento in cui si disponga}

di un portafoglio di valore x: U0_{(x) infatti si chiama anche utilità marginale. Al}

crescere del valore del portafoglio, scema l'interesse per un capitale di valore molto piccolo (∆x); ecco quindi spiegato perché U0 _{decresce. U}0 _{è però sempre}

positivo (cioè U cresce) perché l'utilità di un portafoglio cresce con il suo valore. La condizione 3) signica che nel limite in cui il valore del portafoglio tenda a diventare innito, l'utilità marginale tende a zero: nessuno si interessa più a un capitale minuscolo quando ha un portafoglio di valore enorme.