Uso dell'algebra Max-Plus nella costruzione di portafogli di copertura ottimali

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Università degli Studi di Pisa

Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali

Corso di Laurea in Matematica

Anno Accademico 2004-2005

Relatore

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Indice

0.1 Sommario . . . v

1 Introduzione qualitativa 1 1.1 Concetti fondamentali in un mercato nanziario . . . 1

1.2 Derivati nanziari . . . 2

1.3 Criteri usati nella scelta di portafogli . . . 3

1.4 Il metodo matematico . . . 4

2 Nozioni fondamentali di Probabilità 7 2.1 Processi stocastici . . . 7

2.2 Speranza condizionale . . . 11

2.3 Processi speciali . . . 12

2.4 L'integrale stocastico di Itô . . . 17

2.5 Generalizzazione dell'integrale stocastico . . . 20

2.6 Cenni sul calcolo di Itô . . . 24

3 Nozioni fondamentali di Finanza Matematica 27 3.1 Mercato nanziario e portafoglio . . . 27

3.2 Cambi di probabilità . . . 30

3.3 Arbitraggio . . . 31

3.4 Opzioni europee e mercato completo . . . 32

3.5 Opzioni americane e arresto ottimale . . . 34

3.6 Il modello di Samuelson, Black e Scholes . . . 36

4 La decomposizione Max-Plus di una supermartingala 39 4.1 Presentazione dell'algebra Max-Plus . . . 39

4.2 Processi stocastici nell'algebra Max-Plus . . . 41

4.3 Denizione del problema . . . 43

4.4 Proprietà dell'inviluppo di Snell di Zt⊕ m . . . 44

4.5 La decomposizione Max-Plus . . . 53

5 Formalizzazione e soluzione del problema 59 5.1 Denizioni preliminari . . . 59

5.2 Formulazione del problema . . . 62 iii

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5.3 Soluzione del problema . . . 64

5.4 Un esempio concreto nel modello di Black e Scholes . . . 65

5.5 Conclusioni . . . 68

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0.1 Sommario

In questa tesi, ci occupiamo di risolvere una classe di problemi di Finanza mate-matica nei quali è necessario avere un portafoglio che abbia sempre valore mag-giore di una barriera data dal mercato, detta ostacolo. È questo il caso di un portafoglio di copertura di un'opzione americana, dell'assicurazione di portafogli o in generale di situazioni in cui il mercato imponga vincoli, per esempio di tipo legale. L'investitore deve essere in grado, in ogni istante, di corrispondere a chi ha acquistato l'opzione o a chi ha assicurato il portafoglio il suo valore attuale, o in generale di non infrangere alcuna regola. Se il portafoglio avesse un valore troppo basso, sarebbe necessario aggiungere capitale; per tutelarsi da questa evenienza, è quindi opportuno seguire una strategia che permetta di avere un portafoglio con valore sempre sucientemente grande. Inoltre, una volta soddisfatto questo vincolo, è auspicabile cercare la strategia ottimale, che permetta cioè di ottenere il maggior guadagno possibile. Supporremo che il mercato sia completo e senza opportunità di arbitraggio.

Dal punto di vista matematico, si modellizza un mercato come un processo stocastico a valori in Rd_{, che rappresenta il modo in cui i prezzi siano soggetti a}

variabilità. Di conseguenza, anche l'opzione da coprire, o in generale l'ostacolo, è rappresentato da un processo stocastico. Le ipotesi fatte sulla natura del mercato ci consentiranno, a meno di cambiare misura di probabilità, di ricondurci a una situazione in cui tutti i portafogli autonanziati sono delle martingale.

Per rappresentare la condizione di ottimalità, bisogna considerare che ogni investitore ha una disponibilità diversa ad assumersi dei rischi con la prospettiva di un guadagno, che varia con l'ammontare del capitale investito: esiste cioè una funzione che associa al valore del portafoglio un'utilità per l'investitore. Trovare il portafoglio ottimale signica allora in termini matematici trovare la martingala tale che se la si compone con la funzione di utilità si ottiene un processo con speranza massima. Il problema consta dunque di due parti:

1) denire l'insieme M delle martingale che dominano un processo dato (l'o-stacolo);

2) trovare la martingala ottimale (rispetto alla funzione di utilità) di questo insieme.

La prima parte viene fatta utilizzando la teoria degli inviluppi di Snell. La seconda parte invece viene risolta utilizzando al posto dei numeri reali l'algebra Max-Plus Rmax, cioè R ∪ {−∞} dotato delle operazioni max e +. In

questo semicampo, sarà costruita una decomposizione per supermartingale simile a quella di Doob-Meyer, eettuata però rispetto all'operazione max:

MM P

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Per dimostrare che si tratta eettivamente della scelta migliore, faremo vedere come da ipotesi naturali sulla funzione di utilità si ottenga che essa è concava. Utilizzeremo quindi l'ordine stocastico concavo ≤cv, che ordina un insieme di

variabili aleatorie {Xi}i∈Λ nel senso che

Xi ≤cv Xj se ∀ f : R → R concava E[f(Xi)] ≤ E[f (Xj)] ,

se E[f(Xi)] è denito, e dimostreremo che la martingala MM P è la martingala

più grande rispetto a questo ordine.

Nella parte nale, ci occuperemo di mostrare come sia possibile con questo metodo svolgere calcoli completi per ricavare esplicitamente la strategia otti-male. Questo nostro metodo ha il vantaggio di poter essere applicato no al risultato esplicito anche con ipotesi sulla funzione di utilità quasi inesistenti: questo signica poterlo applicare a quasi tutte le preferenze di investimento pur senza conoscerle in dettaglio. Osserviamo infatti che la funzione di utilità per-sonale, in quanto caratterizzante le scelte di un investitore, spesso non viene dettagliatamente esplicitata.

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Capitolo 1

Introduzione qualitativa

L'obiettivo di questa tesi è risolvere un problema classico di scelta ottimale fra le strategie di investimento disponibili. Vogliamo dare qui un'idea qualitativa di quello che succede in un mercato nanziario e di quello che faremo; la trattazione rigorosa e quantitativa verrà svolta nel seguito, ma è importante capire quale sia il senso delle denizioni che saranno date e delle proprietà che saranno ricercate. Questa breve introduzione non ha certo l'intento di essere esauriente, ma di in-trodurre in maniera semplice i concetti e la terminologia di base della Finanza, in modo da guidare il lettore alla comprensione della trattazione successiva. Nella parte nale, daremo anche le linee principali del metodo matematico seguito per arrivare alla soluzione del problema.

1.1 Concetti fondamentali in un mercato

nanzia-rio

In Finanza, il campo d'azione è un mercato nanziario costituito da un certo numero di beni che sono quotati ogni giorno sul mercato, che si chiamano atti-vi. Un investitore agisce sul mercato investendo un capitale, cioè comprando e vendendo nei momenti che ritiene più opportuni determinate quantità di beni ai prezzi di mercato: segue cioè una certa strategia di investimento, volta a soddi-sfare le sue ambizioni. Ogni acquisto o vendita di beni comporta dei costi ssi, che sono quindi tanto più irrilevanti tanto maggiore è il capitale investito: si chia-mano costi di transazione. In altre parole, un grande investitore non è impedito dai costi di transazione, e può quindi modicare molto in fretta e molto spesso la sua strategia. In ogni istante, l'investitore avrà il proprio capitale investito in di quote di un certo numero di attivi; la collezione di tutte le quote degli attivi posseduti si chiama portafoglio: il valore del portafoglio è quindi il valore del suo investimento in un certo istante.

Bisogna sottolineare che in ogni mercato nanziario è possibile adare parte del capitale ad una banca, che garantisce un certo interesse, che noi supporremo

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sso; anche questa è una forma di investimento, e siccome si sa già all'inizio quale rendita se ne possa ottenere, si parla di attivo senza rischio. Siccome chiunque può ottenere questa rendita da un capitale, diventa cruciale analizzare il rapporto fra il valore del portafoglio e il valore che avrebbe avuto se si fosse investito tutto il capitale iniziale nell'attivo senza rischio: bisogna in altre parole attualizzare il mercato, cioè considerare in ogni istante il valore di un'unità di ogni attivo (e quindi del portafoglio) in rapporto al valore dell'attivo senza rischio. Considerando la situazione con questo punto di vista, sarà ancora possibile avere un guadagno certo? In altre parole, sarà possibile investire un capitale iniziale sapendo con certezza che ad un certo punto il valore di questo investimento sarà più grande di quello iniziale? Una strategia che permetta di investire un capitale in modo da ricavarne un guadagno certo è detta di arbitraggio. Un mercato può ben consentire delle strategie di arbitraggio, ma ogni investitore naturalmente cercherà di seguire questa strategia: quindi si intuisce che presto il margine di guadagno diminuisce no a sparire. Un mercato tende cioè in maniera naturale a eliminare ogni possibilità di arbitraggio.

1.2 Derivati nanziari

Il mercato però non si limita a trattare solamente i beni: vengono stipulati dei contratti basati sul valore degli attivi sottostanti, detti generalmente derivati. Noi ci concentreremo su un tipo di derivato detto opzione: si tratta di un contratto che dà a chi lo compra il diritto di acquistare o vendere un certo bene ad un prezzo stabilito con chi emette l'opzione. Il prezzo viene stabilito all'inizio e l'opzione ha una validità temporale prestabilita; esercitare un'opzione signica far valere il diritto acquisito, e quindi vendere o comprare al prezzo concordato. Un contratto di questo tipo permette per esempio di tutelarsi da una brusca variazione di prezzo, e costituisce una forma di speculazione sul'andamento del prezzo di un certo attivo. Esistono opzioni che si possono esercitare soltanto in un determinato istante detto maturità (opzioni europee) o altre che possono essere esercitate in qualunque istante successivo alla stipulazione del contratto e precedente ad una certa data pattuita, detta sempre maturità: sono le opzioni americane. Le opzioni europee hanno un valore che dipende soltanto dal mercato al tempo di maturità, dal momento che si possone esercitare soltanto allora; quelle americane invece hanno un certo valore in ogni istante, perché sono sempre spendibili.

Ci interesseremo soprattutto alle opzioni americane, che danno origine a due problemi di ottimizzazione: il primo, di chi ha comprato l'opzione, è quella di esercitarla nel momento in cui essa permette il massimo guadagno; cioè sceglie-re, a seconda del prezzo che assume il bene su cui è stata stipolata l'opzione, il momento ottimale in cui realizzare il massimo guadagno. Questo problema è detto di arresto ottimale. Il secondo problema riguarda invece chi ha emesso il contratto: chiaramente, l'opzione ha un certo prezzo, che deve essere

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accurata-1.3. Criteri usati nella scelta di portafogli 3 mente calcolato. Questo prezzo dovrebbe infatti essere suciente a permettere una strategia d'investimento in modo che, qualunque sia il momento in cui l'op-zione venga esercitata, il valore del portafoglio ottenuto investendo il capitale iniziale sia superiore al valore dell'opzione. Se questo non succede, chi ha emesso l'opzione è costretto ad aggiungere capitale al valore del portafoglio per soddisfa-re il contratto: soddisfa-registra quindi una perdita. Questo duplice problema di dasoddisfa-re un prezzo opportuno e di denire una strategia adatta ad evitare perdite e invece realizzare dei guadagni si chiama di scelta di portafoglio.

Un portafoglio il cui valore sia sempre maggiore di quello di un'opzione ame-ricana si chiama portafoglio di copertura per l'opzione stessa. Anche nel caso di un'opzione europea si ha un concetto analogo, ma si considera anche il caso in cui il valore alla maturità del portafoglio sia esattamente uguale a quello dell'opzione: si parla allora di portafoglio di replicazione. Se esiste un portafoglio di questo ti-po, allora è possibile perseguire una strategia che garantisca da ogni perdita (ma che non consenta neanche alcun guadagno!). Il minimo capitale iniziale per poter avere un portafoglio di replicazione per un'opzione (se esiste) è quindi il minimo prezzo a cui vendere l'opzione senza rischiare perdite. Si intuisce che un mercato in cui ogni opzione (europea) sia replicabile è molto interessante, e si chiama completo. È intuitivo che non tutti i mercati sono completi: è certo possibile non riuscire a replicare un'opzione europea, per esempio se il mercato è in costante essione negativa. La completezza del mercato inuenza però anche la possibilità di trovare portafogli di copertura per le opzioni americane, in un modo troppo tecnico per essere arontato qui. In ogni caso comunque, la possibilità di coprire un'opzione americana dipende molto anche dalla sua forma, cioè da come varia al variare del tempo e a seconda delle variazioni di mercato.

1.3 Criteri usati nella scelta di portafogli

Il problema arontato in questa tesi è quello della scelta ottimale del portafoglio di replicazione. Ma in base a quali criteri un investitore sceglie quale strategia seguire per creare un portafoglio di replicazione? Ovviamente, per prima cosa cerca di realizzare il massimo guadagno possibile a cui ambisce. Ma le ambizioni non sono le stesse per tutti: è possibile che un investitore sia più prudente, e stia più attento a non perdere piuttosto che a rischiare molto in vista di grandi guadagni; oppure è possibile che punti su investimenti con rischio maggiore ma anche con maggiori possibilità di guadagno, e quindi sia disposto a rischiare di perdere di più pur di avere possibilità di grandi guadagni. Per rappresentare questa peculiarità, si caratterizza ciascun investitore mediante una funzione, detta funzione di utilità, che associa ad un certo valore di un possibile portafoglio (un numero reale) l'interesse che ha l'investitore a che il suo investimento raggiunga quel valore. Alcune ipotesi sulla forma di questa funzione sono naturali: per esempio, l'interesse di chiunque per un debito è inesistente; avere un portafoglio

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di valore minore del capitale iniziale è contrario agli interessi di ogni persona di buon senso; l'interesse per un valore maggiore è maggiore e così via. Quello che varia è il grado di avversione al rischio di perdere, o l'ambizione di guadagnare tanto e di trascurare i piccoli guadagni.

Tornando al problema iniziale, potremmo quindi trovare una strategia ottima-le per una particolare funzione di utilità: ma è diciottima-le dare una forma precisa alottima-le proprie avversioni al rischio o ambizioni di guadagno! E inoltre, nessun investitore vorrebbe che fosse noto in base a quali criteri egli agisca sul mercato; inne questa ottimizzazione sarebbe molto particolare e poco applicabile. È chiaro quindi che trovare un portafoglio ottimale per una classe molto ampia di funzioni di utilità è un risultato molto potente e versatile.

Esistono altri criteri di scelta per portafogli di copertura: per esempio, dati due portafogli che garantiscano in media la stessa utilità, ma tali che uno sia vari di più dell'altro a seconda delle condizioni del mercato, quale scegliere? Uno potrebbe consentire maggiori guadagni ma anche maggiori perdite; l'altro invece tutela di più dalla casualità degli eventi che inuenzano il mercato. Si tratta chiaramente di una scelta non univoca, ma in genere si preferisce un portafoglio meno variabile, perché in ogni caso il guadagno medio è lo stesso.

Possono poi essere presenti vincoli legali, oppure limitazioni di tipo economico che indirizzino verso la scelta di un portafoglio: ma si tratta di casi molto specici che non è possibile arontare in un contesto generale. In questa trattazione, cerchiamo naturalmente il portafoglio ottimale rispetto all'utilità. Il valore del metodo che useremo sarà che è possibile applicarlo a moltissime funzioni di utilità, praticamente tutte: supporremo soltanto che

i) man mano che il valore del portafoglio cresce, l'investitore attribuisce sem-pre meno valore a rischiare una piccola parte costante di capitale: in termini concreti, si investe con leggerezza un euro al lotto (un investimento assai rischioso!), che rappresenta una piccola parte di capitale; ma non si giocano con la stessa leggerezza mille euro!

ii) Un portafoglio di valore maggiore sia più utile di uno di valore minore. Inoltre, ci occuperemo anche di trovare un portafoglio che sia meno soggetto alla variabilità del mercato, nel senso spiegato sopra.

1.4 Il metodo matematico

Supporremo che il mercato sia completo e senza opportunità di arbitraggio: la teoria della Finanza ci permette di modellizzare il problema tramite uno spa-zio ltrato (Ω, F, P, (Ft)t∈T) dotato di una probabilità che rende il mercato

at-tualizzato una martingala, così come tutti i portafogli interessanti. L'opzione americana di cui cerchiamo portafogli di replicazione sarà un processo stocastico

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1.4. Il metodo matematico 5 adattato Xt: si tratta allora di trovare la martingala ottimale rispetto ai criteri

enunciati sopra che domina questo processo. Nella formalizzazione matematica, dall'ipotesi i) sulla funzione di utilità otterremo che essa è concava. Utilizzeremo allora l'ordine stocastico concavo ≤cv (v. denizione 5.1 a pagina 60): si tratta di

una relazione d'ordine fra variabili aleatorie con uguale speranza. Fra le proprietà più importanti, si ha che date due variabili aleatorie di quadrato integrabile,

X1 ≤cv X2 ⇒ Var(X2) ≤ Var(X1)

e quindi X2 è meno variabile di X1. Avremo così una relazione d'ordine fra

martingale; un eventuale elemento massimo ottimizzerà entrambe le condizioni cercate.

La soluzione è data in termini di una decomposizione dell'inviluppo di Snell di

Xt, cioè della più piccola supermartingala che domina Xt, come una martingala

(che sceglieremo come portafoglio) e un processo opzionale crescente. L'idea di decomporre una supermartingala in una martingala e un processo crescente è ormai classica: in Finanza si usa spesso la decomposizione di Doob-Meyer

Zt = Mt − At di una supermartingala Zt in termini di una martingala e di un

processo prevedibile e crescente (v. teorema 2.3.0.37 a pagina 14 per dettagli). Introdurremo però (v. capitolo 4) l'algebra Max-Plus, cioè R ∪ {−∞} dotato dell'operazione

M

:¡R ∪ {−∞}¢×¡R ∪ {−∞}¢−→ R ∪ {−∞}

tale che _M

(x, y) := x ⊕ y :=max(x, y) .

Otterremo in questo modo un semicampo idempotente dotato di una struttura di algebra sul campo reale. Questo anello esotico è stato studiato a partire dagli anni '50, ed ha portato ad un numero considerevole di risultati in svariati campi della Matematica e della Fisica, dalla teoria del controllo ottimale alla Fisica statistica, passando anche da modelli per giochi come il Tetris e per sistemi automatici discreti. Per un'interessante summa di queste applicazioni, si veda per esempio [1].

In questo semicampo troveremo un'unica decomposizione della forma

M_t⊕ ≥ Zt⊕ At ,

e dimostreremo che la martingala M⊕

t è ottimale fra le martingale che dominano

Zt secondo l'ordine stocastico concavo

Ritornando al problema nanziario, abbiamo così un portafoglio ottimale che non dipende dalla scelta della funzione di utilità, purchè essa soddis le condizioni elencate sopra. Inne, applicheremo questo metodo al modello di Black e Scholes, per ottenere un risultato esplicito.

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Le ipotesi principali che faremo sui processi in gioco sono che l'opzione Xt

sia un processo continuo a destra, limitato a sinistra (rcll) e regolare, cioè che sup

t∈[0,ζ]

Xt sia integrabile e valga E

" sup

t∈[0,ζ]

Xt

#

=] < +∞_{. Inoltre, per denire i} portafogli come integrali stocastici supporremo che il processo che modellizza il mercato sia continuo: questa ipotesi è funzionale alla denizione di integrale stocastico, ma può essere rilassata utilizzando la generalizzazione della denizione di integrale stocastico a semimartingale non continue (cfr. osservazione 2.5.0.70 a pagina 23). In questo caso però, bisogna aggiungere le ipotesi che sia la ltrazione, sia il processo Xtsiano quasi continui a sinistra (v. denizioni 2.1.0.17 a pagina 9

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Capitolo 2

Nozioni fondamentali di Probabilità

In questo capitolo, riportiamo alcune denizioni e risultati di Teoria della Pro-babilità, nella forma in cui verranno usati nel seguito. Non riportiamo però le dimostrazioni, se non per casi particolari in cui ci interessa mostrare quali proprietà vengano utilizzate in vista di una generalizzazione.

2.1 Processi stocastici

Introduciamo alcune denizioni fondamentali sui processi stocastici.

Denizione 2.1.0.1 Sia (Ω, F, P) uno spazio probabilizzato e sia (T, ≤) un in-sieme ordinato di indici. Una ltrazione (Ft)t∈T su (Ω, F, P) è una famiglia

(Ft)t∈T di sotto-σ-algebre di F tale che per ogni s, t ∈ T tali che s ≤ t si

ab-bia Fs ⊆ Ft. Lo spazio probabilizzato munito della ltrazione (Ft)t∈T si chiama

spazio probabilizzato ltrato e si denota con (Ω, F, P, (Ft)t∈T).

Denizione 2.1.0.2 Si dice che una ltrazione (Ft)t∈T è continua a destra se

per ogni t ∈ T vale Ft=

T

u>t

Fu.

Denizione 2.1.0.3 Si dice che una ltrazione (Ft)t∈T su (Ω, F, P) è completa

se per ogni t ∈ T, Ft contiene tutti gli insiemi trascurabili di F.

In altre parole, se A ∈ F è tale che P(A) = 0, allora A ∈ Ft ∀ t ∈ T, o cosa

che è equivalente, A ∈ F0.

Notazione 2.1.0.4 Se la ltrazione (Ft)t∈T su (Ω, F, P) è continua a destra e

completa, si dice che soddisfa le ipotesi abituali. Se la ltrazione soddisfa le ipotesi abituali, si dice anche che lo spazio ltrato (Ω, F, P, (Ft)t∈T) soddisfa le ipotesi

abituali.

Denizione 2.1.0.5 Sia (Ω, F, P) uno spazio probabilizzato e sia (E, E) uno spazio misurabile. Un processo stocastico (Xt)t∈T (o semplicemente un processo

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X_{) a valori in (E, E) è una famiglia (X}t)t∈T di variabili aleatorie da (Ω, F, P) in

(E, E). Nel caso (E, E) = (R, B(R)), dove B sono i boreliani di R, si dice che X è un processo reale. Se (E, E) = (Rd_,Nd_B(R))_{, si dice che è un processo vettoriale}

reale e lo si denota con X.

Notazione 2.1.0.6 Si dice che un processo stocastico (Xt)t∈T è integrabile se

ogni variabile aleatoria Xtlo è. In generale, se L è uno spazio di variabili aleatorie,

le notazioni (Xt)t∈T ∈ L e X ∈ L signicheranno Xt∈ L per ogni t ∈ T.

Generalmente, si pensa ad un processo stocastico come al modello dell'evolu-zione nel tempo di un fenomeno: è quindi naturale riferirsi all'insieme T co-me all'insieco-me dei tempi, e pensarlo coco-me un intervallo reale oppure coco-me un sottoinsieme dei numeri naturali.

Denizione 2.1.0.7 Fissato ω ∈ Ω, la funzione t 7→ Xt(ω) è la traiettoria di X

in ω e si denota con Xω.

Diamo ora due criteri di equivalenza fra processi stocastici:

Denizione 2.1.0.8 Per due processi X e Y deniti sul medesimo spazio, si dice che Y è una modicazione di X se, per ogni t ssato, si ha Xt= Yt q.c.

Denizione 2.1.0.9 Due processi X e Y deniti sul medesimo spazio, si dicono indistinguibili se, per quasi ogni ω ssato, le traiettorie Xω e Yω coincidono.

La seconda condizione è molto più restrittiva della prima (e la implica).

Denizione 2.1.0.10 Sia T = R+ oppure T = [0, T ]. Un processo da (Ω, F, P)

a (Rn_{, B(R}n₎₎ _{si dice continuo se quasi tutte le sue traiettorie lo sono.}

Analoga-mente, un processo viene denito continuo a destra o continuo a sinistra.

Denizione 2.1.0.11 Un processo X da (Ω, F, P) a (E, E) è adattato alla l-trazione se Xt è Ft-misurabile per ogni t ∈ T.

Una famiglia di processi particolarmente interessante è quella costituita dai pro-cessi continui a destra e che hanno limite sinistro nito: essi si indicano con la sigla rcll (dall'inglese right continuous, left limited) oppure con la sigla càdlàg (dal francese continue à droite, limitée à gauche). Utilizzeremo qui la sigla rcll. Denizione 2.1.0.12 La σ-algebra O generata da tutti i processi adattati rcll si chiama σ-algebra opzionale. Un processo si dice opzionale se è O-misurabile. Similmente, consideriamo i processi continui a sinistra (lc oppure càg):

Denizione 2.1.0.13 La σ-algebra P generata da tutti i processi adattati LC si chiama σ-algebra prevedibile. Un processo si dice prevedibile se è P-misurabile.

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2.1. Processi stocastici 9 Passiamo ora alla nozione di tempo d'arresto. Utilizziamo la seguente notazione: Notazione 2.1.0.14 Sia T un insieme dei tempi. Indicheremo con T l'insieme T ∪ {sup T}.

Denizione 2.1.0.15 Sia T un insieme dei tempi. Sia (Ω, F, P, (Ft)t∈T) uno

spazio probabilizzato ltrato. Un F-tempo d'arresto è una variabile aleatoria

τ : Ω → T tale che ∀ t ∈ T si abbia {τ ≤ t} ∈ Ft.

Indichiamo con T l'insieme di tutti i tempi d'arresto a valori in T, e associamo a

τ una σ-algebra Fτ nel modo seguente: Fτ := {A ∈ F | A∩{τ ≤ t} ∈ Ft, t ∈ T}.

Enunciamo alcune proprietà fondamentali dei tempi d'arresto che saranno utiliz-zate nel seguito.

Proprietà 2.1.0.16 Sia F una ltrazione e siano σ, τ e τ1, τ2...tempi d'arresto

a valori in T. Allora valgono le seguenti proprietà: 1) τ è Fτ-misurabile; 2) Fτ = Ft su {τ = t}, per ogni t ∈ T; 3) Fσ = Fτ su {σ = τ} e Fσ ⊆ Fτ se σ ≤ τ; 4) sup i τi ∈ T e inf(σ, τ) ∈ T ;

5) se la ltrazione (Ft)t∈Tè continua a destra, τ ∈ T ⇔ {τ < t} ∈ Ft∀ t ∈ T.

Per una dimostrazione, si veda [5] alle pagine 120-122.

Denizione 2.1.0.17 Si dice che una ltrazione (Ft)t∈T è quasi continua a

sinistra se per ogni tempo d'arresto prevedibile si ha Fτ = Fτ−.

Denizione 2.1.0.18 Sia (Xt)t∈Tun processo adattato su (Ω, F, P, (Ft)t∈T). Si

dice che X è quasi continuo a sinistra se per ogni tempo d'arresto prevedibile si ha Xτ _{= X}τ−

q.c.

Denizione 2.1.0.19 Sia (Xt)t∈T un processo adattato su (Ω, F, P, (Ft)t∈T) e

sia τ ∈ T ; allora il processo (Xτ₎

t∈T denito da

Xτ

t(ω) = Xt∧τ (ω)(ω) ∀ω ∈ Ω

si dice arrestato a τ.

Sia T = [0, T ], T ∈ R. Consideriamo lo spazio misurabile (T × Ω, B(T) ⊗ F). Supponiamo che sia data una ltrazione (Ft)t∈T su (Ω, F, P) continua a destra

e completa. Se X è un processo stocastico, possiamo pensarlo anche come una variabile aleatoria reale su T × Ω, nel senso che X : T × Ω → R è tale che

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Denizione 2.1.0.20 Sia T = [0, T ], T ∈ R e sia H una variabile aleatoria reale su T × Ω. Diciamo che H è progressivamente misurabile se ∀ t ∈ T si ha che H¯¯Ω×[0,t] è B[0, t] ⊗ F-misurabile.

Osservazione 2.1.0.21 E' chiaro che se un processo X considerato come varia-bile aleatoria su T × Ω è progressivamente misuravaria-bile, allora è misuravaria-bile come variabile su T × Ω e adattato come processo (Xt)t∈T su (Ω, F, P, (Ft)t∈T) se

(Ft)t∈T è continua a destra e completa. Il viceversa è invece falso in generale.

Inne, richiamiamo due concetti che saranno utilizzati in questa tesi:

Denizione 2.1.0.22 Sia Φ una famiglia di variabili aleatorie su (Ω, F, P). Allora la variabile aleatoria ˆϕ tale che:

1) ˆϕ ≥ ϕ P-q.c. per ogni ϕ ∈ Φ;

2) per ogni variabile aleatoria ψ su (Ω, F, P) che soddisfa la proprietà 1), allora

ψ ≥ ˆϕ P-q.c.

si chiama sup essenziale di Φ rispetto a P e si denota con sup ess

ϕ∈Φ

ϕ = ˆϕ .

Per una dimostrazione che il sup essenziale esiste ed é quasi certamente unico, si veda [4] a pagina 385-386.

Denizione 2.1.0.23 Sia (Ω, F, P) uno spazio probabilizzato. Una famiglia

{Xt}t∈T di variabili aleatorie si dice uniformemente integrabile se

lim

r→+∞sup_t∈T

Z

{|Xt|>r}

|Xt|dP = 0 .

Lemma 2.1.0.24 Una famiglia {Xt}t∈T di variabili aleatorie è uniformemente

integrabile se e solo se valgono entrambe le seguenti condizioni: i) sup

t∈T

E£|Xt|

¤

< +∞;

ii) la famiglia {Xt}t∈T è P-continua, cioè

lim P(A)→0sup_t∈T Z A |Xt|dP = 0 .

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2.2. Speranza condizionale 11

2.2 Speranza condizionale

In questo paragrafo richiamiamo il concetto di speranza condizionale. Suppor-remo ssato uno spazio probabilizzato (Ω, A, P); indicheSuppor-remo con B ⊆ A una sotto-σ-algebra di A e con Q la restrizione di P a B, indicata anche con PB _o

P |B.

Denizione 2.2.0.25 Data una variabile aleatoria reale integrabile X su (Ω, A, P), si dice che una variabile aleatoria reale Y B-misurabile e Q-integrabile è una versione della speranza condizionale di X rispetto a B se vale

Z B XdP = Z B Y dQ ∀ B ∈ B .

Il teorema seguente garantisce esistenza e unicità della speranza condizionale: Teorema 2.2.0.26 (Kolmogorov)

Data una variabile aleatoria reale integrabile X su (Ω, A, P), esiste sempre una versione della sua speranza condizionale rispetto a B. Inoltre, tale versione è unica a meno di equivalenza modulo Q.

Denizione 2.2.0.27 Data una variabile aleatoria reale integrabile X su (Ω, A, P), la sua speranza condizionale rispetto a B è la classe di equivalenza in L1_{(Ω, R)} _di

tutte le versioni della speranza condizionale denite in 2.2.0.25 e si denota con E(X| B)(esiste anche la notazione EB_X_).

Elenchiamo alcune proprietà fondamentali della speranza condizionale che saran-no usate in seguito:

Proprietà 2.2.0.28 Siano X e Y due variabili aleatorie reali e integrabili sul-lo spazio (Ω, A, P). Siano λ e µ due numeri reali. Alsul-lora valgono le seguenti proprietà:

1) E(X| B) è un operatore lineare in X, cioè

E(λX + µY | B) = λE(X| B) + µE(Y | B) ; 2) E£E(X| B)¤ = E[X]_;

3) E(X| B) = X q.c. se X è B-misurabile;

4) E(X| B) = E[X] q.c. se X è indipendente da B;

5) se Z è una variabile aleatoria B-misurabile e limitata, allora E(ZX| B) = ZE(X| B) ;

(18)

6) se C è una sotto-σ-algebra di B, allora vale

E¡E(X| B)¯¯ C¢= E(X| C) q.c. ; 7) se X ≤ Y q.c., allora E(X| B) ≤ E(Y | B) q.c..

Per una dimostrazione, si vedano [5] alle pagine 104-105 e [6] alle pagine 30-31. Valgono per la speranza condizionale i principali risultati di teoria dell'integra-zione in forma condizionale, come il teorema di Beppo Levi, il lemma di Fatou, la disuguaglianza di Jensen e il teorema di Fubini-Tonelli. Riportiamo solamente i due ultimi risultati perché saranno i soli ad essere utilizzati direttamente. Teorema 2.2.0.29 (Fubini-Tonelli condizionale)

Siano (E, E, P) e (F, F, Q) due spazi di probabilità. Sia λ = P⊗Q l'unica misura di probabilità su (E × F, E ⊗ F) che soddisfa

λ(A × B) = P(A)Q(B) ∀ A ∈ E, B ∈ F .

Sia ora X : E × F → R una variabile aleatoria reale E ⊗ F-misurabile e sia

G ⊆ F _{una sotto-σ-algebra. Siano X}e e Xf le variabili aleatorie denite nel

modo seguente:

• ssato e ∈ E, Xe : F → R è tale che Xe(f ) = X(e, f ) ∀ f ∈ F;

• ssato f ∈ F , Xf : E → Rè tale che Xf(e) = X(e, f ) ∀ e ∈ E.

Allora vale

EP[EQ(Xe| G)] = Eλ[X] = EQ(EP[Xf]| G)

Per una dimostrazione, si veda [5] alla pagina 108.

Proposizione 2.2.0.30 (Disuguaglianza di Jensen condizionale)

Sia X una variabile aleatoria reale integrabile, e sia f una funzione convessa tale che f(X) ∈ L1_{(Ω, R)}_{. Allora vale}

f¡E(X |B)¢≤ E(f (X) |B) _q.c.

2.3 Processi speciali

In questo paragrafo richiamiamo le denizioni e alcune proprietà fondamentali, che verranno utilizzate nel seguito, di processi speciali come processi di Wiener, martingale e martingale locali. Cominciamo con una dei protagonisti della teoria moderna:

(19)

2.3. Processi speciali 13 Denizione 2.3.0.31 (Martingala)

Sia (Mt)t∈Tun processo reale adattato sullo spazio probabilizzato e ltrato (Ω, F, P, (Ft)t∈T)

che soddisfa le ipotesi abituali. Sia M ∈ L1_{(Ω, R)}_{. Allora M è una martingala}

se vale

E (Mt | Fs) = Ms q.c, ∀ s ≤ t ∈ T .

Alcune delle proprietà fondamentali delle martingale saranno utilizzate nel segui-to: cominciamo da quelle di convergenza in L1_.

Denizione 2.3.0.32 Sia u = sup T, e quindi T = T ∪ {u}. Una martingala Mt

denita su T si dice chiusa; si ha

Ms = E (Mu | Fs) q.c, ∀ s ∈ T .

Una martingala (Mt)t∈T si dice chiudibile se può essere estesa a una martingala

chiusa su T.

Teorema 2.3.0.33 (Doob)

Sia T ⊆ R+ un insieme dei tempi non limitato (cioè sup T = +∞). Allora per

una martingala denita su T le seguenti condizioni sono equivalenti: i) M è uniformemente integrabile;

ii) M è chiudibile in +∞; iii) Mt L

1

−→ M+∞.

Per una dimostrazione, si veda [5] alla pagina 131. Per la convergenza in Lp_{, p > 1, vale invece:}

Corollario 2.3.0.34 Sia T ⊆ R+ un insieme dei tempi non limitato. Allora,

dato p > 1, la martingala (Mt)t∈T converge in Lp se e solo se è limitata in Lp.

Il teorema seguente è in un certo senso un'estensione della proprietà fondamentale delle martingale:

Teorema 2.3.0.35 (Optional Sampling, Doob)

Sia (Ω, F, P, (Ft)t∈T)uno spazio ltrato con (Ft)t∈Tcontinua a destra e T = R+.

Sia M una Ft-martingala continua a destra e siano σ, τ ∈ T con τ limitato.

Allora Mτ è integrabile e vale

Xσ∧τ = E (Mτ | Fσ) q.c. (2.1)

(20)

• _{se il processo positivo X} _{è uniformemente integrabile, allora l'enunciato}

del teorema si estende anche al caso in cui τ non sia limitato; si tratta di una condizione necessaria e suciente;

• se vale σ ≤ τ q.c, si può riscrivere la (2.1) nella forma più suggestiva

Xσ = E (Mτ | Fσ) q.c. ,

che fa pensare appunto alla caratteristica fondamentale delle martingale. Per una dimostrazione, si veda [5] alla pagina 135.

Le martingale sono dunque processi molto speciali, ma spesso le ipotesi sui proces-si studiati saranno più deboli. Deniamo allora due generalizzazioni altrettanto importanti:

Denizione 2.3.0.36 (Supermartingala e submartingala)

Sia (Zt)t∈Tun processo reale adattato sullo spazio probabilizzato e ltrato (Ω, F, P, (Ft)t∈T)

che soddisfa le ipotesi abituali. Sia Z ∈ L1_{(Ω, R)}_{. Allora Z è una supermartingala}

(risp. una submartingala) se vale

E (Mt | Fs) ≤ Ms ∀ s ≤ t ∈ T

¡

risp. E (Mt | Fs) ≥ Ms ∀ s ≤ t ∈ T

¢

.

Esiste anche la terminologia italiana di sopramartingala e sottomartingala, ma quella scelta in questa denizione è più omogenea alla letteratura.

Alla luce di queste generalizzazioni, è essere utile cercare di caratterizzare quanto una supermartingala o una submartingala siano diverse da una martingala. Sono state studiate decomposizioni di una supermartingala nel senso Z = M ◦ A, con

M _{martingala, ◦ un'operazione e A un opportuno processo. Ne enunciamo due}

esempi:

Teorema 2.3.0.37 (Doob, Meyer)

Sia T = [0, T ] , T ∈ R oppure sia T = [0, T ] ⊆ N , T ∈ N. Sia (Zt)t∈T una

supermartingala rcll e adattata sullo spazio ltrato (Ω, F, P, (Ft)t∈T). Allora

esiste un unico processo adattato, integrabile, prevedibile e crescente A con A0 =

0 tale che Zt= E (AT − At | Ft) + E (ZT | Ft) , 0 ≤ t ≤ T . Inoltre, si ha Zt+ At= MtA , dove MA t := E (AT + ZT | Ft)è una martingala rcll.

Questa decomposizione (unica a meno di indistinguibilità)si chiama la decompo-sizione di Doob-Meyer di una supermartingala.

(21)

2.3. Processi speciali 15 Teorema 2.3.0.38 Sia T = [0, T ] , T ∈ R oppure sia T = [0, T ] ⊆ N , T ∈ N. Sia (Zt)t∈T una supermartingala positiva rcll e adattata sullo spazio

l-trato (Ω, F, P, (Ft)t∈T). Allora esiste un unico processo adattato, integrabile,

prevedibile e crescente B con B0 = 1 tale che

Zt= E µ ZT × BT Bt ¯ ¯ ¯ ¯ Ft ¶ , 0 ≤ t ≤ T . Inoltre, si ha Zt× Bt= MtB , dove MB t := E (BT × ZT | Ft) è una martingala rcll.

Questa decomposizione è unica a meno di indistinguibilità.

Vediamo ora un'altro tipo di generalizzazione per il concetto di martingala: Denizione 2.3.0.39 (Martingala locale)

Sia (Mt)t ∈ T un processo adattato su (Ω, F, P, (Ft)t∈T). Si dice che M è una

martingala locale se esiste una successione di tempi d'arresto τn% +∞ tale che

il processo arrestato Mτn

t sia una martingala.

Se T = [0, T ] (risp. T = R+), la scrittura τn % +∞ indica in forma concisa

che τn _{↑ +∞} _{e che ∀ ω ∃ n(ω) tale che τ}

n(ω) = T (risp. τn(ω) = +∞) ∀ n ≥

n_{; la successione {τ}n} è detta successione localizzante di M (si usa anche la

terminologia di successione fondamentale).

Si denota con Mloc l'insieme di tutte le martingale locali.

Osservazione 2.3.0.40 Se t ∈ T e t < +∞, allora se M è una martingala locale con successione localizzante τn, si ha che (Mτn)t sono tutte martingale; inoltre,

se esiste un n tale che τn ≥ t q.c., a meno di modicazioni Mt = (Mτn)t è una

martingala; quindi, se s ≤ t, si ha che E (Mt

t | Fs) = Mst= Ms.

Alla luce di questa osservazione introduciamo una notazione:

Notazione 2.3.0.41 Sia (M, τn)una martingala locale, nel senso che M ∈ Mloc

e {τn} è la sua successione localizzante. Denotiamo con

M∗ loc:=

©

(M, τn) | ∀ t ∈ T, ∃ n | τn≥ t q.c.

ª

Introduciamo inne un'altra classe di processi importantissimo nello sviluppo della teoria dei processi stocastici e in particolare della Finanza matematica: Denizione 2.3.0.42 (Moto Browniano)

Si chiama moto Browniano un processo reale con traiettorie continue (Bt)t∈T

adattato su (Ω, F, P, (Ft)t∈T) tale che:

1) B ha incrementi stazionari:

(22)

2) B ha incrementi indipendenti:

data una qualunque partizione t1 < t2 < ... di T, si ha che {Bti− Bti−1}i∈Λ

è una famiglia di variabili aleatorie indipendenti.

Dalla queste proprietà caratterizzanti, si ricava la legge di probabilità degli in-crementi:

Teorema 2.3.0.43 (Lévy)

Sia (Bt)t∈Tun moto Browniano. Allora Bt− B0 è una variabile aleatoria normale

con media rt e varianza σ2_t_{, con r, σ ∈ R.}

Si scrive anche brevemente che (Bt− B0) ∼ N (rt, σ2t) a indicare che Bt − B0

equivale in legge alla variabile normale N (rt, σ2_t)_{. Vediamo ora quali condizioni}

imporre in modo da avere (Bt− B0) ∼ N (0, t), cioè (Bt− Bs) ∼= (

√

t − s)X, con

X _{una variabile aleatoria gaussiana (∼}=indica uguale in legge o in distribuzione). Denizione 2.3.0.44 (Moto Browniano standard) Un moto Browniano (Bt)t∈T

si dice standard se: 1) B0 = 0 P-q.c;

2) E[Bt] = 0 ∀ t ∈ T;

3) E[B2

t] = t ∀ t ∈ T;

4) Bt ha traiettorie continue.

La dimostrazione dell'esistenza di questo processo è dovuta a Wiener (v. [5] alle pagine 252-253), quindi da questo momento in poi indicheremo un moto Browniano standard con Wt e lo chiameremo indierentemente moto Browniano

o processo di Wiener. Anche l'aggettivo standard non verrà più ripetuto, in quanto vale il seguente risultato:

Teorema 2.3.0.45 (Kolmogorov)

Sia T = [0, T ], T ∈ R e sia (Wt)t∈T un processo di Wiener. Allora esiste una

modicazione ¡Wft

¢

t∈T di Wt con traiettorie γ-Hölderiane, per ogni γ ∈ R tale

che 0 < γ < 1 2.

In realtà il teorema di Kolmogorov si applica a una classe più ampia di processi stocastici (v. per esempio [5] alle pagine 57-58); abbiamo riportato qui solo il risultato relativo ai processi di Wiener, il caso che ci interessa. Nel caso T = R+,

(23)

2.4. L'integrale stocastico di Itô 17

γ_{-Hölderiane, e comunque continue.}

Sottolineiamo che per un processo di Wiener la densità f(x) di Wt è

f (x) = √1 2πt e −x2 2t .

Il processo di Wiener ha un'importanza particolare nella Finanza matematica perché si presta a modellizzare bene la l'andamento di un prezzo le cui variazioni non dipendono dal passato: infatti se (Ft)t∈T è la σ-algebra generata da un

processo di Wiener, cioè Ft = σ(Ws, s ≤ t) ∀t ∈ T, allora Wt−Wsè indipendente

da Fs, ed è quindi indipendente dal passato.

2.4 L'integrale stocastico di Itô

Diamo qui soltanto rapidamente le motivazioni che hanno reso necessaria una nuova denizione di integrale per processi stocastici. L'obiettivo era denire, dato un processo stocastico X e un processo di Wiener W , un processo del tipo

It=

Z _t

0

XsdWs .

Un semplice integrale con cambiamento di variabili, cioè Z _t 0 XsdWs = Z _t 0 Xs dWs ds ds

non é possibile, perché un processo di Wiener ha traiettorie non derivabili per quasi tutti gli ω ∈ Ω (v. [8]). Un altro approccio, senz'altro più ecace, é quello di denire un integrale usando la misura di Stieltjes corrispondente al processo integratore; é però necessario che le sue traiettorie siano a variazione limitata. Ma un processo di Wiener non ha traiettorie a variazione limitata: infatti per una funzione a variazione limitata f : [0, 1] → R vale

lim n→+∞ 2n₋₁ X k=0 · f µ k + 1 2n ¶ − f µ k 2n ¶¸₂ ≤ ≤ lim n→+∞ "µ sup 0≤k≤2n₋₁ ¯ ¯ ¯ ¯f µ k + 1 2n ¶ − f µ k 2n ¶¯_¯ ¯ ¯ ¶2n₋₁ X k=0 µ f µ k + 1 2n ¶ − f µ k 2n ¶¶# ≤ ≤ lim n→+∞ ·µ sup 0≤k≤2n₋₁ ¯ ¯ ¯ ¯f µ k + 1 2n ¶ − f µ k 2n ¶¯_¯ ¯ ¯ ¶ · M ¸ = 0 , ma nel caso di un processo di Wiener si ha

2n₋₁ X k=0 EhWk+1 2n − W k 2n i₂ = 2n₋₁ X k=0 1 2n = 1 ∀ n ∈ N

(24)

e quindi in particolare nessuna traiettoria può essere a variazione limitata. Diamo ora una possibile denizione di integrale stocastico:

Denizione 2.4.0.46 Siano Wtun processo di Wiener e Htun processo adattati

su (Ω, F, P, (Ft)t∈T). Diciamo che il processo denito per ogni t ∈ T, ω ∈ Ω come

H · W (t, ω) := lim n→+∞ 2n₋₁ X k=0 Hk 2nt(ω) ³ Wk+1 2n t(ω) − W k 2nt(ω) ´ ,

quando esiste, è l'integrale stocastico di Htin dWte lo denotiamo con

R_t

0HsdWs.

Osservazione 2.4.0.47 Se Wt avesse traiettorie a variazione limitata e se H

avesse traiettorie limitate, si avrebbe un integrale di Stieltjes per traiettorie. I processi con quasi tutte le traiettorie limitate (a variazione totale limitata) si chiamano infatti processi di Stieltjes.

Vogliamo riuscire a denire l'integrale stocastico con un processo di Wiener per una classe sucientemente vasta di integrandi H. Per riuscirci, lo si denisce dapprima su una classe di processi molto particolari, per estendersi poi in vari passi no a una classe più generale. Ripercorreremo qui soltanto i punti salienti della costruzione dell'integrale stocastico secondo Itô, soermandoci sulle pro-prietà che saranno rilevanti per il seguito di questa tesi. Per una trattazione completa, rimandiamo a [7] e [8].

Denizione 2.4.0.48 Sia T = [0, T ] , T ∈ R. Denotiamo con S la classe dei processi semplici, cioè dei processi (Ht)t∈T che sono della forma

Ht(ω) = n

X

i=1

φi(ω)1]ti−1,ti](t) ,

con φi processi limitati e Fti−1-misurabili e 0 = t0 < t1... < tn= T.

Denizione 2.4.0.49 (Integrale di processi semplici)

Sia H ∈ S un processo semplice. Allora ∀ t ∈]tk, tk+1] deniamo

Z _t 0 HsdWs = H·W (t, ω) := k X i=1 φi(ω) ³ Wti(ω)−Wti−1(ω) ´ +φk+1(ω) ³ Wt(ω)−Wtk(ω) ´ = = n X i=1 φi(ω) ³ Wt ti(ω) − W t ti−1(ω) ´ .

(25)

2.4. L'integrale stocastico di Itô 19 Denizione 2.4.0.50 Sia T = [0, T ] , T ∈ R. Denotiamo con M2 _{la classe di}

processi M2_{([0, T ]) :=} ½ H _{progressivamente misurabili} ¯ ¯ ¯ ¯ E ·Z _T 0 H2 sds ¸ < +∞ ¾ = =L2_{(T × Ω, P, dt ⊗ dP) .} Proposizione 2.4.0.51 S è denso in M2_{([0, T ])}_.

Osservazione 2.4.0.52 Questa proposizione ci permette di trovare, dato un processo di M2_{, dei processi semplici H}n _{tali che H}n _{→ H} _{in M}2_{, cioè si ha}

convergenza in L2_{. Data per ogni t ∈ T una successione di Cauchy}

µZ _t 0 H_sndWs ¶ n L2 −→ µZ _t 0 HsdWs ¶ , otteniamo cheRt 0 HsdWs é Ft-misurabile e che ° ° °R₀tHsdWs ° ° °2 2 = E hR_t 0 Hs2dWs i . Se inoltre ogni processo Rt

0 HsndWs della successione era una martingala, lo é

anche il processo limiteR₀tH2

sdWs.

Nel nostro contesto, sarà di fondamentale importanza sapere sotto quali ipotesi gli integrali stocastici sono delle martingale. Riportiamo qui di seguito un risultato noto (v. per esempio [7]) con la relativa dimostrazione, per osservare quali ipotesi entrano in gioco:

Proposizione 2.4.0.53 Sia T = [0, T ] e sia (Ht)t∈T ∈ M2. Allora l'integrale

stocasticoR₀tHsdWs é una Ft-martingala continua.

Dimostrazione

Dobbiamo dimostrare che E µZ _t 0 HudWu ¯ ¯ ¯ ¯ Fs ¶ = Z _s 0 HudWu .

Mostriamo dapprima che questa proprietà è valida per processi semplici: sia

Ht = n

P

i=1

φi1]ti−1,ti](t), e includiamo anche s e t alla partizione 0 = t0 < t1... <

tn = T. Deniamo Mk :=

R_t_k

0 HsdWs e Gk := Ftk, ottenendo un processo a

tempi discreti e limitati {1, ..., n}: vogliamo far vedere che (Mk)k∈{1,...,n} è una

martingala. Osserviamo che

Mk = Z _t_k 0 HsdWs= k X i=1 φi(Wti − Wti−1)

(26)

con φi Gi−1-misurabile. Ma il processo discreto Xk := Wtk è una martingala,

perché (Wt)t∈T è un processo di Wiener: quindi (Mk)k∈{1,...,n} è una martingala

trasformata di (Xk)k∈{1,...,n} ed è quindi una martingala.

Se invece H ∈ M2_{, usiamo la proposizione 2.4.0.51 e l'osservazione 2.4.0.52 nella pagina precedente}

per dimostrare che anche in questo caso l'integrale stocastico è una martingala. ¤ Nel seguito, avremo bisogno di integrare anche processi che soddisfano a una condizione più debole di integrabilità:

Denizione 2.4.0.54 Sia T = [0, T ] , T ∈ R. Denotiamo con fM la classe di processi f M ([0, T ]) := ½ H progressivamente misurabili ¯ ¯ ¯ ¯ Z _T 0 H_s2ds < +∞ P-q.c. ¾ .

Accenniamo ora in quale modo è possibile denire l'integrale stocastico per pro-cessi in fM. Occorre considerare i tempi d'arresto

τn(ω) := inf ½ s ≥ 0 ¯ ¯ ¯ ¯ µZ _s 0 H_u2du ¶ (ω) > n ¾ ,

con la convenzione inf ∅ = +∞; si ha che τn _{% T}_{. Si deniscono poi i processi}

Hn s := Hs ¡ 1]0,τn_] ¢ , e siccome EhRT 0 (Hsn)2ds i = EhR₀τnH2 sds i ≤ n, si ha che Hn _{∈ M}2_{: dunque è denito (}Rt

0 HsndWs)t≥0. Abbiamo allora la seguente

Denizione 2.4.0.55 Sia T = [0, T ], sia W un processo di Wiener e sia H ∈ fM. Allora il processo integrale stocastico di Ht in dWt (

R_t

0 HsdW s)0≤t≤T è l'unico

processo adattato e continuo tale che µZ _t 0 HsdW s ¶τn = Z _t∧τn 0 HsdW s = Z _t 0 H_sndWs .

Osservazione 2.4.0.56 In questo caso, l'integrale stocastico non è più una mar-tingala, ma in generale è soltanto una martingala locale, con sequenza localizzante

{τn_}_{, come si vede dalla denizione sopra.}

2.5 Generalizzazione dell'integrale stocastico

Vogliamo ora generalizzare l'integrale al caso in cui il processo integratore non sia più un processo di Wiener. Nel contesto della Finanza, questo consente di estendere questa trattazione a modelli in cui il mercato non è un processo di Wiener (v. capitolo 3). Seguiremo in questo paragrafo la trattazione data in [5],

(27)

2.5. Generalizzazione dell'integrale stocastico 21 capitolo 17, richiamando i risultati principali.

Partiamo, come nel paragrafo precedente, dai processi semplici, ma questa volta non facciamo (per ora) ipotesi sul processo integratore X. Allora, se H ∈ S, deniamo il processo H · X tale che per ogni t ∈ T

(H · X)t= Z _t 0 HsdXs := n X i=1 φi ³ Xt ti− X t ti−1 ´ ,

con le stesse notazioni della denizione 2.4.0.49 a pagina 18.

Introduciamo poi con un teorema di esistenza il processo covariazione quadratica: Teorema 2.5.0.57 (Covariazione quadratica)

Siano M e N martingale locali continue. Allora esiste un processo unico quasi certamente ([M, N]t)t ∈ T a variazione localmente nita tale che:

1) [M, N]0 = 0;

2) il processo MN − [M, N] è una martingala locale; 3) la forma [M, N] è q.c. simmetrica e bilineare; 4) [M, N] = [M − M0, N − N0] q.c;

5) [M] := [M, M] è un processo non decrescente q.c; 6) se τ ∈ T , allora [Mτ_{, N ] = [M}τ_{, N}τ_{] = [M, N ]}τ _q.c.

Il processo ([M, N]t)t∈T si chiama covariazione quadratica di M e N.

L'obiettivo diventa adesso denire l'integrale stocastico rispetto a una martingala locale. Similmente alla denizione 2.4.0.55 a fronte, esso sarà denito come l'u-nico processo che soddisfa determinate proprietà. Cominciamo con gli integrali di processi semplici:

Proposizione 2.5.0.58 Siano M e N martingale locali continue e siano H, K ∈

S processi semplici. Allora per ogni t ∈ T valgono: 1) H · M e H · N sono martingale locali continue; 2) [H · M, H · N] = (HK) · [M, N] q.c.

Vorremmo che queste proprietà valessero per ogni processo integrando: allora consideriamo la classe di processi come nella

Denizione 2.5.0.59 Data una martingala locale continua M, deniamo

L(M) := ½ H _{progressivamente misurabili} ¯ ¯ ¯ ¯ Z _t 0 H2 sd[M]s < +∞ P-q.c. ∀ t ∈ T ¾ .

(28)

Osservazione 2.5.0.60 Osserviamo che l'integrale ₀ H_sd[M]s è un integrale di

Stieltjes, in quanto [M]t è un processo con traiettorie localmente a variazione

limitata e monotono.

Presentiamo quindi attraverso un teorema fondamentale l'integrale stocastico rispetto a una martingala locale continua:

Teorema 2.5.0.61 (Integrale stocastico, Itô, Kunita e Watanabe)

Per ogni martingala locale continua M e processo H ∈ L(M), esiste una martin-gala locale continua H ·M unica q.c. con (H ·M)0 tale che [H ·M, N] = H ·[M, N]

q.c. per ogni martingala continua N.

Il processo (H · M)t si indica semplicemente con

R_t

0 HsdMs e si chiama integrale

stocastico di H in dMs.

La generalizzazione può ancora continuare agevolmente considerando che se un processo A è continuo, adattato e a variazione nita l'integrale R₀tXsdAs è un

integrale di Stieltjes. Deniamo allora una classe di processi più ampia in cui integrare:

Denizione 2.5.0.62 I processi X che si possono rappresentare come X =

M + A, con M martingala locale continua e A un processo continuo, adatta-to, localmente a variazione nita e tale che A0 ≡ 0 si chiamano semimartingale

continue e si denotano con E.

Proprietà 2.5.0.63 La decomposizione X = M +A di cui sopra è unica a meno di modicazioni e si dice canonica.

Alla luce di questa proprietà, data una semimartingala continua X, sono uni-camente determinati la martingala locale continua M e il processo A della de-composizione X = M + A. Denotiamo con L(A) la classe dei processi H per cui l'integrale di Stieltjes R₀tHsdAs esiste per ogni t ∈ T. Anche in questo caso,

denotiamo con H · A il processo tale che (H · A)t =

R_t

0 HsdAs. Consideriamo

allora L(X) := L(M) ∩ L(A) e deniamo il processo H · X per X ∈ L(X) co-me la somma H · M + H · A. Anche H · X è una semimartingala continua con decomposizione H · M + H · A.

Denizione 2.5.0.64 Sia X una semimartingala e sia X = M + A la sua de-composizione canonica. Se H ∈ L(X), allora deniamo il processo H · X come la somma H · M + H · A, tale che

(H · M)t+ (H · A)t= (H · X)t = Z _t 0 HsdXs = Z _t 0 HsdMs+ Z _t 0 HsdAs .

(29)

2.5. Generalizzazione dell'integrale stocastico 23 Osservazione 2.5.0.65 La proprietà cruciale usata nella dimostrazione della proposizione 2.4.0.53 a pagina 19 è che il processo discreto Xk = Wtk sia una

martingala. Questa proprietà è valida anche in casi più generali in cui il processo integratore non sia un processo di Wiener (purchè l'integrale sia ben denito). Per esempio, se si tratta di una martingala continua; ma anche se è una martingala locale continua in M∗

loc, perché siccome T < +∞, MT è una martingala e quindi

il processo discreto (Xk)k∈{1,...,n}= (Mtk)k∈{1,...,n}= ³ E¡MT T ¯ ¯ Ftk ¢ ´ k∈{1,...,n}

è a sua volta una martingala (v. osservazione 2.3.0.40 a pagina 15).

Possiamo ora estendere la denizione di covariazione quadratica alle semimartin-gale continue nel modo seguente:

Denizione 2.5.0.66 Siano X e Y due semimartingale continue. Siano X =

M + A e Y = N + B le loro decomposizioni canoniche. Allora è denito il processo covariazione quadratica [X, Y ] := [M, N].

Osservazione 2.5.0.67 In realtà, si dimostra che se A è localmente a variazione nita, [Z, A] = 0 per ogni semimartingala Z (v. [5] alle pagine 519-520). La denizione sopra è pertanto solamente un'estensione naturale.

Generalizziamo ora le denizioni date nora ai processi a valori vettoriali. Denizione 2.5.0.68 (Processo di Wiener vettoriale)

Dato uno spazio ltrato (Ω, F, P, (Ft)t∈T),si dice che Wt = (Wt1, ..., Wtd) è un

processo di Wiener a valori in Rd _se

1) ogni componente Wi _{è un processo di Wiener;}

2) Wi

s e Wti sono indipendenti per ogni s, t ∈ T se i 6= j.

Deniamo ora l'integrale di un processo a valori in Rd_:

Denizione 2.5.0.69 Siano H = (H1_{, ..., H}d₎ _{e X = (X}1_{, ..., X}d₎ _{due processi}

vettoriali tali che Hi _{∈ L(X}i₎_{, i = 1, ..., d. Allora l'integrale stocastico di H in dX}

è il processo reale H · X tale che (H · X)t:= Z _t 0 HsdXs= d X i=1 Z _t 0 H_sidX_si .

Osservazione 2.5.0.70 Sottolineiamo che la generalizzazione fatta in questo pa-ragrafo non è la migliore possibile, nel senso che esiste una generalizzazione anche per semimartingale non continue, dovuta a Doléans-Dade e a Meyer. Una sua presentazione non è necessaria ni di questa trattazione, per cui rimandiamo a [5], capitolo 26, per la teoria generale dell'integrazione stocastica di semimartingale.

(30)

2.6 Cenni sul calcolo di Itô

In questo paragrafo riportiamo alcuni risultati di calcolo dierenziale basato sul-l'integrale stocastico di Itô, come la sua formula per derivare una funzione del tipo t 7→ f(Xt), con X ∈ E e f derivabile due volte. Ne diamo una versione con

ipotesi molto generali:

Teorema 2.6.0.71 (Formula di Itô)

Sia X = (X1_{, ..., X}d₎_{a valori in R}d_{tale che X}i _{∈ E}_{, ∀ i = 1, ..., d; sia f ∈ C}2_(Rd₎_.

Allora vale q.c. f (X) = f (X0) + d X i=1 f0 i(X) · Xi+ 1 2 d X i,j=1 f00 ij(X) · [Xi, Xj] ⇔ ⇔ f (Xt) = f (X0) + d X i=1 Z _t 0 f0 i(X)dXsi+ 1 2 d X i,j=1 Z _t 0 f00 ij(Xs)d[Xi, Xj]s

oppure in forma dierenziale

df (Xs) = d X i=1 f0 i(X)dXsi+ 1 2 d X i,j=1 f00 ij(X)d[Xi, Xj]s .

La denizione del processo [X, Y ] è stata data per via assiomatica, e questo rende dicili i calcoli. Allora utilizziamo una classe particolare di processi, i processi di Itô, per i quali è stato dimostrato originalmente il teorema 2.6.0.71:

Denizione 2.6.0.72 (Processi di Itô)

Sia (Ω, F, P, (Ft)t∈T), T = [0, T ] uno spazio ltrato. Sia X ∈ E. Si dice che Y è

un processo di Itô reale se si può scrivere quasi certamente come

Yt = Y0+ Z _t 0 Ksds + Z _t 0 HsdXs ∀ t ∈ T (2.2) con 1) Y0 F0-misurabile;

2) (Kt)t∈T e (Ht)t∈T sono processi adattati;

3) R₀T |Ks|ds < +∞ q.c;

4) R₀T |Hs|2ds < +∞ q.c.

Proprietà 2.6.0.73 La decomposizione di un processo di Itô è unica a meno di modicazioni.

(31)

2.6. Cenni sul calcolo di Itô 25 Diamo di seguito due risultati fondamentali per il calcolo dierenziale stocastico. Lemma 2.6.0.74 Siano Yt = Y0+ R_t 0 Ksds + R_t 0 HsdXs e Yt0 = Y00 + R_t 0 Ks0ds + R_t

0 Hs0dXs due processi di Itô. Allora si ha

[Y, Y0_] t=

Z _t

0

HsHs0d[X]s .

Proposizione 2.6.0.75 (Formula di integrazione per parti) Siano X, Y ∈ E. Allora vale

XY = X0Y0+ X · Y + Y · X + [X, Y ] ⇔ ⇔ XtYt = X0Y0+ Z _t 0 XdYs+ Z _t 0 Y dXs+ [X, Y ]t .

Come esempio particolare otteniamo che se Wt è un processo di Wiener

d-dimensionale, allora [Wi_{, W}j_]

t= tδij (δij è il simbolo di Kronecker).

In un contesto più generale, queste proprietà sono fondamentali per risolvere le equazioni dierenziali stocastiche implicate nei modelli di Finanza matematica che saranno presentate nel prossimo capitolo.

(32)

(33)

Capitolo 3

Nozioni fondamentali di Finanza

Matematica

In questo capitolo, introduciamo i concetti veramente fondamentali di Finanza e ne diamo una descrizione rigorosa in termini di processi stocastici. Cercheremo di limitare agli esempi la terminologia tecnica di questa disciplina e di non utiliz-zare la terminologia anglosassone all'infuori dello stretto necessario. Presentiamo anche, per motivi storici, le caratteristiche principali del modello ideato da Sa-muelson, Black e Scholes per un mercato nanziario, che ha avuto molto successo e che utilizzeremo per fare alcuni esempi. La teoria presentata nei prossimi capi-toli però non implica la scelta di nessun modello particolare, ma ha l'ambizione di applicarsi a una formalizzazione generale di mercato nanziario.

3.1 Mercato nanziario e portafoglio

Introduciamo i concetti base della Finanza; ssiamo uno spazio probabilizzato e ltrato (Ω, F, P, (Ft)t∈T).

Un mercato nanziario è un numero nito di attivi nanziari (azioni, bonds, opzioni...), i prezzi delle unità dei quali sono rappresentati dai processi stocastici

{Si_}_{. Nel seguito ci riferiremo direttamente a S}i _{come ad un attivo, anche se}

impropriamente, per semplicità di esposizione.

Sono stati elaborati vari modelli per rappresentare l'andamento dei prezzi del mercato. Presenteremo in questo paragrafo i tratti comuni di quelli ai quali si applicano i risultati della tesi, e nel paragrafo 3.6 a pagina 36 presenteremo in dettaglio il modello di Samuelson-Black-Scholes.

Generalmente, si denota con S0 _{o con B l'attivo privo di rischio; preferiremo la}

seconda notazione perché non dà adito a confusioni. La terminologia privo di rischi signica che il processo Bt soddisfa la seguente condizione:

½

dBt = rBtdt, r ∈ R;

B0 = 1.

(34)

La soluzione di questa equazione è data da Bt = e , come si può provare

facil-mente; r è detto pertanto tasso d'interesse. Gli altri attivi con rischio soddisfano equazioni dierenziali stocastiche che dipendono dal particolare modello. Diamo ora la denizione precisa di quanto visto nora:

Denizione 3.1.0.76 Un mercato nanziario è un processo stocastico positivo

S = (B, S1_{, ..., S}d₎ _{a valori in R}d+1_{. Viste le diverse proprietà delle sue}

compo-nenti, per maggiore chiarezza indichiamo S con (B, S), con S un processo a valori in Rd_{, separando l'attivo senza rischio da quelli con rischio.}

Osservazione 3.1.0.77 Avremo presto bisogno di denire un integrale del tipo R_t

0HsdSs. D'ora in avanti quindi supponiamo quindi che ogni processo Si sia

atto ad essere un buon processo integratore, cioè alla luce del paragrafo 2.5 a pagina 20, una semimartingala continua.

Passiamo ora ad altre nozioni fondamentali:

Denizione 3.1.0.78 Una strategia è un processo stocastico φt prevedibile e

limitato a valori in Rd+1_{; la sua componente i-esima è la quantità di unità di attivo}

i-esimo possedute al tempo t. Scriviamo φt= (Ht0, ..., Htd) oppure φ = (Ht0, Ht),

H a valori in Rd_{, per separare, come prima, la quantità di unità di attivo privo}

di rischio da quella di unità di attivi con rischio. Il valore del portafoglio al tempo t è il prodotto scalare

V_tφ:=φt, St ® Rd+1 = H 0 tBt+ Ht, St ® Rd .

Con un abuso di terminologia si chiamerà semplicemente Vφ

t portafoglio, e se il

riferimento alla strategia è chiaro dal contesto, lo si indicherà semplicemente con

Vt.

Denizione 3.1.0.79 Sia φ = (H0_{, H)}_{una strategia tale che} RT

0 |Hs0| ds < +∞

q.c. e R₀T kHk2

sds < +∞ q.c; φ è una strategia autonanziata se vale una delle

seguenti due condizioni equivalenti: i) dVφ t = Ht0dBt+ Ht, dSt ® Rd; ii) Vφ t = H00B0+hH0, S0iRd+ R_t 0 Hs0dBs+ R_t 0 HsdSs = V φ 0 + R_t 0 ¡ H0 sdBs+HsdSs ¢ Si vede che la ii) è la versione integrale della i); dalle ipotesi, sappiamo che en-trambi gli integrali sono ben deniti.

Se la strategia φ è autonanziata, si dice anche che il portafoglio Vφ

t è

(35)

3.1. Mercato nanziario e portafoglio 29 Dato un processo positivo, lo si può prendere come numerario di riferimento, cioè si possono dividere tutti i processi implicati nel modello per il processo preso come riferimento. In particolare, se si sceglie come numerario di riferimento un attivo del mercato, si ottiene che i prezzi di tutti gli altri attivi vengono espressi in termini di unità di questo attivo. Scegliamo come numerario l'attivo senza rischio B.

Denizione 3.1.0.80 Sia (B, S) un mercato nanziario in cui B è l'attivo senza rischio. Prendiamo come numerario di riferimento l'attivo senza rischio B, e otteniamo per un processo di un prezzo Si

t il processo attualizzato (o scontato,

seguendo la letteratura anglosassone) che lo rappresenta: e Si t := Si t Bt = e−rt_Si t .

Il valore del portafoglio Vtattualizzato è denito come eVt = _BVt_t = Ht0+ hHt, eStiRd.

Anche in questo caso, con un abuso di terminologia si indicherà eVtsemplicemente

come portafoglio attualizzato.

Vogliamo ora tradurre in termini di processi attualizzati la condizione di auto-nanziamento:

Proposizione 3.1.0.81 Sia φ = (H0_{, H)} _{una strategia tale che} RT

0 |Hs0| ds <

+∞q.c. eR₀T kHk2

sds < +∞q.c. Allora la strategia è autonanziata se e solo se

vale una delle seguenti due condizioni equivalenti: i) deV_tφ= HtdeSt;

ii) eV_tφ= V₀φ+R₀tHsdeSs q.c.

Ogni investitore ha delle preferenze diverse, e quindi non dà la stessa rilevanza di un altro allo stesso valore del portafoglio. Per esempio, se l'investitore è molto aggressivo e ambizioso, darà una grande importanza ad un valore alto del porta-foglio, mentre viceversa se è prudente sarà più attento a non perdere piuttosto che a guadagnare molto. In Finanza, si associa a ciascun investitore una funzio-ne, detta funzione di utilità, che ne caratterizza le preferenze. Ne diamo ora una denizione precisa aggiungendo alcune ipotesi di cui chiariremo il senso subito dopo:

Denizione 3.1.0.82 (Funzione di utilità)

Una funzione di utilità è una funzione U : R ∈ [−∞, +∞) concava, crescente e tale che:

1) l'insieme dom(U) := {x ∈ R | U(x) > −∞} è un insieme non vuoto di [0, ∞)_;