19 Classificazione delle quadriche



, v2= 1

√5

−1 2



, P = 1

√5

2 −1

1 2



Notare che det P = 1 quindi le coordinate y1, y2 hanno lo stesso orientamento delle coordinate x₁, x₂

19 Classificazione delle quadriche

Descriviamo ora un metodo per capire le equazioni di secondo grado in Eⁿ. Supponiamo fissato un sistema di riferimento ortogonale in Eⁿ e indichiamo con (x1, x2, . . . , xn) le coordinate in questo riferimento.

Sia f (x) = f (x₁, x₂, . . . , x_n) un polinomio di secondo grado nelle variabili x₁, x₂, . . . , x_n. Vogliamo capire il luogo dei punti P = (c₁, c₂, . . . , c_n) = c tali che f (c) = f (c₁, c₂, . . . , c_n) = 0

Definizione. Il luogo degli zeri di un polinomio di secondo grado in n variabili si dice una quadrica (conica se n = 2).

Esempi ben noti sono:

• il cerchio di raggio 1 e centro (0, 0) ha equazione x²+ y²= 1,

• la sfera di raggio 1 e centro (0, 0, 0) ha equazione x²+ y²+ z²= 1,

• l’ellisse di centro (0, 0) e semiassi a, b ha equazione x² a² +y²

b² = 1,

• l’iperbole di centro (0, 0) e semiassi a, b ha equazione x² a² −y²

b² = 1,

• la parabola di vertice (0, 0), asse x = 0 e parametro p ha equazione x²+ py = 0.

Possiamo scrivere una equazione di secondo grado mettendo in evidenza tre parti dell’equazione: la parte quadratica che raggruppa i monomi di grado 2, la parte lineare che raggruppa i monomi di primo grado e il termine noto. La parte quadratica `e una forma quadratica, la parte lineare

`e una forma lineare e quindi

f (x) = Q(x) + L(x) + c = x^tAx + b · x + c ove A `e una matrice simmetrica, b `e una colonna e c `e uno scalare.

Ad esempio

f (x₁, x₂, x₃) = 2x²₁+ 6x₁x₂+ 5x²₂− 2x2x₃+ 2x²₃+ 3x₁− 2x2− x3+ 14 =

x1 x2 x3





2 3 0

3 5 −1

0 −1 2







 x1

x2

x3



+ 3 −2 −1



 x1

x2

x3



+ 14 = 0.

Vediamo ora come con trasformazioni di coordinate ortogonali si riduce l’equazione f (x) = 0 ad un numero finito di tipi.

I passo Diagonalizzazione della forma quadratica

Si trova la matrice ortogonale P tale che P^tAP = D matrice diagonale. Si pone x = P y e l’equazione diventa

g(y) = f (P x) = y^tDy + p · y + c

ove p = P^tb. Se in D mettiamo per primi gli autovalori non nulli di A, D = diag (λ₁, . . . , λ_r, 0, . . . , 0) (r ≤ n `e il rango di A) e p = (p₁, . . . , p_n), esplicitando

g(y) = λ1y²₁+ . . . + λry_r²+ p1y1+ . . . + pnyn+ c = 0.

II passo Completamento dei quadrati

Scriviamo g(y) = λ1



y1− p1

2λ₁

²

+ . . . + λr



yr− p2

2λ_r

²

+ pr+1yr+1+ . . . + pnyn+ c − p²₁

4λ₁− . . . − p²_r 4λ_r = 0 Poniamo

y₁= z₁+ p₁ 2λ1

, . . . , y_r= z_r+ p_r 2λr

, y_r+1= z_r+1, . . . , y_n= z_n

(questa trasformazione di coordinate corrisponde ad una traslazione degli assi; il termine lineare sparisce se r = n) e l’equazione diventa

h(z) = λ1z₁²+ . . . + λrz_r²+ pr+1zr+1+ . . . + pnzn+ c⁰= 0 III passo Distinguiamo due casi.

Caso 1

I coefficienti pr+1 = . . . pn = 0 sono tutti nulli (ad esempio quando r = n). In questo caso (dividendo per −c⁰ se c⁰ 6= 0) otteniamo l’equazione finale

d1z₁²+ . . . + drz²_r= c⁰⁰ ove r = rango A = r ≤ n e dove c⁰⁰= 0 oppure c⁰⁰= 1.

Caso 2

In questo caso p_j6= 0 per qualche j = r + 1, . . . , n. Lavoriamo sul termine lineare. Normalizziamo il vettore (0, . . . , 0, p_r+1, . . . , p_n). Troviamo un vettore unitario q = (0, . . . , 0, q_r+1, . . . , q_n) e com-pletiamo l’insieme ortonormale {e₁, . . . , e_r, q} ad una base ortonormale di Rⁿ. Mettendo in riga i vettori trovati otteniamo una matrice ortogonale Q della forma

Q =





1r 0

0 qr+1· · · qn

0 ∗





Con la trasformazione z = Q^tu, l’equazione h(z) = 0 diventa λ1u1+ . . . + λrur+ kur+1+ c⁰= 0 (k `e la norma del vettore (0, . . . , 0, p_r+1, . . . , p_n)). Ponendo

u₁= w₁, . . . , u_r= w_r, u_r+1= w_r+1−c⁰

k, u_r+2= w_r+2, . . . , u_n= w_n (di nuovo una traslazione) otteniamo l’equazione finale

λ1w1+ . . . + λrwr+ kwr+1= 0, r < n

Teorema. Con un cambio di coordinate ortogonali si pu`o ridurre l’equazione di una quadrica f (x) = 0 ad uno dei due tipi descritti sopra

Tipo I d1t²₁+ . . . + drt²_r= c, c = 0, 1, r ≤ n Tipo II d₁t²₁+ . . . + d_rt²_r+ kt_r+1= 0, k 6= 0, r < n

Definizione. Le equazioni descritte nel Teorema si dicono le equazioni canoniche delle quadriche di Eⁿ.

Esempio Cerchiamo l’equazione canonica della quadrica

f (x₁, x₂, x₃) = 2x²₁+ 6x₁x₂+ 5x²₂− 2x₂x₃+ 2x²₃+ 3x₁− 2x₂− x₃+ 14 = 0 La matrice A della parte quadratica `e

A =





2 3 0

3 5 −1

0 −1 2



.

Il polinomio caratteristico di A `e −t(t − 2)(t − 7) e quindi gli autovalori di A sono λ1 = 2, λ2 = 7, λ₃= 0. Gli autovettori normalizzati corrispondenti sono

v1= 1

√10(1, 0, 3), v2= 1

√35(3, 5, −1), v3= 1

√14(−3, 2, 1) e quindi la matrice ortogonale P che diagonalizza A `e



Segue che, ponendo x = P y la parte quadratica dell’equazione diventa 2y₁²+ 7y₂². Calcoliamo la parte lineare

In questo caso siamo fortunati e non serve completare i quadrati. Infine poniamo y1= z1, y2= z2, y3= z3+√

14 e troviamo l’equazione canonica 2z²₁+ 7z²₂−√

14z₃= 0.

Per completare la classificazione delle quadriche introduciamo un altro invariante r⁺= #{autovalori positivi}, 0 ≤ r⁺≤ n

La classificazione si basa sui tre valori r = #{autovalori non nulli, su r⁺ e su c = 0, 1 per le equazioni di Tipo I.

Vediamo il caso n = 2

r r⁺ c esempio tipico descrizione 2 2 1 x²+ y²= 1 ellisse

Negli esempi tipici abbiamo messo i coefficienti uguali ad 1. Conviene capire geometricamente questi luoghi semplici. L’introduzione dei coefficienti comporta solo un cambio di scala sugli assi.

Ad esempio, l’ellisse si ottiene dal centro allungando o accorciando le lunghezze lungo gli assi.

1 x

y

x y

1 1.5

I casi che abbiamo descritto come ellisse, iperbole e parabola, sono i casi considerati non degeneri, gli altri casidescrivono situazioni degeneri in cui la conica si riduce ad una o due rette, ad un punto o all’insieme vuoto.

Vediamo la tabella in dimensione n = 3

r r⁺ c esempio tipico descrizione 3 3 1 x²+ y²+ z²= 1 ellissoide 3 3 0 x²+ y²+ z²= 0 un punto

3 2 1 x²+ y²− z²= 1 iperboloide ad una falda 3 2 0 x²+ y²− z²= 0 cono ellittico

3 1 1 x²− y²− z²= 1 iperboloide a due falde 3 1 0 x²− y²− z²= 0 cono ellittico

3 0 1 −x²− y²− z²= 1 senza punti 3 0 0 −x²− y²− z²= 0 un punto

2 2 – z = x²+ y² paraboloide ellittico 2 2 1 x²+ y²= 1 cilindro ellittico 2 2 0 x²+ y²= 0 retta

2 1 – z = x⁻2 − y² paraboloide iperbolico detto anche sella 2 1 1 x²− y²= 1 cilindro iperbolico

2 1 0 x²− y²= 0 coppia di piani incidenti 2 0 – z = −x −²−y² paraboloide ellittico 2 0 1 −x²− y²= 1 senza punti

2 0 0 −x²− y²= 0 un punto

1 1 – z = x² cilindro parabolico 1 1 1 x²= 1 coppia di piani paralleli

1 1 0 x²= 0 un piano

1 0 – z = −x² cilindro parabolico

1 0 1 −x²= 1 senza punti

1 0 0 −x²= 0 un piano

20 Coniche

Ellissi ed iperboli sono dette anche coniche a centro. In forma canonica il centro `e l’origine degli assi coordinati ed `e centro di simmetria. Gli assi coordinati sono detti gli assi della conica e sono assi di simmetria. La parabola, in forma canonica, `e simmetrica rispetto all’asse y detto asse.

Il vertice della parabola `e l’origine degli assi coordinati, intersezione della parabola con l’asse.

Traslando e ruotando gli assi, si trovano coniche che non hanno equazioni in forma canonica, ma centro ed assi sono sempre centri ed assi di simmetria. Il procedimento di riduzione dell’equazione di una conica (ma anche di una quadrica) permette di trovare centro ed assi (questo spiega perch´e al Teorema degli assi principali sia stato dato questo nome). Ripercorriamo il procedimento nel caso delle coniche con qualche particolare in pi`u.

Partiamo da una conica C di equazione

(1) ax²₁+ 2bx₁x₂+ cx²₂+ dx₁+ ex₂= f, a, b, c non tutti nulli Chiamiamo

A =a b b c



la matrice simmetrica associata alla parte quadratica

ax²₁+ 2bx₁x₂+ cx²₂= x₁ x₂
a b b c

 x₁ x₂



I passo: calcolare gli autovalori λ₁ e λ₂ (ricordo che sono due numeri reali) di A. Abbiamo tre possibilit`a

1. λ1λ2= det A > 0, gli autovalori hanno lo stesso segno, 2. λ1λ2= det A < 0, gli autovalori di A hanno segno opposto,

3. λ16= 0 e λ2= 0 (quindi det A = 0).

(Gli autovalori non possono essere entrambi nulli, perch´e in questo caso si dovrebbe avere A = 0 contro l’ipotesi che a, b, c non siano tutti nulli.)

Se C non `e degenere: nel primo caso `e una ellisse, nel secondo caso `e una iperbole, nel terzo caso `e una parabola. Per stabilire se la conica `e o non `e degenere bisogna arrivare alla fine del percorso.

II passo: calcolare una base ortonormale di autovettori v1, v2di A

|v1| = |v2| = 1, v1· v2= 0.

Scegliamo v1, v2 in modo che la base ordinata (v1, v2) abbia lo stesso orientamento della base standard (e1, e2). I versori v1 e v2 danno le direzioni degli assi di C.

Chiamiamo P = v1 v₂
la matrice ortogonale che ha come colonne i vettori v1 e v2. Segue che det P = 1 (quindi P `e una rotazione degli assi) e

P^tAP =λ₁ 0 0 λ₂

 . Poniamo

x₁ x₂



= Py₁ y₂

 . Segue che

ax²₁+ 2bx1x2+ cx²₂= x1 x2
a b b c

 x1

x2



= y1 y2
P^ta b b c

 Py1

y2



=

y₁ y₂
λ₁ 0 0 λ2

 y₁ y2



= λ₁y²₁+ λ₂y₂². Il termine lineare diventa

dx1+ ex2= d e
x1

x2



= d e
Py1

y2



= D E
y1

y2



= Dy1+ Ey2

ove

D E
def

= d e
P Quindi l’equazione (1) diventa

(2) λ₁y₁²+ λ₂y²₂+ Dy₁+ Ey₂= f.

III passo Completamento dei quadrati.

Caso λ1λ26= 0.

Completando i quadrati l’equazione (2) diventa

(3) λ1(y1− C1)²+ λ2(y2− C2)²= F

ove C1= −D/2λ1, C2 = −E/2λ2, F = f + λ1C₁²+ λ2C₂². Se la conica C `e non degenere, allora `e una conica a centro e (C1, C2) sono le coordinate y1, y2 del centro di C. Le coordinate x1, x2 del centro sono

C^def= c1

c2



= PC1

C2



Gli assi di C sono le rette C + hv1i, C + hv2i.

Caso λ16= 0 e λ2= 0.

Completando il quadrato l’equazione diventa

λ1(y1− C1)²+ Ey2= F

ove C1= −D/2λ1. La conica `e non degenere se e solo se E 6= 0 e in tal caso l’equazione diventa (4) λ1(y1− C1)²+ E(y2− C2) = 0

ove C2= F/E. Il punto V = (C1, C2) `e il vertice della parabola in coordinate y1, y2e le coordinate x1, x2 si trovano come prima. L’asse della parabola `e la retta V + hv2i.

IV passo Equazioni canoniche.

Se F = 0, la conica `e degenere. Altrimenti possiamo dividere per F ottenendo z²₁

F/λ₁ + z₂² F/λ₂ = 1.

Se F/λ₁ e F/λ₂ sono entrambi > 0, abbiamo una ellisse di semiassi pF/λ₁ e pF/λ₂; se sono entrambi negativi la conica `e degenere. Se F/λ₁e F/λ₂hanno segni opposti, abbiamo una iperbole di semiassip|F/λ₁| ep|F/λ₂|.

1. Classificare e trovare l’equazione canonica della conica C di equazione x²₁+ x²₂+ 4x1x2+ 4x1− 2x2= 2.

La matrice associata al termine quadratico `e la matrice A =1 2

2 1



che ha determinante det A = −3. Segue che C o `e degenere o `e un’iperbole e quindi a centro.

Gli autovalori di A sono λ1= 3 e λ2= −1. I relativi autovettori normalizzati sono v₁=^√1

e quindi la matrice che diagonalizza A `e P = ^√1

Completando i quadrati si ricava 3 y1+ Segue che la conica C `e non degenere e quindi una iperbole.

Le coordinate y1, y2 del centro sono −

√2 6 , −^√3

2
e quindi il centro ha coordinate x₁= ^√1 e quindi i semiassi dell’iperbole sono√

7/3 ep7/3.

−5.0

−5.0 0

c

2. Classificare e trovare l’equazione canonica della conica C di equazione 4x²₁+ x²₂− 4x₁x₂+ x₁+ 4x₂+²₅ = 0.

La matrice della parte quadratica dell’equazione di C `e A = 4 −2

−2 1



che ha determinante nullo. Segue che C o `e degenere o `e una parabola.

Il polinomio caratteristico di A `e

det4 − λ −2

−2 1 − λ



= λ(λ − 5).

Segue che gli autovalori di A sono λ1= 5 e λ2= 0. I relativi autovettori normalizzati sono v1=^√1 Segue che la matrice cercata `e

P = ^√1

Notare che det P = 1 come richiesto. (Fosse stato det P = −1, avremmo dovuto cambiare il segno di uno dei due autovettori.)

Ponendo

e sostituendo nell’equazione di C si ottiene 5y₁²+^√1

5(2y1+ y2) +^√4

5(−y1+ 2y2) +²₅ = 5y²₁−^√2

5y1+^√9

5y2+²₅ = 0.

Completando i quadrati l’equazione diventa 5

−3.0 −2.0 −1.0 1.0

−2.0

−1.0 0 c

Terminologia

Prodotto scalare. Spazio vettoriale euclideo. Prodotto scalare standard. Prodotto scalare di Frobe-nius. Norma. Lunghezza. Vettore unitario. Versore. Vettore normalizzato. Vettori ortogonali.

Insieme ortogonale. Insieme ortonormale. Base ortogonale. Base ortonormale. Procedimento di Gram-Schmidt. Isometria (vettoriale). Matrice ortogonale. Gruppo di matrici. Gruppo lineare generale e speciale. Gruppo ortogonale. Basi equiverse. Orientamento. Spazio vettoriale orien-tato. Complemento ortogonale. Proiezione ortogonale (vettoriale). Minimi quadrati. Retta di regressione. Sistema normale. Teorema degli assi principali. Matrice definita positiva. Catena di minori principali. Spazio euclideo. Origine. Spazio euclideo standard. Traslazione. Distanza.

Isometria (geometrica). Punto unito. Variet`a lineare. Direzione. Punti, rette, piani, m-piani, iper-piani. Variet`a lineari incidenti, parallele, sghembe. Variet`a congiungente. Sistema di riferimento.

Sistema di riferimento ortogonale. Coordinate. Equazioni parametriche ed equazioni cartesiane di una variet`a lineare. Proiezione ortogonale (geometrica). Variet`a perpendicolare. Piede. Distanza tra variet`a. Punti di minima distanza. Volume. Parallelotopo. Gramiano. Rotazione. Riflessione.

Forma lineare. Forma quadratica. Matrice associata. Matrici congruenti. Quadrica. Conica.

Saper fare

• Normalizzare un vettore.

• Costruire un insieme di generatori or-togonali con il procedimento di Gram-Schmidt.

• Costruire una base ortonormale.

• Calcolare rapidamente le coordinate di un vettore rispetto ad una base ortogo-nale od ortonormale.

• Riconoscere una matrice ortogonale.

• Calcolare il complemento ortogonale di un dato sottospazio.

• Calcolare la proiezione ortogonale di un vettore su un sottospazio.

• Diagonalizzare una matrice simmetrica.

• Trovare la matrice ortogonale che diago-nalizza una matrice simmetrica.

• Riconoscere una matrice simmetrica definita positiva con il criterio dei mi-nori principali.

• Trovare la direzione di una variet`a line-are.

• Riconoscere variet`a lineari incidenti.

• Riconoscere variet`a lineari parallele.

• Riconoscere variet`a lineari sghembe.

• Riconoscere variet`e lineari n´e incidenti n´e parallele n´e sghembe.

• Passare da equazioni parametriche a equazioni cartesiane e viceversa.

• Trovare l’intersezione di due varie`a line-ari.

• Trovare la congiungente di due variet`a lineari.

• Trovare la perpendicolare ad una variet`a lineare passante per un punto.

• Calcolare i punti di minima distanza tra due variet`a lineari.

• Diagonalizzare una forma quadratica.

• Trovare l’equazione canonica di una co-nica e determinarne centro ed assi di simmetria.

Vero o Falso?

• In Rⁿ esiste un unico prodotto scalare.

• In uno spazio vettoriale euclideo due vet-tori linearmente indipendenti sono or-togonali.

• In uno spazio vettoriale euclideo V vale (λv) · (λw) = λ(v · w) per ogni v, w in V .

• In uno spazio vettoriale euclideo l’angolo tra i vettori v e w `e uguale all’angolo tra i vettori −2v e −2w.

• In Pn(R), hp(x) | q(x)i = p(0)q(0) definisce un prodotto scalare.

• Le basi ortogonali ottenute con Gram-Schmidt dagli insiemi ordinati {v₁, v₂, v₃} e {v₃, v₂, v₁} coincidono.

• Il procedimento di Gram-Schmidt per-mette di ottenere una base ortonormale da un insieme qualunque di vettori.

• Esprimendo il vettore v come combi-nazione lineare dei vettori della base or-togonale {v₁, v₂, . . . , v_n} il coefficiente di vi`e

ci= v · vi

kvik.

• Ogni insieme ortogonale `e linearmente indipendente.

• Una matrice che ha polinomio caratter-istico t³+ t non pu`o essere simmetrica simmetrica.

• Una matrice che ha autovettori v1 = (1, 2), v2 = (1, 3) non pu`o essere sim-metrica.

• Una matrice simmetrica n × n con un solo autovalore di molteplicit`a n `e una matrice scalare.

Esercizi

1. Sia V = M2(R) con il prodotto scalare di Frobenius. Sia W il sottospazio delle matrici simmet-riche. Si consideri il sottoinsieme

B = 2 −1

−1 0

 ,1 1

1 2



,2 2 2 −3



Far vedere che B `e una base ortogonale di W . Calcolare [A]_B ove A = 0 −1

−1 2



2. Si consideri in R⁵il sottospazio U generato dai vettori

u1= (1, 0, 1, 0), u2= (1, 1, 1, 1), u3= (−1, 2, 0, 1).

Trovare una base ortogonale per U . Trovare una base ortonormale per U . 3. In C⁰[−1, 1] si consideri il prodotto scalare

hf | gi = Z 1

−1

f (x)g(x) dx

Calcolare una base ortogonale del sottospazio generato dalle funzioni f₁(x) = x, f₂(x) = x³, f₃(x) = x⁵.

4. Dati i vettori v1 = (1, 2, 3), v2 = (1, 1, −1) in R³, trovare tutti i vettori w non nulli tali che {v1, v2, w} sia una base ortogonale di R³ e ricavarne una base ortonormale.

5.Trovare una base ortonormale per il sottospazio di R⁴generato dai vettori assegnati.

a) (1, 0, −1, 0), (1, 1, −1, 0), (−1, 1, 0, 1). b) (1, 2, 0, 1), (2, 1, 1, 0), (1, 0, 2, 1).

6. Data la matrice

A =





3 1 4

1 −2 1

1 5 2



 trovare una base ortogonale per R(A).

7. Calcolare il complemento ortogonale del sottospazio U di V .

a) U = h(1, 1, −1)i, V = R³. b) U = h(0, 1, −1, 3), (1, 0, 0, 3)i, V = R⁴. 8. Sia A una matrice antisimmetrica. Cosa si pu`o dire degli autovalori di A?

9. Trovare una matrice ortogonale P che diagonalizza la matrice data. 10. Diagonalizzare le seguenti forme quadratiche.

x⁺₁x⁺₂6x1x2, x²₁+ x²₂+ x²₃+ 2x1x2− 2x1x3+ 2x2x3,

3x²₁+ 3x²₂+ 3x²₃+ 3x²₄+ 2x1x2+ 6x1x3+ 2x1x4+ 2x2x3+ 6x2x4+ 2x3x4.

11. Sia A una matrice raele simmetrica 2 × 2 con due autovalori distinti λ1 e λ2. Se v1= (1, 2) `e un autovettore di A corrispondente all’autovalore λ₁, determinare un autovettore corrispondente a λ₂.

12. Sia A una matrice reale simmetrica con due autovalori distinti λ₁e λ₂. Sapendo che v₁= (a, b)

`e un autovettore corrispondente all’autovalore λ₁, determinare la matrice A utilizzando i dati λ₁, λ₂, a, b.

13. Sia A una matrice reale simmetrica 3 × 3 con due autovalori λ1e λ2, il secondo con molteplicit`a 2. Sapendo che Vλ₁ = h(1, −1, 1)i, trovare la matrice A utilizzando i dati.

14. Sia L = {(x, y, z) | x + 3y − 2z + 2 = 0} e P = (2, 1, 3). Calcolare pL(P ). Calcolare d(P, L).

15. Sia A una matrice simmetrica reale n × n. Poniamo L = LAe sia U un sottospazio di Rⁿ tale che LU ⊆ U . a) Far vedere che LU^⊥⊆ U^⊥.

b) Far vedere che la matrice di L rispetto ad una base ortonormale di U `e una matrice simmetrica.

16. Sia A una matrice reale n × n. Far vedere che esiste una matrice reale quadrata B tale che A = B^tB se e solo se A `e simmetrica e gli autovalori di A sono non negativi.

17. Siano A e B matrici reali simmetriche di ordine n tali che AB = BA. Far vedere che esiste una base ortonormale per Rⁿ formata da vettori che sono autovettori sia di A che di B.

18. Siano A e B matrici simmetriche definite positive.

a) `E vero o falso che A + B `e definita positiva?

(a) Stabilire se le rette r ed s sono o non sono parallele.

(b) Calcolare la distanza d di r da s.

(c) Stabilire se le rette r ed s sono o non sono sghembe.

(d) Determinare i punti P1 di r e Q1di s tali che d = |Q1− P1|.

20. Nello spazio, (x, y, z) sono coordinate cartesiane ortogonali. Consideriamo il punto P0 = (2, 0, 1) e la retta r di equazioni cartesiane

r :

(x − y = 1 x + z = 2 .

Sia α il piano contenente r e passante per P₀. Sia β il piano parallelo ad r, ortogonale ad α e passante per P0. Poniamo s = α ∩ β.

(a) Calcolare d(P0, r).

(b) Trovare equazioni cartesiane di α e di β.

(c) Calcolare d(β, r).

(d) Stabilire se le rette r ed s sono incidenti, parallele o sghembe.

21. In R⁴ si considerino il sottospazio U = h(1, 1, 0, 1), (0, 1, −1, 1)i e il vettore v = (1, 1, 1, 1). Sia U^⊥ il sottospazio ortogonale di U .

(a) Calcolare la dimensione di U e di U^⊥. (b) Trovare una base ortogonale di U .

(c) Trovare una base di U^⊥.

(d) Trovare vettori u ∈ U e w ∈ U^⊥ tali che v = u + w.

22. In R⁴ si considerino il sottospazio U = h(1, 1, 0, 1), (0, 1, −1, 1)i e il vettore v = (1, 1, 1, 1). Sia U^⊥ il sottospazio ortogonale di U .

(a) Calcolare la dimensione di U e di U^⊥. (b) Trovare una base ortogonale di U . (c) Trovare una base di U^⊥.

(d) Trovare vettori u ∈ U e w ∈ U^⊥ tali che v = u + w.

23. In R⁴ si considerino il sottospazio U = h(1, 1, 0, 1), (0, 1, −1, 1)i e il vettore v = (1, 1, 1, 1). Sia U^⊥ il sottospazio ortogonale di U .

(a) Calcolare la dimensione di U e di U^⊥. (b) Trovare una base ortogonale di U . (c) Trovare una base di U^⊥.

(d) Trovare vettori u ∈ U e w ∈ U^⊥ tali che v = u + w.

24. Nello spazio E⁴si considerino le due variet`a L ed M definite da

L :

(2x1+ 3x2+ x3− x4= 1

x₁− x3+ 2x₄= 0 M :

(x1= 0 x₂+ x₃= 0 a) Calcolare la dimensione di L e di M .

b) Determinare la posizione reciproca di L e di M ed eventuali intersezioni.

c) Scrivere equazioni parametriche per L ed M .

d) Calcolare la distanza del punto R = (1, 1, 2, 3) da M .

e) Calcolare la distanza e i punti di minima distanza da M della retta r passante per R e di direzione u = (1, 0, 0, 0).

25. Trovare la matrice standard della proiezione di R²sulla retta passante per l’origine e che forma un angolo θ con l’asse positivo delle x.

26. Trovare la proiezione ortogonale del vettore v sul sottospazio U = hu1, u2i di R³. a) v = (2, 1, 3), u1= (1, 1, 0), u2= (1, 2, 1).

b) v = (1, −6, 1), u1= (−1, 2, 1), u2= (2, 2, 4).

27. Trovare la proiezione ortogonale del vettore v sul sottospazio U = hu1, u2, u3i di R⁴. a) v = (6, 3, 9, 6), u1= (2, 1, 1, 1), u2= (1, 0, 1, 1), u3= (−2, −1, 0, −1).

b) v = (−2, 0, 2, 4), u1= (1, 1, 3, 0), u2= (−2, −1, −2, 1), u3= (−3, −1, 1, 3).

28. Trovare la proiezione ortogonale di v = (5, 6, 7, 2) sul sottospazio

U =

(x1+ x2+ x3= 0 2x2+ x3+ x4= 0

29. Trovare la matrice standard della proiezione di R³ sulla retta hui, u = (a, b, c) 6= 0.

30. Classificare e trovare l’equazione canonica della conica di equazione 2x²₁− x²₂+ 4x1x2+ 2x1+ x2= ¹₃.

31. Classificare e trovare l’equazione canonica della conica C di equazione 13x²₁+ 13x²₂− 10x1x2− 17x1+ x2+ 4 = 0.

Nel documento 2 Procedimento di Gram-Schmidt (pagine 33-43)