Sia L ⊂ E una VL. Sia L = P0+ U .
Definizione. La proiezione ortogonale su L `e la trasformazione pL: E −→ L definita da pL(P ) = P0+ pU(P − P0)
ove pU: V → U `e la proiezione ortogonale di V su U .
Teorema. (i) La proiezione pL(P ) `e l’unico punto di L tale che P − pL(P ) sia ortogonale ad−→ L . Segue che la definizione di pL non dipende dalla scelta del punto P0 in L.
(ii) Per ogni punto P ed ogni vettore v, abbiamo
pL(P + v) = pL(P ) + p−→ L(v)
dim. (i) Se P = P0+ v, v ∈ V , P0 ∈ L. Segue che pL(P ) = P0+ pU(P − P0) e P − pL(P ) = v − pU(v) ∈ U⊥.
Sia Q ∈ L tale che P − Q ∈ U⊥. Sia P0un punto di L e sia Q = P0+ u, u ∈ U , P = P0+ v, v ∈ V .
Segue che P − Q = (P0+ v) − (P0− u) = v − u. Segue che v − u ∈ U⊥ e dunque u = pU(v).
Segue che Q = P0+ pU(v) = P0+ +pU(P − P0) = pL(P ). Poich´e P0`e un punto arbitrario di L, si vede che la definizione di pL non dipende dalla scelta di P0∈ L. (ii) Sia L = P0+ U . Segue che
pL(P + v) = P0+ pU(P + v − P0) = P0+ pU((P − P0) + pU(v) = pL(P ) + pU(v).
Definizione. Sia L una variet`a lineare e P sia un punto. La variet`a lineare M = P +−→
L⊥ si dice la perpendicolare ad L per P .
Teorema. Se M `e la perpendicolare alla variet`a lineare L per il punto P , allora L ∩ M = pL(P ).
Segue che pL(P ) `e il piede su L della perpendicolare ad L per P . dim. Poniamo U =−→
L . Il punto P sta in M e pL(P )−P ∈ U⊥. Segue che pL(P ) ∈ L∩M . Poich´e V = U ⊕ U⊥, sappiamo che L ∩ M contiene esattamente un punto e dunque L ∩ M = pL(P ).
15 Distanze
Definizione. Siano L ed M variet`a lineari. La distanza d(L, M ) tra L ed M `e definita da d(L, M ) = inf{kP − Qk | P ∈ L, Q ∈ M }
Teorema. Se L `e variet`a lineare e P `e un punto, allora d(P, L) = kP − pL(P )k.
dim. Sia Q un punto di L. Poich´e P − pL(P ) `e ortogonale a Q − pL(P ) ∈−→
L , dal Teorema di Pitagora segue che
kQ − P k2= k(Q − pL(P ) + (pL(P ) − P )k2= kQ − pL(P )k2+ kpL(P ) − P k2≥ kpL(P ) − P k2.
Teorema. Se L `e parallela ad M , dim L ≤ dim M , allora, per ogni P ∈ L, d(L, M ) = d(P, pM(P )) = kP − pM(P )k.
dim. facciamo vedere che d(P, M ) = kP − pM(P )k non dipende da P . Fissiamo P0∈ L. Segue che P = P0+ u, u ∈−→
L ⊆−→ M , e
kp − pM(P )k = kP0+ u − pM(P0+ u)k = kP0+ u − pM(P0) − p−→ M(u)k = kP0+ u − pM(P0) − uk = kP0− pM(P0) = d(P0, M ).
Segue che, se P ∈ L, Q ∈ M ,
d(P, Q) ≥ d(P, M ) = d(P0, M ) = kP0− pM(P0)k e poich´e pM(P0) sta in M , abbiamo d(L, M ) = kP0− pM(P0)k.
Teorema. Siano L ed M variet`a lineari non incidenti. Allora esistono punti P0 ∈ L e Q0∈ M con Q0− P0 ortogonale sia ad−→
L che ad−→
M . I punti P0 e Q0 sono univocamente determinati se e solo se le variet`a sono sghembe, ovvero−→
L ∩−→
M = {0}. Inoltre d(L, M ) = kQ0− P0k.
I punti P0 e Q0 si dicono punti di minima distanza.
dim. Poniamo U =−→ Segue dalla formula di Grassmann che
dim(hQ − P i + U + W ) ∩ (U + W )⊥= 1 + dim(U + W ) + n − dim(U + W ) − n = 1.
Segue che esiste un unico vettore non nullo Q − P − u + w, u ∈ U , w ∈ W , che genera (hQ − P i + U + W ) ∩ (U + W )⊥ ed `e quindi ortogonale sia ad U che a W . Segue che P0= P + u e Q0= Q + w sono i punti cercati.
Unicit`a. Se P00 e Q00sono un’altra coppia di punti di minima distanza, allora, per quanto ora visto, Q00− P00 = Q0− P0da cui segue che P00− P0= Q00− Q0∈ U ∩ W . Se U ∩ W = {0}, allora P00= P0
Esempio Consideriamo le variet`a L ed M di E4 definite da
L :
(x1− x4= 0
2x1− x2− x3= 2 M :
(−2x1+ x2+ 3x3= 4 x1− 2x2+ 3x4= −2 Troviamo la soluzione generale dei due sistemi.
1 0 0 −1 0
Calcoliamo L ∩ M . Sostituiamo le equazioni parametriche di M nelle equazioni cartesiane.
Trovi-amo (
−2 + 2u + v − v = −2 + 2u = 0, u = 1
−4 + 4u + 2v − u − 2v − u = −4 + 2u = 2, u = 3
quindi le equazioni sono incompatibili e L ∩ M = ∅. Le variet`a L ed M sono due piani non incidenti nello spazio 4-dimensionale.
Vediamo se i piani sono paralleli o sghembi o nessuno dei due. Calcoliamo U ∩ W . Si vede senza calcoli che u2 = w2= (1, 2, 0, 1) ∈ U ∩ W . Segue che dim(U ∩ W ) ≥ 1. Poich´e U ∩ W ⊆ U, W , `e dim(U ∩ W ) ≤ 2. Se fosse dim U ∩ W = 2, allora dovrebbe essere U = U ∩ W = W . Ma questo
`e falso, ad esempio w16∈ U . Segue che U ∩ W = hvi ove poniamo v = u2= w2. Poniamo anche u = u1, w = w1.
Cerchiamo i punti di minima distanza P0∈ L, Q0∈ M . Il vettore Q0− P0= Q − P + xu + yv + zw deve essere ortogonale a i vettori u, v, w.
Q0− P0= Q − P + xu + yv + zw = (−2, 2, 0, 0) + x(0, −1, 1, 0) + y(1, 2, 0, 1) + z(2, 1, 1, 0) = (−2 + y + 2z, 2 − x + 2y + z, x + z, y)
Le equazioni (Q0− P0) · u = 0, (Q0− P0) · v = 0, (Q0− P0) · w = 0 danno il sistema
x − y = 1
−x + 3y + 2z = −1 2y + 3z = 1
che ha soluzione x = 0, y = −1, z = 1. Segue che Q0− P0= (−1, 1, 1, −1). Da questo segue che d(L, M ) = k(−1, 1, 1, −1)k = 2.
Per trovare Q0 e P0, scriviamo P0= P + t1u + t2v, Q0= Q + t3v + t4w. Segue che
Q0− P0= Q − P − t1u + (t3− t2)v + t4w = Q − P − v + w, t1= 0, t3− t2= −1, t4= 1 e quindi, posto t2= t,
P0= P + tv = (0, −2, 0, 0) + t(1, 2, 0, 1) = (t, −2 + 2t, 0, t),
Q0= Q + (−1 + t)v + w = (−2, 0, 0, 0) + (−1 + t)(1, 2, 0, 1) + (2, 1, 1, 0) = (−1 + t, −1 + 2t, 1, −1 + t).
Per calcolare d(L, M ) si pu`o procedere con il metodo descritto nel Corollario. Si considera il 3-piano N = Q + U + W = Q + hu, v, wi e proiettare P su N . La direzione ortogonale a U + W si trova risolvendo il sistema omogeneo di matrice
0 −1 1 0
1 2 0 1
2 1 1 0
∼
1 2 0 1
0 1 −1 0
0 0 1 1
.
Segue che (U + W )⊥ = hn = (1, −1, −1, 1)i. La retta r per P di direzione hni ha equazioni parametriche
x1= t x2= −2 − t x3= −t x4= t e l’iperpiano N = Q + U + W ha equazione cartesiana
n · (x1+ 2, x2, x3, x4) = x1− x2− x3+ x4+ 2 = 0.
Sostituendo le equazioni parametriche nell’equazione cartesiana di N si trova r∩N = (−1, −1, 1, −1).
Segue che d(L, M ) = k(−1, −1, 1, −1)k = 2.
16 Volume
Sia V uno spazio vettoriale euclideo di dimensione n. Siano v1, v2, . . . , vn vettori in V e sia B una base ortonormale in V . Facciamo vedere che
det [v1]B [v2]B · · · [vn]B
non dipende dalla scelta della base ortonormale. Sia C un’altra base ortonormale per V . Allora P = PC←B `e una matrice ortogonale e [vi]C = P [vi]B, i = 1, . . . , n. Ricordando che det P = ±1, segue
det [v1]C [v2]C · · · [vn]C =
det P [v1]B P [v2]B · · · P [vn]B =
det P [v1]B [v2]B · · · [vn]B)
=
det P det [v1]B [v2]B · · · [vn]B =
det [v1]B [v2]B · · · [vn]B . Definizione. Lo scalare
Vol (v1, v2, . . . , vn) =
det [v1]B [v2]B · · · [vn]B
ove B `e una qualunque base ortonormale per V , si dice il volume dell’insieme {v1, v2, . . . , vn}.
Chiaramente l’insieme {v1, v2, . . . , vn} `e linearmente dipendente se e solo se Vol (v1, v2, . . . , vn) = 0.
Se si orienta lo spazio vettoriale V , si pu`o definire il volume con segno di un insieme ordinato {v1, v2, . . . , vn} di vettori:
Vol±(v1, v2. . . , vn) = det [v1]B [v2]B · · · [vn]B
ove B questa volta `e una matrice ortogonale appartenente all’orientamento positivo di V . Come prima, si dimostra che questo scalare non dipende dalla scelta di B purch´e sia orientata positiva-mente. Il volume avr`a segno positivo (negativo) se {v1, v2, . . . , vn} `e una base orientata positiva-mente (negativapositiva-mente), avr`a segno nullo se l’insieme `e linearmente dipendente.
Per dare contenuto geometrico alla definizione precedente `e utile la seguente
Definizione. Siano P0, P1, . . . , Pn punti di En. Il parallelotopo (parallelogramma se n = 2, parallelepipedo se n = 3) P(P0, P1, . . . , Pn) di vertici P0, P1, . . . , Pn`e il sottoinsieme definito da
P(P0, P1, . . . , Pn) = (
P0+
n
X
i=1
ti(Pi− P0)
0 ≤ ti≤ 1, i = 1, . . . , n )
.
Il volume di P = P(P0, P1, . . . , Pn) `e lo scalare definito da Vol(P) = Vol (P1− P0, . . . , Pn− P0).
Se il volume `e nullo allora il parallelotopo collassa essendo i vettori P1 − P0, . . . , Pn − P0
linearmente dipendenti.
Definizione. Sia Vp= {v1, . . . , vp} un insieme con p vettori in uno spazio vettoriale euclideo V . Il determinante di Gram o gramiano dell’insieme Vp `e lo scalare
Gram(Vp) = Gram (v1, v2, . . . , vp) = det(vi· vj) =
v1· v1 v1· v2 · · · v1· vp
v2· v1 v2· v2 · · · v2· vp
... ... . .. ... vp· v1 vp· v2 · · · vp· vp
.
Teorema. Sia Vp= {v1, v2, . . . , vp} un insieme di vettori in V .
(i) L’insieme Vp `e linearmente indipendente se e solo se il suo gramiano Gram(Vp) `e non nullo.
(ii) Se p = n,
Gram (v1, v2, . . . , vn) = Vol (v1, v2, . . . , vn)2
dim. (i) Sia c1v1+ c2v2+ . . . + cpvp= 0 una combinazione lineare dei vettori vi. Consideriamo il sistema lineare omogeneo
v1· (c1v1+ c2v2+ . . . + cpvp) = (v1· v1)c1+ (v1· v2)c2+ . . . + (v1· vp)cp= 0 v2· (c1v1+ c2v2+ . . . + cpvp) = (v2· v1)c1+ (v2· v2)c2+ . . . + (v2· vp)cp= 0 . . . . vp· (c1v1+ c2v2+ . . . + cpvp) = (vp· v1)c1+ (vp· v2)c2+ . . . + (vp· vp)cp= 0
Il determinante della matrice del sistema `e Gram (v1, v2, . . . , vp). Il sistema ha la sola soluzione triviale se e solo il determinante del sistema `e non nullo. Ma il sistema ha la sola soluzione triviale se e solo se l’insieme Vp`e linearmente indipendente.
(ii) Fissata una base ortonormale B per V , poniamo A = [v1]B · · · [vn]B. Segue che AtA = ([vi]tB[vj]B) = (vi· vj)
e quindi
Gram (v1, . . . , vn) = det(AtA) = (det A)2= Vol (v1, . . . , vn)2.
Supponiamo che l’insieme Vp = {v1, . . . , vp} in V sia linearmente indipendente e p < n. Allora Gram (v1, . . . , vp) `e il quadrato del volume dell’insieme Vp nel sottospazio U = hv1, . . . , vpi (con il prodotto scalare ereditato da quello di V ). Possiamo scrivere
Volp(v1, . . . , vp) = q
Gram (v1, . . . , vp)
La formula `e molto utile perch´e, se p < n, per calcolare Volp(v1, . . . , vp) usando la definizione, dovremmo trovare una base ortonormale del sottospazio U e calcolare le coordinate dei vettori in questa base. La formula permette di evitare tutto questo.
Gli asserti del Teorema che segue sono di facile verifica e si lasciano al lettore i dettagli della verifica.
Teorema. Sia Vp= {v1, . . . , vp} ⊆ V .
(i) Il gramiano `e indipendente dall’ordine dei vettori
Gram (. . . vi, . . . , vj, . . .) = Gram (. . . , vj, . . . , vi, . . .).
(ii) Gram (v1, . . . , vp) ≥ 0.
(iii) Se si aggiunge ad un vettore un multiplo di uno degli altri vettori il gramiano non cambia Gram . . . , vi+X
j6=i
λjvj, . . . = Gram (. . . , vi, . . .)
(iv) Se v1· vi= 0, i = 2, . . . , p allora
Gram (v1, . . . , vp) = kv1kGram (v2, . . . , vp).
dim. (i) Scambiando due vettori, nel gramiano si scambiano due righe e le corrispondenti colonne quindi il determinante non cambia.
(ii) Dal Teorema precedente segue che il gramiano `e un quadrato e quindi ≥ 0.
(iii) Ad esempio sostituendo v1con v1+ λv2 si ottiene un gramiano alla cui prima riga si somma la seconda riga moltiplicata per λ e alla cui prima colonna si somma la seconda moltiplicata per λ. Quindi il determinante non cambia.
(iv) Se v1`e ortogonale ai vettori v2, . . . vp, la prima riga del gramiano `e v1· v1 0 · · · 0 e il minore complementare `e Gram (v2, . . . , vp).
Teorema. Sia L = P0+ U una variet`a lineare nello spazio euclideo (V, E). Sia P un punto di E e {v1, . . . , vp} una base di U . Allora
d(P, L)2= Gram (P − P0, v1, v2, . . . , vp) Gram (v1, v2, . . . , vp) .
dim. Sia Q = pL(P ). Sappiamo che d(P, L) = kP − Qk. D’altra parte, utilizzando il Teorema precedente e osservando che il vettore Q − P0∈ U `e combinazione lineare dei vettori v1, . . . , vp, si ricava
Gram (P − P0, v1, . . . , vp) = Gram ((P − Q) + (Q − P0), v1, . . . , vp) = Gram (P − Q, v1, . . . , vp) + Gram (Q − P0, v1, . . . , vp) = Gram (P − Q, v1, . . . , vp) =
kP − QkGram (v1, v2, . . . , vp).
Questa formula ci dice che la distanza di P da L `e l’altezza del parallelotopo di vertici P, P0, P0+ v1, . . . , P0+ vp relativa alla base P0, P0+ v1, . . . , P0+ vp.
Verifichiamo la formula usando l’esempio della sezione precedente.
L = P0+ U, P0= (−2, 0, 0, 0), P = (0, −2, 0, 0), U = hu, v, wi, u = (0, −1, 1, 0), v = (1, 2, 0, 1), w = (2, 1, 1, 0).
Calcoliamo
Gram (u, v, w) =
2 −2 0
−2 6 4
0 4 6
= 16, Gram (P − P0, u, v, w) =
8 2 −2 2
2 2 −2 0
−2 −2 6 4
2 0 4 6
= 64.
Segue che d(L, M ) = q64
16 = 2.