1.5.1
Codice 1.5.1
La seguente function riceve in input un orizzonte temporale finito T, il passo della discre- tizzazione dt, la posizione di partenza x, il parametro delta e il numero M di traiettorie da simulare, ed effettua delle simulazioni del relativo processo di Bessel al quadrato mediante metodo di Eulero esplicito. La function non esegue un controllo sul segno di x e δ, quindi per avere simulazioni corrette `e opportuno che questi due dati siano nonnegativi, e rende nulli eventuali valori negativi ottenuti mediante l’iterazione del metodo, per assicurare che il processo sia in ogni caso nonnegativo.
B E S Q < - f u n c t i o n( T , dt , x , delta , M ) { 2 m = T / dt ; h = s q r t( dt ) ; X = m a t r i x( n r o w = M , n c o l =( m +1) ) ; X [ ,1] = x ; if ( m >1) { 7 for ( t in 2:( m +1) ) { X [ , t ] = X [ ,( t -1) ] + d e l t a * dt + 2*s q r t(abs( X [ ,( t -1) ]) ) * h *r n o r m( M ) ; X [ , t ] = ( X [ , t ] + abs( X [ , t ]) ) /2; } } 12 r e t u r n( X ) }
1.5.2
Codice 1.5.2
La seguente function riceve in input una matrice A ∈ M (m, n, R) (che sostanzialmente contiene le informazioni di m traiettorie, ciascuna lunga n unit`a temporali) e restituisce la traiettoria media, ossia la media aritmetica delle traiettorie.
Avg < - f u n c t i o n( X ) { 2 m = dim( X ) [ 1 ] ; y = 1/ m * c o l S u m s ( X , na . rm = F A L S E ) ; r e t u r n( y ) }
1.5.3
Codice 1.5.3
La seguente function riceve in input una matrice A ∈ M (m, n, R) (che sostanzialmente contiene le informazioni di m traiettorie, ciascuna lunga n unit`a temporali), e genera un grafico di alcune di esse (tante quante indicato tramite la variabile in input M.rappr).
1.5 Codice utilizzato
35
La function riceve poi in input il passo di discretizzazione dt, e una variabile booleana, bool.m: a seconda del suo valore aggiunge al grafico o meno la traiettoria media. Per ulteriori informazioni, si veda il Codice (1.5.2).
R a p p r . SDE < - f u n c t i o n( X , dt , M . rappr , b o o l . m ) { n = dim( X ) [ 2 ] ;
N = dim( X ) [ 1 ] ; T = ( n -1) * dt ;
5 p l o t( c (0 , T ) , c (max( X [1: M . rappr ,]) +2 ,min( X [1: M . rappr ,]) -2) , t y p e = " n " , m a i n = " P r o c e s s o di B e s s e l al q u a d r a t o " , x l a b = " T e m p o ( in s e c o n d i ) " , y l a b = " " ) for ( k in 1: M . r a p p r ) { l i n e s( c ( 0 : ( n -1) ) * dt , X [ k ,] , col = " d o d g e r b l u e " ) } 10 a b l i n e( h =0 , col = " d a r k g r e y " ) a b l i n e( v =0 , col = " d a r k g r e y " ) a b l i n e( v = T , col = " d a r k g r e y " ) E = Avg ( X ) ; if( b o o l . m == 1) { 15 l i n e s( c ( 0 : ( n -1) ) * dt , E , lwd =3 , col = " red " ) } }
1.5.4
Codice 1.5.4
La seguente function riceve in input ci`o che le function precedenti richiedono, e rappresenta alcune traiettorie del processo di Bessel al quadrato, munite eventualmente della traiettoria media. Per ulteriori informazioni, si vedano i Codici (1.5.1) e (1.5.3).
R a p p r . B E S Q < - f u n c t i o n( T , dt , x , delta , M , M . rappr , b o o l . m ) { X = B E S Q ( T , dt , x , delta , M ) ;
3 R a p p r . SDE ( X , dt , M . rappr , b o o l . m ) }
1.5.5
Codice 1.5.5
La seguente function simula il processo di Bessel a partire dal processo di Bessel al quadrato corrispondente. Per maggiori informazioni, si veda il Codice (1.5.1), mentre si legga l’inizio della Sezione (1.3) per comprendere l’operazione effettuata.
1 BES < - f u n c t i o n( T , dt , x , delta , M ) { X = B E S Q ( T , dt , x ^2 , delta , M ) ; Y = s q r t( X ) ; r e t u r n( X ) }
1.5.6
Codice 1.5.6
La seguente function rappresenta alcune traiettorie del processo di Bessel (ottenute uti- lizzando il Codice (1.5.5)), munite eventualmente della traiettoria media. Per ulteriori informazioni, si vedano anche i Codici (1.5.3) e (1.5.4).
R a p p r . BES < - f u n c t i o n( T , dt , x , delta , M , M . rappr , b o o l . m ) { X = BES ( T , dt , x , delta , M ) ;
R a p p r . SDE ( X , dt , M . rappr , b o o l . m ) }
Capitolo 2
Ponti di Bessel
In questo capitolo introdurremo un nuovo processo, il ponte di Bessel, ottenuto condizio- nando opportunamente il relativo processo di Bessel (di cui abbiamo ampiamente parlato nel Capitolo (1)).
Nella Sezione (2.1) definiremo tale processo, ed effettueremo qualche simulazione per evi- denziare alcune criticit`a. Dopodich`e, nella Sezione (2.2), effettueremo alcuni conti che serviranno pi`u avanti. Nell’ultima sezione (Sezione (2.3)) `e riportato il codice usato.
2.1
Definizione e simulazione
In questa sezione definiremo in modo sintetico il ponte di Bessel, e faremo le prime simulazioni per evidenziare alcune criticit`a.
2.1.1
Una veloce introduzione
Consideriamo, dato un orizzonte temporale finito a > 0, il seguente spazio topologico: Wa
def
= C0([0, a], R+) ,
munito della topologia indotta dalla convergenza uniforme. Tale spazio, che d’ora in poi chiameremo spazio di Wiener, `e uno spazio topologico:
• Separabile, ossia contenente un sottoinsieme numerabile e denso;
• Completamente metrizzabile, ossia tale che esista una distanza (quella ovvia, in questo caso) che induca la topologia sopra citata, e che lo renda uno spazio metrico completo.
Si dice allora, per definizione, che esso `e uno spazio polacco.
Sullo spazio Wa `e possibile definire un processo (Yt)t≥0, detto processo coordinato,
tale che, per y ∈ Wa valga:
Yt(y) def
= y(t) `
Si pu`o dimostrare allora che `e possibile definire una famiglia di probabilit`a: Fa = Px,yδ,a
x, y ∈ R+ , δ ≥ 0
su Wa, tale che valga, per un qualsiasi insieme Boreliano B ⊆ Wa:
Pxδ(B) = Z
R
Px,yδ,a(B) µa(dy) ,
dove µa `e la legge di Ya sotto Pxδ (la definizione di quest’ultima legge `e esposta nella
Sottosezione (1.3.1)). Informalmente parlando, vale la seguente relazione: Px,yδ,a(B) = Pxδ(B | Ya = y) ,
per ogni y ∈ R+.
Tale risultato ha una dimostrazione piuttosto complessa. Usando fatti generali sulle versio- ni regolari di probabilit`a condizionali, si pu`o definire (una volta fissati i parametri δ, x, a) la probabilit`a Pδ,a
x,y per µa-quasi ogni y ≥ 0: l’insieme trascurabile degli y per i quali tale
probabilit`a non `e definita dipende chiaramente dagli altri parametri. Con le argomenta- zioni che tracciamo di seguito solo per sommi capi, invece, si riesce a definire Pδ,a
x,y per ogni
y ≥ 0 (questa `e una delle possibili scelte, non l’unica valida). Tale metodo fa uso della densit`a calcolata nella Sottosezione (1.4.4), nel caso in cui δ > 0. Riprendendo allora la formula (1.7), usiamo ora la seguente notazione:
pδt(x, u) = 0 , u ≤ 0 e−u2 +x22t u x ν u t Iν ux t , u > 0 , x > 0 , u2ν+1e−u2 2t 2ν tν+1Γ (ν + 1) , u > 0 , x = 0
dove ν = δ2 − 1. Adesso, per ogni y > 0, possiamo definire Pδ,a
x,y dicendo che, per degli
istanti temporali 0 < t1 < . . . < tn < a (n naturale positivo), la legge di (Xt1, . . . , Xtn)
sotto Px,yδ,a`e data da:
ftδ,a,x,y1,...,tn(x1, . . . , xn) = 1 pδ a(x, y) " pδt1(x, x1) · n Y k=2 pδtk−tk−1(xk−1, xk) · p δ a−tn(xn, y) # ,
rispetto alla misura di Lebesgue su Rn. Fissati gli istanti temporali, tale densit`a `e una funzione continua in y, e non `e difficile (sfruttando la definizione di Iν) notare che esiste
il limite per y → 0+. La famiglia di queste distribuzioni finito-dimensionali ottenute
operando il limite `e consistente (ossia stabile per permutazioni e contrazioni): deduciamo allora, applicando il teorema di estensione di Kolmogorov per ogni y ≥ 0 fissato, che `e possibile definire Pδ,a
x,y per ogni y ≥ 0.
Fissato a > 0, infine, notiamo che la stessa analisi pu`o essere condotta usando i processi di Bessel al quadrato anzich`e i processi di Bessel, ossia le leggi Qδx, al variare di x ≥ 0, δ ≥ 0,
esposte nella Sottosezione (1.2.1). Un processo continuo, avente legge Pδ,a
x,y sullo spazio delle traiettorie Wa, `e detto ponte
di Bessel δ-dimensionale tra x e y su [0, a]. Un processo continuo, avente invece legge Qδ,ax,y su Wa, `e detto ponte di Bessel δ-dimensionale al quadrato tra x e y su [0, a].
2.1 Definizione e simulazione
39
In entrambi i casi, direttamente dalla definizione si ha che P-quasi certamente il processo vale x al tempo 0 e y al tempo a.
Osserviamo velocemente che il quadrato di un ponte di Bessel δ-dimensionale tra x e y su [0, a] `e un ponte di Bessel δ-dimensionale al quadrato tra x2 e y2 su [0, a].
Nella prossima sezione dimostreremo un risultato molto importante per i nostri scopi. Concludiamo allora questa sezione elencando due propriet`a dei ponti di Bessel, senza dimostrazione. Per comodit`a, sia a = 1.
Il primo risultato afferma che, considerato un processo di Bessel δ-dimensionale al quadrato con partenza in x, sia esso (Xt)t≥0, il processo (Yt)t∈[0,1]definito ponendo:
Yt def
= (1 − t)2X t 1−t
per t ∈ [0, 1[, e Y1≡ 0, `e un ponte di Bessel δ-dimensionale al quadrato tra x e 0 su [0, 1].
Come immediata conseguenza, la Proposizione (1.2.3) pu`o essere adattata al caso dei ponti di Bessel, nel seguente modo.
Proposizione 2.1.1. Siano δ, δ0 ≥ 0, e siano x, x0≥ 0. Allora vale la seguente relazione:
Qδ,1x,0∗ Qδx00,1,0= Q
δ+δ0,1 x+x0,0,
quindi la somma di ponti di Bessel al quadrato `e ancora un ponte di Bessel al quadrato. Il secondo risultato afferma invece, in sostanza, che un ponte di Bessel al quadrato da x a y pu`o essere visto come un ponte di Bessel al quadrato da y a x “invertendo il tempo”. Nel dettaglio, se (Xt)t∈[0,1]`e un ponte di Bessel δ-dimensionale al quadrato tra x e y su
[0, a], allora (X1−t)t∈[0,1]`e un ponte di Bessel δ-dimensionale al quadrato tra y e x, sempre
su [0, a].
L’applicazione di tale risultato `e semplice ed immediata: quando nei prossimi capitoli andremo a simulare i ponti di Bessel, useremo questo risultato per migliorare notevolmente il risultato finale. Tuttavia, nella prossima sezione vedremo in dettaglio come l’inversione temporale possa provocare, all’atto pratico, variazioni non trascurabili nel risultato finale: la causa di tale anomalia `e da ricercare quasi certamente nel malcondizionamento numerico del problema, in uno dei due versi.
2.1.2
Simulazione del ponte di Bessel
In questa sezione andiamo a effettuare simulazioni di traiettorie di un ponte di Bessel. Innanzitutto, bisogna partire dall’(eventuale) equazione stocastica del ponte di Bessel: tale equazione pu`o essere ricavata dall’equazione del processo di Bessel associato. Il metodo `
e spiegato nei dettagli nell’articolo [2], e fa uso, in particolare, del noto teorema di Girsanov. Restringiamoci quindi, sulla scorta di quanto visto nella Sottosezione (1.3.2), al caso in cui δ ≥ 2, e studiamo in particolare il caso in cui il ponte vada da 0 a 0. L’equazione differenziale stocastica soddisfatta dal ponte di Bessel δ-dimensionale da 0 a 0 su [0, 1] risulta la seguente: dXt= δ − 1 2Xt − Xt 1 − t dt + dBt X0= 0 , (2.1)
per t ∈ [0, 1]. Con la formula di It¯o, applicata all’equazione (2.1), si pu`o facilmente determinare, poi, l’equazione del ponte di Bessel δ-dimensionale al quadrato, sempre da 0 a 0 su [0, 1], che risulta essere:
dZt= δ − 2Zt 1 − t dt + 2pZtdBt Z0= 0 , (2.2)
per t ∈ [0, 1]. La seconda equazione differenziale stocastica, a differenza della prima, non risulta singolare nell’origine: tutte le function che creeremo per simulare ponti di Bessel, allora, useranno la simulazione del processo al quadrato, quindi l’estrazione della radice quadrata.
Il nostro obiettivo, ora, `e quello di generalizzare le equazioni appena presentate: • Per un generico orizzonte temporale T > 0;
• Per due qualsiasi posizioni iniziale e finale x, y.
Poniamo per`o, per restringerci al caso di nostro effettivo interesse, δ = 3. L’equazione (2.1), in questo caso, `e la seguente:
dXt= 1 Xt − Xt 1 − t dt + dBt X0= 0 ,
per t ∈ [0, 1]. In generale, se la posizione iniziale `e x, quella finale `e y, e l’orizzonte temporale `e T , l’equazione `e: dXt= 1 Xt +y − Xt T − t dt + dBt X0= x , (2.3) per t ∈ [0, T ].
Nel caso (di nostro interesse) in cui x = 0 e y > 0, supponiamo che (Xt)t∈[0,T ] soddisfi
l’equazione (2.3). Sia poi σ > 0. Usando la formula di It¯o, allora, si ha immediatamente che il processo (σXt)t∈[0,T ](sia esso (Yt)t∈[0,T ]) soddisfa l’equazione seguente:
dYt= σ2 Yt +z − Yt T − t dt + σdBt Y0= 0 , (2.4)
per t ∈ [0, T ], con z = σy. Tale equazione torner`a utile nel seguito. Il suo quadrato, sia esso (Zt)t≥0, risolve invece:
dZt= 3σ2+2z √ Zt T − t − 2Zt 1 − t dt + 2σpZtdBt Z0= 0 (2.5)
Passiamo ora alla simulazione delle traiettorie, restringendoci al caso in cui δ = 3, e x = 0, y > 0. Come abbiamo accennato precedentemente, il miglior metodo per simulare
2.1 Definizione e simulazione
41
le traiettorie consiste nel discretizzare mediante metodo di Eulero esplicito il processo al quadrato, per poi estrarre la radice quadrata.
Sul finire della Sottosezione (2.1.1) abbiamo mostrato come per discretizzare il ponte di Bessel al quadrato si possa procedere mediante inversione temporale. Seguiremo quindi due approcci: uno diretto e uno basato sull’inversione temporale.
Iniziamo allora simulando le traiettorie di un ponte di Bessel al quadrato tra 0 e 4 su [0, 10], con i due metodi (il codice che useremo `e riportato nella Sezione (2.3)). Digitiamo allora: 1 T = 1 0 ; dt = 0 . 0 1 ; a =4; s i g m a =1; M = 1 0 ^ 4 ; M . r a p p r = 1 0 ; b o o l =0; b o o l . m =1; X1 = BB ( T , dt , a , sigma , M , b o o l ) ; X2 = B B R e v ( T , dt , a , sigma , M , b o o l ) ; R a p p r . B r i d g e ( X1 , X2 , dt , M . rappr , b o o l . m ) ; Il risultato che si ottiene `e il seguente:
Le traiettorie del processo senza inversione temporale sono quelle azzurre; le altre sono quelle arancioni. Si pu`o notare una profonda diversit`a gi`a a livello di media, sebbene la teoria ci dica che quelle due traiettorie dovrebbero addirittura coincidere. Il condiziona- mento numerico `e quindi un fattore che qui entra pesantemente in gioco, e che rende uno dei due metodi assolutamente inutilizzabile. Solitamente, infatti, quando si considerano processi discretizzati con e senza inversione temporale, una delle due discretizzazioni `e ben condizionata, l’altra no. Quale delle due `e quella corretta? Scopriremo pi`u avanti, con una semplice verifica, che in questo caso l’inversione temporale fornisce il metodo ben condizionato.
Ovviamente lo stesso fenomeno avviene se consideriamo i ponti di Bessel. Facciamo una prova, digitando: T = 1 0 ; dt = 0 . 0 1 ; a =4; s i g m a =1; M = 1 0 ^ 4 ; M . r a p p r = 1 0 ; b o o l =1; b o o l . m =1; X1 = BB ( T , dt , a , sigma , M , b o o l ) ; X2 = B B R e v ( T , dt , a , sigma , M , b o o l ) ; 5 R a p p r . B r i d g e ( X1 , X2 , dt , M . rappr , b o o l . m ) ;
Si ottiene allora la seguente figura, da cui si traggono le medesime considerazioni:
Pi`u avanti, nel prossimo capitolo, completeremo la trattazione, fornendo una prova del fatto che il secondo metodo `e quello da preferire.