Processi e Ponti di Bessel, con applicazioni in ambito ingegneristico

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Indice

Introduzione e Ringraziamenti 7

1 Processi di Bessel 9

1.1 Nozioni preliminari . . . 9

1.2 Il processo di Bessel al quadrato . . . 13

1.3 Il processo di Bessel . . . 20

1.4 Simulazione del processo di Bessel . . . 23

1.5 Codice utilizzato . . . 34

2 Ponti di Bessel 37 2.1 Definizione e simulazione . . . 37

2.2 Qualche conto preliminare . . . 42

3 Applicazioni nel campo dell’ingegneria 51 3.1 Presentazione del problema delle scorte . . . 51

3.2 Analisi del tempo d’esaurimento della scorta . . . 55

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Introduzione e Ringraziamenti

L’obiettivo principale di questa tesi è quello di analizzare un problema abbastanza im-portante in ambito ingegneristico, il problema delle scorte, il quale rientra in un’area di ricerca più vasta, che va sotto il nome di analisi degli inventari. Il problema era stato inizialmente affrontato, in modi diversi, negli ultimi anni del ventesimo secolo; nel nuovo millennio, l’interesse della comunità scientifica nei suoi riguardi è risalito. Rispetto ai la-vori precedenti, questa tesi si propone di affrontare il problema con un approccio nuovo, utilizzando la teoria delle equazioni differenziali stocastiche.

Nel primo capitolo, attraverso un facile conto si introducono i processi di Bessel al qua-drato, e si analizzano alcune loro proprietà. Dopodichè si fa altrettanto con i processi di Bessel, ottenuti estraendo la radice quadrata, anche se in questo caso la trattazione è più complicata, e richiede alcuni preliminari (comunque presentati nella tesi).

Nel secondo capitolo, poi, si definiscono i ponti di Bessel, ottenuti dai processi studiati nel primo capitolo mediante condizionamento. Si procede poi effettuando alcuni conti su di essi, che risulteranno utili nell’ultimo capitolo.

Nel terzo e ultimo capitolo, infine, si tratta il problema (di natura ingegneristica) che ha dato vita, se vogliamo, all’intera tesi: il problema delle scorte. Il controllo degli inventari di oggetti deteriorabili nel tempo è un problema molto importante, nell’ambito dell’analisi degli inventari, proprio perchè la maggior parte dei beni di consumo è (purtroppo) soggetta a deterioramento: per deterioramento, chiaramente, intendiamo ogni possibile causa che porti ad uno stato dell’oggetto in cui questo non è più adatto a svolgere il suo fine originale: in parole povere, rotture, ammaccature, essiccazioni, evaporazioni, e molte altre di queste cause. Chiaramente, il deterioramento ha una natura aleatoria, e in molti casi non è un aspetto che può essere trascurato: basti pensare ai beni alimentari, soggetti a una scadenza che a volte consta di alcuni giorni. L’obiettivo, allora, è quello di provare a trattare il problema con la teoria delle equazioni differenziali stocastiche.

Uno degli obiettivi di questa tesi, a cui `e stata data molta importanza, `e l’implementazione sul software statistico R dei risultati sviluppati: in ogni capitolo, quindi, sono presenti tutti i codici utilizzati, e spesso anche i risultati (grafici e non) ottenuti.

Nel giorno che probabilmente segna la fine della mia carriera universitaria, desidero rin-graziare innanzitutto pap`a, mamma, Irene e Maria, ma in generale chiunque mi abbia aiutato a raggiungere questo traguardo, sicuramente ancora pi`u importante di quello rag-giunto due anni e mezzo fa: fare una lista che comprenda tutti sarebbe quasi impossibile, oltre che inutile. Un sentito ringraziamento ai miei relatori, i Professori Marco Romito, Franco Flandoli e Marcello Braglia, sempre disponibili in tutto il periodo che ho impiegato per scrivere questa tesi. Un ringraziamento particolare al Professor Franco Flandoli, per

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mento speciale anche alla mia amica Denise, che ha accettato senza esitazione di leggerla per valutarne le parti testuali. Mi scuso sin da ora per eventuali sviste e imprecisioni, sicuramente presenti in questo elaborato, assumendomene tutte le responsabilit`a.

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Capitolo 1

Processi di Bessel

In questo capitolo introdurremo la nozione di processo di Bessel, che ci servir`a pi`u avanti per trattare il problema pratico che andremo ad affrontare, a partire da quella di processo di Bessel al quadrato.

A partire da un conto del tutto euristico (Sezione (1.1)) vedremo le proprietà dei processi di Bessel al quadrato (Sezione (1.2)), quindi quelle dei processi di Bessel (Sezione (1.3)). Dopodichè simuleremo un processo di Bessel, tramite il software statistico R, con l’in-tenzione di calcolare la funzione della media (Sezione (1.4)). Nell’ultima sezione (Sezione (1.5)) è riportato il codice usato.

1.1 Nozioni preliminari

In questa sezione approcceremo il problema in modo euristico, rendendo rigorose le defi-nizioni nella Sezione (1.2). Daremo poi qualche nozione che servir`a nel seguito.

1.1.1 Un’introduzione euristica

Sia (Ω, F , P, (Ft)t≥0) uno spazio filtrato, su cui sia definito un moto Browniano (Bδt)t≥0a

valori in Rδ _{(con δ naturale positivo):}

Bδ_t def= B1_t, . . . , Bδ_t ,

con (B_t1)t≥0, . . . , (Btδ)t≥0 moti Browniani reali indipendenti. Definiamo allora il processo

(ρt)t≥0, a valori in R, dato dalla norma euclidea del moto Browniano:

(ρt)t≥0 def = Bδ _t t≥0

Qual `e l’equazione differenziale stocastica soddisfatta da (ρt)t≥0? Per rispondere a questa

domanda, dobbiamo richiamare la formula di It¯o, nella sua versione multidimensionale. Teorema 1.1.1 (Formula di It¯o multidimensionale). Sia (Xt)t≥0 un processo di It¯o

a valori in Rd_{, ossia un processo (X}

t)t≥0 della forma:

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con (bt)t≥0a valori in Rd, (σt)t≥0a valori in Rd×k, e (Bt)t≥0moto Browniano

k-dimensio-nale, tali che:

• Per ogni i = 1, . . . , d, b(i)t

t≥0∈ Λ 1

B([0, T ]) per ogni T > 0;

• Per ogni i = 1, . . . , d e per ogni j = 1, . . . , k, σt(i,j)

t≥0 ∈ Λ 2 B([0, T ]) per ogni T > 0. Sia poi f : R+× Rd

→ R una funzione derivabile con continuit`a una volta nella variabile temporale e due volte in quella spaziale:

f ∈ C1,2_(R+_{× R}d_{, R)} Allora vale (in notazione differenziale):

df (t, Xt) = ∂f ∂t(t, Xt) dt + ∇xf (t, Xt) · [bt dt + σt· dBt] + 1 2Tr(σt σ T t ∇ 2 xf (t, Xt)) dt , ossia: f (t, Xt) − f (0, X0) = Z t 0 ∂f ∂s(s, Xs) ds + d X i=1 Z t 0 ∂f ∂xi (s, Xs) b(i)s ds + + d X i=1 k X j=1 Z t 0 ∂f ∂xi (s, Xs) σs(i,j)dB (j) s + + 1 2 d X i=1 d X j=1 k X l=1 Z t 0 ∂2_f ∂xi∂xj (s, Xs) σ(i,l)s σ (j,l) s ds , (1.1)

dove tutti gli integrali stocastici sono intesi nel senso di It¯o. L’ultimo addendo, in parti-colare, `e detto correzione di It¯o.

Nel nostro caso k = d = δ, (Bt)t≥0= (Bδt)t≥0, e poi:

• Per ogni i = 1, . . . , δ, b(i)_t = 0 per ogni t ≥ 0;

• Per ogni i, j = 1, . . . , δ, σ(i,j)_t = δ(i,j) per ogni t ≥ 0, dove δ in questo caso `e la

funzione di Kronecker.

In teoria la funzione che dobbiamo considerare `e: f (t, x) =

q x2

1+ . . . + x2d ,

ma essa non `e regolare nell’origine. Per ovviare al problema, analizziamo allora il processo al quadrato (ρ2

t)t≥0, e ridefiniamo f nel seguente modo:

f (t, x) = x2₁+ . . . + x2_d ,

La funzione `_{e ora liscia in R}d_{. In particolare, per ogni i, j = 1, . . . , d:}

∂f ∂xi (x) = 2xi , ∂2f ∂xi∂xj (x) = 2 · δ(i,j)

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1.1 Nozioni preliminari

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Si ha dunque, in base alla formula (1.1):

dρ2_t = 2Bδ_t· Bδ t+ δt ,

ossia (ρ0= 0 P-quasi certamente):

ρ2_t = 2 δ X i=1 Z t 0 Bi_sdB_si+ δt

Cerchiamo ora di manipolare il secondo membro in modo opportuno. `E noto che, dato un moto browniano standard (Bt)t≥0, per P-quasi ogni ω ∈ Ω l’insieme seguente `e trascurabile

rispetto alla misura di Lebesgue su R+_:

Zω def

= {s ≥ 0 | Bs(ω) = 0}

Dunque, per P-quasi ogni ω ∈ Ω, ρt(ω) > 0 per quasi ogni t > 0. In sostanza, ha senso

scrivere: ρt= 2 δ X i=1 Z t 0 ρs· Bi s ρs dBi_s+ δt

Teorema 1.1.2 (Caratterizzazione di L´evy del moto Browniano). Su uno spazio filtrato (Ω, F , P, (Ft)t≥0), sia (Xt)t≥0 un processo stocastico adattato a valori in Rd, con

X0= 0 P-quasi ovunque. Sono fatti equivalenti:

• (Xt)t≥0 `e un moto Browniano;

• (Xt)t≥0 `e una martingala locale continua, tale che hXi, Xjit = δ(i,j)t per ogni

i, j = 1, . . . , d.

Utilizzando ora il Teorema (1.1.2), si ha che il processo (βt)t≥0definito da:

βt def = δ X i=1 Z t 0 Bsi ρs dBsi `

e un moto Browniano standard per costruzione. Infatti:

dβt= δ X i=1 Bi t ρt dB_ti , da cui: [β]t= Z t 0 δ X i=1 Bi s ρs 2 ds = Z t 0 ds = t Dunque: ρ2t = 2 Z t 0 ρsdβs+ δt ,

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1.1.2 Equazioni differenziali stocastiche

Dato uno spazio filtrato (Ω, F , P, (Ft)t≥0) e un moto Browniano (Bt)t≥0 rispetto alla

filtrazione (Ft)t≥0, la 5-pla (Ω, F , P, (Ft)t≥0, (Bt)t≥0) `e detta base stocastica.

Su una base stocastica, si definisce equazione differenziale stocastica un’equazione del tipo: Xt= Y + Z t 0 b(s, Xs) ds + Z t 0 σ(s, Xs) dBs,

ove l’ultimo integrale `e inteso nel senso di It¯o. In notazione differenziale, un’equazione differenziale stocastica `e un sistema del tipo:

(

dXt= b(t, Xt) dt + σ(t, Xt) dBt

X0= Y

,

con Y variabile aleatoria F0-misurabile. In particolare, il termine σ(t, Xt) `e detto

coeffi-ciente di diffusione al tempo t.

Una 6-pla data da una base stocastica e da un processo adattato (Xt)t≥0 `e una soluzione

dell’equazione se:

• Per ogni T > 0, la mappa t → b(t, Xt) appartiene a Λ1B([0, T ]);

• Per ogni T > 0, la mappa t → σ(t, Xt) appartiene a Λ2B([0, T ]);

• L’equazione `_{e verificata P-quasi certamente.}

Data allora un’equazione differenziale stocastica, bisogna introdurre le nozioni di esistenza ed eventuale unicit`a delle soluzioni: ne vedremo due differenti.

Consideriamo un’equazione stocastica della forma: (

X0= Y

Si dice che vi `e esistenza forte se, comunque assegnate: • Una base stocastica (Ω, F , P, (Ft)t≥0, (Bt)t≥0);

• Una variabile aleatoria Y F0-misurabile,

esiste un processo (Xt)t≥0 adattato, tale che (Ω, F , P, (Ft)t≥0, (Bt)t≥0, (Xt)t≥0) sia una

soluzione dell’equazione (con dato iniziale X0= Y ).

Si dice invece che vi `e esistenza debole se, comunque fissata una probabilit`_{a µ su R}d_,

esistono:

• Uno spazio di probabilit`_{a (Ω, F , P);}

• Una filtrazione (Ft)t≥0, e un moto Browniano (Bt)t≥0 adattato rispetto a tale

filtrazione;

• Una variabile aleatoria Y F0-misurabile, con Y ∼ µ;

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1.2 Il processo di Bessel al quadrato

13

tali che (Ω, F , P, (Ft)t≥0, (Bt)t≥0, (Xt)t≥0) sia una soluzione dell’equazione (con dato

ini-ziale X0= Y ), relativamente al moto Browniano (Bt)t≥0individuato.

Discussa l’esistenza, passiamo ora alla presentazione di due differenti nozioni di unicit`a: conserveremo la notazione adottata fino ad ora.

Si dice che vi `e unicit`_{a forte (per traiettorie) se per ogni base stocastica (Ω, F , P, (F}t)t≥0,

(Bt)t≥0) e per ogni Y F0-misurabile accade che, prese due soluzioni (X (1)

t )t≥0, (X (2) t )t≥0

dell’equazione, con X₀(1)= X₀(2)_{= Y P-quasi certamente, i due processi risultano} indistin-guibili.

Si dice invece che vi `e unicit`a debole (in legge) se, date due qualsiasi soluzioni:    Ω(1)_{, F}(1) , P(1)_{, (F}(1) t )t≥0, (B (1) t )t≥0, (X (1) t )t≥0 Ω(2)_{, F}(2) , P(2)_{, (F}(2) t )t≥0, (B (2) t )t≥0, (X (2) t )t≥0 , si ha che (X_t(1))t≥0e (X (2)

t )t≥0sono equivalenti, ossia X(1)∼ X(2) come variabili aleatorie

a valori nello spazio delle traiettorie:

X(i): Ω(i)→ R[0,+∞[

ω → Xω_{: [0, +∞[→ R}

t → Xω_{(t) = X} t(ω)

Un primo risultato molto importante nella teoria delle equazioni differenziali stocastiche `

e quello che enunciamo di seguito.

Teorema 1.1.3 (Esistenza e unicit`a forti). Consideriamo, su una base stocastica, la seguente equazione differenziale stocastica:

(

X0= Y

Supponiamo che, fissato un orizzonte temporale finito T > 0: • Le funzioni b e σ siano continue in entrambe le variabili; • Esista una costante L > 0 tale che, per ogni t ∈ [0, T ], valga:

(

||b(t, x) − b(t, y)|| ≤ L||x − y|| ||σ(t, x) − σ(t, y)|| ≤ L||x − y|| per ogni x, y ∈ Rd_.

Allora valgono l’esistenza e l’unicit`a forti per l’equazione differenziale stocastica conside-rata, almeno fino al tempo T .

1.2 Il processo di Bessel al quadrato

L’equazione differenziale stocastica determinata alla fine della Sottosezione (1.1.1) ci con-sente di definire una famiglia di processi stocastici di nostro interesse.

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1.2.1 Definizione e prime osservazioni

Consideriamo ora, su uno spazio filtrato (Ω, F , P, (Ft)t≥0) su cui `e definito un moto

Browniano standard (Bt)t≥0, l’equazione stocastica seguente:

(

dZt= δ dt + 2p|Zt| dBt

Z0= x

,

con x ≥ 0 e δ ≥ 0 (non necessariamente naturale positivo). In forma integrale:

Zt= x + δt + 2

Z t

0

p|Zs| dBs (1.2)

Abbiamo costruito una soluzione dell’equazione appena scritta nella Sottosezione (1.1.1), nel caso in cui x = 0 e δ `e un naturale positivo: il processo (Zt)t≥0= (ρ2t)t≥0.

Cosa possiamo dire in generale? L’equazione differenziale stocastica (1.2) `e della forma: dXt= b(t, Xt) dt + σ(t, Xt) dBt,

con b(t, Xt) ≡ δ, σ(t, Xt) =p|Xt|. Dunque, il classico teorema di esistenza e unicit`a forti

per equazioni differenziali stocastiche non è applicabile in questo caso, visto che σ non soddisfa le ipotesi del teorema (si veda la Sottosezione (1.1.2) per maggiori dettagli). Si può comunque dimostrare che per questa equazione si hanno esistenza e unicità forti per ogni x ≥ 0 e per ogni δ ≥ 0. Non siamo interessati a ciò, perciò diamo giusto qualche referenza:

• L’esistenza debole è stata provata, in un contesto più generale, nell’articolo [7]; • L’unicità forte è invece provata anche nel libro [10].

A questo punto, sempre nell’articolo [7] `e stato dimostrato che `e possibile applicare il seguente teorema, di importanza fondamentale nella teoria delle equazioni differenziali stocastiche.

Teorema 1.2.1 (di Yamada-Watanabe). Considerata l’equazione differenziale stoca-stica seguente:

dXt= b(t, Xt) dt + σ(t, Xt) dBt ,

con X0= x ∈ R, l’esistenza debole e l’unicit`a forte implicano l’esistenza forte.

Dunque, per ogni δ ≥ 0 e per ogni x ≥ 0, l’equazione (1.2) ammette un’unica soluzio-ne forte. Osserviamo che, se δ = x = 0, allora il processo identicamente nullo `e l’unica soluzione forte dell’equazione. Utilizzando allora un teorema di comparazione, si dimo-stra abbastanza agevolmente che l’unica soluzione forte dell’equazione (1.2) ha traiettorie nonnegative P-quasi certamente, dunque nell’equazione il modulo pu`o essere omesso. Di seguito, l’enunciato del teorema (che, lo sottolineamo, vale solo in dimensione 1).

Teorema 1.2.2 (di comparazione). Consideriamo le seguenti due equazioni differenziali stocastiche:

dX_ti= bi(t, X_ti) dt + σ(t, X_ti) dBt ,

per i = 1, 2, con dati iniziali X1

0, X02 (eventualmente deterministici, ma non

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1.2 Il processo di Bessel al quadrato

15

• Le funzioni b1_{, b}2 _{e σ, a valori reali, rendano ben definite le due equazioni}

differen-ziali stocastiche;

• Le funzioni b1_{, b}2 _{siano Boreliane e limitate, con b}1 _{≤ b}2 _{ovunque, e almeno una}

delle due funzioni sia Lipschitziana; • Sia X1

0 ≤ X02 P-quasi certamente.

Allora, P-quasi certamente, X1

t ≤ Xt2 per ogni t ≥ 0.

Dato allora uno spazio filtrato (Ω, F , P, (Ft)t≥0) su cui `e definito un moto Browniano

standard (Bt)t≥0, e dati δ ≥ 0, x ≥ 0, l’unica soluzione forte dell’equazione stocastica:

Zt= x + δt + 2 Z t 0 p Zs dBs (1.3) `

e detta processo di Bessel δ-dimensionale al quadrato, con partenza in x, e si denota con BESQδ(x). La misura immagine sullo spazio delle traiettorie C0_(R+_{, R) di un tale} processo si denota con Qδx.

Il parametro δ ≥ 0 `e detto dimensione del processo di Bessel. Talvolta si usa invece il seguente parametro, detto indice del processo di Bessel:

ν = δ 2− 1 Scriveremo allora BESQ(ν)_{(x) e Q}(ν)

x , se vorremo usare l’indice anzich`e la dimensione.

Vediamo ora una prima proprietà dei processi di Bessel, una sorta di proprietà di additività. Prima di enunciare il risultato, chiariamo velocemente la notazione che useremo. Date due misure P, Q su C0_(R+_{, R), con P ∗ Q denotiamo la convoluzione delle due misure, ovvero} la misura immagine di P ⊗ Q, definita su C0_(R+_{, R)}2, tramite la mappa di addizione:

α : C0_(R+_{, R)}2→ C0

(R+, R) α(ω1, ω2)

def

= ω1+ ω2

Proposizione 1.2.3. Siano δ, δ0 ≥ 0, e siano x, x0≥ 0. Allora vale la seguente relazione: Qδ_x∗ Qδ0

x0 = Qδ+δ 0

x+x0 ,

quindi la somma di processi di Bessel al quadrato `e ancora un processo di Bessel al quadrato.

Dimostrazione. Per ipotesi, esistono due moti Browniani (Bt)t≥0, (Bt0)t≥0 indipendenti, e

due processi stocastici (Xt)t≥0, (Xt0)t≥0definiti su un comune spazio filtrato, tali che:

       Xt= x + δt + 2 Z t 0 p XsdBs X_t0= x0+ δ0t + 2 Z t 0 pX0 sdB0s

Bisogna allora mostrare che il processo (Zt)t≥0 definito dalla somma dei due processi

soddisfa la seguente equazione differenziale stocastica: Zt= (x + x0) + (δ + δ0)t + 2

Z t

0

p

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per un opportuno moto Browniano. Sommando le due equazioni, la dimostrazione si riduce a dimostrare la seguente uguaglianza integrale:

Z t 0 p Xs dBs+ Z t 0 pX0 s dBs0 = Z t 0 p Zsdβs In effetti: Z t 0 p XsdBs+ Z t 0 pX0 sdBs0 = Z t 0 p Zs dβs, con: βt= Z t 0 I{Zs>0} √ XsdBs_√+pXs0 dBs0 Zs + Z t 0 I{Zs=0} dB 00 s ,

con (B_t00)t≥0 moto Browniano indipendente dai primi due. Per il teorema di

caratteriz-zazione di Lévy, (βt)t≥0 è un moto Browniano (omettiamo la verifica): ciò conclude la

dimostrazione.

1.2.2 Simulazione del processo

Vediamo ora di simulare un processo di Bessel al quadrato sul software R. Da qui alla fine della tesi, verranno presentate diverse righe di codice: per maggiori informazioni, si veda [5]. Il codice che useremo `e riportato nel Codice (1.5.4)). Digitiamo allora:

1 T = 1 0 ; dt = 0 . 0 1 ; x =3; d e l t a =2; M = 1 0 ^ 4 ; M . r a p p r = 2 0 ; b o o l . m =1;

R a p p r . B E S Q ( T , dt , x , delta , M , M . rappr , b o o l . m ) Si ottiene allora il grafico mostrato di seguito:

Il sospetto `e che la traiettoria media sia una retta affine, e che valga quindi, per t ≥ 0, δ ≥ 0, x ≥ 0:

EBESQδt(x) = x + δt

Ciò sarebbe anche in accordo, in effetti, con la proprietà di additività dimostrata prece-dentemente.

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1.2 Il processo di Bessel al quadrato

17

Effettivamente è cos`ı. Nel caso in cui δ è un naturale positivo, allora la dimostrazione è molto semplice. Infatti, per quanto detto nella Sottosezione (1.1.1), basta considerare il modulo al quadrato di un moto Browniano δ-dimensionale, con partenza in (√x, 0, . . . , 0). Si ha allora: E " (√x + B_t1)2+ δ X k=2 (B_ti)2 # = E " x + 2√xB1_t+ δ X k=1 (B_ti)2 # = x + δt

Nel caso generale, il risultato `e ancora vero, come mostra la seguente proposizione. Proposizione 1.2.4. Fissati δ ≥ 0, x ≥ 0, sia (Xt)t≥0 il processo di Bessel al quadrato

corrispondente. Per t ≥ 0, allora, vale:

E[Xt] = x + δt

Dimostrazione. Per dimostrare la proposizione, useremo un classico argomento di loca-lizzazione. Innanzitutto, ricordiamo che il processo soddisfa l’equazione (1.3). Definiamo allora una successione di tempi d’arresto (τm)m∈N, ponendo, per ogni m ∈ N:

τm def

= inf{s ≥ 0 | Xs≥ m}

Allora, per ogni m ∈ N, vale:

Xt∧τm = x + δ(t ∧ τm) + 2

Z t∧τm

0

p XsdBs

Inoltre, (τm)m∈N `e una successione crescente: ci`o discende dalla definizione dei tempi

d’arresto. Per come sono definiti i tempi d’arresto, si ha chiaramente, per ogni m ∈ N: E Z t∧τm 0 p XsdBs = E Z t 0 p XsI[0,τm](s) dBs = 0 , dunque: E [Xt∧τm] = x + δ E[t ∧ τm] ≤ x + δt

Fissato ora t ≥ 0, consideriamo l’insieme At⊆ Ω seguente:

At def = ω ∈ Ω sup m∈N τm(ω) ≥ t Allora: E [Xt∧τm] = E [Xt∧τmIAt] + EXt∧τmIAct Dato ω ∈ Ac

t, si ha, per ogni m ∈ N:

Xt∧τm(ω) = Xτm(ω) = m ,

da cui, su Ac

t, Xt∧τm = m per ogni m ∈ N. Se allora fosse P(A

c t) > 0 avremmo: E lim m→+∞Xt∧τmIA c t = +∞ ,

ma ciò è in contraddizione con il Lemma di Fatou, applicabile in quanto il processo è nonnegativo: E lim m→+∞Xt∧τmIA c t ≤ lim inf m→+∞EXt∧τmIA c t ≤ x + δt

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Dunque P(At) = 1, e usando ancora il Lemma di Fatou (su At vale definitivamente

Xt∧τm = Xt):

E [Xt] = E [XtIAt] ≤ lim inf_m→+∞E [Xt∧τmIAt] ≤ x + δt

Dunque:

E [Xt] ≤ x + δt ,

quindi fissato un orizzonte temporale finito T si ha che:

E " Z T 0 Xtdt # = Z T 0 E [Xt] dt ≤ Z T 0 (x + δt) dt = T x + δT 2 2 < +∞ , da cui √Xs s∈[0,T ] ∈ M 2

B([0, T ]) per ogni T > 0. Tornando allora all’equazione (1.3), e

operando il valore atteso, si ottiene:

E[Xt] = x + δt ,

ossia la tesi.

1.2.3 Propriet`

a dei processi di Bessel al quadrato

Vediamo ora alcune proprietà interessanti dei processi di Bessel al quadrato, facilmente de-ducibili usando il Teorema (1.2.2). È noto che, parlando di moti Browniani δ-dimensionali: • Se δ = 1, 2, il moto Browniano è ricorrente, ossia per ogni insieme non vuoto

U ⊆ Rδ_:

P ( ∃ t ≥ 0 | Bt∈ U ) = 1 ;

• Se δ ≥ 3, invece, il moto Browniano `_{e transiente, dato che vale P-quasi certamente:} lim

t→+∞||Bt||

2_{= +∞ .}

Inoltre, se δ ≥ 2, i punti sono tutti polari, ossia per ogni y ∈ Rδ _vale:

P (∃ t > 0 | Bt= y) = 0 ,

mentre se δ = 1 ogni punto `_{e raggiunto P-quasi certamente.} Dunque:

• Se δ ≥ 3, il processo di Bessel al quadrato `e transiente, mentre se δ ≤ 2 esso `e ricorrente;

• Se δ ≥ 2, l’origine `e un punto polare, mentre se δ ≤ 1 esso `_{e raggiunto P-quasi} certamente.

`

E interessante valutare il caso in cui δ = 0. In questo caso, l’origine `_{e raggiunta} P-quasi certamente. In questo caso, però, l’origine è un punto assorbente, nel senso che le traiettorie, una volta raggiunto lo 0, vi stazionano definitivamente: infatti l’unica soluzione dell’equazione (1.3), con dato iniziale nullo, è banalmente il processo identicamente nullo.

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1.2 Il processo di Bessel al quadrato

19

Ci`o si pu`o apprezzare con l’aiuto del software statistico, digitando (si veda il Codice (1.5.4) per ulteriori informazioni):

T = 2 0 ; dt = 0 . 0 1 ; x =3; d e l t a =0; M = 1 0 ^ 4 ;

2 M . r a p p r = 2 0 ; b o o l . m =1;

R a p p r . B E S Q ( T , dt , x , delta , M , M . rappr , b o o l . m ) Il grafico che si ottiene `e riportato di seguito:

Effettivamente, delle 20 traiettorie disegnate, solo una non si annulla entro le 20 unità temporali. Il valore atteso, però, rimane costante, in accordo con la Proposizione (1.2.4). Si può invece dimostrare (non lo facciamo) che se δ ∈ ]0, 2[, allora l’origine è istanta-neamente riflettente, ossia P-quasi certamente l’insieme degli istanti temporali in cui il processo si annulla ha misura di Lebesgue nulla. A posteriori, dunque, il termine:

Z t

0

I{Zs=0} dB

00 s

nella dimostrazione della Proposizione (1.2.3) pu`o essere omesso, essendo l’integrale nullo, se δ e δ0 _{non sono entrambi nulli.}

Concludiamo ora il paragrafo con una proprietà di invarianza dei processi di Bessel al qua-drato. È noto che un moto Browniano (Bt)t≥0(restringiamoci al caso reale per semplicità

di notazione) `e tale che, considerata una costante positiva c, il processo ( ˜Bt)t≥0 definito

in questo modo, per t ≥ 0:

˜ Bt def = √1 cBct `

e ancora un moto Browniano. Questa propriet`a pu`o essere leggermente generalizzata. Per x ∈ R, infatti, definiamo il moto Browniano (Btx)t≥0 con partenza in x. Allora, data una

costante positiva c, i processi (Bx

t)t≥0 e ( ˜Btx)t≥0, ove per t ≥ 0: ˜ B_txdef= √1 cB x√d ct

(20)

Una propriet`a simile vale anche per i processi di Bessel al quadrato, come mostra la seguente proposizione.

Proposizione 1.2.5. Sia (Xt)t≥0= (BESQδt(x))t≥0, e sia c > 0. Allora:

1 cXct t≥0 ∼BESQδ_tx c t≥0 ,

nel senso che i due processi sono uguali in legge.

Dimostrazione. Indichiamo con ( ˜Xt)t≥0il processo da analizzare. Si ha:

1 cXct= x c + δ ct c + 2 c Z ct 0 p Xs dBs= x c + δt + 2 Z t 0 r 1 cXcr d ₁ √ cBcr , dopo un semplice cambio di variabile. Per quanto detto precedentemente sul moto Brow-niano, il processo: ₁ √ cBct t≥0

`e un moto Browniano. Dunque: ˜ Xt= x c + δt + 2 Z t 0 q ˜ Xsdβs,

e da qui si ha la tesi, ricordando che il processo di Bessel al quadrato seguente: BESQδt x c t≥0

`e l’unica soluzione forte dell’equazione scritta sopra.

1.3 Il processo di Bessel

Il nostro prossimo obiettivo `e quello di considerare la famiglia di processi ottenuta a partire da quella definita nella scorsa sezione semplicemente “estraendo la radice quadrata”. In questa sezione, rendiamo rigorosa tutta la costruzione.

1.3.1 Definizione e prime propriet`

a

Sia, al solito, (Ω, F , P, (Ft)t≥0) uno spazio filtrato. Ricordiamo che un processo stocastico

(Xt)t≥0 (a valori in Rn, con n ≥ 1, o in generale in uno spazio di misura (E, E )) `e detto

processo di Markov se, considerata una qualsiasi funzione: ϕ : (E, E ) → (R, B(R))

E-misurabile e limitata, e considerati t ≥ 0 e h > 0, vale la seguente uguaglianza a livello di speranze condizionali:

(21)

1.3 Il processo di Bessel

21

Due interpretazioni a tale propriet`a sono le seguenti:

• Per un processo di Markov, il presente e il passato danno le stesse informazioni circa il futuro;

• Per un processo di Markov, il futuro `e indipendente dal passato, una volta noto il presente.

Una proposizione che sar`a utile tra poco, riguardante i processi di Markov, `e la seguente: supponiamo che sia (E, E ) = (R, B(R)) per avere uno spazio topologico.

Proposizione 1.3.1. Sia (Ω, F , P, (Ft)t≥0) uno spazio filtrato, e sia (Xt)t≥0un processo

di Markov a valori in (R, B(R)). Sia poi:

ψ : (R, B(R)) → (R, B(R))

una funzione boreliana e invertibile. Allora (ψ(Xt))t≥0`e un processo di Markov.

Dimostrazione. Sia f : (R, B(R)) → (R, B(R)) una funzione boreliana e limitata. Allora la funzione f ◦ ψ `e:

• Boreliana, perchè f e ψ lo sono; • Limitata, perchè f lo è.

Per ipotesi, allora, (ψ(Xt))t≥0`e adattato rispetto alla filtrazione (visto che ψ `e boreliana),

e in pi`u vale sicuramente:

E [f (ψ(Xt+h)) | Ft] = E [f (ψ(Xt+h)) | Xt]

Dato che ψ `e invertibile, infine, le σ-algebre generate da Xte ψ(Xt) sono identiche. Quindi

si ha:

E [f (ψ(Xt+h)) | Ft] = E [f (ψ(Xt+h)) | ψ(Xt)] ,

ossia la tesi.

Nella Sezione (1.2) non abbiamo accennato al fatto che i processi di Bessel al quadrato sono dei processi di Markov: dimostrare ciò non è complicato, ma non è di nostro interesse. Piuttosto, poniamo l’attenzione su due fatti:

• I processi di Bessel al quadrato sono a traiettorie nonnegative P-quasi certamente; • La radice quadrata `e un omeomorfismo da R+

a R+_.

Adattando opportunamente la Proposizione (1.3.1), allora, si ha che, dato un processo di Bessel al quadrato, la sua radice quadrata `e ancora un processo di Markov.

Siano allora δ ≥ 0, e x ≥ 0. Considerato il processo di Bessel al quadrato (BESQδ

t(x2))t≥0,

il processo ottenuto operando la radice quadrata `e detto processo di Bessel δ-dimensio-nale con partenza in x. Esso si denota con (BESδ

t(x))t≥0, e la misura immagine sullo

spazio delle traiettorie di tale processo di denota con Pδ x.

Notiamo subito che, per δ naturale positivo, tale processo pu`o essere in qualche modo visualizzato analizzando il modulo (questa volta non elevato al quadrato) di un moto Browniano δ-dimensionale, con partenza in (x, 0, . . . , 0).

`

E abbastanza intuitivo pensare che alcune propriet`a di tali processi vengano ereditate dai loro quadrati.

(22)

Ad esempio:

• Un processo di Bessel ha traiettorie P-quasi certamente continue; • Un processo di Bessel ha traiettorie P-quasi certamente nonnegative; • Un processo di Bessel `e transiente se δ ≥ 3, ed `e ricorrente se δ ≤ 2;

• Considerato un processo di Bessel, i punti sono polari se δ ≥ 2, mentre essi sono raggiunti P-quasi certamente se δ ≤ 1;

• Considerato un processo di Bessel, l’origine `e un punto assorbente se δ = 0, mentre `e istantaneamente riflettente se δ ∈ ]0, 2[.

1.3.2 Uso della formula di It¯

o

La domanda che ora ci poniamo è la seguente: i processi di Bessel appena definiti risolvono una ben precisa equazione differenziale stocastica? Risponderemo a questa domanda solo parzialmente (accennando solamente ai casi in cui la risposta diventa molto complicata). La prima idea che sicuramente viene in mente è quella di usare la formula di It¯o, presentata nel Teorema (1.1.1). Per semplicità di notazione, vediamo qui la sua versione reale, per una funzione f ∈ C2

(R) dipendente solo dalla variabile spaziale: df (Xt) = f0(Xt) b(t, Xt) dt + f0(Xt) σ(t, Xt) dBt+

1 2 f

00_(X

t) σ2(t, Xt) dt ,

ove l’ultimo termine è la correzione di It¯o. L’ostacolo, però, è dato dal fatto che la radice quadrata non è sufficientemente regolare in 0, ma è liscia (derivabile infinite volte) solamente in ]0, +∞[.

Se allora δ ≥ 2 e x > 0, la formula pu`o essere usata, in quanto l’origine `e un punto polare. Si ottiene allora, fissati δ ≥ 2, x ≥ 0 e detto (Xt)t≥0 il processo di Bessel δ-dimensionale

al quadrato con partenza in x2_:

dX12 t = 1 2X −1 2 t h δ dt + 2X12 t dBt i +1 2· −1 4 X−32 t · 4Xtdt = δ − 1 2 X −1 2 t dt + dBt

Detto allora (Yt)t≥0il processo di Bessel δ-dimensionale con partenza in x, definito

prece-dentemente, si ha che tale processo risolve la seguente equazione differenziale stocastica: Zt= x + Z t 0 1 Zs ds + βt,

con (βt)t≥0 moto Browniano standard. Si pu`o dimostrare che per questa equazione vale

l’unicit`a forte: concludiamo quindi che il processo di Bessel `e l’unica soluzione forte di tale equazione differenziale stocastica.

Negli altri casi, la discussione è molto più complicata, e quindi la evitiamo: a titolo di esempio, il processo di Bessel 1-dimensionale, con partenza in x ≥ 0, non è soluzione di alcuna equazione differenziale stocastica (perlomeno non nel senso in cui siamo abituati a definire le soluzioni di un’equazione differenziale stocastica).

(23)

1.4 Simulazione del processo di Bessel

23

1.3.3 Propriet`

a di riscalamento

Usando ora una proposizione precedente, possiamo dimostrare in maniera agevole la seguente proposizione.

Proposizione 1.3.2. I processi di Bessel godono della propriet`a di riscalamento di cui gode il moto Browniano. In altre parole, se (Xx

t)t≥0 = (BEStδ(x))t≥0 e c > 0, allora il processo ( ˜Xx t)t≥0 ove per t ≥ 0: ˜ X_txdef= √1 cX x√c ct ha la stessa legge di (Xx t)t≥0.

Dimostrazione. Sia, per δ ≥ 0, a ≥ 0, (Ya

t )t≥0= (BESQδt(a))t≥0. Allora:

˜_Xx t 2 = 1 c Xx √ c ct 2 =1 cY x2_c ct

Per la Proposizione (1.2.5), ora: 1 cY x2c ct ∼ Y x2 t ,

nel senso che i due processi sono uguali in legge. Operando allora la radice quadrata, si ottiene la tesi.

1.4 Simulazione del processo di Bessel

La determinazione della funzione della media di un processo di Bessel è abbastanza più complicata di quella già vista, per i processi di Bessel al quadrato, nella Sottosezione (1.2.2): in questa sezione vediamo tutti i dettagli.

1.4.1 Introduzione

Vediamo ora qualche simulazione sul software R dei processi di Bessel. Chiaramente: • Ogni processo di Bessel pu`o essere simulato come la radice quadrata del

corrispon-dente processo di Bessel al quadrato;

• Per δ ≥ 2 e x > 0, potremmo usare l’equazione differenziale stocastica che definisce il processo di Bessel da analizzare.

Procediamo con il primo metodo (si vedano i Codici (1.5.5) e (1.5.6)). Digitiamo allora: T = 2 0 ; dt = 0 . 0 1 ; x =1; d e l t a =3; M = 1 0 ^ 4 ;

2 M . r a p p r = 2 0 ; b o o l . m =1;

R a p p r . BES ( T , dt , x , delta , M , M . rappr , b o o l . m )

Si ottiene allora il grafico riportato nella prossima pagina.

Il secondo metodo, rispetto al primo, presenta notevoli inconvenienti: • Se δ < 2, il metodo non `e definito;

• Se x = 0, o comunque x `e prossimo a 0, il metodo risulta non definito o comunque degenere, per via dell’equazione che definisce il processo;

(24)

• Nel caso in cui δ ≥ 2, x > 0, l’origine `e un punto polare, per`o la discretizzazione del processo fa s`ı che le traiettorie passanti dall’origine non siano trascurabili rispetto alle altre. Per queste traiettorie, il metodo di Eulero diventa degenere non appena viene raggiunta l’origine: un’ulteriore complicazione, insomma.

Sembra quindi che il primo metodo sia di gran lunga il migliore dei due.

Come nella Sottosezione (1.2.2), anche qui potremmo porci l’obiettivo di calcolare la fun-zione di media del processo di Bessel. Questa volta, però, ci limitiamo al caso in cui δ è un naturale positivo, per sfruttare le nostre conoscenze sul moto Browniano δ-dimensionale. Abbiamo allora, fissato t > 0 (il caso t = 0 è di banale discussione), un vettore gaussiano δ-dimensionale Yt∼ Nδ(µ, tIδ), dove:

• µ = (x, 0, . . . , 0);

• Iδ `e la matrice identica di taglia δ,

e vogliamo calcolare E[||Yt||].

Essendo Iδ definita positiva (ossia invertibile), sappiamo che Ytammette densit`a rispetto

alla misura di Lebesgue su Rδ_{, e tale densit`}_{a `}_e:

ft(a) = 1 (2π)δ2 · tδ2 e−2t1||a−µ|| 2 Si ha allora: E[||Yt||] = Z Rδ ||a|| ft(a) da = Z Rδ ||a|| · 1 (2π)δ2 · tδ2 e−2t1||a−µ|| 2 da

Purtroppo per noi, il calcolo diretto di tale integrale non `e affatto agevole: cerchiamo quindi una strada alternativa per risolvere il quesito.

Ricordiamo innanzitutto che, se Z1, . . . , Zk sono variabili aleatorie gaussiane standard

indipendenti, allora la variabile aleatoria seguente:

U =

k

X

j=1

(25)

1.4 Simulazione del processo di Bessel

25

ha una legge nota, detta chi-quadro (a k gradi di libert`a): U ∼ χ2_k

Di tale variabile si sa tutto, a cominciare dalla sua densit`a. Volendo allora generalizzare, siano Z1, . . . , Zk delle variabili indipendenti con legge gaussiana su R, tali che per ogni

j = 1, . . . , k:

Zj∼ N (mj, σj2)

Allora la seguente variabile aleatoria:

Z = v u u t k X j=1 Zj σj 2

ha legge chi noncentrata (tranne nel caso in cui m1 = . . . = mk= 0). In questo caso, i

parametri che risultano importanti per la descrizione delle caratteristiche di tale variabile aleatoria sono due:

• Il numero k di gradi di libert`a; • Il parametro λ seguente: λ = v u u t k X j=1 mj σj 2

Scriveremo allora Z ∼ χ(k, λ). Anche di questa variabile aleatoria si sa molto, ma per andare avanti bisogna introdurre due classi di funzioni speciali:

• Le funzioni di Bessel; • I polinomi di Laguerre. Questo `e ci`o che faremo ora.

1.4.2 Funzioni di Bessel

Consideriamo la seguente equazione differenziale ordinaria del secondo ordine, detta equa-zione di Bessel:

x2y00(x) + xy0(x) + (x2− n2)y(x) = 0 , (1.4) ove n ∈ N. Cerchiamo una soluzione dell’equazione (1.4) sotto forma di serie di potenze:

y(x) = xn +∞ X k=0 akxk Allora: • xy0(x) = nxn +∞ X k=0 akxk+ xn +∞ X k=0 kakxk; • x2_y00_{(x) = n(n − 1)x}n +∞ X k=0 akxk+ xn +∞ X k=0 k(k − 1)akxk+ 2nxn +∞ X k=0 kakxk;

(26)

• x2_{y(x) = x}n +∞ X k=0 akxk+2= xn +∞ X k=0 ak−2xk,

dove nell’ultima espressione per definizione a−2= a−1 = 0.

Dunque: n(n − 1)xn +∞ X k=0 akxk+ xn +∞ X k=0 k(k − 1)akxk+ 2nxn +∞ X k=0 kakxk+ +nxn +∞ X k=0 akxk+ xn +∞ X k=0 kakxk+ xn +∞ X k=0 ak−2xk− n2xn +∞ X k=0 akxk= 0 , da cui: xn +∞ X k=0 (n2_{− n + k}2_{− k + 2nk + n + k − n}2_)a k+ ak−2 xk= 0 xn +∞ X k=0 (k2_{+ 2nk)a} k+ ak−2 xk= 0

Bisogna imporre allora, per ogni k ∈ N:

(k2+ 2nk)ak+ ak−2= 0 ,

dove ricordiamo che a−2 = a−1 = 0. `E facile notare che da qui segue immediatamente

che, per k dispari, valga ak= 0: resta quindi da discutere il caso in cui k `e pari (diciamo

k = 2h). Se h = 0, non abbiamo condizioni su a0, che quindi `e arbitrario. Una volta scelto

il valore di a0, per h = 1, ad esempio, si ha:

a2= −

a0

4(n + 1) , e induttivamente per h generico:

a2h= (−1)h a0 4h_{h! · (n + h) · . . . · (n + 1)} In definitiva, allora: y(x) = +∞ X k=0 (−1)h a0· n! 4h_{h!(n + h)!}x 2h+n

Una scelta conveniente per a0, allora, `e:

a0= 1 2n_n! In questo modo: y(x) = +∞ X k=0 (−1)h h!(n + h)! x 2 2h+n

`e una soluzione dell’equazione (1.4). Usando allora il criterio del rapporto, si vede che la serie `e assolutamente convergente, con raggio di convergenza infinito.

(27)

1.4 Simulazione del processo di Bessel

27

Possiamo ora generalizzare al caso in cui si ha un parametro complesso ν ∈ C, che per`o non sia un intero negativo. Consideriamo allora la seguente equazione:

x2y00(x) + xy0(x) + (x2− ν2_{)y(x) = 0} _(1.5)

Con ragionamenti del tutto analoghi, si deduce allora che una soluzione dell’equazione (1.5) `e la seguente: Jν(x) def = +∞ X k=0 (−1)h h! Γ(ν + h + 1) x 2 2h+ν

Essa è detta funzione di Bessel di prima specie (di ordine ν). Se invece ν è un intero negativo, si può vedere che definendo:

Jν(x) def

= (−1)−νJ−ν(x)

l’equazione `e soddisfatta. Dunque, la definizione di queste funzioni `e completa.

Per completezza, a questo punto, ricordiamo che l’equazione di Bessel è del secondo ordi-ne, quindi vi è sicuramente un’altra soluzione linearmente indipendente rispetto a quella trovata, per ogni ν. Essa è detta funzione di Bessel di seconda specie (di ordine ν), e per ν 6∈ Z vale:

Yν(x) def

= Jν(x) cos(νπ) − J−ν(x) sin(νπ)

Per n ∈ Z, si pu`o dimostrare che la seguente definizione `e ben posta: Yn(x)

def

= lim

ν→nYν(x) ,

in quanto il limite esiste.

Con il metodo appena mostrato, si possono determinare le soluzioni della seguente equa-zione, detta equazione modificata di Bessel:

x2y00(x) + xy0(x) − (x2+ ν2)y(x) = 0 , (1.6)

con ν ∈ C. Com’`e intuibile, le soluzioni dell’equazione (1.6) sono dette funzioni modifi-cate di Bessel di prima specie (di ordine ν):

Iν(x) def = +∞ X k=0 1 h! Γ(ν + h + 1) x 2 2h+ν

e funzioni modificate di Bessel di seconda specie (di ordine ν): Kν(x) def = π 2 · I−ν(x) − Iν(x) sin(νπ) ,

quando ν non è un intero (se ν è intero si opera un limite). Si può dimostrare facilmente (omettiamo i dettagli) che per quanto riguarda le funzioni modificate di Bessel di prima specie vale la seguente relazione (nel caso in cui ν non è intero):

(28)

1.4.3 Polinomi di Laguerre

Consideriamo la seguente equazione, detta equazione di Laguerre: xy00(x) + (1 − x)y0(x) + ny(x) = 0 ,

con n ∈ N. Usando ancora una volta il metodo della serie di potenze, si determina una soluzione non banale dell’equazione, per ogni n ∈ N, ed è facile vedere che, per ogni n, la soluzione yn trovata è un polinomio di grado esattamente n. Come si può immaginare,

tali soluzioni sono chiamate polinomi di Laguerre. Nel dettaglio, per n ∈ N: Ln(x) = n X k=0 n k (−1)k k! x k

Questa successione di polinomi `e molto conosciuta in ambito numerico, in quanto questi polinomi risultano una successione di polinomi ortogonali, rispetto ad un ben preciso prodotto scalare nello spazio dei polinomi. Se infatti consideriamo, dati due polinomi p, q, il seguente prodotto scalare:

hp, qidef= Z +∞

0

p(x)q(x)e−x dx ,

allora i polinomi di Laguerre appena determinati risultano ortogonali rispetto a questo prodotto scalare.

Pertanto (non diamo molti dettagli) essi possono essere definiti mediante la relazione a tre termini:

Lk+1(x) =

(2k + 1 − x)Lk(x) − kLk−1(x)

k + 1 ,

per k ≥ 2, con L0(x) = 1, L1(x) = 1 − x, oppure mediante la formula di Rodrigues:

Lk(x) = ex k! · dk dxk e −x_xk , per ogni k ∈ N.

Volendo ora generalizzare quanto detto, consideriamo la seguente equazione, per α ∈ R: xy00(x) + (1 + α − x)y0(x) + ny(x) = 0

Usando il solito approccio, allora, si ottengono i polinomi generalizzati di Laguerre: Lαn(x) = n X k=0 n + α n − k (−1)k k! x k , dove il coefficiente binomiale `e definito nel seguente modo:

n + α n − k def = (n + α)(n + α − 1)(n + α − 2) . . . (α + k + 1) (n − k)!

Nel caso in cui α > −1, si pu`o dimostrare che tali polinomi sono ortogonali rispetto al seguente prodotto scalare, definito sullo spazio dei polinomi:

hp, qiα def = Z +∞ 0 p(x)q(x)xαe−x dx

Valgono quindi, anche in questo caso, la relazione a tre termini e la formula di Rodrigues (opportunamente adattate): non diamo i dettagli.

(29)

1.4 Simulazione del processo di Bessel

29

1.4.4 Conclusione

Siano Z1, . . . , Zk delle variabili indipendenti con legge gaussiana su R, tali che per ogni

j = 1, . . . , k:

Zj∼ N (mj, σj2)

Siamo interessati a determinare la densit`a della variabile aleatoria:

Z = v u u t k X j=1 Zj σj 2

Dato che la radice quadrata è un diffeomorfismo da ]0, +∞[ in sè, possiamo determinare la densità della variabile aleatoria Y = Z2, e poi determinare quella di Z tramite un noto risultato. Senza perdere di generalità, poi, possiamo supporre che sia σ1= . . . = σk= 1.

Facciamo ora un conto preliminare: sia X ∼ N (m, 1). Per x > 0, si ha: P(X2≤ x) = P(−

√

x ≤ X ≤√_{x) = P(−}√x − m ≤ X − m ≤√x − m) Ora, X − m ∼ N (0, 1), per cui:

P(− √ x − m ≤ X − m ≤√x − m) = Φ(√x − m) − Φ(−√x − m) = = Φ(√x − m) + Φ(√x + m) − 1 Dunque: fX2(x) = 1 2√x· [ϕ( √ x − m) + ϕ(√x + m)] ,

dove φ `e la densit`a di una variabile gaussiana standard. Con semplici conti si ottiene allora: fX2(x) = 1 √ 2πxe −x+m2 2 _cosh( √ xm) ,

mentre ovviamente fX2(x) = 0 se x ≤ 0. Ricordando ora l’espansione in serie di Taylor

del coseno iperbolico, si ha, per x > 0:

fX2(x) = 1 √ 2πxe −x+m2 2 +∞ X h=0 m2h (2h)!x h

Analizziamo meglio questa densit`a. Si ha: (2h)! = (2h)!!(2h − 1)!! = √1 π 2 2h _{h! Γ} h +1 2 ,

da cui (per comodit`a, sia α = m₂2):

fX2(x) = 1 √ 2π +∞ X h=0 e−m22 e−x2 m 2 2h h! Γ h −1₂ x h−1 2 = +∞ X h=0 e−ααh h! " e−x2 2h+12 Γ h + 1 2 x h−1 2 # = = +∞ X h=0 e−ααh h! · g2h+1(x) ,

(30)

dove gq è la densità di una variabile aleatoria con legge chi-quadro a q grandi di libertà.

Abbiamo allora la seguente interpretazione probabilistica: data una variabile H di legge poissoniana di parametro α, la variabile X2_{, condizionata all’evento H = h, `}_{e una variabile}

con legge chi-quadro a 2h + 1 gradi di libert`a.

Dopo questo conto preliminare, notiamo che, avendo supposto unitarie le varianze σ1, . . . ,

σk, la legge congiunta di (Z1, . . . , Zk) `e a simmetria sferica, a meno di una traslazione.

La legge di Y , dunque, dipende dal vettore delle medie (m1, . . . , mk) solo attraverso il

seguente parametro: λ2= k X j=1 m2_j

Sfruttando allora la simmetria sferica, possiamo senza perdere di generalit`a supporre che sia m1= λ, m2= . . . = mk= 0.

Con queste ipotesi aggiuntive, la variabile U1= X12ha la densit`a calcolata precedentemente

(con m = λ), mentre U2= X22+ . . . + X 2

k ha legge chi-quadro a (k − 1) gradi di libert`a.

Infine, U1e U2sono indipendenti. Ricordando allora che la somma di variabili chi-quadro

indipendenti è ancora una variabile chi-quadro, si ha che la densità di Y = U1+ U2è:

fY(x) = +∞ X h=0 e−α_αh h! · g2h+k(x) ,

dato che per ogni h ≥ 0 si ha 2h + 1 + (k − 1) = 2h + k (in questo caso α = λ₂2). Una forma alternativa per la densità, molto più comoda per i nostri scopi, è la seguente:

fY(x) = 1 2e −x+λ2 2 x λ2 k4− 1 2 Ik 2−1(λ √ x) ,

con Iν funzione modificata di Bessel del primo tipo (chiaramente, tale formula `e valida se

λ > 0). In conclusione, dunque: fZ(x) = e− x2 +λ2 2 x λ k2 λ Ik 2−1(λx)

Il valore atteso di tale variabile aleatoria, in particolare, `e (omettiamo i dettagli del calcolo):

E[Z] = r π 2 L k 2−1 1 2 −λ 2 2

Resta da discutere il caso particolare in cui λ = 0. In questo caso, la variabile Y = Z2 _ha

legge chi-quadro a k gradi di libert`a, dunque per x > 0: fY(x) = e−x2 2k2 Γ k 2 x k 2−1 , mentre fY(x) = 0 se x ≤ 0. Dunque: fZ(x) = 2x e−x2 2 2k2 Γ k 2 x k−2₌ x k−1_e−x2 2 2k2−1 Γ k 2 ,

(31)

1.4 Simulazione del processo di Bessel

31

con fZ(x) = 0 se x ≤ 0. In tal caso:

E[Z] = √ 2 ·Γ k+1 2 Γ k₂ Riassumendo, allora: fZ(x) =          0 , x ≤ 0 e−x2 +λ22 x λ k2 _{λ I} k 2−1(λx) , x > 0 , λ > 0 , xk−1e− x 2 2 2k2−1 Γ(k 2) , x > 0 , λ = 0 e: E[Z] =    pπ 2 L k 2−1 1 2 −λ2 2 , λ > 0 √ 2 · Γ( k+1 2 ) Γ(k 2) , λ = 0

A cosa `e servita tutta questa discussione? Torniamo al nostro obiettivo. Considerato un vettore gaussiano δ-dimensionale:

Yt∼ Nδ(µ, tIδ) ,

dove:

• µ = (x, 0, . . . , 0);

• Iδ `e la matrice identica di taglia δ,

si ha Yt= √ t Zt, con: Zt∼ Nδ(µt, Iδ) , con: µt= x √ t, 0, . . . , 0 Dunque: fYt(u) =            0 , u ≤ 0 e−u2 +x22t u x ν u t Iν ux t , u > 0 , x > 0 , u2ν+1 _e−u2 2t 2ν _tν+1 _{Γ (ν + 1)} , u > 0 , x = 0 (1.7)

ove (lo ricordiamo) ν `e l’indice del processo di Bessel, e:

E[Yt] =        r πt 2 L ν 1 2 −x 2 2t , λ > 0 √ 2t · Γ ν + 3 2 Γ (ν + 1) , λ = 0 (1.8) `

E interessante il fatto che le formule (1.7) e (1.8) valgano, in generale, per un qualsiasi δ > 0: ci`o si pu`o dimostrare introducendo la nozione di trasformata di Laplace di una variabile aleatoria.

(32)

1.4.5 Uso della trasformata di Laplace

Sia X una variabile aleatoria a valori reali positivi, avente densit`a f su [0, +∞[. Si definisce allora trasformata di Laplace di f la seguente funzione in variabile complessa:

L[f ](λ)def_{= E}e−λX₌Z +∞

0

e−λtf (t) dt

Con abuso di notazione, si dice che L[f ] `e la trasformata di Laplace di X.

Per alleggerire la notazione, chiameremo φ la trasformata di Laplace di f , quando ciò non creerà confusione. È facile verificare queste due prime proprietà:

• φ(0) = 1;

• Se Re(λ) > 0, allora |φ(λ)| ≤ 1.

Non `_{e detto che φ sia definita per ogni s ∈ C. Se per`o esistono due costanti K, a tali che} per ogni t ≥ 0 valga:

|f (t)| ≤ Keat _,

allora φ `_{e sicuramente definita per ogni s ∈ C tale che Re(s) > a.}

Altre propriet`a banali da dimostrare sono le seguenti (in questo caso, le funzioni non sono necessariamente densit`a):

• La trasformata di Laplace della funzione nulla `e la funzione nulla; • L[f + g](λ) = L[f ](λ) + L[g](λ);

• L[af ](λ) = aL[f ](λ).

La trasformata di Laplace, dunque, è un operatore lineare. Esso è inoltre un operatore iniettivo, se ristretto alle funzioni integrabili. Volendo essere più precisi, due funzioni integrabili che hanno la stessa trasformata di Laplace differiscono tra loro al più su un insieme trascurabile rispetto alla misura di Lebesgue. Se quindi una funzione φ risulta essere la trasformata di Laplace di f , f è unica, nel senso descritto sopra. Con abuso di notazione, allora, scriveremo:

f = L−1[φ] ,

sebbene definire l’operatore di trasformata inversa di Laplace in modo rigoroso sia tutt’altro che semplice.

Vediamo ora una proprietà che risulterà utile più avanti. Sia X una variabile aleatoria a valori reali nonnegativi, con densità f su [0, +∞[. Supponiamo che f sia continua ovunque. Sia quindi F la funzione di ripartizione di X:

F (t) = P(X ≤ t) = Z t 0 f (u) du , per t ≥ 0. Allora, per s 6= 0: L[F ](s) = Z +∞ 0 e−stF (t) dt = Z +∞ 0 e−st Z t 0 f (u) du dt

(33)

1.4 Simulazione del processo di Bessel

33

Integrando per parti:

L[F ](s) = −1 se −stZ t 0 f (u) du +∞ 0 +1 s Z +∞ 0 e−stf (t) dt

Il termine tra parentesi quadre `e nullo. Dunque: L[F ](s) =1 s· L[f ](s), da cui: F (x) = L−1 1 s · L[f ](s) (x) (1.9)

Vediamo ora come applicare tali nozioni. Sia (Xt)t≥0 un processo di Bessel al quadrato

δ-dimensionale, con partenza in x ≥ 0.

Proposizione 1.4.1. Sia µ una misura su R+ _{tale che:}

Z +∞

0

(1 + t) dµ(t) < +∞ Allora esistono due costanti positive Ax

µ, Bµδ, una dipendente solo da x e µ, l’altra

dipen-dente solo da δ e µ, tali che: E

h

eR0+∞Xt dµ(t)

i

= AxµBµδ

La dimostrazione fa uso della Proposizione (1.2.3), e non `e concettualmente complicata: evitiamo i dettagli.

Notiamo piuttosto che, scegliendo µ in questo modo: µt= −λt ,

dove t`e la misura che assegna massa unitaria all’istante t (`e una delta di Dirac, ma non

usiamo la lettera δ per non creare confusione), si ottiene la trasformata di Laplace della funzione di transizione del processo. Per calcolare esplicitamente le costanti, basta restrin-gersi al caso δ = 1, e poi sfruttare la propriet`a di moltiplicativit`a data dalla Proposizione (1.2.3). Sia allora (Yt)t≥0un processo di Bessel al quadrato 1-dimensionale, con partenza

in x ≥ 0. Abbiamo quindi: Ee−λY = E h eR0+∞Yt dµ(t) i = Ehe−λB2t i , ove (Bt)t≥0`e un moto Browniano reale con partenza in

√

x. L’ultimo valore atteso `e facile da calcolare, e vale: E h e−λBt2 i = ₁ 1 + 2λt 12 e−1+2λtλx Ne deriva che: Ax_µ_t = e−1+2λtλx _{, B}δ µt = 1 1 + 2λt δ₂

A questo punto, invertendo la trasformata di Laplace nel modo descritto dalla formula (1.9) e derivando la funzione cos`ı ottenuta, si ottiene la funzione di transizione del processo di

(34)

Bessel al quadrato; poi, con un cambio di variabile, si ottiene la formula (1.7), questa volta per ogni δ > 0.

L’uso della trasformata inversa di Laplace ci consente di analizzare anche il caso in cui δ = 0. In questo caso, per`o, l’origine `e un punto con massa strettamente positiva, quindi la funzione di ripartizione non risulta derivabile nell’origine. Non diamo ulteriori dettagli, e concludiamo qui la trattazione.

1.5 Codice utilizzato

1.5.1 Codice 1.5.1

La seguente function riceve in input un orizzonte temporale finito T, il passo della discre-tizzazione dt, la posizione di partenza x, il parametro delta e il numero M di traiettorie da simulare, ed effettua delle simulazioni del relativo processo di Bessel al quadrato mediante metodo di Eulero esplicito. La function non esegue un controllo sul segno di x e δ, quindi per avere simulazioni corrette `e opportuno che questi due dati siano nonnegativi, e rende nulli eventuali valori negativi ottenuti mediante l’iterazione del metodo, per assicurare che il processo sia in ogni caso nonnegativo.

B E S Q < - f u n c t i o n( T , dt , x , delta , M ) { 2 m = T / dt ; h = s q r t( dt ) ; X = m a t r i x( n r o w = M , n c o l =( m +1) ) ; X [ ,1] = x ; if ( m >1) { 7 for ( t in 2:( m +1) ) { X [ , t ] = X [ ,( t -1) ] + d e l t a * dt + 2*s q r t(abs( X [ ,( t -1) ]) ) * h *r n o r m( M ) ; X [ , t ] = ( X [ , t ] + abs( X [ , t ]) ) /2; } } 12 r e t u r n( X ) }

1.5.2 Codice 1.5.2

La seguente function riceve in input una matrice A ∈ M (m, n, R) (che sostanzialmente contiene le informazioni di m traiettorie, ciascuna lunga n unit`a temporali) e restituisce la traiettoria media, ossia la media aritmetica delle traiettorie.

Avg < - f u n c t i o n( X ) { 2 m = dim( X ) [ 1 ] ; y = 1/ m * c o l S u m s ( X , na . rm = F A L S E ) ; r e t u r n( y ) }

1.5.3 Codice 1.5.3

La seguente function riceve in input una matrice A ∈ M (m, n, R) (che sostanzialmente contiene le informazioni di m traiettorie, ciascuna lunga n unit`a temporali), e genera un grafico di alcune di esse (tante quante indicato tramite la variabile in input M.rappr).

(35)

1.5 Codice utilizzato

35

La function riceve poi in input il passo di discretizzazione dt, e una variabile booleana, bool.m: a seconda del suo valore aggiunge al grafico o meno la traiettoria media. Per ulteriori informazioni, si veda il Codice (1.5.2).

R a p p r . SDE < - f u n c t i o n( X , dt , M . rappr , b o o l . m ) { n = dim( X ) [ 2 ] ;

N = dim( X ) [ 1 ] ; T = ( n -1) * dt ;

5 p l o t( c (0 , T ) , c (max( X [1: M . rappr ,]) +2 ,min( X [1: M . rappr ,]) -2) , t y p e = " n " , m a i n = " P r o c e s s o di B e s s e l al q u a d r a t o " , x l a b = " T e m p o ( in s e c o n d i ) " , y l a b = " " ) for ( k in 1: M . r a p p r ) { l i n e s( c ( 0 : ( n -1) ) * dt , X [ k ,] , col = " d o d g e r b l u e " ) } 10 a b l i n e( h =0 , col = " d a r k g r e y " ) a b l i n e( v =0 , col = " d a r k g r e y " ) a b l i n e( v = T , col = " d a r k g r e y " ) E = Avg ( X ) ; if( b o o l . m == 1) { 15 l i n e s( c ( 0 : ( n -1) ) * dt , E , lwd =3 , col = " red " ) } }

1.5.4 Codice 1.5.4

La seguente function riceve in input ci`o che le function precedenti richiedono, e rappresenta alcune traiettorie del processo di Bessel al quadrato, munite eventualmente della traiettoria media. Per ulteriori informazioni, si vedano i Codici (1.5.1) e (1.5.3).

R a p p r . B E S Q < - f u n c t i o n( T , dt , x , delta , M , M . rappr , b o o l . m ) { X = B E S Q ( T , dt , x , delta , M ) ;

3 R a p p r . SDE ( X , dt , M . rappr , b o o l . m ) }

1.5.5 Codice 1.5.5

La seguente function simula il processo di Bessel a partire dal processo di Bessel al quadrato corrispondente. Per maggiori informazioni, si veda il Codice (1.5.1), mentre si legga l’inizio della Sezione (1.3) per comprendere l’operazione effettuata.

1 BES < - f u n c t i o n( T , dt , x , delta , M ) { X = B E S Q ( T , dt , x ^2 , delta , M ) ; Y = s q r t( X ) ; r e t u r n( X ) }

1.5.6 Codice 1.5.6

La seguente function rappresenta alcune traiettorie del processo di Bessel (ottenute uti-lizzando il Codice (1.5.5)), munite eventualmente della traiettoria media. Per ulteriori informazioni, si vedano anche i Codici (1.5.3) e (1.5.4).

(36)

R a p p r . BES < - f u n c t i o n( T , dt , x , delta , M , M . rappr , b o o l . m ) { X = BES ( T , dt , x , delta , M ) ;

R a p p r . SDE ( X , dt , M . rappr , b o o l . m ) }

(37)

Capitolo 2

Ponti di Bessel

In questo capitolo introdurremo un nuovo processo, il ponte di Bessel, ottenuto condizio-nando opportunamente il relativo processo di Bessel (di cui abbiamo ampiamente parlato nel Capitolo (1)).

Nella Sezione (2.1) definiremo tale processo, ed effettueremo qualche simulazione per evi-denziare alcune criticità. Dopodichè, nella Sezione (2.2), effettueremo alcuni conti che serviranno più avanti. Nell’ultima sezione (Sezione (2.3)) è riportato il codice usato.

2.1 Definizione e simulazione

In questa sezione definiremo in modo sintetico il ponte di Bessel, e faremo le prime simulazioni per evidenziare alcune criticit`a.

2.1.1 Una veloce introduzione

Consideriamo, dato un orizzonte temporale finito a > 0, il seguente spazio topologico: Wa

def

= C0_{([0, a], R}+) ,

munito della topologia indotta dalla convergenza uniforme. Tale spazio, che d’ora in poi chiameremo spazio di Wiener, `e uno spazio topologico:

• Separabile, ossia contenente un sottoinsieme numerabile e denso;

• Completamente metrizzabile, ossia tale che esista una distanza (quella ovvia, in questo caso) che induca la topologia sopra citata, e che lo renda uno spazio metrico completo.

Si dice allora, per definizione, che esso `e uno spazio polacco.

Sullo spazio Wa `e possibile definire un processo (Yt)t≥0, detto processo coordinato,

tale che, per y ∈ Wa valga:

Yt(y) def

= y(t) `

(38)

Si può dimostrare allora che è possibile definire una famiglia di probabilità: Fa = Px,yδ,a

x, y ∈ R+ , δ ≥ 0

su Wa, tale che valga, per un qualsiasi insieme Boreliano B ⊆ Wa:

P_xδ(B) = Z

R

P_x,yδ,a(B) µa(dy) ,

dove µa `e la legge di Ya sotto Pxδ (la definizione di quest’ultima legge `e esposta nella

Sottosezione (1.3.1)). Informalmente parlando, vale la seguente relazione: P_x,yδ,a(B) = P_xδ(B | Ya = y) ,

per ogni y ∈ R+_.

Tale risultato ha una dimostrazione piuttosto complessa. Usando fatti generali sulle versio-ni regolari di probabilità condizionali, si può definire (una volta fissati i parametri δ, x, a) la probabilità Pδ,a

x,y per µa-quasi ogni y ≥ 0: l’insieme trascurabile degli y per i quali tale

probabilit`a non `e definita dipende chiaramente dagli altri parametri. Con le argomenta-zioni che tracciamo di seguito solo per sommi capi, invece, si riesce a definire Pδ,a

x,y per ogni

y ≥ 0 (questa `e una delle possibili scelte, non l’unica valida). Tale metodo fa uso della densit`a calcolata nella Sottosezione (1.4.4), nel caso in cui δ > 0. Riprendendo allora la formula (1.7), usiamo ora la seguente notazione:

pδ_t(x, u) =            0 , u ≤ 0 e−u2 +x22t u x ν u t Iν ux t , u > 0 , x > 0 , u2ν+1_e−u2 2t 2ν _tν+1_{Γ (ν + 1)} , u > 0 , x = 0

dove ν = δ₂ − 1. Adesso, per ogni y > 0, possiamo definire Pδ,a

x,y dicendo che, per degli

istanti temporali 0 < t1 < . . . < tn < a (n naturale positivo), la legge di (Xt1, . . . , Xtn)

sotto Px,yδ,a`e data da:

ftδ,a,x,y1,...,tn(x1, . . . , xn) = 1 pδ a(x, y) " pδt1(x, x1) · n Y k=2 pδtk−tk−1(xk−1, xk) · p δ a−tn(xn, y) # ,

rispetto alla misura di Lebesgue su Rn. Fissati gli istanti temporali, tale densità è una funzione continua in y, e non è difficile (sfruttando la definizione di Iν) notare che esiste

il limite per y → 0+_{. La famiglia di queste distribuzioni finito-dimensionali ottenute}

operando il limite `e consistente (ossia stabile per permutazioni e contrazioni): deduciamo allora, applicando il teorema di estensione di Kolmogorov per ogni y ≥ 0 fissato, che `e possibile definire Pδ,a

x,y per ogni y ≥ 0.

Fissato a > 0, infine, notiamo che la stessa analisi pu`o essere condotta usando i processi di Bessel al quadrato anzich`e i processi di Bessel, ossia le leggi Qδx, al variare di x ≥ 0, δ ≥ 0,

esposte nella Sottosezione (1.2.1). Un processo continuo, avente legge Pδ,a

x,y sullo spazio delle traiettorie Wa, `e detto ponte

di Bessel δ-dimensionale tra x e y su [0, a]. Un processo continuo, avente invece legge Qδ,a_x,y su Wa, `e detto ponte di Bessel δ-dimensionale al quadrato tra x e y su [0, a].

(39)

2.1 Definizione e simulazione

39

In entrambi i casi, direttamente dalla definizione si ha che P-quasi certamente il processo vale x al tempo 0 e y al tempo a.

Osserviamo velocemente che il quadrato di un ponte di Bessel δ-dimensionale tra x e y su [0, a] `e un ponte di Bessel δ-dimensionale al quadrato tra x2 _{e y}2 _{su [0, a].}

Nella prossima sezione dimostreremo un risultato molto importante per i nostri scopi. Concludiamo allora questa sezione elencando due propriet`a dei ponti di Bessel, senza dimostrazione. Per comodit`a, sia a = 1.

Il primo risultato afferma che, considerato un processo di Bessel δ-dimensionale al quadrato con partenza in x, sia esso (Xt)t≥0, il processo (Yt)t∈[0,1]definito ponendo:

Yt def

= (1 − t)2X t 1−t

per t ∈ [0, 1[, e Y1≡ 0, `e un ponte di Bessel δ-dimensionale al quadrato tra x e 0 su [0, 1].

Come immediata conseguenza, la Proposizione (1.2.3) pu`o essere adattata al caso dei ponti di Bessel, nel seguente modo.

Proposizione 2.1.1. Siano δ, δ0 ≥ 0, e siano x, x0_{≥ 0. Allora vale la seguente relazione:}

Qδ,1_x,0∗ Qδ_x00,1_,0= Q

δ+δ0,1 x+x0_,0,

quindi la somma di ponti di Bessel al quadrato è ancora un ponte di Bessel al quadrato. Il secondo risultato afferma invece, in sostanza, che un ponte di Bessel al quadrato da x a y può essere visto come un ponte di Bessel al quadrato da y a x “invertendo il tempo”. Nel dettaglio, se (Xt)t∈[0,1]è un ponte di Bessel δ-dimensionale al quadrato tra x e y su

[0, a], allora (X1−t)t∈[0,1]`e un ponte di Bessel δ-dimensionale al quadrato tra y e x, sempre

su [0, a].

L’applicazione di tale risultato `e semplice ed immediata: quando nei prossimi capitoli andremo a simulare i ponti di Bessel, useremo questo risultato per migliorare notevolmente il risultato finale. Tuttavia, nella prossima sezione vedremo in dettaglio come l’inversione temporale possa provocare, all’atto pratico, variazioni non trascurabili nel risultato finale: la causa di tale anomalia `e da ricercare quasi certamente nel malcondizionamento numerico del problema, in uno dei due versi.

2.1.2 Simulazione del ponte di Bessel

In questa sezione andiamo a effettuare simulazioni di traiettorie di un ponte di Bessel. Innanzitutto, bisogna partire dall’(eventuale) equazione stocastica del ponte di Bessel: tale equazione pu`o essere ricavata dall’equazione del processo di Bessel associato. Il metodo `

e spiegato nei dettagli nell’articolo [2], e fa uso, in particolare, del noto teorema di Girsanov. Restringiamoci quindi, sulla scorta di quanto visto nella Sottosezione (1.3.2), al caso in cui δ ≥ 2, e studiamo in particolare il caso in cui il ponte vada da 0 a 0. L’equazione differenziale stocastica soddisfatta dal ponte di Bessel δ-dimensionale da 0 a 0 su [0, 1] risulta la seguente:    dXt= δ − 1 2Xt − Xt 1 − t dt + dBt X0= 0 , (2.1)

(40)

per t ∈ [0, 1]. Con la formula di It¯o, applicata all’equazione (2.1), si pu`o facilmente determinare, poi, l’equazione del ponte di Bessel δ-dimensionale al quadrato, sempre da 0 a 0 su [0, 1], che risulta essere:

   dZt= δ − 2Zt 1 − t dt + 2pZtdBt Z0= 0 , (2.2)

per t ∈ [0, 1]. La seconda equazione differenziale stocastica, a differenza della prima, non risulta singolare nell’origine: tutte le function che creeremo per simulare ponti di Bessel, allora, useranno la simulazione del processo al quadrato, quindi l’estrazione della radice quadrata.

Il nostro obiettivo, ora, `e quello di generalizzare le equazioni appena presentate: • Per un generico orizzonte temporale T > 0;

• Per due qualsiasi posizioni iniziale e finale x, y.

Poniamo per`o, per restringerci al caso di nostro effettivo interesse, δ = 3. L’equazione (2.1), in questo caso, `e la seguente:

   dXt= ₁ Xt − Xt 1 − t dt + dBt X0= 0 ,

per t ∈ [0, 1]. In generale, se la posizione iniziale è x, quella finale è y, e l’orizzonte temporale è T , l’equazione è:    dXt= ₁ Xt +y − Xt T − t dt + dBt X0= x , (2.3) per t ∈ [0, T ].

Nel caso (di nostro interesse) in cui x = 0 e y > 0, supponiamo che (Xt)t∈[0,T ] soddisfi

l’equazione (2.3). Sia poi σ > 0. Usando la formula di It¯o, allora, si ha immediatamente che il processo (σXt)t∈[0,T ](sia esso (Yt)t∈[0,T ]) soddisfa l’equazione seguente:

   dYt= σ2 Yt +z − Yt T − t dt + σdBt Y0= 0 , (2.4)

per t ∈ [0, T ], con z = σy. Tale equazione torner`a utile nel seguito. Il suo quadrato, sia esso (Zt)t≥0, risolve invece:

   dZt= 3σ2+2z √ Zt T − t − 2Zt 1 − t dt + 2σpZtdBt Z0= 0 (2.5)

Passiamo ora alla simulazione delle traiettorie, restringendoci al caso in cui δ = 3, e x = 0, y > 0. Come abbiamo accennato precedentemente, il miglior metodo per simulare

(41)

2.1 Definizione e simulazione

41

le traiettorie consiste nel discretizzare mediante metodo di Eulero esplicito il processo al quadrato, per poi estrarre la radice quadrata.

Sul finire della Sottosezione (2.1.1) abbiamo mostrato come per discretizzare il ponte di Bessel al quadrato si possa procedere mediante inversione temporale. Seguiremo quindi due approcci: uno diretto e uno basato sull’inversione temporale.

Iniziamo allora simulando le traiettorie di un ponte di Bessel al quadrato tra 0 e 4 su [0, 10], con i due metodi (il codice che useremo `e riportato nella Sezione (2.3)). Digitiamo allora: 1 T = 1 0 ; dt = 0 . 0 1 ; a =4; s i g m a =1; M = 1 0 ^ 4 ; M . r a p p r = 1 0 ; b o o l =0; b o o l . m =1; X1 = BB ( T , dt , a , sigma , M , b o o l ) ; X2 = B B R e v ( T , dt , a , sigma , M , b o o l ) ; R a p p r . B r i d g e ( X1 , X2 , dt , M . rappr , b o o l . m ) ; Il risultato che si ottiene `e il seguente:

Le traiettorie del processo senza inversione temporale sono quelle azzurre; le altre sono quelle arancioni. Si può notare una profonda diversità già a livello di media, sebbene la teoria ci dica che quelle due traiettorie dovrebbero addirittura coincidere. Il condiziona-mento numerico è quindi un fattore che qui entra pesantemente in gioco, e che rende uno dei due metodi assolutamente inutilizzabile. Solitamente, infatti, quando si considerano processi discretizzati con e senza inversione temporale, una delle due discretizzazioni è ben condizionata, l’altra no. Quale delle due è quella corretta? Scopriremo più avanti, con una semplice verifica, che in questo caso l’inversione temporale fornisce il metodo ben condizionato.

Ovviamente lo stesso fenomeno avviene se consideriamo i ponti di Bessel. Facciamo una prova, digitando: T = 1 0 ; dt = 0 . 0 1 ; a =4; s i g m a =1; M = 1 0 ^ 4 ; M . r a p p r = 1 0 ; b o o l =1; b o o l . m =1; X1 = BB ( T , dt , a , sigma , M , b o o l ) ; X2 = B B R e v ( T , dt , a , sigma , M , b o o l ) ; 5 R a p p r . B r i d g e ( X1 , X2 , dt , M . rappr , b o o l . m ) ;

(42)

Si ottiene allora la seguente figura, da cui si traggono le medesime considerazioni:

Pi`u avanti, nel prossimo capitolo, completeremo la trattazione, fornendo una prova del fatto che il secondo metodo `e quello da preferire.

2.2 Qualche conto preliminare

L’obiettivo di questa sezione è quello di rispondere in modo rigoroso ad alcuni quesiti, che poi compariranno nel prossimo capitolo. Essi sono presentati qui, in modo da rendere più fluida possibile la lettura del prossimo capitolo, dove si parlerà di applicazioni pratiche di tutto quanto visto finora.

In particolare, tratteremo il calcolo del seguente valore atteso:

Qδ,1_x,y exp −b 2 2 Z 1 0 Xs ds ,

dove b ≥ 0, e (Xt)t∈[0,1]`e il processo coordinato (si veda la definizione nella Sottosezione

(2.1.1)). In altre parole, vogliamo calcolare:

E exp −b 2 2 Z 1 0 Xsds ,

dove b ≥ 0, e (Xt)t∈[0,1]`e un ponte di Bessel δ-dimensionale tra x e y su [0, 1].

Ricordando la Proposizione (1.4.1), vogliamo approfondire la questione del calcolo delle costanti Ax

µ e Bµδ.

Consideriamo allora una misura di Radon su R+_{: ricordiamo che una misura σ-finita su}

(R+, B(R+)) `e una misura di Radon se ogni compatto ha misura finita. Facciamo poi la seguente ipotesi, gi`a vista:

Z +∞

0