Computazioni

6.2.1 Modello matematico del programma 1-d

Tra i diversi modelli matematici in studio si è adottato quello del professor Vardy. Questo modello fa l’ipotesi di flusso monodimensionale isoentropico con attrito; l’entropia viene mantenuta tuttavia a un valore costante.

Le condizioni al limite riguardanti il naso e la coda dei treni sono calcolati a partire dall’equazione di continuità e da una forma generalizzata dell’equazione di bernoulli per un fluido comprimibile con un termine che esprime la perdita di pressione singolare. Le condizioni al limite sono più semplici che in un modello di flusso non isoentropico ma le equazioni sono ancora non lineari e devono essere risolte in modo iterativo.

Definire un flusso isoentropico e includere l’effetto dell’attrito può sembrare

contraddittorio. Generalmente parlando di un flusso isoentropico si pensa a un flusso non viscoso senza trasferimento di calore attraverso le pareti (sarebbe a dire un flusso

adiabatico senza attrito).

Il modello può tuttavia essere considerato come un modello rigoroso di flusso isoentropico ma nel quale l’entropia è mantenuta a un valore costante per un trasferimento di calore supposto, attraverso la parete. Bisogna sottolineare che non si tratta di un modello adiabatico ma di un modello nel quale il flusso è stato costretto a comportarsi secondo (p/ρ)K=costante (p è la pressione, ρ la densità e K=Cp/Cv con Cp e Cv sono i calori specifici

a pressione e volume costante).

Il modello non rappresenta il processo termico che si produce nei tunnel ferroviari.

Tuttavia permette di studiare i tunnel, compresi i pozzi di aereazione, le gallerie traversali e treni multipli. Il metodo è particolarmente generale. Permette inoltre delle possibilità supplementari per rappresentare gli effetti dei dispositivi di riduzione dei transitori di pressione come per esempio gli svasamenti d’entrata, le entrate perforate, le pareti di separazione dei binari.

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Il modello monodimensionale è dunque matematicamente descritto come segue. Le equazioni della conservazione della massa e del momento sono:

In assenza di trasferimento di calore ci saranno solo piccoli cambiamenti di entropia. Si può adeguatamente assumere che le condizioni omoentropiche prevalgono, in questo caso l’equazione dell’energia si riduce a

La velocità del suono soddisfa la relazione:

Le equazioni della massa e del momento dono equazioni differenziali alle derivate parziali iperboliche che non possono essere, in generale, integrate direttamente in tutto il piano x-t. Si può utilizzare, tuttavia, il metodo delle caratteristiche che permette che l’integrazione numerica sia effettuata facilmente. Le cosiddette equazioni caratteristiche,

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sono valide rispettivamente nelle direzioni caratteristiche:

6.2.2 Definizione dei parametri

Al fine di incorporare gli effetti viscosi, gli effetti tridimensionali alle estremità del treno, o per caratterizzare il tasso di tenuta o la possibile comprimibilità della cassa delle carrozze [15][16], il programma permette l’introduzione di certi parametri, in particolare:

 i coefficienti di perdita di pressione del naso e della coda  il coefficiente di perdita di pressione del portale

 i coefficienti d’attrito del tunnel e del treno

 l’area di dispersione equivalente, che è l’area di un foro con i bordi vivi che avrebbe la stessa portata d’aria a un dato differenziale di pressione (che prevede che l’effetto delle perdite con l’esterno delle varie carrozze può essere simulata da un’unica superficie di perdita [14])

 il fattore di compressione k della cassa, semplicemente definito in questo modo [17] V=V0[1+k(Pi-Pe)]

Dove:

V e V0 = volume della carrozza rispettivamente in un dato istante e a riposo

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6.2.2 Determinazione dei parametri

Questi parametri possono essere determinati dalle misurazioni condotte nei tunnel e sul treno. Quindi vengono localizzate, per mezzo di un diagramma d’onda, le differenti fasi di propagazione dell’onda di pressione come mostrato in figura 6.3.

Figura 6.3 – Propagazione dell’onda di pressione e diagramma d’onda associato Usando una tecnica di ottimizzazione, diventa possibile stimare il coefficiente d’attrito del tunnel che può essere applicato a tutte le computazioni finali (tabella 7).

Allo stesso modo, il coefficiente di frizione del treno è stato stimato, utilizzando essenzialmente l’informazione della pressione compresa nella fase di propagazione tra l’istante 1 e il 2. Il coefficiente di perdita di pressione del naso è calcolato dal primo salto di pressione (1, nel grafico in alto) registrato nel tunnel.

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Per quanto riguarda l’area del foro equivalente, il periodo selezionato è quello durante il quale la pressione esterna al treno è relativamente costante. All’interno di questo periodo, la pendenza della storia della pressione interna permette di determinare il coefficiente equivalente di dispersione (periodo tra l’istante 1 e l’istante 2, in basso nelgrafico).

La comprimibilità della carrozza viene osservata mentre la cassa stessa è soggetta a una rapida fluttuazione di pressione esterna. Appena il treno entra nel tunnel viene creata un’onda di depressione e si muove lungo il treno. La fig.21 mostra che questo improvviso calo di pressione viene trasmesso all’interno del treno. A causa della velocità di caduta della pressione esterna, questa fluttuazione di pressione è trasmessa all’interno delle carrozze attraverso la deformazione delle pareti della carrozza, fenomeno che riduce momentaneamente il volume delle carrozze. Di conseguenza, il periodo che intercorre tra l’istante 1 e il 2 sono i più appropriati per determinare il fattore di comprimibilità k.

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6.2.3 Semplificazioni della modellazione e caratteristiche geometriche

Nella misura in cui TRANSTUN è basato su una modellazione 1-d, nessuna specifica evoluzione della sezione trasversale dei portali dei tunnel né della coda/naso dei treni può essere esplicitamente modellata. Quindi il tunnel è modellato come un tubo ospitante un cilindro più grande (stanza rettangolare), con portali aventi sezioni piane e dritte (fig.19 e tabella seguente).

Lo stesso treno è modellato come un tubo di area costante. Per permettere gli effetti di frizione, viene considerato l’esatto perimetro di ogni veicolo (fig.21 e tabella 8). Come detto in precedenza le velocità sono costanti.

Tabella8 – Caratteristiche geometriche del tunnel Terranuova Le Ville e dell ETR 500/92 [5].

6.3 Risultati del software TRANSTUN