Essendo ‘frazioni’ del campo, tali quanti soddisfano il principio di sovrapposizione e danno luogo ai tipici fenomeni della interferenza, diffrazione etc. etc. classicamente definiti come ondulatori. Essendo però
portatori di frazioni definite di energia, quantità di moto, etc. etc. danno luogo anche a fenomeni
classicamente definiti come corpuscolari. In questo senso, il quanto è un ente portatore sia di proprietà
ondulatorie che corpuscolari come d’altra parte richiesto dagli esperimenti con particelle microscopiche
(si pensi alla interferenza quantomeccanica di due fenditure in regime di singola particella);
Accoppiamento tra campi. Campi diversi possono occupare la stessa regione di spazio. Se, in aggiunta a ciò, sono accoppiati tra loro, allora possono scambiarsi quanti. Si assume sempre che lo scambio di
quanti tra campi accoppiati avvenga in un certo punto dello spazio e del tempo attraverso un processo di natura intrinsecamente statistica.
Le particelle osservate negli esperimenti altro non sono che i quanti scambiati dai campi con gli apparati
di osservazione.
I processi dove il numero e la tipologia delle particelle varia vengono interpretati come trasferimenti di quanti tra campi differenti accoppiati tra loro (un fatto che semplifica in modo determinante la loro descrizione).
Sotto il profilo formale vale la pena richiamare i seguenti fatti:
Lo stato del campo. Lo stato fisico di un campo classico viene descritto precisando, per ciascuno dei suoi modi normali, il valore dell’ampiezza.
Lo stato fisico di un campo quantizzato viene descritto precisando, per ciascuno dei suoi modi normali, il numero di quanti. Ciò significa che per descrivere lo stato fisico del campo è necessario, per ciascun modo normale k, descrivere l’insieme dei possibili stati con nk=1,2,3,…,N,… quanti. Uno stato con un
singolo quanto, analogamente alla singola particella della meccanica quantistica classica, è descritto da un vettore nello spazio di Hilbert H (uno stato senza quanti, invece, da un semplice numero complesso C). Uno stato con due quanti può essere costruito nello spazio prodotto HH, con tre quanti nello spazio prodotto HHH, con n quanti nello spazio prodotto Hn. Nel costruire gli stati a due, tre o più quanti bisogna tenere conto del principio di indistinguibilità il quale impone che gli stati siano simmetrici (bosoni) o antisimmetrici (fermioni) rispetto allo scambio dei quanti stessi. Indicheremo tali stati correttamente simmetrizzati con (HH)’, (HHH)’, etc. etc. Uno spazio dove sia possibile costruire stati con un numero arbitrario di quanti può allora essere costruito attraverso la somma
Uno spazio di questo tipo deve essere poi costruito per ogni modo normale sicché lo spazio finale è del tipo
[C(H)(HH)’…(Hn)’…]1 [C(H)(HH)’…(Hn)’…]2…
dove a pedice è indicato il primo modo, il secondo modo, etc. etc. Dunque, partendo dagli stati di singola particella della meccanica quantistica è possibile costruire lo spazio degli stati del campo. Tale spazio prende il nome di spazio di Fock e lo stato del campo è rappresentato da un certo vettore di stato | ⟩ in tale spazio;
La dinamica del campo. Si intuisce che, in questo tipo di formalismo, la dinamica del campo può essere descritta per mezzo di un ‘ente’ che agendo sullo ‘stato del campo’ lo modifica. Dunque da un ‘operatore’ che opera sul
‘vettore di stato’ del campo. Dato che una variazione dello stato del campo può avvenire in ogni punto dello
spazio ⃗ ed in ogni istante di tempo t per mezzo di un processo intrinsecamente statistico, il suddetto operatore deve dipendere da ⃗ e t. Giungiamo allora alla conclusione che il campo è descritto da un operatore , in generale complesso (i campi classici sono descritti da funzioni dipendenti da ⃗ e t, quelli quantistici da operatori dipendenti da da ⃗ e t);
Come opera , , particelle e antiparticelle. Un modo per capire come opera , sul vettore di stato è quello di esprimerlo come serie di Fourier complessa (magari in un volume limitato così da avere una distribuzione discreta di modi normali). Si trova allora che i) è necessario introdurre, in corrispondenza di ogni particella, una antiparticella avente stessa massa e spin ma ‘cariche interne’ opposte (ad esempio in corrispondenza dell’elettrone si deve introdurre il positrone); ii) le ampiezze di Fourier dei diversi modi normali di , devono essere interpretate come operatori capaci al tempo stesso di distruggere una particella (o quanto) o di creare una antiparticella nel modo normale corrispondente. Analogamente si trova che le ampiezze di Fourier dei diversi modi normali dell’operatore aggiunto , devono essere interpretate come operatori capaci al tempo stesso di creare una particella (o quanto) o di distruggere una antiparticella nel modo normale corrispondente.
Siccome i nostri ragionamenti saranno del tutto qualitativi, nel seguito, quando necessario, in modo sintetico useremo i simboli
per indicare distruzione di una particella o creazione di una antiparticella
per indicare creazione di una particella o distruzione di una antiparticella
D
pC
p Indistinguibilità. Si deve ricordare che già nella meccanica quantistica classica i fatti sperimentali richiedono che le particelle dello stesso tipo (ad esempio gli elettroni) non solo siano tra loro identiche ma anche fisicamente indistinguibili. L’indistinguibilità delle particelle identiche è un requisito che deve essere soddisfatto anche nelle teorie dei campi quantizzati dove oltretutto appare essere un concetto assai più naturale dato che le particelle sono identificate con i quanti di specifici campi. Si può mostrare che per soddisfare l’indistinguibilità quantomeccanica delle particelle identiche è sufficiente costruire gli stati a più particelle in modo che siano simmetrici o antisimmetrici rispetto
allo scambio delle particelle stesse (lo spazio di Fock degli stati del campo deve essere costruito in
accordo con questa prescrizione). Da questo fatto discende immediatamente che due particelle
identiche del tipo antisimmetrico non possono coesistere nello stesso stato ma solo in stati differenti o,
equivalentemente, che il numero di occupazione di uno stato di un campo costituito da particelle del
tipo antisimmetrico può essere solo 0 ed 1.
Nessun limite di questo tipo invece sussiste per le particelle del tipo simmetrico per cui affermiamo che un numero arbitrario di particelle identiche del tipo simmetrico possono coesistere nello stesso
stato o, equivalentemente, che il numero di occupazione di uno stato di un campo costituito da particelle del tipo simmetrico può essere qualunque. Le particelle o quanti del primo tipo sono dette Fermioni mentre quelle del secondo tipo sono dette Bosoni.
Connessione spin-statistica. All’interno della teoria dei campi quantizzati si riesce a stabilire una fondamentale connessione tra la proprietà di simmetria degli stati e lo spin dei suoi quanti. Si tratta di uno dei teoremi più importanti e generali delle teorie di campo quantizzato, il teorema spin-statistica (dimostrato in forma sempre più generale da Fierz,1939; Pauli, 1940; Schwinger, 1950): gli stati simmetrici rispetto alla permutazione degli indici di particella sono sempre associati a particelle di spin intero (bosoni) mentre gli stati antisimmetrici rispetto alla permutazione degli indici di particella sono sempre associati a particelle di spin semintero (fermioni);
il passaggio dalla meccanica quantistica classica alla teoria di campo quantizzato può essere interpretato come trasformazione della funzione d’onda (che fornisce la densità di probabilità di localizzazione di una particella microscopica) in un campo operatoriale (associato alla distruzione di particelle o creazione di antiparticelle)
L’evoluzione temporale degli operatori di campo è data dalle equazioni del campo che possono essere espresse nella forma di equazioni di evoluzione tipo Schroedinger o Heisenberg
Quando il numero di particelle non cambia gli operatori di campo possono essere reinterpretati come funzioni complesse della posizione e del tempo il cui modulo quadro fornisce la densità di probabilità di localizzazione della particella (funzione d’onda della meccanica quantistica classica).
2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 1 / 1 / mc mv E p E p c m c v c v c 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 1 / 1 / mc mv m c k k c v c v c
E p k
comprende una parte operatoriale che opera sugli stati ed una parte di spin operatore di campo
parte spazio-temporale : onda piana in campo complesso operatore di campo nella forma di ‘onda’ piana
relazioni relativistiche per la energia e l’impulso relazioni relativistiche + relazioni di De Broglie
( 1) 0, ,1,...1
2
s s s s
(2 / ) 2 /
k n T
relazione tra i parametri dell’onda piana e l’energia e l’impulso : relazioni di De-Broglie
parametri dell’onda piana
( ) ,ˆ
ˆ ( , )
i k r t kr t A e
ˆ ˆ ˆ ( ˆ ˆ )
i H i H H
t t
Nelle teorie di campo classico, valide macroscopicamente, le interazioni tra particelle materiali vengono descritte per mezzo di uno scambio continuo di energia, quantità di moto etc. etc. attraverso l’intermediazione del campo.
Ad esempio, nel caso dell’elettromagnetismo, una carica elettrica posizionata in un certo punto con una certa velocità, si accoppia con una certa intensità caratteristica al campo elettrico e magnetico innalzandone il valore in tutto lo spazio circostante.
Una seconda carica elettrica, posizionata in un secondo punto, si accoppia con la stessa intensità caratteristica a tali campi elettrico e magnetico ricevendone una forza che si traduce in una variazione della sua velocità.
Attraverso questo meccanismo, la prima carica trasferisce frazioni di energia, quantità di moto etc. etc. al campo elettromagnetico che, a sua volta, le trasferisce alla seconda carica.
Il processo elementare su cui si basa l’interazione consiste quindi nella cessione (prima figura) o acquisizione (seconda figura) dal campo elettromagnetico, di frazioni di energia, quantità di moto etc. etc. da parte delle cariche.
Secondo l’elettromagnetismo classico, le frazioni di energia, quantità di moto etc. etc. che le cariche cedono o acquisiscono dal campo possono variare in modo continuo per cui lo scambio risulta assimilabile ad una sequenza continua di processi elementari e deterministici di scambio di frazioni
infinitesime di energia, quantità di moto etc. etc.
I fatti sperimentali in ambito microscopico impongono alcune rilevanti modifiche del meccanismo d’interazione del campo classico.
In primo luogo risulta necessario ammettere che le frazioni di energia, quantità di moto etc. etc. scambiate tra particelle e campi, possano variare solo in modo discontinuo attraverso porzioni minime indivisibili dette quanti (storicamente questo fatto fu messo in luce da Plank con la sua rivoluzionaria interpretazione della radiazione di cavità ma fu poi confermato come caratteristica generale dei fenomeni microscopici).
In secondo luogo è anche necessario ammettere che lo scambio di tali quanti tra particelle e campi sia istantaneo, avvenga in un preciso punto dello spazio, e regolato da una legge di natura statistica con probabilità proporzionale alla intensità caratteristica della interazione. Ciò significa che il processo non è deterministico, e, a priori, ciò che è definita è solo la probabilità che avvenga un tale scambio (vastissima è la base empirica di questo fatto, ma potremmo citare l’interferenza quantomeccanica di elettroni ovvero la distribuzione statistica degli elettroni su di uno schermo fotografico preceduto da due fenditure nanometriche).
Ad esempio, nel caso della interazione elettromagnetica lo scambio tra carica e campo deve strutturarsi in una sequenza discreta di processi elementari ciascuno corrispondente ad una cessione (terza figura) o
acquisizione (quarta figura) finita ed istantanea di energia, quantità di moto etc. etc. dal campo da parte
della carica. x t O x t O x t O x t O Le interazioni nel campo classico