Abbiamo visto (vedi par. 3.5.2) i casi in cui una FDN ha matrice di reazione senza perdite. L’interpretazione come guida d’onda porta ad una nuova classe di matrici di reazione senza perdite, che, in ogni caso, costituisce solo un sottoinsieme di tutte le matrici di reazione senza perdite. Vediamo le condizioni generali per assenza di perdita per una DWN [5,51,55].
Supponiamo che A sia una matrice di scattering; A è definita senza perdite se e solo se la potenza complessa totale sulla giunzione è invariante allo scattering, cioè:
p
+*Γp
+= p
-*Γp
- ⇒A
*ΓA = Γ
dove Γ è una matrice Hermitiana, definita positiva, che rappresenta l’ammettenza di giunzione generalizzata. La forma x*Γx è per definizione il quadrato della norma ellittica di x indotta da Γ,
2
x Γ= x*Γx [5,57].
Per la giunzione di N guide d’onda di figura 3.34, Γ = diag [Γ1, Γ2,.., ΓN], dove Γi è l’ammettenza caratteristica della guida d’onda i-esima.
Nel caso particolare in cui Γ = I, otteniamo una matrice A unitaria, un caso comunemente usato in pratica con le FDN. Così, matrici di reazione unitarie corrispondono a DWN con guide d’onda tutte con ammettenza caratteristica unitaria. Si può dimostrare che, in generale, una matrice di scattering (come una matrice di reazione di una FDN) A è senza perdite se e solo se i suoi autovalori giacciono sulla circonferenza unitaria e i suoi autovettori sono linearmente indipendenti.
Matrici di scattering senza perdite si possono, inoltre, totalmente parametrizzare come:
A = T
-1DT
dove D è una matrice diagonale a modulo unitario, e T è una matrice invertibile: siamo giunti ad una classe più ampia di matrici di scattering senza perdite di quella data dalle semplici matrici unitarie; da notare, comunque, che non tutte le matrici di scattering possono interpretarsi come giunzioni fisiche di N guide d’onda [3,5,55].
Una matrice particolarmente utile è la matrice prototipo: AN, che massimizza la densità d’eco, riducendo il costo d’implementazione:
AN = IN –
2 N u
T
u
Vediamo alcune possibili soluzioni:
1. se sostituiamo IN con una matrice di permutazione JN, N x N, u essendo un vettore colonna N x 1 di soli 1, otteniamo una FDN che è equivalente ad una rete di N guide d’onda digitali che si incrociano in una giunzione di scattering. L’impedenza d’onda nella i-esima guida d’onda è semplicemente u i
[ ]
, l’i-esimo elemento del vettore degli assi di riflessioneu. La scelta uT = [1,1,…,1] corrisponde a tutte le guide d’onda con stessa impedenza (caso
di “giunzione isotropa”). u uTè una matrice contenente tutti uno, quindi, il calcolo di A
N x consiste, in generale, nella permutazione degli elementi di x secondo la JN, con l’aggiunta della somma di x volte il fattore - 2
N . Questo richiede all’incirca 2N operazioni contro le normalmente richieste. Quando J
2
N N è la matrice identità IN, il sistema risultante è una
modifica del filtro a pettine parallelo di Schroeder che massimizza la densità d’eco, come mostrato in figura 3.37:
Questa struttura, però, produce un’eco periodico parassita con periodo uguale alla somma delle lunghezze dei ritardi. Questo è un risultato di interferenza costruttiva tra i segnali in uscita dai delay, e può essere eliminata scegliendo i coefficienti ci in modo tale che tutti i canali passino attraverso un’inversione di fase (moltiplicazione per –1).
2. Un’altra possibilità interessante è quella di scegliere JN matrice di permutazione circolare;
questo fa sì che le delay-lines si alimentino l’una con l’altra in serie, che semplifica notevolmente la gestione della memoria nell’implementazione finale.
3. Altra soluzione è quella di usare come matrice di scattering, A, una matrice circolante unitaria, cioè della forma:
[ ]
[ ]
[ ]
[
]
[
]
[ ]
[ ]
[
]
[
] [
] [ ]
[
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
0 1 2 1 0 1 2 2 1 0 1 2 3 0 a a a a N a N a a a N a N a N a a N a a a a ⎡ − ⎤ ⎢ − − ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − − − ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦]
1 3La moltiplicazione con una matrice circolante implementa la convoluzione circolare di un vettore colonna con la prima riga della matrice. A si può fattorizzare come mostrato nella A = T-1DT, dove T è la matrice delle DFT e D è una matrice diagonale i cui elementi sono le DFT della prima riga di A. Gli elementi della diagonale di D sono gli autovalori A. Una matrice circolante, quindi, è senza perdite (e unitaria) quando i suoi autovalori (lo spettro della prima riga) hanno modulo unitario. I vantaggi nell’usare una matrice circolante sono che gli autovalori possono essere specificati esplicitamente, e il calcolo del prodotto può effettuarsi in Nlog( )N volte usando la FFT.
In quest’ottica, tutte le strutture del riverberatore lontano che abbiamo analizzato si possono vedere come un sistema di conservazione dell’energia, con le perdite per assorbimento inserite all’interno della struttura stessa [5]. Togliendo le perdite per assorbimento otteniamo la struttura del prototipo senza perdite:
• il filtro a pettine parallelo di Schroeder con coefficienti di feedback unitari, cioè matrice di feedback è una matrice identità;
• il riverberatore ad anello di reazione passatutto, quando si rimuovono le perdite, consiste di un anello di reazione unitario;
• il riverberatore FDN di Stautner e Puckette con │g│= 1, presenta un anello di reazione unitario.
Questo metodo, quindi permette l’aggiunta delle perdite per assorbimento separatamente, ma non previene la colorazione nel decadimento lontano. Questo risultato può essere ottenuto associando un filtro di assorbimento per ogni delay nel riverberatore in accordo con l’eq:
( )
( )
10 60 20 log j i i R T h e m T ω ω = −I parametri della struttura di riferimento sono: il numero di ritardi N, le lunghezze dei ritardi mi e i coefficienti della matrice di reazione. Da notare che anche il numero di input e output influenzano la scelta del tipo di struttura; la lunghezza totale dei delay in secondi, uguale alla densità modale, dovrebbe essere più grande della massima densità di frequenza per l’ambiente che si vuole simulare. La minima lunghezza totale richiesta è
4
R
T
(par. 3.3.4); quindi, per produrre una risposta del filtro di riferimento percettivamente indistinguibile dal rumore bianco, è sufficiente un ritardo totale di 1 o 2 secondi, che da anche un limite superiore al ritardo totale richiesto per tempi di riverbero infiniti con segnali di input a banda larga. Invece, per migliorare la qualità del riverbero nella risposta a segnali d’ingresso a banda stretta, si può usare un ritardo totale uguale al tempo di riverbero massimo, come dall’equazione:
max i i T τ ≥
∑
Il numero e le lunghezze dei delay utilizzati, insieme alla scelta della matrice di reazione, determina l’incremento della densità d’eco. Queste decisioni devono essere prese a livello empirico dopo aver valutato la qualità della risposta del filtro di riferimento [5].