8.2 Impostazione del problema
8.2.2 Condizioni iniziali e condizioni al contorno
8.2.2
Condizioni iniziali e condizioni al contorno
Come anticipato abbiamo analizzato due distinti tipi di trasferimento: un primo caso, pi`u semplice, in cui non si considera l’effettiva posizione dei pianeti lungo la loro orbita e un secondo caso, pi`u complesso, in cui si calcola tramite i dati di effemeridi la reale collocazione spazio-temporale dei pianeti.
Trasferimento orbitale, senza il calcolo delle effemeridi
In questo caso l’approccio `e simile a quello seguito nel caso bidimensionale esposto nel Cap. 7: si impone semplicemente che il velivolo abbia elementi orbitali uguali a quelli del pianeta di partenza nell’istante iniziale ed uguali a quelli del pianeta di arrivo nell’istante finale; tramite semplici relazioni (vedi a tal proposito il riferimento[17]) `e possibile passare dagli elementi orbitali ai vettori posizione e velocit`a, consentendo cos`ı di esprimere i vincoli sulle condizioni iniziali e al contorno in termini di variabili di stato.
`
E doveroso sottolineare che in realt`a i parametri orbitali vincolati, nell’istante iniziale e finale, non sono sei, ma cinque: la posizione del pianeta lungo l’orbita di partenza e di arrivo non `e infatti fissata.
Trasferimento orbitale, con il calcolo delle effemeridi
Le condizioni iniziali e finali, come nel caso di trasferimento orbitale senza il calcolo delle effemeridi, vengono imposte sui parametri orbitali nell’istante iniziale e finale.
Tuttavia, in questo caso, i parametri scalari vincolati sono sei: grazie ai dati delle effemeridi `e possibile calcolare, in base alla data di lancio e a quella di approccio, la posizione e la velocit`a del pianeta di partenza e di arrivo; i valori cos`ı ottenuti dovranno coincidere con la posizione e la velocit`a del veicolo spaziale all’istante iniziale e finale.
8 – Problemi tridimensionali
8.2.3
Vincoli sulle variabili di controllo
Le variabili di controllo di un veicolo spaziale dotato di vele solari sono due: l’angolo di cono, α, e l’angolo di azimut, δ, definiti nel paragrafo 6.4.
I valori che queste variabili possono assumere dipendono dal modello di for- za utilizzato (cfr. paragrafo 6.4) e dal tipo di trasferimento (verso pianeta interno o esterno).
Il modello di forza influenza l’angolo di cono, mentre la tipologia di trasferi- mento incide sull’angolo di azimut.
In base a quanto esposto nel paragrafo 6.4, si pu`o arrivare ai seguenti inter- valli di variazione delle variabili di controllo:
• Angolo di cono:
α ∈h0, π 2 i
Nel caso di modello di forza parametrico anzich`e α si utilizza l’angolo di spinta θp, limitato superiormente non da π/2 ma da θ∗p, che assume
l’espressione (6.17). • Angolo di azimut:
- Caso di trasferimento verso pianeti esterni: δ ∈ h −π 2, π 2 i
- Caso di trasferimento verso pianeti interni:
δ ∈ π 2, 3π 2
8.3
Simulazioni
Lo schema risolutivo realizzato in ambiente MATLAB `e molto simile a quello presentato nel caso bidimensionale: una formulazione volta a velocizzare l’esecuzione di simulazioni multiple, basata su due “scripts”, uno per inserire e caricare gli ingressi, l’altro per richiamare l’ottimizzatore PSO sviluppato passandogli funzione obiettivo, ingressi e vincoli.
I parametri da scegliere per definire la fisica del problema sono: - Numero di intervalli in cui suddividere il trasferimento.
8 – Problemi tridimensionali
- Parametro di snellezza β o accelerazione caratteristica ac e modello di
forza della vela. - Pianeta di arrivo.
Riportiamo nel seguito simulazioni relative ai casi di:
• Trasferimento verso Marte, senza il calcolo delle effemeridi. • Trasferimento verso Marte, con il calcolo delle effemeridi.
8.3.1
Trasferimento verso Marte senza il calcolo delle
effemeridi
Gli ingressi per definire il problema sono stati:
- Numero di intervalli in cui suddividere il trasferimento pari a 20. - Parametro di snellezza β pari a 0.2 (ac ∼= 1.186 mm/s2), modello di
forza ideale.
- Pianeta di arrivo: Marte.
Il numero di intervalli in cui suddividere il trasferimento `e un parametro critico per quanto riguarda l’efficienza dell’ottimizzatore PSO poich´e `e legato al numero di variabili di ottimizzione.
Questo valeva anche nel caso bidimensionale, ma ora l’effetto `e amplificato di un fattore 2: infatti le variabili di controllo non sono pi`u solo i valori assunti dall’angolo di cono α nei nodi, ma `e necessario considerare anche i valori dell’angolo δ per un totale di 2N + 1 variabili di ottimizzazione:
[α1, α2, ,. . αN, δ1, δ2, ,., ., δN, tf]
Dato che l’efficienza del risolutore cala all’aumentare delle variabili da otti- mizzare `e chiaro che non si possono utilizzare griglie troppo fitte.
Per la risoluzione del problema l’accuratezza scelta `e 10−3, ma `e comunque possibile spingersi ad una precisione maggiore.
Si sono effettuati confronti al variare della popolazione di particelle del- l’ottimizzatore PSO sviluppato; sono emersi effetti analoghi a quelli rilevati
8 – Problemi tridimensionali
nel paragrafo 7.3: popolazioni piccole trovano difficolt`a nel raggiungere la so- luzione mentre un numero troppo alto di individui aumenta eccessivamente i tempi di calcolo.
Aumentando la complessit`a del problema rispetto al caso bidimensionale, la fascia di valori indagati si `e spostata superiormente:
ps = 25, 30, 35, 40.
In Tab. 8.1 `e riportata la durata del trasferimento in giorni, la media e la deviazione standard per simulazioni effettuate con i diversi valori di particel- le, ps, su tre simulazioni;
rispetto al caso bidimensionale, a causa della maggiore complessit`a del pro- blema, si notano dispersioni sui risultati molto maggiori. L’effetto del numero di particelle, in questa fascia di popolazioni utilizzate, `e chiaro: aumentare il numero di particelle migliora notevolmente la qualit`a del risultato. In altre parole, si arriva a tempi di missione inferiori: utilizzando una popolazione di 25 individui il trasferimento avviene mediamente in 487 giorni, ma se si ini- zializzano 40 particelle il tempo di missione scende ad una media 449 giorni. Si noti anche come la dispersione dei risultati cali aumentando il numero di particelle.
I tempi di simulazione sono dell’ordine di 35 minuti e, a differenza del caso ps run 1 run 2 run 3 media deviazione standard
25 487,46 441,31 533,62 487,46 37,68 30 515,21 440,66 492,50 482,79 31,19 35 493,38 487,19 458,94 479,84 14,98 40 476,03 433,82 438,50 449,45 18,89
Tabella 8.1: Durata del trasferimento Terra-Marte 3D al variare del numero di particelle, per diverse simulazioni.
bidimensionale e sempre limitatamente alla fascia di valori ps adottati, non `
e detto che un numero maggiore di particelle aumenti la durata di simulazio- ne: infatti in questo tipo di problema aumentando la popolazione si trova la soluzione pi`u rapidamente.
Riassumendo, un numero di particelle troppo piccolo (20 particelle) porta a tempi di simulazione bassi ma rischia di condurre ad un minimo locale. Po- polazioni intermedi (30 particelle) hanno durate di simulazione abbastanza
8 – Problemi tridimensionali
alte ma si migliora la soluzione trovata. Un numero di particelle superiore (35 − 40 individui) conduce in tempi pi`u brevi dei precedenti a soluzioni mi- gliori.
Se si aumenta eccessivamente la popolazione, ps 40, si manifesta lo stesso calo di prestazioni incontrato in condizioni analoghe, ma per ps > 35, nel caso bidimensionale.
Le simulazioni sono state effettuate mantenendo i parametri al loro valore di default e non si sono avuti particolari problemi di convergenza.
In alcune prove, non riportate per brevit`a, si `e notato che variando nell’otti- mizzatore PSO in maniera combinata alcuni parametri o utilizzando alcuni dei metodi presentati nel paragrafo 4.3.2 `e possibile ad esempio diminuire i tempi di simulazione o la dispersione nei dati.
In Fig. 8.1 rappresentiamo la traiettoria ottenuta nella seconda simu- lazione effettuata con 40 particelle precedentemente riportata in Tab. 8.1.
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 Terra Y [DU] Marte Sole X [DU] Z [DU]
Figura 8.1: Trasferimento Terra-Marte 3D, senza il calcolo delle effemeridi, utilizzando una popolazione di 40 individui.
8 – Problemi tridimensionali
8.3.2
Trasferimento verso Marte con il calcolo delle
effemeridi
Anche in questo caso gli ingressi per definire il problema sono stati: - Numero di intervalli in cui suddividere il trasferimento pari a 10 e 20. - Parametro di snellezza β pari a 0.1 e di conseguenza accelerazione carat-
teristica ac di circa 1.186, modello di forza ideale.
- Pianeta di arrivo: Marte.
La data di partenza `e stata fissata in base ai risultati ottenuti da Bordino[16]
nel suo elaborato: all’interno di una finestra di lancio 6/6/2009 - 1/2/2010 la data di partenza in corrispondenza della quale era stata trovata la soluzione ottima era il 13/11/2009.
Rispetto al caso presentato nel paragrafo 8.3.1 il problema si presenta di maggiore complessit`a e con vincoli pi`u stringenti.
Il numero con cui si `e suddivisa la griglia `e risultato particolarmente critico: per poter affrontare le difficolt`a connesse a questo punto si `e preferito utiliz- zare una griglia con 10 nodi (quindi 21 variabili di ottimizzazione), risolvere il problema con l’ottimizzatore PSO (HYB, descritto nel paragrafo 4.3), inter- polare le variabili di controllo soluzione (cos`ı da ottenere 20 nuove variabili di controllo) e passarle successivamente come prima stima a fmincon arrivando cos`ı ad una soluzione su griglia a 20 nodi, come schematizzato in Fig. 8.2.
HYB N=10 fmincon N=20 Interpolazione dei risultati: si passa da 20 a 40 variabili di controllo
Figura 8.2: Schema della procedura per ottenere una soluzione a 20 nodi partendo da un valore di nodi di griglia pari a 10.
Da simulazioni al variare del numero di particelle sono emersi comporta- menti analoghi a quelli del caso di trasferimento senza il calcolo delle effeme- ridi.
8 – Problemi tridimensionali
In questo caso presentiamo direttamente i risultati con un numero di parti- celle pari a 30: in Tab. 8.2 si riportano per cinque simulazioni la soluzione intermedia per griglia con N = 10 e la soluzione finale con N = 20 in termini di durata della missione in giorni. La dispersione della soluzione a N = 10
N run 1 run 2 run 3 run 4 run 5 media dev std 10 448,30 442,71 441,52 451,15 446,60 446,05 3,55 20 435,46 434,12 449,34 436,52 465,75 444,24 12,06
Tabella 8.2: Durata del trasferimento Terra-Marte 3D per diverse simulazioni: valore intermedio con griglia a 10 nodi e valore finale con griglia a 20 nodi.
ottenuta direttamente con il risolutore PSO `e bassa ma, dopo il processo di interpolazione e utilizzo di fmincon a cui abbiamo accennato, tende ad aumentare.
La durata media del trasferimento `e comunque plausibilmente minore nel caso di N = 20 nodi: infatti `e fisicamente chiaro che aumentando il numero di nodi la durata del trasferimento ottimo pu`o diminuire ma non crescere. I tempi di simulazione sono superiori rispetto ai casi bidimensionali o tridi- mensionali senza effemeridi: anche limitatamente alla soluzione a 10 nodi si arriva a durate medie dell’ordine di 45 minuti.
In alcune simulazioni, non riportate, abbiamo osservato che variare i pa- rametri e i metodi di default pu`o modificare notevolmente il comportamento dell’ottimizzatore sviluppato su questo tipo di problema, tuttavia un’analisi pi`u approfondita esula dagli scopi di questa trattazione.
Si riporta in Fig. 8.3 la soluzione a con griglia a 20 nodi ottenuta nel- la seconda simulazione; in tale figura `e rappresentata anche la soluzione intermedia con griglia a 10 nodi.
8 – Problemi tridimensionali -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 Marte 10 Marte20 Terra X [DU] Sole Y [DU] Z [DU]
Figura 8.3: Trasferimento Terra-Marte 3D, con il calcolo delle effemeridi, utiliz- zando una popolazione di 30 individui, con griglia a 20 (blu) e 10 (magenta) nodi.
9
Conclusioni e sviluppi futuri
In questo lavoro di Tesi `e stato sviluppato un algoritmo per risolvere proble- mi di ottimizzazione vincolata di buone potenzialit`a.
Le prestazioni dell’ottimizzatore si sono rivelate soddisfacenti non solo su semplici problemi matematici ma anche sulla risoluzione di ben pi`u comples- si casi di controllo ottimo.
I principali risultati ottenuti, nell’applicazione ad alcuni problemi di Mecca- nica del Volo, sono stati i seguenti:
• Sono state messe in luce le potenzialit`a dei metodi diretti basati su algoritmi PSO per la risoluzione di problemi di ottimizzazione vinco- lata. Gli algoritmi evolutivi stanno infatti riscuotendo grande successo in molte aree di ricerca, ma anche scetticismo: per problemi complessi non `e infatti possibile trovare direttamente una soluzione sfruttando gli algoritmi evolutivi in commercio, concepiti solo per risolvere sotto- problemi o problemi con un numero minore di variabili di ottimizzazio- ne e con vincoli meno stringenti; nelle tipologie di problemi analizzate anche la soluzione mediante altri generi di algoritmi (esempio gradien- tali) `e particolarmente critica. Al contrario il pacchetto di ottimizza- zione sviluppato, pur basandosi su un algorimo evolutivo di tipo PSO, si `e rivelato efficace anche nell’applicazione diretta a problemi molto complessi.
• Non sono necessarie stime di primo tentativo per le variabili di controllo e di stato.
Questo `e un punto molto importante: `e infatti possibile arrivare alla 90
9 – Conclusioni e sviluppi futuri
soluzione senza la necessit`a di conoscere a priori una prima stima delle variabili del problema.
• I parametri dell’ottimizzatore impostati di def ault a seguito di numero- se simulazioni, sono risultati buoni per la risoluzione di quasi tutti i casi analizzati; cambiamenti di essi o dei metodi utilizzati possono comun- que determinare miglioramenti notevoli nelle prestazioni dell’ottimizza- tore, in termini di ottimizzazione dell’indice di prestazione, dispersione dei risultati e tempi di simulazione.
Si pensa che il programma realizzato possa comunque esser ulteriormente sviluppato al fine di evitare alcune problematiche relative ad esempio all’ac- curatezza della soluzione. Potranno inoltre essere fatte ulteriori simulazioni per chiarire l’effetto dei vari parametri e metodi cercando di migliorare le prestazioni finali.
Per evitare i problemi connessi ad un numero di variabili di ottimizzazione eccessivamente alto, associato ad esempio ad una griglia di discretizzazione molto fitta, si potrebbe sfruttare l’ottimizzatore realizzato all’interno di una rete di risoluzione pi`u complessa in grado di gestire le suddette variabili. Infine si potrebbe pensare ad un’estensione dell’ottimizzatore al caso di ot- timizzazione vincolata multi-obiettivo, in cui cio`e la funzione da ottimizzare non `e pi`u uno scalare ma un vettore di funzioni.
Bibliografia
[1] Kennedy, J. e Eberhart, R. C., “Particle Swarm Optimization,” IEEE International Conference on Neural Networks, Piscataway, NY, 1995, pp. 1942–1948.
[2] Conn, A. R., Gould, N., e Toint, P. L., “A Globally Convergent La- grangian Barrier Algorithm for Optimization with General Inequality Constraints and Simple Bounds,” Mathematics of Computation, Vol. 66, No. 217, January 1997, pp. 261–288.
[3] Lewis, R. M. e Torczon, V., “A Globally Convergent Augmented La- grangian Pattern Search Algorithm for Optimization with General Con- straints and Simple Bounds,” SIAM Journal on Optimization, Vol. 12, No. 4, May 2002, pp. 1075–1089.
[4] Venter, G. e Sobieszczanski-Sobieski, J., “Particle Swarm Optimiza- tion,” AIAA Journal , Vol. 41, No. 8, August, pp. 1583–1589.
[5] Koziel, S. e Michaelewicz, Z., “Evolutionary Algorithms, Homo- morphous Mappings, and Constrained Parameter Optimization,” Evolutionary Computation, Vol. 7, No. 1, 1999, pp. 19–44.
[6] Bhatti, M. A., Practical optimization methods: with mathematica applications, Springer, New York, 2000.
[7] Betts, J. T., Pratical Methods for Optimal Control Using Nonlinear Programming, SIAM, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, 2001.
[8] Bessette, C. R. e Spencer, D. B., “Identifying Optimal Inter- planetary Trajectories through a Genetic Approach,” AIAA-2006- 6306 , AIAA/ASS Astrodynamics Specialist Conference and Exhibit, Keystone, Colorado, 21-24 August 2006.
[9] Hassan, R., Cohanim, B., de Weck, O., e Venter, G., “A Compa- rison of Particle Swarm Optimization and the Genetic Algorithm,” AIAA-2005-1897 , AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures, Struc- tural Dynamics & Materials Conference, Austin, Texas, 18-21 April 2005.
[10] Parsopoulos, K. E. e Vrahatis, M. N., Intelligent Technologies - Theo- ry and Applications: New Trends in Intelligent Technologies: Particle Swarm Optimization Method for Constrained Optimization Problems, Frontiers in Artificial Intelligence and Applications series, August 2002. [11] Abdelkhalik, O., “N -Impulse Orbit Transfer Using Genetic Algorithms,” Journal of Spacecraft and Rockets, Vol. 44, No. 2, March-April 2007, pp. 456–459.
[12] Mengali, G. e Quarta, A. A., “Optimal Three-Dimensional Interpla- netary Rendez-vous Using Nonideal Solar Sail,” Journal of Guidan- ce, Control, and Dynamics, Vol. 28, No. 1, January-February 2005, pp. 173–177.
[13] Quarta, A. A., Ottimizzazione di Traiettorie di Veicoli Spaziali Dotati di Apparati Propulsivi a Bassa Spinta, Ph.D. thesis, Universit`a degli Studi di Pisa, 2005.
[14] Dachwald, B., “Evolutionary Neurocontrol: A Smart Method for Global Optimization of Low-Thrust Trajectories,” AIAA 2004-5405 , August 2004.
[15] Sauer, C. G. J., “Optimum Solar Sail Interplanetary Trajectories,” AIAA Paper 76-792 , August 1976.
[16] Bordino, G., Ottimizzazione di Traiettorie Interplanetarie di Vele Solari con Metodi Diretti , Tesi di Laurea, Universit`a degli Studi di Pisa. [17] Mengali, G., Meccanica del Volo Spaziale, Edizioni Plus, Universit`a di
Elenco delle figure
2.1 Particle Swarm Optimization: algoritmo di base. . . 8 2.2 Particle Swarm Optimization: vettore velocit`a risultante. . . . 10 2.3 Particle Swarm Optimization: aggiornamento di posizione e
di velocit`a. . . 12 2.4 Funzioni di penalizzazione: equivalenza fra problema origina-
rio e derivato. . . 15 2.5 Procedura di risoluzione di un problema di ottimizzazione
vincolata, basata sull’Augmented Lagrangian Penalty Function. 19 4.1 Ottimizzazione vincolata mediante utilizzo dell’ Augmented
Lagrangian Penalty Function. . . 32 4.2 Funzioni di penalizzazione: equivalenza fra problema origina-
rio e derivato. . . 37 4.3 Schema di funzionamento di HYB. . . 42 5.1 Trasferimento fra due orbite circolari e complanari di Marte
(dall’interno verso l’esterno) tramite due impulsi, vista tridi- mensionale. . . 50 5.2 Trasferimento fra due orbite circolari e complanari di Marte
(dall’interno verso l’esterno) tramite due impulsi. . . 50 6.1 Sistemi di riferimento (sistema Eliocentrico-Eclittico T e si-
stema orbitale Torb) e angoli caratteristici una vela solare. . . . 56
6.2 Trasformazione di coordinate tra sistema di riferimento Eliocentrico- Eclittico T e sistema orbitale Torb. . . 60
7.1 Sistema di riferimento polare per un trasferimento bidimen- sionale. . . 65 7.2 Trasferimento Terra-Marte 2D, utilizzando una popolazione di
25 individui e una griglia a 20 nodi. . . 73 7.3 Andamento dell’angolo α durante il trasferimento Terra-Marte
2D, utilizzando una popolazione di 25 individui e una griglia a 20 nodi. . . 73 7.4 Trasferimento Terra-Venere 2D, utilizzando una popolazione
di 25 individui e una griglia a 20 nodi. . . 75 7.5 Andamento dell’angolo α durante il trasferimento Terra-Venere
2D, utilizzando una popolazione di 25 individui e una griglia a 20 nodi. . . 75 7.6 Schema di funzionamento di HYB per aumentare l’accuratezza
della precisione (da 7x10−3 a 10−3 nell’esempio). . . 78 7.7 Trasferimento Terra-Mercurio (celeste) e Trasferimento Terra-
Mercurio con manovra di fly-by intermedia su Venere (blu). . . 79 8.1 Trasferimento Terra-Marte 3D, senza il calcolo delle effemeri-
di, utilizzando una popolazione di 40 individui. . . 86 8.2 Schema della procedura per ottenere una soluzione a 20 nodi
partendo da un valore di nodi di griglia pari a 10. . . 87 8.3 Trasferimento Terra-Marte 3D, con il calcolo delle effemeridi,
utilizzando una popolazione di 30 individui, con griglia a 20 (blu) e 10 (magenta) nodi. . . 89
Elenco delle tabelle
7.1 Durata del trasferimento Terra-Marte 2D al variare del numero di particelle, per diverse simulazioni, utilizzando una griglia a 20 nodi. . . 71 7.2 Durata del trasferimento Terra-Venere 2D al variare del nume-
ro di particelle, per diverse simulazioni, utilizzando una griglia a 20 nodi. . . 74 8.1 Durata del trasferimento Terra-Marte 3D al variare del numero
di particelle, per diverse simulazioni. . . 85 8.2 Durata del trasferimento Terra-Marte 3D per diverse simula-
zioni: valore intermedio con griglia a 10 nodi e valore finale con griglia a 20 nodi. . . 88
Elenco degli acronimi
PSO Particle Swarm Optimization GA Genetic Algorithms
ALPF Augmented Lagrangian Penalty Function COV Coefficient Of Variation
CO Constrained Optimization IVP Initial Value Problem SRP Solar Radiation Pressure AU Astronomic Unity