Trasferimento Terra-Marte

I principali dati di ingresso che abbiamo utilizzato per impostare il problema di trasferimento interplanetario Terra-Marte sono stati i seguenti:

- Numero di intervalli della griglia di discretizzazione pari a 20.

- Parametro di snellezza β pari a 0.1 (di conseguenza accelerazione ca- ratteristica ac di circa 0.6 mm/s2), modello di forza ideale.

- Pianeta di arrivo: Marte.

Per la risoluzione del problema abbiamo scelto un’accuratezza sui vincoli pari a 10−3; le condizioni al contorno impongono che il vettore delle variabili di

7 – Problemi bidimensionali

stato nell’istante finale coincida con quello desiderato: avere una tolleranza di 10−3 significa che riteniamo valida una soluzione in cui la quantit`a

∆yf,max = max(|yottf − y des

f |) (7.19)

sia inferiore a tale valore, indicando con yott

f e ydesf lo stato finale ottenuto

e quello desiderato. In altre parole la componente del vettore di stato che si discosta di pi`u da quella desiderata nell’istante finale, dev’essere inferiore a 10−3. In numeri, pretendiamo che la differenza fra le componenti (nel sistema Eclittico) della posizione raggiunta dalla vela e quella desiderata sia sempre inferiore a 150000 km e le componenti di velocit`a relativa non superino i 30 m/s; se chiamiamo ∆rf,max e ∆vf,max le variazioni massime di

tali componenti, si hanno le seguenti definizioni: ∆rf,max = max(|rottf − r

des

f |) ≤ 150000 km (7.20)

∆vf,max = max(|vottf − v des

f |) ≤ 30 m/s (7.21)

dove rott

f , rdesf , vottf e vdesf si riferiscono a posizione e velocit`a, ottenute e

desiderate, nell’istante finale. `

E a questo punto importante fare alcune considerazioni relativamente al numero di individui appartenenti popolazione iniziale nell’algoritmo di otti- mizzazione PSO utilizzato.

Popolazioni poco affollate (ps < 15) si fermano solitamente in minimi loca- li e la soluzione ricavata varia notevolmente di simulazione in simulazione. Popolazioni formate da pi`u individui (ps > 35) aumentano notevolmente i tempi di calcolo e non sempre `e possibile ottenere un vantaggio in termini di soluzione ottimale.

Per questo motivo, abbiamo deciso di riportare alcune prove al variare della popolazione, ma considerando solo la fascia pi`u interessante di valori, cio`e

ps = 15, 20, 25, 30, 35.

In Tab. 7.1 `e riportata la durata del trasferimento in giorni, la media e la deviazione standard per simulazioni realizzate con i vari ps; si sono effettua- te pi`u simulazioni per tener conto della dispersione di risultati a cui vanno solitamente soggetti i metodi stocastici.

7 – Problemi bidimensionali

Dai risultati emerge un buon comportamento da parte del risolutore: il va- ps run 1 run 2 run 3 media deviazione standard

15 505,05 505,06 504,89 505,00 0,077 20 505,09 505,12 505,02 505,08 0,0439 25 504,96 504,70 504,13 504,60 0,345 30 504,31 505,07 504,89 504,76 0,321 35 504,77 504,13 505,19 504,70 0,433

Tabella 7.1: Durata del trasferimento Terra-Marte 2D al variare del numero di particelle, per diverse simulazioni, utilizzando una griglia a 20 nodi.

lore di minimo sembra non risentire particolarmente del numero di individui della popolazione e le deviazioni standard sono abbastanza basse.

Come riferimento per confrontare i risultati ottenuti abbiamo utilizzato i da- ti riportati da Bordino nel suo studio[16] _{dove, utilizzando metodi diretti (in}

particolare fmincon di MATLAB) a parit`a di parametri di ingresso il valo- re ottimo riportato `e di 507.9 giorni, contro i nostri 504.1 (da Tab. 7.1). Il principale motivo nella differenza consiste nella difficolt`a di trovare una buona stima iniziale da passare all’ottimizzatore utilizzato da Bordino[16]_{; al}

contrario l’algoritmo sviluppato nel presente studio non necessita di valori di primo tentativo.

Per quanto riguarda la durata di simulazione abbiamo ottenuto un valore medio intorno ai 15 minuti, utilizzando un processore Intelr CoreT M Duo Processor T2400, 1.83 GHz: il minimo di 11 minuti si ha per un numero di particelle pari a 15, mentre incrementando il numero di individui si ha una durata crescente fino al massimo di 22 minuti in corrispondenza di 35 particelle. Ovviamente il tempo di simulazione aumenta se si attiva l’opzio- ne MATLAB display = 1 in optimset_PSO per visualizzare i vari passi di ottimizzazione.

Se aumentare il numero di particelle da un lato tenderebbe a portare pi`u ra- pidamente alla soluzione (riducendo quindi i tempi di simulazione) in quanto un numero maggiore di individui comporta un accrescimento della probabi- lit`a che almeno una di queste si diriga verso l’ottimo, dall’altro aumenta i tempi di calcolo di ogni passo di ottimizzazione: per ogni iterazione `e infatti necessario risolvere la dinamica del sistema per ogni particella; il secondo ef- fetto `e dominante e di conseguenza aumentare il numero di particelle significa

7 – Problemi bidimensionali

aumentare i tempi di simulazione.

Abbiamo deciso per brevit`a di non riportare in termini numerici i con- fronti fra tutte le simulazioni effettuate al variare degli altri parametri dell’al- goritmo presentato in 4.3 sul problema bidimensionale affrontato; possiamo comunque aggiungere che i comportamenti al variare dei vari parametri de- scritti in 4.3.2 sono ben rispettati in questo tipo di problemi. Questo grazie a numerose modifiche e tentativi che hanno permesso di arrivare alla for- mulazione finale del pacchetto di ottimizzazione presentato in 4.3, riuscendo inoltre a ridurre la dispersione iniziale dei risultati a cui questo andava sog- getto e a migliorare le prestazioni generali del risolutore.

In particolare i valori di base dei parametri w, c1, c2 e χ (che compaiono nel-

l’Eq. (2.3)), si sono rivelati ottimali e una loro variazione pu`o compromettere la convergenza e robustezza del problema. Analogamente, i “metodi” (vedi sez. 4.3.2) impostati di default sono sufficienti alla risoluzione di questi pro- blemi.

Alla luce delle simulazioni effettuate possiamo affermare che il problema bidimensionale `e facilmente gestibile dal pacchetto di ottimizzazione svilup- pato. La popolazione ideale ha un valore nell’intorno di 25 individui.

Nelle figure 7.2 e 7.3 riportiamo la traiettoria ottima ottenuta e l’an- damento dell’angolo α (dati riferiti alla terza simulazione con 25 particelle, riportata in tab. 7.1).

7 – Problemi bidimensionali 0.5 1 1.5 2 30 210 60 240 90 270 120 300 150 330 180 0 [DU] [DU] Sole Terra Marte

Figura 7.2: Trasferimento Terra-Marte 2D, utilizzando una popolazione di 25 individui e una griglia a 20 nodi.

0 100 200 300 400 500 600 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 tempo [giorni] α [deg]

Figura 7.3: Andamento dell’angolo α durante il trasferimento Terra-Marte 2D, utilizzando una popolazione di 25 individui e una griglia a 20 nodi.

7 – Problemi bidimensionali