temperatura
Ora che abbiamo introdotto la massa efficace, definiamo il modello della con-ducibilit`a elettrica nei metalli, considerando una variazione della temperatura
T : studiamo la densit`a di corrente infinitesima dJ: dJ = −ev(k) dk
(2π L)3
1
L3
Abbiamo per`o visto in precedenza che v = 1
}∇k[E(k)];
dJ = − e
8π3[∇Ek(k)]dk
Integriamo il tutto, per trovare la densit`a di corrente J:
J = − e }8π3
Z
1B.Z.
∇k[Ek(k)]dk
In assenza di campo elettrico, per`o, abbiamo simmetrie riguardanti l’en-ergia in diversi valori del vettore d’onda k: E(k) = E(−k), e dunque v(k) = −v(k); per questo motivo, la densit`a di corrente J sar`a nulla.
Consideriamo ora una variazione di temperatura, e quindi l’uso della distribuzione di Fermi-Dirac:
J = − e }8π
Z
1B.Z.
f (k; T )[v(k)]dk
Considerando anche un campo elettrico C, nel blocco L3,
f0(k; T ) = 1
eE(k)−EFkT + 1
Il vettore d’onda, a causa della presenza del campo elettrico C, avr`a una variazione δk:
k =⇒ k + e
}τ C = δk
La distribuzione di Fermi-Dirac dovr`a tenere conto anche di questa vari-azione del vettore d’onda causata dal campo elettrico:
f (k; T ) ∼ f0(k + e
}τ C; T ) Sviluppando quest’espressione in polinomi di Taylor,
f (k; T ) ∼ f0(k; T ) + (1
}τ C)∇kf0(k; T )
Al termine dei conti, si ottiene che la conducibilit`a elettrica avr`a una forma del tipo:
σ = e2τ
m∗n; µ = eτ m∗
Dove µ `e detta mobilit`a elettronica, ed `e un termine molto interessante anche per i modelli che determineremo per i semiconduttori. Ricordando che l’energia `e:
E = }
2k2
2m∗
Teniamo conto all’interno di m∗ del reticolo, potendo dunque ignorarlo in altri campi; la densit`a degli stati energetici, partendo da ci`o, varr`a:
g(E) = 1 2π2(2m ∗ }2 )32E12 = 1 2π2(2m ∗ }2 )32 }k (2m∗)12
La conducibilit`a elettrica nel metallo, dunque, come gi`a detto prima, mediante l’applicazione della distribuzione di Fermi-Dirac (ma anche senza), vale:
σ = 1
3e
2g(EF)f (EF; T )τ v2 F
Capitolo 9
Conducibilit`a nei
Semiconduttori
I semiconduttori sono una categoria di materiali fondamentalmente diversa dai metalli: un esempio banale, che dopo sar`a ben motivato, `e il seguente: aumentando la temperatura in un semiconduttore, la conducibilit`a elettrica pu`o anche aumentare; in realt`a, a causa delle particolarit`a dei semiconduttori, vedremo che l’andamento della conducibilit`a al variare della temperatura non `e univoco; alcune differenze fondamentali coi metalli sono le seguenti: i semiconduttori presentano sia cariche positive che negativi, ai fini della conducibilit`a, e, come gli isolanti, hanno due bande, separate tra loro da una zona proibita, detta energy gap.
9.1 Semiconduttori Intrinseci
Abbiamo gi`a visto, nel caso dei metalli, che mediante un campo elettrico C possiamo sbilanciare le distribuzioni degli elettroni, a temperatura pari allo zero assoluto; nei semiconduttori, a meno che il campo C non sia partico-larmente intenso, non capita assolutamente nulla. Questo perch`e, nei semi-conduttori, esistono questi livelli proibiti, questo energy gap, non occupabile. Esistono dunque tre zone da considerare, in sostanza:
• Banda di valenza: un insieme di livelli, pieno di elettroni;
• Energy gap: uno stato proibito in cui gli elettroni non possono stazionare • Banda di conduzione: banda vuota, che, se riempita, permette la
Allo zero assoluto, e comunque anche per temperature basse, l’energia media degli elettroni `e troppo bassa perch`e una cospicua percentuale degli elettroni in banda di valenza possa transire in banda di conduzione, per pot-er dunque provocare una conducibilit`a sensibile. Ppot-er`o parliamo di enpot-ergia media; supponiamo che, per effetto del campo elettrico, nel nostro sistema allo zero assoluto, un elettrone riesca a transire in banda di conduzione; avremo due elementi che provocheranno la conducibilit`a elettrica: da una parte, l’elettrone in banda di conduzione, considerato come carica portatrice di segno negativo, dall’altra parte l’ammanco provocato dall’elettrone transi-to alla banda superiore, dettransi-to anche lacuna, che si comporta di fattransi-to come un conduttore di carica positiva: tendenzialmente, il campo elettrico, per sem-plificare su una sola dimensione, Cx, respinger`a la lacuna, che andr`a sempre pi`u lontana dal vertice della banda di valenza, nella direzione e verso del campo (essendo esso di carica positiva).
Gli elementi che dunque provocheranno la conduzione in un semicondut-tore, saranno:
• Gli elettroni nelle bande di conduzione; • Le lacune in bande di valenza.
Dal fatto che a temperatura ambiente passi una quantit`a infinitesima di corrente elettrica, che per temperatura tendente allo zero assoluto, la corrente tenda a zero, e che quindi un aumento di temperatura provoca un aumento di corrente, possiamo pensare che il livello di Fermi, EF, stia nell’energy gap. Un elettrone che giunge nella banda di conduzione, dopo si pu`o pensare come libero, e dunque:
gC(E) = L 3 2π2(2m ∗ n }2 ) 3 2 (E − EC)12
Dalla banda di conduzione in poi, dunque, il comportamento `e anal-ogo a quello del metallo. Anche la lacuna in banda di valenza avr`a un comportamento simile:
gV(E) = L3 2π2(2m ∗ p }2 ) 3 2 (EV − E)12
I parametri EC ed EV sono rispettivamente la minima energia nella ban-da di conduzione, e la massima energia nella banban-da di valenza. Per poter applicare la legge di Newton, si applica una modifica alla massa efficace, riguardante le lacune: si studier`a con un − davanti, poich`e la derivata sec-onda della banda di valenza risulta essere negativa, e ci`o provocherebbe problemi alle nostre interpretazioni semiclassiche.
Avendo a disposizione molte lacune in banda di valenza e/o molti elet-troni in banda di conduzione, avremmo corrente nel semiconduttore, che si potrebbe comportare come un metallo, sotto questo punto di vista. Ripren-diamo i due soliti ingredienti principali, per lo studio della conduzione, o meglio del numero di portatori di cariche: la statistica di Fermi-Dirac, e la funzione di densit`a degli stati; applichiamo un’approssimazione, per T → 0:
f (E; T ) = 1 eE−EFkT + 1 ∼ e E−EF kT , (E − EF) À 2kT g(E) = L 3 2π2(2m ∗ }2 )32E12
Il numero di elettroni in banda di conduzione Ne,C, dunque, si ricaver`a in questo modo: considerando tutti gli stati dal minimo della banda di conduzione EC ad un ipotetico infinito, il nostro Ne,C sar`a:
Ne,C = Z +∞
EC
gC(E)f (E; T )dE = L3 4 [
2m∗ ekT
π}2 ]32e−EC −EFkT
In banda di valenza, invece, non avr`o stati pieni con cariche positive, bens`ı stati non-pieni con cariche positive. Quella di cui avr`o bisogno, sar`a una funzione di non-distribuzione delle particelle, e dunque, anzich`e la statistica di Fermi-Dirac, dovr`o considerare la sua complementare:
NV(E) = gV(E)(1 − f (E; T )) ∼ gV(E)e−EV −EFkT
Nh,V = Z EV
−∞
gV(E)f (E; T )dE = L3 4 [
2m∗ hkT
π}2 ]32eEV −EFkT
Si noti che, per semiconduttori ideali, intrinseci, non trattati, il numero di elettroni in banda di conduzione equivale al numero di lacune in banda di valenza. Da ci`o, si deriva che:
Ne,C = Nh,V
I due N sarebbero le densit`a di portatori di carica all’interno di una delle due bande. Se il semiconduttore non presenta anomalie o impurit`a, allora il numero degli elettroni in banda di conduzione sar`a equivalente al numero di lacune in banda di valenza, perch`e per ogni elettrone saltato vi sar`a uno e un solo buco (idealmente). In prima approssimazione, possiamo dire ci`o:
e2EFkT = NV,ef f
NC,ef f
eEV +ECkT
Da ci`o, si ricava che il livello di Fermi `e cos`ı quantificato:
EF = EC + EV 2 kT 2 ln NV,ef f NC,ef f = EC + EV 2 + 3 4kT ln m∗ p m∗ n
Il livello di Fermi, dunque, sar`a localizzato circa a met`a tra le due bande; abbiamo da ci`o l’ulteriore conferma del fatto che la conducibilit`a avvenga da entrambe le parti:
J = σC ⇐⇒ J = Nevd
Poich`e N `e dato dai contributi sia degli elettroni in banda di conduzione, che delle lacune in bande di valenza, allora si potr`a dire che:
J = (Ne,Cvee) + (Nh,Vvhe)
Partendo da ci`o, si `e soliti definire due parametri, la mobilit`a degli elet-troni e la mobilit`a delle lacune:
µe = ve
C; µh = vh
C Da ci`o, si ricava che
σ = Ne,Cµee + Nh,Vµhe
Tuttavia, come gi`a detto, in un semiconduttore intrinseco ideale, la den-sit`a di lacune in bande di valenza e di elettroni in bande di conduzione coincidono.
Ne,C = Nh,V
EF w EC+ EV 2
Il numero di portatori di carica, positivi e negativi, e la relativa con-ducibilit`a al variare della temperatura, saran: dato il parametro energy gap
Eg, Ne,h= 1 4[ 2m∗kT π}2 ]32e−2kTEg σ = e(µe+ µh)1 4[ 2m∗kT π}2 ]32e−2kTEg
L’aumento di temperatura fa aumentare la probabilit`a di trovare cop-pie lacuna-elettrone, e quindi di condurre. Abbiamo detto prima come definizione che µ = v
C; con l’aumentare della temperatura, per la legge di Ohm, bisognerebbe pensare che la conducibilit`a dovrebbe diminuire, e dunque anche la mobilit`a elettronica, a causa delle interazioni fononiche, come per i metalli. Possiamo dire, come per i metalli, che:
µ = eτ m∗
Il τ avr`a sempre un ruolo fondamentale; come nei metalli, il numero di interazione nucleo-elettrone dipender`a dal numero di fononi presenti, e dunque dalla distribuzione di Bose-Einstein:
nf ononi ' 1
e}ωkT − 1 ∝ T, kT À }ω
Da ci`o, si pu`o ricavare che < v >∝√T , e dunque purti ∝ nf ononi ∝ T√T
In totale, dunque, µ ∝ T−32. Questo, per semiconduttori ideali, non trattati, e dunque puri. Modificando tuttavia i semiconduttori, `e possibile modificare in modo radicale la situazione cambiando completamente le loro caratteristiche.