Misura di Energy Gap, Mobilit`a, Conducibilit`a

Con-ducibilit`a

Abbiamo finora descritto metodologie per la misura della resistenza di un semiconduttore; vogliamo ora studiare metodi per misurare altri parametri, quali energy gap, mobilit`a elettronica e conducibilit`a elettrica. Avevamo in precedenza, nel nostro modello teorico, detto che:

σ = e(nµ_e+ pµ_h) = e(µ_eN_e,Ce−^{EC −EF}_kT + µ_hN_h,Ve^{EV −EF}kT )

Consideriamo un semiconduttore intrinseco: in questo caso, il livello di Fermi sar`a a met`a tra le due bande, e si pu`o dire che:

E_F = ^{EC+ EV}

2 ^{=⇒ (EC − EF) = (EF − EV)} Da ci`o, si pu`o dire che:

Ci saranno in sostanza due grandezze da misurare: le mobilit`a elettroniche

µ e le densit`a di portatori di carica N. Per poterli misurare, `e possibile

sfruttare un particolare effetto, ossia l’Effetto Hall; il metodo di misura basato su tale effetto si chiama per l’appunto Misura Hall.

Le forze in gioco saranno la forza elettrica, e la forza magnetica (forza di Lorentz):

F = qE + qv × B

Vediamo in due parole che cosa capita: ad un certo punto, la forza elet-trica causata dal campo E e quella magnetica provocata dal campo B rag-giungeranno l’equilibrio, e arriveranno in una situazione in cui il flusso di cariche non sar`a pi`u deflesso, ossia spostato dalla sua direzione data dal versore u_x, e la differenza di potenziale ∆V sar`a misurabile.

∆V = EHW

Si genera un campo elettrico stazionario, comunemente detto Campo Hall, indicato con EH, che bilancia la forza del campo elettrico Ey, deflettente l’intensit`a di corrente i<sub>x</sub>. Data la carica fondamentale q, e la densit`a di carica ρ, vediamo che:

i = qρv_d· S; J = qρv_d

Sappiamo che la forza magnetica e la forza elettrica si eguagliano, e che quindi la risultante del Campo Hall e del campo elettrico E_y `e nulla. Cer-chiamo dunque di quantificare il campo Hall, in modo da poter studiare la misura dei parametri del nostro semiconduttore; poich`e il campo Hall agisce solo in una direzione, consideriamolo scalare anzich`e vettoriale: E<sub>H</sub> , E<sub>H</sub>; discorso analogo per la densit`a di corrente: J , J_x

EH = ¹

e^{qvd× B; vd =} J_x qρ^;

Troviamo alla fine che:

EH = ^JxBz

qρ ^{= RHJxBz}

Questo parametro R_H `e detto anche resistenza Hall, ed `e cos`ı definito:

• Nel caso di un drogaggio tipo p: R_H = 1 qp;

• Nel caso di un drogaggio tipo n: R_H = 1 qn.

Avrei bisogno della resistivit`a del sistema, per poter calcolare la con-ducibilit`a come suo inverso; dobbiamo calcolare o misurare RH, la resistenza

R del semiconduttore, e verificare che: R = ρ ^l S ^{=⇒ ρ =} RW t S ⁼ V_x i_x ^· 1 W t σ = ¹ ρ ^{= qpµp, µp =} R_H ρ

Quella che misuriamo, in realt`a, `e la cosiddetta mobilit`a Hall: essa `e leggermente diversa dalla mobilit`a elettronica reale, perch`e la presenza di un campo magnetico B modifica i meccanismi di scattering, e dunque modifica il nostro sistema. Vale per`o una relazione interessante, che dice che:

µ_H = rµ

Noi approssimiamo r ∼ 1, e cos`ı in pratica ricaviamo mediante questo metodo la mobilit`a elettronica.

Capitolo 11

Propriet`a ottiche dei

semiconduttori

Abbiamo finora parlato di propriet`a elettriche dei semiconduttori; preoccu-piamoci ora di un altro tipo di propriet`a molto utili in elettronica, ossia le propriet`a ottiche; introdurremo sostanzialmente due teorie: un modello semiclassico, ed un modello puramente quantistico.

11.1 Modello Semiclassico

Possiamo considerare semplicemente le interazioni tra un campo elettromag-netico ed il semiconduttore. Il materiale `e modellabile mediante un sistema composto di molti bipoli, dotati di un determinato baricentro. Ognuno dei bipoli avr`a un suo determinato momento di bipolo, cos`ı definito:

p = e × v

Consideriamo dunque un campo elettromagnetico che si propaga in modo armonico: esso avr`a equazioni del tipo:

½

E_x(z; t) = E₀ei(k0nz−ωt)

B_x(z; t) = B₀ei(k0nz−ωt)

Consideriamo per comodit`a solo il campo elettrico E(z; t): per B, la propagazione avverr`a in modo del tutto analogo, come si pu`o intuire dalle equazioni delle onde prima introdotte. Consideriamo dunque l’equazione:

Dal momento che E agisce solo sulla componente x, lo esprimeremo come scalare. Se il campo E_x`e oscillante, allora sar`a oscillante anche il nostro bipo-lo, con la stessa pulsazione del campo elettrico, ω. Tale interazione indurr`a un momento di bipolo nel bipolo, e il generarsi di campi elettromagnetici, di frequenza ν = ω

2π. L’onda elettromagnetica sar`a dotata di una lunghezza d’onda λ₀, prima di incidere il materiale.

Quando l’onda incide il materiale, vi si propaga all’interno, con per`o una

λ < λ₀. Parte dell’energia, dunque, verr`a assorbita dal materiale. Definiamo un indice di rifrazione n, in questo modo data c velocit`a della luce, e v modulo della velocit`a, l’indice di rifrazione sar`a:

n = ^c v

Troviamo una definizione operativa di n: sappiamo che le altre due grandezze sono cos`ı definite, dall’elettromagnetismo classico:

v = √ ¹ ε₀ε_rµ₀µ_r^{; c =} 1 √ ε₀µ₀^{; n =} c v ⁼ 1 √ ε_rµ_r

Definiamo operativamente anche le altre grandezze:

v = ^λ

T ^{= λν =} λω

2π

Trattando con tutte queste grandezze, ricaviamo che, alla fine, la lunghez-za d’onda nel materiale sar`a data da:

λ = ^λ0 n

Vediamo classicamente come interpretare tutto ci`o: quando l’onda colpisce il solido, agiscono tre differenti forze:

• Una forza elettrica;

• La forza di richiamo nucleo-elettrone, interpretabile come forza elastica; • Una forza dissipativa, interpretabile classicamente come un attrito.

Possiamo dunque approssimare la forza totale, la forza di Newton, medi-ante contributi di queste tre forze: dal momento che

ma = m^d2x

dt2; F_elastica= −kx; F_attrito= −γ^dx

dt

Poich`e la forza elastica `e di richiamo, e la forza di attrito sempre oppo-nente al moto, allora entrambe saran negative. Potremo ricavare che:

m^d 2x dt2 = eE(t) − kx − γ^dx dt ^{=⇒ eE0e} −iωt= m^d 2x dt2 + kx + γ^dx dt

Risolvendo tale equazione differenziale, si pu`o ricavare che, dato ω₀ = k m x0 = ^eE0 m(k m − ω2) − iγω ⁼ eE₀ m(ω2 0 − ω2) − iγω

Ricordiamo, dall’elettromagnetismo classico, la definizione di polarizzazione: essa `e semplicemente il momento di dipolo per unit`a di volume:

P = Nex(t) = ε₀χE(t) = ε₀(ε_r− 1)E(t)

Dal momento che ε_r À µ_r, si pu`o dire che ε_r = 1 + χ ∼ n2

Da ci`o si pu`o dire che

P = ε₀(n2− 1)E(t)

Sostituendo in tutto ci`o le espressioni di n, x(t), e di E(t), alla fine si ricava che: n² = N2 e ε0 m(ω2 0 − ω2) − iγω ^{+ 1 = ε1+ iε2}

Abbiamo cio`e scomposto n2 in parte reale e parte immaginaria, con-siderando che n = ^√n2 = nR+ inI, al fine di poter completare il nostro modello semiclassico.

Riprendendo l’equazione dell’onda, vedremo che essa sar`a cos`ı interpretabile, introducendo gli elementi finora descritti:

E(z; t) = E₀ei(k0nz−ωt) = E₀· e−k0nIz· ei(k0nRz−ωt)

Il primo termine, contenente il termine di rifrazione immaginario, `e il ter-mine di smorzamento dell’onda; l’onda stessa, sar`a data dal secondo terter-mine, contenente il termine di rifrazione reale; Avremo dunque l’andamento di un oscillatore armonico esponenzialmente smorzato:

Abbiamo cos`ı ricavato un momento semiclassico che descrive cosa capita all’interno del solido, al momento del contatto con il campo elettromagnetico.