Confronto tra grupp

Ci sono situazioni in cui si vuole sapere se un modello per variabili latenti relativo a un gruppo ha gli stessi valori dei parametri rispetto al modello per un altro campione. La modellazione SEM che si presenta ora permette di verificare le differenze tra i gruppi a partire dal modello specificato. Le procedure per confrontare le equazioni strutturali in differenti popolazioni assumono, anzitutto, che siano disponibili campioni casuali da ciascuna popolazione. Se fattori di selezione incidono sul fatto che un individuo rientri in un gruppo o meno, questo può richiedere l'aggiunta di equazioni per modellare il processo di selezione: tuttavia, nella seguente trattazione si assume che non siano presenti tali problemi.

La notazione è, in gran parte, la stessa dei modelli per singoli campioni con l'eccezione che ora le matrici e i parametri del modello hanno gli apici “(g)”42

, ad indicare il numero del gruppo. La lettera g è compresa tra 1, 2,..., G, dove G è il numero totale di gruppi. Quindi Λx(1) si riferisce a Λx per il gruppo 1, e

γ12(3) corrisponde a γ12 per il gruppo 3.

42 _{Ad esempio, Λ}

54

La confrontabilità (o invarianza) nei modelli si divide in due dimensioni sovrapposte: una è la forma del modello e l'altra è la similarità nei valori dei parametri. Due modelli hanno la medesima forma se il modello per ciascun gruppo ha le stesse matrici di parametri con le stesse dimensioni e la stessa struttura di parametri liberi e vincolati. Nella maggior parte delle applicazioni, i ricercatori assumono che la forma dei modelli sia la stessa e si concentrano sullo studio dell'uguaglianza dei valori dei parametri data una certa forma del modello. Tipicamente, è a discrezione dei ricercatori decidere quali elementi o matrici di parametri si devono verificare per l'uguaglianza tra gruppi e in che ordine questi test si devono eseguire.

Verificare l'invarianza è possibile per tutti i tipi di modelli a equazioni strutturali. Per quanto riguarda i modelli di misura, lo scopo è quello di determinare se le stesse relazioni tra indicatori e variabili latenti valgano nei diversi gruppi. Un possibile ordine dei test è il seguente:

Hform : stessa forma (stesse dimensioni delle matrici e stessa struttura di

parametri liberi e vincolati nelle matrici Λx, Θ , e Φ).

HΛ : Λx(1)=...= Λx(G)

HΛ : Λx(1)=...= Λx(G), (1)=...= (G)

HΛ : Λx(1)=...= Λx(G), (1)=...= (G), (1)=...= (G)

Tale ordine dei test comincia con l'ipotesi che la forma del modello sia la stessa. Poiché tale test è il meno vincolante tra tutti, uno scarso adattamento ai dati significa che ha poco senso continuare verso ipotesi più restrittive. Assumendo che tale ipotesi sia verificata e quindi l'adattamento sia soddisfacente, il passo successivo è verificare se i coefficienti che legano le variabili latenti alle osservate sono gli stessi nei gruppi. L'uguaglianza del modello di misura è in genere di priorità maggiore rispetto all'uguaglianza delle varianze degli errori di misura o all'uguaglianza delle matrici di covarianza nei diversi gruppi, quindi HΛ precede le ultime due ipotesi HΛ ,Θ

55

maggior interesse nel sapere se l'errore di misura è lo stesso tra i gruppi invece di sapere se le covarianze tra le variabili latenti siano uguali. L'ultimo passo, nella sequenza dei test, è HΛ ,Θ ,Φ dove si verifica l'uguaglianza di

tutte e tre le matrici di parametri contemporaneamente.

Infine, una certa sequenza di ipotesi aiuta nel valutare l'invarianza per il modello generale a equazioni strutturali con variabili latenti. Dalla prima all'ultima, l'ordine delle ipotesi è Hform, HΛ, HΛBΓ, HΛBΓΘ, HΛBΓΘѰ e HΛBΓΘѰΦ

dove Λ rappresenta Λx e Λy mentre Θ rappresenta Θ e Θ . Come prima, i

pedici delle H indicano le matrici che sono vincolate a essere uguali. L'ordine con il quale vengono testate le uguaglianze dei parametri può essere modificato secondo l'interesse sostanziale (Bollen, 1989). Ad esempio, se un ricercatore pone maggiore enfasi sull'uguaglianza dei parametri che legano tra loro le variabili latenti (B e Γ) rispetto alle saturazioni del modello di misura (Λx e Λy), allora un test per l'invarianza di B e Γ può precedere quello

per Λx e Λy. Una volta che l'ordine dei test è stabilito, si possono verificare le

ipotesi e valutare quale grado di uguaglianza meglio si adatti ai dati.

Per quanto concerne la logica di stima nel caso di più gruppi, si ricorda sinteticamente che la matrice di covarianza di ciascun gruppo (Sg) è l'oggetto

dell'analisi. In sostanza, il tutto consiste nell'applicare un unico modello specificato a più gruppi: come nel caso del campione singolo, il modello ipotizzato implica una certa matrice di covarianza Σg per ciascun gruppo. Più

“vicina” è la matrice Σg alla matrice Sg per tutti i gruppi, migliore è

l'adattamento generale del modello.

Le misure di adattamento del modello sono analoghe a quelle presentate nell'analisi per singolo gruppo. A tal proposito si dispone, nell'output del software Lisrel, del test chi-quadrato per il modello complessivo che tiene conto di tutti i gruppi. L'ipotesi nulla del test di adattamento è che i vincoli del modello sono validi in tutti i gruppi. I gradi di libertà sono pari a (½)(G)(p+q)(p+q+1)-t dove t è il numero dei parametri indipendenti stimati in tutti i gruppi (Bollen, 1989). Un'altra importante proprietà vale anche per la questione dei modelli annidati. Come nel caso a un campione, la differenza

56

delle statistiche test chi-quadrato per modelli annidati è distribuita come un chi-quadro con gradi di libertà pari alla differenza nei gradi di libertà dei due modelli. Poiché l'ordine dei test per verificare l'invarianza implica la presenza di modelli annidati (ad esempio, HΛ ,Θ è annidato in HΛ ), questo permette di

valutare l'adattamento relativo di ciascun modello man mano che si avanza nella sequenza delle ipotesi. Inoltre, anche le altre misure di adattamento complessivo (RMSEA, GFI,...) sono disponibili. Per maggiori dettagli si vedano Schumacker e Lomax (2010) e Kline (2011).

57

CAPITOLO 3