Confronto per la missione Terra-Venere

Per realizzare il trasferimento Terra-Venere alla Hohmann, `e necessario un ∆vtot di 5.21 · 103 m/s, ottenuto come somma dei due contributi ∆v0 =

2.50 · 103 _{m/s e ∆v}

f = 2.71 · 103 m/s.

Nota la velocit`a efficace ue, si inserisce questo valore e quello di ∆vtotnell’equa-

zione 2.3 e si ricava un rapporto m0/mf di 0.170.

Si introduce inoltre un coefficiente strutturale σ = 0.12, che, insieme alla conoscenza di m0/mf, permette di risalire ai seguenti risultati:

• mP ayload/m0 = 0.057

• mP ropellant/m0 = 0.830

• mStructure/m0 = 0.113

Il tempo di trasferimento, valutato attraverso la relazione 5.15, `e di 0.40 anni.

Nel caso elettrico si erano invece ottenute le seguenti frazioni di massa di payload e di propellente:

• mP ayload/m0 = 0.220

• mP ropellant/m0 = 0.1847

e un tempo di trasferimento di 3.57 anni.

Analogamente alla missione Terra-Marte, risulta maggiore il quantitativo di payload imbarcabile nel caso elettrico, rispetto a quello chimico.

Essendo il valore di Isp molto pi`u elevato per il propulsore elettrico, il pro-

pellente richiesto `e decisamente minore di quello necessario per il propulsore chimico.

E’ inoltre evidente come la manovra impulsiva richieda dei tempi di missione molto ridotti rispetto al trasferimento a bassa spinta.

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Conclusioni

In questa Tesi `e stata effettuata la modellazione di un sistema propulsivo a effetto Hall, il quale `e stato successivamente impiegato per analizzare i trasfe- rimenti Terra-Marte e Terra-Venere.

Pi`u precisamente, l’obiettivo della prima parte del presente lavoro era otte- nere delle opportune espressioni di spinta e portata di massa in funzione di adeguate variabili indipendenti.

`

E stato scelto un modello di motore di riferimento, il NASA-103M.XL, di cui erano disponibili una serie di dati relativi alle prestazioni. `E stato quin- di possibile confrontare questi risultati sperimentali con quelli derivanti da modelli di natura teorica [5][6].

`

E stato presto in considerazione un modello teorico che esprimeva spinta e portata di massa attraverso una relazione polinomiale funzione della poten- za in uscita dai pannelli solari. Si sono poi confrontati i risultati ottenuti applicando tali relazioni, con quelli sperimentali, relativi ai dati di presta- zione del motore di riferimento. Questo ha permesso di evidenziare una netta discrepanza tra l’andamento relativo ai dati teorici e quello relativo ai dati sperimentali e ha portato alla conclusione che fosse necessario un modello pi`u raffinato, in cui le uscite fossero espresse in funzione di due variabili in- dipendenti.

Si `e quindi implementato un codice di calcolo in ambiente Matlab adatto a risolvere il problema e si `e scelto di esprimere i risultati in funzione di po- tenza e voltaggio.

Il passo successivo `e stato calcolare le masse al lancio del sistema. Le masse dei principali elementi che vanno a costituire un sistema propulsivo a effetto

Hall sono state reperite da letteratura [5][6]. Il sistema propulsivo elettrico `e stato dimensionato in relazione alla massima distanza dal Sole prevista dalla successiva analisi di missione. Infine, per definire quantitativamente le masse a secco restanti, escludendo il carico pagante, che si `e scelto essere una va- riabile, si `e ammesso che il loro valore potesse essere assunto pari a quello relativo alla missione di riferimento.

Si `e ottenuto un’espressione della massa al lancio funzione della massa di propellente e di quella pagante.

Si `e poi passati a studiare i trasferimenti Terra-Marte e Terra-Venere, me- diante il modello di Edelbaum. Per entrambi i trasferimenti sono state si- mulate un certo numero di combinazioni, facendo variare la massa al lan- cio e l’impulso specifico. `E stato possibile osservare che, all’aumentare di quest’ultimo parametro, si riduce il quantitativo di propellente necessario per effettuare il trasferimento. Un incremento di impulso specifico `e risul- tato necessario, a parit`a di carico pagante, anche per abbassare la massa al lancio.

L’analisi di missione `e stata poi ripetuta, sotto l’ipotesi di spinta puramente circonferenziale, implementando un algoritmo di calcolo in ambiente Matlab che integrasse iterativamente le equazioni del moto, fino al raggiungimento della distanza prefissata dal Sole. I risultati hanno mostrato un buon accordo con quelli relativi al modello di Edelbaum.

Sono state simulate un certo numero di traiettorie, raddoppiando e triplican- do la massa al lancio. I risultati delle simulazioni hanno evidenziato che, con l’aumentare della massa iniziale, crescono progressivamente il propellente ri- chiesto per effettuare il trasferimento e i tempi di missione.

L’effetto pi`u interessante da evidenziare riguarda la forma della traiettoria. Col crescere della massa al lancio, aumenta infatti il numero di giri completi effettuati dal veicolo spaziale prima di raggiungere l’orbita di arrivo. Inoltre i giri percorsi tendono a diventere perfettamente circolari, dando luogo a una traiettoria che risulta costituita da un insieme di circonferenze sempre pi`u ravvicinate.

col tempo di vita del propulsore e con le prestazioni del motore di riferimen- to.

`

E stato infine proposto un semplice confronto tra il propulsore oggetto di studio e uno chimico, applicati a una stessa missione, in modo da sottoli- nearne le differenze principali in termini di prestazioni. `E risultato evidente come l’impiego del propulsore elettrico permetta di imbarcare un quantita- tivo di carico pagante decisamente maggiore rispetto a quello chimico, che per`o presenta un indubbio vantaggio in termini di tempo di trasferimento. Per quanto riguarda i possibili sviluppi futuri, il lavoro di questa Tesi po- trebbe essere ulteriormente migliorato, per esempio modificando le ipotesi assunte. Nel lavoro svolto si `e ammesso che la spinta fosse tangenziale e che le orbite fossero circolari e bidimensionali. Studi successivi potrebbero variare queste ipotesi, in modo da avvicinarsi maggiormente alla realt`a.

Appendice

A

Modello di Edelbaum

Si riporta una descrizione dettagliata di alcuni risultati fondamentali otte- nuti da Edelbaum, in uso negli studi attuali di ambito aerospaziale.

A.1

Ipotesi su cui si basa il modello

La discussione del problema del trasferimento ottimale a bassa spinta tra due orbite circolari inclinate `e stato presentato da Edelbaum [19] nei primi anni ’60.

Il modello si basa su due assunzioni fondamentali:

• l’accelerazione `e di modulo costante, piccolo rispetto alla gravit`a locale, solo nelle direzioni tangenziale e normale al piano dell’orbita;

• si opera con orbite circolari prima, durante e dopo il trasferimento, in modo da poter linearizzare le Equazioni Planetarie di Lagrange attorno a un’orbita circolare.

Utilizzando la velocit`a come variabile indipendente, Edelbaum `e stato capace di trovare una soluzione approssimata in forma chiusa per il problema della traiettoria ottima.

r

u

v

T

θ

α

Figura A.1: Schematizzazione del sistema di riferimento polare e dell’angolo di spinta α