Possiamo riscrivere la Definizione 3.1.4 per il mixing nel seguente modo:
Definizione 2.3.1. Sia K = R2/Z2 = T2. Fissiamo delle coordinate x =
(x1, x2) ∈ [0, 1[×[0, 1[ su K e consideriamo il seguente insieme
A = {(x1, x2) : 0 ≤ x2 ≤ 1/2} ⊂ K.
Sia b : [0, 1] × K → R2 un campo di velocità dipendente dal tempo. Denotiamo
come al solito con X(t, x) il flusso associato a b e con Φ : K → K il valore
del flusso al tempo t = 1. Assumiamo che il flusso sia quasi incomprimibile,
cioè che per qualche k0 > 0 abbiamo
k0|Ω| ≤ |X(t, Ω)| ≤ 1
k0|Ω| (2.20)
per ogni Ω ⊂ K ed ogni t ∈ [0, 1]. Per un fissato 0 < k < 1/2 diciamo che Φ
mescola l’insieme A fino alla scala se per ogni palla B(x) si ha
Azione del flusso X sull’insieme A.
Allora è data la seguente congettura (vedi [4]).
Congettura 2.3.1 (Congettura di Bressan). Sotto le ipotesi precedenti esiste
una costante C dipendente solo da k e k0 tale che, se Φ mescola l’insieme A
fino alla scala , allora
Z 1
0
Z
K
|∇b| dx dt ≥ C| log | per ogni 0 < < 1/4.
Utilizzando i risultati fin qui esposti è possibile dimostrare il seguente teorema.
Teorema 2.3.1. Sia p > 1. Sotto le precedenti ipotesi esiste una costante C
, allora
Z 1
0
||∇b||Lp(K)dt ≥ C| log | per ogni 0 < < 1/4.
Dimostrazione. Poniamo M = ||∇b||L1([0,1];Lp(K)) e A0 = K \ A. Ricordando
la (2.19), e notando che il flusso è limitato, poiché siamo nel toro, per ogni costante η > 0 possiamo trovare un insieme B, con |B| ≤ η, tale che
Lip(Φ−1|K\B) ≤ exp
CM
η
.
Poiché Φ, mescola l’insieme A fino alla scala , per ogni x ∈ A abbiamo
|B(Φ(x)) ∩ Φ(A0)| ≥ k|B(Φ(x))|. (2.21)
Definiamo
˜
A = {x ∈ A : B(Φ(x)) ∩ [Φ(A0) \ B] = ∅}.
Da questa definizione e dalla 2.21 abbiamo che per ogni x ∈ ˜A
|B(Φ(x)) ∩ B| ≥ k|B(Φ(x))|. (2.22)
Dalla (2.22) e dal teorema di ricoprimento di Besicovitch (Teorema 1.1.4) deducaimo che per una costante assoluta c, abbiamo
|Φ( ˜A)| ≤ c k|B| ≤
cη k .
Dalla condizione (2.20) deduciamo
| ˜A| ≤ cη kk0.
Quindi, sempre per la condizione (2.20)
|Φ−1(B)| ≤ |B|
k0 ≤
η k0,
possiamo scegliere η > 0, dipendente solo da k e k0, in modo che
| ˜A| + |Φ−1(B)| ≤ 1 6.
Ciò implica l’esistenza di un punto ¯x ∈ A \ [ ˜A ∪ Φ−1(B)] con dist(¯x, A0) ≥ 1/6.
Sia ¯y = Φ(¯x). Poiché ¯x /∈ ˜A, possiamo trovare un punto ¯z ∈ B(¯y)∩[Φ(A0)\B].
Chiaramente abbiamo |¯y − ¯z| ≤ e (poiché Φ−1(z) ∈ A0) abbiamo anche
|¯x − Φ−1(¯z)| ≥ 1/6.
Poiché ¯y, ¯z /∈ B, possiamo applicare la (2.19) 1 6 ≤ Lip(Φ −1| K\B) ≤ exp(CM/η). Quindi M = ||∇b||L1([0,1];Lp(K)) ≥ 1 ηlog 1 6 .
Perciò possiamo trovare un 0 > 0 tale che
M ≥ 1
2η| log | per ogni 0 < < 0.
Abbiamo così mostrato la tesi per 0 < < 1/4. Infatti, supponiamo che la tesi sia falsa. Allora possiamo trovare una successione {bh} di campi di
vettori ed una successione {h} con 0 < h < 1/4 in modo che
||∇bh||L1([0,1];Lp(K)) ≤
1
h| log h| ≤
1
A meno di estrarre una sottosuccessione possiamo supporre che h → ¯
e che Φh → Φ fortemente in L1(K). Per questo applichiamo il risultato di
compattezza ottenuto nel capitolo 2, notando che la (2.20) dà un controllo uniforme sulle costanti di compressibilità dei flussi e che non è necessaria nessun’altra assunzione sul comportamento dei campi poiché siamo sul toro. Ora notiamo che la proprietà di mixing è stabile rispetto alla convergen- za forte: ciò significa che Φ mescola fino alla scala ¯ ≤ 1/4. Ma poiché
||∇b||L1([0,1];Lp(K)) → 0, deduciamo che Φ è nient’altro che una traslazione su
K, quindi non è possibile mescolare l’insieme A fino ad una scala più piccola
Capitolo 3
Costruzione di esempi che
realizzano il mixing
3.1
Definizioni introduttive
In questo capitolo lavoreremo nel caso bidimensionale. Tuttavia, tutte le definizioni ed i risultati possono essere estesi al caso di spazi di più alta dimensione. Considereremo l’intero piano R2 ed il toro due-dimensionale
T2 := R2/Z2. La trasformata di Fourier di una distribuzione temperata
f ∈ S0(R2) è denotata con ˆf . Data una distribuzione f ∈ D0
(T2), per k ∈ Z2,
denotiamo con ˆf (k) il suo k-esimo coefficiente di Fourier.
Introduciamo gli spazi di Sobolev omogenei, cruciali per la definizione di mixing.
una distribuzione f ∈ D0(T2) sul toro appartiene allo spazio ˙Hs(T2) se ||f ||2H˙s(T2) = X k∈Z2 |k|2s| ˆf (k)|2 < ∞. Se f ∈ S0(R2), f ∈ ˙Hs(R2) se ˆf ∈ L1loc(R2) e se ||f ||2 ˙ Hs(R2) = Z R2 |ξ|2s| ˆf (ξ)|2dξ < ∞.
Definizione 3.1.2 (Spazi di Sobolev omogenei ˙Ws,p). Diciamo che una
distribuzione f ∈ D0(T2) sul toro appartiene allo spazio ˙Ws,p(T2) se
X
k∈Z2
|k|s| ˆf (k)|eikx ∈ Lp
(T2), (3.1)
ed indichiamo con ||f ||W˙s,p(T2) la norma Lp(T2) della funzione in (3.1). Se
f ∈ S0(R2), f ∈ ˙Ws,p(R2) se ˆf ∈ L1
loc(R2) e se
F−1(|ξ|sf (ξ)) ∈ Lˆ p(R2), (3.2)
ed indichiamo con ||f ||W˙s,p(R2) la norma Lp(R2) della funzione in (3.2).
La condizione che ˆf ∈ L1loc(R2) garantisce che questa quantità sia una norma.
Proprietà 3.1.1. Dato λ > 0, poniamo
fλ(x) = f
x
λ
.
Se f è definita sul toro, e se 1/λ è un intero, allora la funzione fλ è ben
definita sul toro e si ha
||fλ||W˙s,p(T2)= λ
−s||f || ˙
Se f è definita sul piano, allora la funzione flambda è ben definita per ogni λ > 0 e si ha ||fλ||W˙s,p(R2) = λ 2 p−s||f || ˙ Ws,p(R2). (3.4)
A questo punto possiamo definire il concetto di mixing, sia dal punto di vista funzionale che geometrico.
Definizione 3.1.3 (Scala di mixing funzionale (si veda [8])). La scala di
mixing funzionale per la soluzione della (2.1) è ||µt||H˙−1(T2).
La scelta dell’esponente −1 è conveniente da un punto di vista fisico in quanto la norma in ˙H−1 scala come una lunghezza.
Definizione 3.1.4 (Scala di mixing geometrica (si veda [4])). Dato 0 < k < 1,
la scala di mixing geometrica per la soluzione della (2.1) è il minimo (t) fra
tutti gli > 0 tale che per ogni x ∈ T2 si ha
1 ||µt||∞ − Z B(x) µt(y) dy ≤ k.
Questa definizione richiede che la media della soluzione µt su ogni palla
di raggio (t) sia essenzialmente zero.
Le due definizioni appena esposte per non essendo equivalenti sono strettamente correlate (vedi [10] o [1]).
3.2
Un primo esempio
In questo capitolo costruiremo un esempio di mixing ottimale di una soluzione per la (2.1) sotto l’azione di un flusso incomprimibile, in particolare analizze-
remo i tassi di decadimento nel tempo sotto un mixing di tipo self-similar, cioè assumiamo che la soluzione subisca un’evoluzione costruita partendo da un passo base e successivamente, ad ogni successivo intervallo temporale, viene riscalata in porzioni dello spazio sempre più piccole.
L’equazione (2.1) preserva tutte le norme Lp della soluzione. Tuttavia è
possibile per la soluzione µt della (2.1) convergere a 0 debolmente. Infatti,
l’annullarsi della norma di Sobolev omogenea negativa ˙H−1 di µtè equivalente
alla convergenza di µt a 0 debolmente in L2 (vedi [9]).
Diremo che un flusso mixa in modo ottimale se raggiunge il più grande tasso di decadimento nel tempo per la norma ˙H−1 di µt.
Consideriamo l’equazione (2.1). Come campo di vettori scegliamo
b(t, x1, x2) = (12, 0) se [2x2] è disapri, (0, 0) se [2x2] è pari, t ∈ [0, 1], mentre per n ≥ 1, b(t, x1, x2) = (0, 1 2n, ) per [2 n+1x 1] disapri, (0, 0) per [2n+1x 1] pari, t ∈]2n − 1, 2n], b(t, x1, x2) = (2n+11 , 0) per [ 1 2 + 2 nx 2] pari, (0, 0) per [1 2 + 2 nx 2] disapri, t ∈ [2n, 2n + 1],
3.3
Secondo esempio
Ora esponiamo un secondo esempio di mixing presentato in [1]. Sia s ≥ 0, e 1 ≤ p ≤ ∞, assuiamo:
Assunzione 3.3.1 (Passo base). Esiste un campo di velocità b0 e una (non
identicamente nulla) soluzione µ0 di (2.2) entrambi definiti per 0 ≤ t ≤ 1 e
x ∈ T2, tali che:
• b0 è limitato uniformemente nel tempo in Ws,p(T2) ed è a divergenza
nulla;
• µ0 è limitata ed ha media zero;
• esiste λ, una costante positiva, con 1/λ un intero più grande o uguale
di 2, tale che µ0(1, x) = µ0 0,x λ .
Introduciamo, ora, una definizione che tornerà utile nel seguito.
Definizione 3.3.1. • Dato λ > 0, con 1/λ intero, denotiamo con Tλ il
in T2 della forma
{(x, y) ∈ T2 : kλ < x < (k + 1)λ e hλ < y < (h + 1)λ},
per k, h = 0, . . . , 1/λ − 1.
• Denotando con Q il quadrato aperto unitario (−1/2, 1/2)2
⊂ R2 il
tassellamento Tλ di Q è definito analogamente. Dato ogni quadrato
Q ∈ Tλn, denotiamo con rQ il suo centro, in maniera tale da avere
Q = λnQ + rQ.
Costruzione 3.3.1. Fissiamo un parametro positivo τ (da determinare in
seguito). Per ogni intero n = 1, 2, . . . e per ogni t ∈ [0, τn] poniamo
bn(t, x) = λn τnb0 t τn, x λn , µn(t, x) = µ0 t τn, x λn .
Osserviamo che µn è una soluzione della (2.1) corrispondente al campo di
velocità bn. Inoltre, grazie al terzo punto dell’assunzione
µn(τn, x) = µn+1(0, x). (3.5) Poniamo b(t, x) = bn(t − Tn, x), µ(t, x) = µn(t − Tn, x) per Tn ≤ t < Tn+1, e n = 1, 2, . . . , dove Tn= n−1 X i=0 τi, per n = 1, 2, . . . , ∞.
Osserviamo che b e µ sono definiti per 0 ≤ t < T∞. Usando la (3.3) possiamo
calcolare ||bn(t, ·)||W˙s,p(T2) = λ1−s τ n ||b0(t/τn, ·)||W˙s,p(T2)
Se poniamo τ = λ1−s, la formula precedente ci dice che b è limitato in ˙Ws,p(T2)
uniformemente nel tempo. Inoltre,
||µn(t, ·)||H˙−1(T2) = λn||µ0(t/τn, ·)||H˙−1(T2)≤ M λn,
dove
M = sup
0≤t≤1
||µ0(t, ·)||H˙−1(T2).
Questo può essere scritto come
||µ(t, ·)||H˙−1(T2)≤ M λn, per Tn ≤ t < Tn+1. (3.6)
Ora possiamo considerare tre differenti scenari:
1. s < 1, allora τ = λ1−s < 1. In questo caso T
∞ è finito e
||µ(t, ·)||H˙−1(T2) → 0,
per t → T∞. Cioè abbiamo mixing perfetto in tempo finito;
2. s = 1, allora τ = 1. In questo caso T∞ = ∞ e Tn = n, di conseguenza
la disuguaglianza t < Tn+1 nella (3.6) diventa t − 1 < n. Quindi la
stima nella (3.6) da il seguente decadimento esponenziale per la scala di mixing funzionale:
||µ(t, ·)||H˙−1(T2) ≤ M λt−1;
3. s > 1, allora τ > 1. In questo caso, T∞= ∞ e
Tn=
τn− 1
τ − 1 =
λ(1−s)n− 1
In questo caso la stima nella (3.6) da il seguente decadimento polino- miale: ||µ(t, ·)||H˙−1(T2) ≤ M [1 + t(λ1−s− 1)]− 1 s−1 λ ' C(M, λ, s)t − 1 s−1.
Pertanto sotto l’Assunzione 3.3.1 vale
Teorema 3.3.1. Dato s ≥ 0 e 1 ≤ p ≤ ∞, esiste un campo di velocità b a
divergenza nulla ed una soluzione debole µ della (2.1), tali che b è limitato in
˙
Ws,p(T2) uniformemente nel tempo, e la scala di mixing funzionale per µ ha
il seguente comportamento dipe)ndente da s:
1. s < 1: mixing perfetto in tempo finito;
2. s = 1: decadimento esponenziale;
3. s > 1: decadimento polinomiale.
Infatti, tutte le norme omogenee negative di Sobolev ||µ(t)||H˙−r (con r > 0)
avrebbero lo stesso comportamento, con la sola differenza nella costante per il decadimento esponenziale e l’esponente per il decadimento polinomiale, che dipende da r.
Il seguente lemma prove che anche la scala di mixing geometrico (t) ha lo stesso comportamento della scala di mixing funzionale.
Lemma 3.3.1. Sia µ una funzione limitata tale che
Z
per ogni quadrato Q ∈ Tλn. Allora la scala di mixing geometrico di µ è minore
o uguale di
4√2λn
k . (3.8)
Dimostrazione. Fissiamo B(x) una palla arbitraria. Usando la (3.7) possiamo
stimare 1 ||µ||∞ Z B(x) µ dy ≤ 1 ||µ||∞ X Q∈Tλn Q∩∂B(x)6= ≤ 1 ||µ||∞ Z B+√ 2λn(x)\BB−√2λn |µ| dy ≤ π[( +√2λn)2− ( −√2λn)2] = 4√2πλn. Quindi 1 ||µ||∞ Z B(x) µ dy ≤ 4 √ 2λn ,
e la quantità a destra della disuguaglianza è minore o uguale di k per ogni maggiore o uguale della quantità in (3.8).
Osservazione 3.3.1. Sotto l’Assunzione 3.3.1, la costruzione descritta prece-
dentemente assicura la regolarità di tipo Sobolev del campo di velocità rispetto
alla variabile spaziale, uniformemente nel tempo. Non è provata una regolarità
rispetto alla variabile temporale.
Infatti, nell’esempio presentato, il campo di velocità è liscio a tratti rispetto
ad entrambe le variabili spaziale e temporale. Se il campo di velocità è liscio
rispetto al tempo su due intervalli temporali contigui, e se è possibile estenderlo
bordo dei due intervalli può essere eliminata. È sufficiente sostituire in ogni
intervallo b e µ con
˜
b(t, x) = η0(t)b(η(t), x), µ(t, x) = µ(η(t), x),˜
dove η è una funzione liscia, crescente, suriettiva in ogni intervallo e costante
in ogni intorno (sinistro o destro) di ogni punto finale dell’intervallo. È
immediato che ˜µ risolve la (2.1) con il campo di velocità ˜b, che ˜b è liscio
sull’unione delle chiusure di due intervalli temporali, e che il valore della
soluzione negli estremi di entrambi gli intervalli non cambia.
Ora mostreremo che dato un insieme regolare E nel piano che evolve in maniera C∞ nel tempo, possiamo costruire un campo di velocità b liscio, a divergenza nulla, tale che la funzione carattaristica di E risolve la(2.1) associata a µ. Con questo risultato sarà possibile costruire un esempio di mixing perfetto.
Prima di ciò dimostriamo il seguente Lemma
Lemma 3.3.2. Sia Γ il supporto di una curva e v una funzione su Γ, entrambe
di classe Ck con k ≥ 2. Dato un numero positivo ¯r ed un sotto arco compatto
G di Γ, contente il supporto di v, assumiamo che
Z
Γ
v dσ = 0. (3.9)
Allora esiste un campo di velocità b a divergenza nulla su R2 di classe Ck−2,
la cui componente normale su Γ, cioè b · η, si comporta come v, ed ha supporto
Dimostrazione. Consideriamo il caso in cui il dominio della curva sia R. Il
caso in cui sia T1 è simile. È sufficiente, per dimostrare il Lemma, trovare un
potenziale φ : R2 → R di classe Ck−1 e tale che abbia il supporto contenuto
in B(G, ¯r) e che
∂tφ = v su Γ, (3.10)
dove τ è il vettore tangente a Γ. Dopodiché si conclude ponendo b = −∇⊥φ.
Sia γ : R → R2 una curva con sostegno Γ. Per costruire φ scegliamo
• un punto x0 = γ(s0) ∈ Γ e, se G è un sotto arco proprio di Γ, richiediamo
inoltre che x0 non appartenga a G;
• una funzione liscia g : R → R con supporto contenuto in [−1/2, 1/2] tale che g(0) = 1;
• un numero 0 < r < ¯r più piccolo del raggio tubolare di Γ.
Ora consideriamo il diffeomorfismo Ψ : R × (−r, r) → B(Γ, r) definito nella (1.7), e per ogni x = Ψ(s, y) ∈ B(Γ, r), poniamo
φ(x) = φ(Ψ(s, y)) := g(y/r)
Z s
s0
v(γ(s0))| ˙γ(s0)| ds0. (3.11)
Se x appartiene a Γ allora x = γ(s) = Ψ(s, 0), e di conseguenza φ(x) è l’integrale di v lungo il sotto arco (orientato) di Γ da x0 a x. Perciò la
restrizione di φ a Γ è una primitiva di v, e di conseguenza soddisfa la (3.10). Ora la (3.11) ci dice che se φ ◦ Ψ è una funzione di classe Ck su R × (−r, r)
con supporto contenuto in R × [−r/2, r/2], e poiché Ψ è un diffeomorfismo di classe Ck−1 e mappa R × [−r/2, r/2] nella chiusura di B(Γ, r/2), deduciamo
che φ è una funzione di classe Ck−1 su B(Γ, r) con supporto contenuto nella
chiusura di B(Γ, r/2). Completiamo la costruzione estendo φ a 0 nel resto di R2.
Ora ci resta da controllare che il supporto di φ sia contenuto in B(Γ, ¯r).
quando G = Γ, ciò segue dal fatto che il supporto di φ è contenuto nella chiusura di B(Γ, r/2)), che è contenuto in B(Γ, ¯r). Quando G = γ([s1, s2]) è
un sotto arco proprio di Γ, abbiamo che
• v(γ(s)) = 0 per s /∈ [s1, s2] per assunzione;
• s0 ∈ [s/ 1, s2] per la scelta di x0;
• la condizione (3.9) può anche essere scritta come
Z s2
s1
v(γ(s0))| ˙γ(s0)| ds0 = 0.
Mettendo insieme tutto ciò e ricordando la scelta di g, si vede facilmente che
φ(Ψ(s, y)) = 0 quando s /∈ [s1, s2] o y /∈ [−r/2, r/2],
e che
supp(φ) ⊂ Ψ([s1, s2] × [−r/2, r/2]) ⊂ B(G, ¯r).
Questo Lemma ci permette di dimostrare immediatamente il seguente risultato
Proposizione 3.3.1. Sia λ : I → (0, +∞) una funzione, sia ¯Γ un sostegno
di una curva, entrambi di classe Ck con k ≥ 2. Sia ¯r un numero positivo e ¯G
un sotto arco compatto di ¯Γ contenente il supporto della funzione ¯v definita
nella (1.12). Assumiamo inoltre che
Z
¯ Γ
¯
v dσ = 0. (3.12)
Allora sono verificate le seguenti affermazioni:
(i) esiste un campo di velocità ¯b su R2 di classe Ck−2 che soddisfa la (1.14),
a divergenza nulla, e con il supporto contenuto in B( ¯G, ¯r);
(ii) se Γ è dipendente dal tempo e se b è un campo di velocità dipendente
dal tempo, allora b è di classe Ck−2, ha divergenza nulla, è compatibile
con Γ, e il supporto di b(t, ·) è contenuto in B(λ(t) ¯G, λ(t)¯r) per ogni
t ∈ I.
Osservazione 3.3.2. (i) La precedente Proposizione non può essere appli-
cata alle curve chiuse, poiché la condizione (3.12) non sussiste quando ¯Γ
è chiusa. Infatti, si E un insieme aperto e limitato con bordo ¯Γ; allora
il teorema della divergenza ci dice che:
Z ¯ Γ ¯ v dσ = Z ∂E x · ¯η(x) dσ(x) = ± Z E div(x) dx = ±2|E| 6= 0,
dove il segno ± dipende dal verso del vettore normale ¯η.
(ii) Se ¯Γ coincide, fuori da qualche palla B = B(0, r), come due linee
spezzate L−, L+ che partono dall’origine (), allora la funzione ¯v ha
Se, inoltre, ¯Γ è il bordo di un insieme aperto E, e se denotiamo con T
l’insieme aperto delimitato dalle linee L−, L+ che coincide con E fuori
di B, allora abbiamo Z ¯ Γ ¯ v dσ = ±(|E ∩ B| − |T ∩ B|).
In particolare, la (3.12) è equivalente a dire che |E ∩ B| e |T ∩ B| hanno
la stessa area, cioè che (E \ T ) ∩ B e (T \ E) ∩ B hanno la stessa area
(vedi Figura 1).
Figura 1
Ora enunciamo il secondo risultato fondamentale per la nostra costruzione.
Proposizione 3.3.2. Sia ¯r : I → (0, +∞) una funzione continua, con I
intervallo di tempo. Sia Γ un sostegno di una curva dipendente dal tempo in
R2 con intervallo di tempo I, di classe Ck con k ≥ 2. Assumiamo che per
ogni t ∈ I la velocità normale vn(t, ·) abbia supporto compatto, e sia tale che
Z
Γ(t)
Allora esiste un campo di velocità b da I ×R2 in R2, di classe Ck−2, compatibile con Γ, e tale che il supporto di b(t, ·) sia contenuto in B(Γ(t), ¯r(t)) per ogni
t ∈ I.
Inoltre, se per ogni t ∈ I il supporto di vn(t, ·) è contenuto in un sotto
arco G(t) di Γ(t) proprio e compatto, allora possiamo scegliere b in modo che
il supporto di b(t, ·) sia contenuto in B(G(t), ¯r(t)) per ogni t ∈ I.
Dimostrazione. Per ogni t ∈ I usiamo il Lemma 3.3.2 per costruire un campo
di velocità b(t, ·) di classe Ck−2che soddisfi la condizione di compatibilità (2.20)
al tempo t, e il cui supporto è contenuto in B(G(t), ¯r(t)).
Tuttavia, ciò ci dice solo che b è di classe Ck−2 nella variabile x. Per
mostrare che b è di classe Ck−2 in entrambe le variabili, dobbiamo ripercor-
rere alcuni passaggi della dimostrazione del Lemma 3.3.2. Il fatto cruciale è la regolarità di classe Ck−1 nelle variabili t, s, y della parte destra della
formula (3.11), che nel nostro caso, è
g(y/r(t))
Z s
s0(t)
vn(t, γ(t, s0))| ˙γ(t, s0)| ds0.
È chiaro che questa quantità ha la regolarità richiesta perché possiamo scegliere
r(t) e s0(t) almeno di classe Ck−1 in t.
Poiché sia ¯r(t) che il raggio tubolare di Γ(t) sono continui e strettamente
positivi in t, ed è sempre possibile scegliere r(t) più piccolo di entrambi, strettamente positivo, e liscio in t.
Se richiediamo colo che il supporto di b sia contenuto in B(Γ(t), ¯r(t)),
contenuto in B(G(t), ¯r(t)), allora possiamo di nuovo possiamo scegliere s0(t)
liscia in t, ma questa scelta è più delicata, e si basa sul fatto che G(t) è un sotto arco proprio per ogni t ∈ I.
Ora abbiamo tutti gli strumenti per costruire un campo di velocità ed una soluzione su R2 per la (2.1), entrambi con supporto compatto in un quadrato
Q, per ogni s e p tali che p sia strettamente minore dell’esponente critico per l’embedding di Ws,p nelle funzioni Lipschitziane, cioé:
s < 1 e p ≤ ∞, oppure s ≥ 1 e p < 2
s − 1. (3.14)
Precisamente costruiremo un esempio di un campo di velocità b0 ed una
soluzione µ0 per la (2.1), entrambi definiti per 0 ≤ t ≤ 1, e tali che
(a) b0 è un campo di velocità dipendente dal tempo su R2, con supporto
compatto nel quadrato unitario aperto Q, liscio in entrambe le variabili per t 6= k/8 con k = 1, . . . , 7, limitato, a divergenza nulla, e limitato in
˙
Ws,p(R2) uniformemente in t per ogni s, p come prima;
(b) µ0è della forma µ0(t, ·) = 1E(t)−π/16 dove E(t) è un dominio dipendente
dal tempo in R2 definito per 0 ≤ t ≤ 1, continuo per ogni t, liscio per
t 6= k/8 con k = 1, . . . , 7 con chiusura contenuta in Q, ed area uguale a
π/16 (quindi µ0(t, ·) ha media nulla).
(c) E(0) è il disco con centro 0 e raggio 1/4, mentre E(1) è l’unione di quattro dischi con centri in (±1/4, ±1/4) e raggio 1/8.
Poiché sia µ0 che b0 hanno supporto compatto contenuto in nel quadrato
aperto Q, possiamo vederli come un campo di velocità ed una soluzione in T2.
Per s = 1, la località delle derivate distribuzionali di ordine 1 assicura che u0
è limitato in ˙Ws,p(T2) per ogni 1 ≤ p < ∞. Di conseguenza l’Assunzione 3.3.1
è soddisfatta per s = 1 e per ogni 1 ≤ p < ∞.
Difatti la costruzione consiste in un dominio dipendente dal tempo E come sopra ed un campo di velocità b0 definito per t 6= k/8 con k = 1, . . . , 7
che è liscio e compatibile con E. Questo assicura che la funzione caratteristica 1E(t) sia una soluzione distribuzionale per la (2.1) nell’intervallo di tempo
aperto ((k − 1)/8, k/8) con k = 1, . . . , 8; il fatto che sia anche una soluzione nell’intervallo di tempo [0, 1] è assicurato dalla continuità in t. L’insieme E(t) per t = k/8 con k = 0, . . . , 4 e t = 1 è descritto nella Figura 2.
Figura 2.
Più precisamente denotiamo con B il disco aperto con centro in 0 e raggio 1/4, e con T il cono di tutte le x ∈ R2 tali che |x
2| < |x1|, e per ogni t = 1/8,
t = 1/4, e t = 3/8 richiediamo che
(d) E(t) è simmetrico rispetto ad entrambi gli assi;
(f) l’insieme E(t) \ B è lo stesso, cioè è invariante a sinistra per il flusso;
(g) Gli insiemi (E(1/8) \ T ) ∩ B e (T \ E(1/8)) ∩ B hanno la stessa area.
Ora procediamo con la descrizione della costruzione di E(t) e di b0(t, ·)
per t ∈ [0, 1/8] e t ∈ (1/8, 1/4). La costruzione nei restanti intervalli di tempo è analoga.
Passso 1: costruzione di E(t) e b0(t, ·) per t ∈ [0, 1/8]. Poiché E(0) ed
E(1/8) sono entrambi lisci ed hanno area π/16, possiamo trovare un E(t) per
0 < t < 1/8 con area π/16 tale che t 7→ E(t) sia liscia su [0, 1/8]. Allora, in virtù della Proposizione 3.3.2 possiamo trovare un campo di velocità liscio
b0 : [0, 1/8] × R2 → R2, a divergenza nulla e compatibile con E. Inoltre,
poiché ∂E(t) è contenuto in Q, possiamo assumere che il supporto di b0 sia
contenuto in Q per ogni t. In particolare, tutte le norme positive di Sobolev di b0(t, ·) sono uniformemente limitate in t.
Passso 2: costruzione di E(t) e b0(t, ·) per t ∈ (1/8, 1/4). Sia ¯Γ (il
sostegno) la curva propria definita fuori da B dall’equazione |x2| = x1, e in
B coincidente con la componente connessa superiore di ∂E(1/8) ∩ B (vedi
Figura 3.
Consideriamo una funzione liscia decrescente λ su [1/8, 1/4) e tale che
λ(1/8) = 1 e λ(t) tende a 0 per t tendente a 1/4; la funzione λ sarà esplicita-
mente determinata in seguito. Allora prendiamo E(t) per ogni 1/8 < t < 1/4 tale che
(h) E(t) coincide con E(1/8) fuori di B;
(i) ∂E ∩ B ha due componenti connesse simmetriche rispetto all’asse x1, e
la componente superiore coincide con λ(t)¯Γ in B.
Per l’Osservazione 3.3.2(ii), l’ipotesi (g) implica che la curva ¯Γ soddisfa la condizione (3.12) e di conseguenza possiamo usare la Proposizione 3.3.1
ottenendo così un campo di velocità b : [1/8, 1/4) × R2 → R2 liscio, a
divergenza nulla, compatibile con la curva omotetica λ(t)¯Γ. Inoltre b(t, ·) ha supporto compatto contenuto nel semipiano R × (0, +∞) per ogni t.
Infine prendiamo b0 : [1/8, 1/4) × R2 → R2 uguale a b nel semipiano
superiore, ed esteso al semipiano inferiore per riflessione. Quindi b0 è ancora
liscio e a supporto compatto, e per l’assunzione (i) è compatibile con il dominio dipendente dal tempo E in B. D’altro lato, b0 si annulla fuori di B e di
conseguenza è compatibile con l’insieme E \ B, che è costante nel tempo (assunzione (g)). In conclusione, b0 è compatibile con E.
Resta, ora, da scegliere λ affinché b0sia limitato in ˙Ws,p(R2) uniformemente
in t ∈ [1/8, 1/4) per ogni s, p come in (3.14). Per far ciò ricordiamo che per la Proposizione 3.3.1 b0 può essere scritto come
b0(t, x) = λ0¯b(x/λ(t))
dove ¯b : R2 → R2 è liscio e a supporto compatto. Quindi, usando la (3.3), per
ogni t otteniamo
||b0(t, ·)||W˙s,p(R2) = |λ
0
(t)||λ(t)|p−s2 ||¯b|| ˙
Ws,p(R2).
Ora, un semplice calcolo mostra che b0(t, ·) è uniformemente limitata in
˙ Ws,p(R2) se poniamo λ(t) = exp 2 − 1 1 − 4t .
Bibliografia
[1] G. Alberti, G. Crippa, and A. L. Mazzucato. Exponential self-similar mixing and loss of regularity for continuity equations. C. R. Acad. Sci.
Paris, 352, Ser. I(11):901–906, 2014.
[2] L. Ambrosio and G. Crippa. Continuity equations and ode flows with non-smooth velocity. Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, 144 (6):1191–1244, 2014.
[3] L. Ambrosio, N. Fusco, and D. Pallara. Functions of bounded variation
and free discontinuity problems. Oxford Mathematical Monographs, 2000.
[4] A. Bressan. A lemma and a conjecture on the cost of rearrangements.
Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 110:103–117, 2003.
[5] G. Crippa and C. De Lellis. Estimates and regularity results for the diperna-lions flow. J. Reine Angew. Math., 616:15–46, 2008.
[6] L. C. Evans. Partial differential equations. Graduate studies in
[7] H. Federer. Geometric measure theory. Springer, 1969.
[8] G.Mathew, I. Mezic, and L. Petzold. A multiscale measure for mixing.
Phys., D, 211(1-2):23–46, 2005.
[9] Z. Lin, J. L. Thiffeault, and C. R. Doering. Optimal stirring strategies for passive scalar mixing. J. Fluid Mech., 675:465–476, 2011.
[10] E. Lunasin, Z. Lin, A. Novikov, A. Mazzucato, and C. R. Doering. Optimal mixing and optimal stirring for fixed energy, fixed power, or fixed palenstropy flows. J. Math. Phys., 53(11):23–46, 2012.
[11] W. Rudin. Real and complex analysis. McGraw-Hill, 1987.