Connessioni principali invarianti - Lezioni sui Fibrati (a.a. 2018/19) Mauro Nacinovich

In questo capitolo studiamo azioni di gruppo su una connessione principale ed in particolare di connessioni principali su spazi omogenei.

9.1. Automorfismi di un fibrato principale

Sia ξ= (P, π, M, G) un fibrato principale differenziabile. Un automorfismo di ξè un diffeomorfismo F diPin sé che sia G-equivariante, tale cioè che

F(σ·a)= F(σ)·a, per ogni σ inPedain G. Sia K un gruppo di Lie con algebra di Lie κ.

Definizione 9.1.1. Un’azione (a sinistra) di K su ξ `e un’azione differenziabile K ×P3 (k, σ) −→k· σ ∈P

G-equivariante. Essa definisce un’azione

K × M 3 (k,p) −→k·p∈ M sulla base M e valgono le

π(k· σ)=k· π(σ), (k· σ) ·a=k· (σ ·a) Bk· σ ·a, ∀σ ∈P, ∀k∈ K, ∀a∈ G. Abbiamo il diagramma commutativo

K ×P× G −−−−−→ P      y      y K × M −−−−−→ M.

Un gruppo a un parametro {Ft} di automorfismi di ξ definisce un gruppo a un parametro { ft} di diffeomorfismi di M. Il suo generatore infinitesimale Z ∈ X(P) `e G-invariante e π-correlato al generatore infinitesimale X di { ft}.

Se K agisce su ξ, per ogni X ∈ κ la moltiplicazione a sinistra per exp(t·X) definisce gruppi a un parametro di diffeomorfismi di P e di M, con generatori infinitesimali X^P∈ X(P) ed X^M ∈ X(M) che sono tra loro π-correlati.

Definizione 9.1.2. Chiamiamo X^Ped X^Mi campi associati all’elemento X di κ. Lemma 9.1.3. Le corrispondenze X → X^Ped X → X^M tra κ ed X(P), X(M) sono antiomomorfismi di algebre di Lie.

Dimostrazione. I campi X^Ped X^M sono correlati ai campi invarianti a destra di K mediante le applicazioni K 3k→k· σ ∈Pe K 3k→k·p∈ M. L’affermzione segue allora dal fatto che la corrispondenza che associa ad ogni X di κ il campo invariante a destra X∗con (X∗)_e = X `e un antiomorfismo di algebre di Lie.

Fissato un puntop₀di M, sia

H= {k∈ K |k·p₀=p₀}

il suo stabilizzatore in K. Gli elementi di H operano sulla fibraP_p₀ ed otteniamo quindi

Lemma 9.1.4. Per ogni elemento σ della fibraP_p

0, l’applicazione

(9.1) λ_σ : H 3k−→ σ⁻¹·k· σ ∈ G

`e un omomorfismo di gruppi di Lie.

9.2. Automorfismi di una connessione principale

Fissiamo sul fibrato principale ξ= (P, π, M, G) una connessione principale Γ con forma di Cartan w. Utilizziamo la notazione introdotta nel §9.1.

Definizione 9.2.1. Chiamiamo automorfismo di Γ un automorfismo F di ξ che lasci invarianteΓ, che soddisfi cio`e

(9.2) F^∗w= w.

Gli automorfismi diΓ formano un gruppo, che indichiamo con Aut(Γ). Definizione 9.2.2. Data un’azione di un gruppo di Lie K su ξ, diciamo che la connessioneΓ su ξ `e K-invariante se K agisce su ξ mediante automorfismi di Γ.

Notazione 9.2.3. Indichiamo con Λ l’applicazione (9.3) Λ :P× κ → g, definita da Λσ(X)= w(XP

σ), ∀X ∈ κ.

Proposizione 9.2.4. Se la connessione Γ `e K-invariante, allora, per ogni σ in

P, l’applicazione Λσ: κ → g definita dalla (9.3) soddisfa: Λσ(X)= λσ∗(X), ∀X ∈ κ0, (1) Λσ(Ad_h₀(X))= Ad[λσ(h0)](Λσ(X)), ∀h₀∈ H, ∀X ∈ κ. (2) Dimostrazione. Se X ∈ h, allora X_σ^P=d dt t=0^{[exp(t·X)·σ]}=d dt t=0^σ·λσ(exp(t·X))=d dt t=0^σ·^{exp(t · λ}σ∗(X)). Quindi X_σ^P= [λσ∗(X)]^?_σ, e da questa segue la (1).

Fissati X ∈ κ,h₀∈ H e posto Y= Adh0(X), abbiamo

exp(t·Y)·σ=h₀· exp(t·X)·h⁻¹₀ ·σ=h₀· exp(t·X)·σ·λσ(h⁻¹₀ )=h₀·R_λ_σ_(h−1

0 )(exp(t·X)σ), da cui otteniamo che Y_σ^P= h_0∗dR_λ_σ_(k−1

0 )(X^P_σ). Per ipotesi w `e K-invariante. Perci`o, applicando w al primo ed ultimo termine di questa uguaglianza, otteniamo

Λσ(Y)= w(YP

σ)= w(h_0∗dR_λ_σ_(k−1

0 )(X^P_σ))= w(dR_λ_σ_(k−1

9.3. CONNESSIONI INVARIANTI SU UNO SPAZIO OMOGENEO 159 = Ad(λσ(k₀))(Λσ(X)),

cio`e la (2). La dimostrazione `e completa.

Osservazione 9.2.5. Per il Lemma 9.6.18, abbiamo la decomposizione X^P_σ = ˜XM

σ + [w(XP

σ)]^?_σ, ∀X ∈ κ.

In particolare, poich´e i campi X^Ped ˜X^Msono G-invarianti, anche [w(X_σ^P)]^?_σ lo `e.

Osservazione 9.2.6. L’estensione Λσ di λσ∗ non `e, in generale, un omomorfi-smo di algebre di Lie, come ci mostreranno la Proposizione 9.6.11 ed il successivo Corollario 9.6.13.

Proposizione 9.2.7. La forma di curvatura Ω di una connessione K-invariante su ξ soddisfa (9.4) Ωσ(X^P, YP)= [Λσ(X),Λσ(Y)] −Λσ([X, Y]), ∀X, Y ∈ κ, e quindi, se π(σ)=p, abbiamo R_p(X^M, YM )= σ · [Λσ(X),Λσ(Y)] −Λσ([X, Y]) ∀X, Y ∈ κ. (9.5)

Dimostrazione. Siano X, Y ∈ κ. Per le equazioni di struttura otteniamo Ωσ(X^P, YP)= XP

σw(Y^P) − Y_σ^Pw(X^P) − wσ([X^P, YP])+ [w(XP), w(Y^P)]σ. Le derivata di Lie di w rispetto ad X^P, Y^P sono nulle, perch´e w `e K-invariante. Quindi

X_σ^Pw(Y^P)= wσ([X^P, YP]), Y_σ^Pw(X^P)= wσ([Y^P, XP]). Inoltre, poich´e [X^P, YP]= −[X, Y]P,

w_σ([X^P, YP])= −wσ([X, Y]^P)= −Λσ([X, Y]).

Da queste osservazioni otteniamo la tesi.

9.3. Connessioni invarianti su uno spazio omogeneo

Se K opera transitivamente sulla base M, allora i vettori X_p^M, al variare di X in κ, generano T_pMin ogni puntopdi M e quindi TσP= VσP+ {XP

σ | X ∈κ} per ogni σ ∈P. Fissato un elemento σ ∈Ped un’applicazioneΛσ: κ → g, vi `e allora al pi`u una connessione principale K-invarianteΓ su ξ per cui sia Λσ(X^P)= w(XP

σ) per ogni X in κ. Le connessioni invarianti sugli spazi omogenei sono caratterizzate dal seguente teorema di Wang ([52]).

Teorema 9.3.1 (Wang). Siano M uno spazio omogeneo del gruppo di Lie K, ξ= (P, π, M, G₀) un fibrato principale su M, H lo stabilizzatore di un puntop₀di M e σ₀un elemento sulla fibraP_p₀. Allora la

(9.6) Λσ₀(X)= w(XP

con w forma di Cartan diΓ, stabilisce una corrispondenza biunivoca tra le con-nessioni principali K-invarianti Γ su ξ e le applicazioni lineari Λσ₀: κ → g tali che (9.7)        Λσ₀(X)= λσ₀_∗(X), ∀X ∈ h= Lie(H), Λσ0(adh0(X))= adλσ0^(h0)(Λσ0(X)), ∀h₀∈ H, ∀X ∈ κ.

Dimostrazione. Per la Prop.9.2.4, data Γ, una Λσ₀ definita da (9.3) soddisfa le (9.7). Baster`a quindi dimostrare che ad unaΛσ0 che soddisfi le (9.7) possiamo far corrispondere una connessione principale K-invarianteΓ la cui forma di Cartan soddisfi (9.7). A questo scopo, per definire la distribuzione orizzontale, poniamo

Hσ₀P= {XP

σ0 −Λσ₀(X)^?_σ₀ | X ∈ κ}.

Poiché l’azione (K × G) ×P 3 (k,a, σ) −→k·σ·a∈ Pdi K × G suP è transitiva eΓ è K-invariante se e soltanto se la sua distribuzione orizzontale è invariante per l’azione di K × G, basta verificare che

k₁· (Hσ0P) ·a₁ =k₂· (Hσ0P) ·a₂ se k₁· σ₀·a₁ =k₂· σ₀·a₂. Postoa=a₁·a⁻¹₂ ek=k⁻¹₂ k₁, ci`o `e equivalente a dimostrare che

k· (Hσ₀P) ·a= Hσ₀P se k· σ₀·a= σ0.

Da π(k· σ₀·a)=k· π(σ0)=k·p₀=p₀segue chek∈H e λσ₀(k)=a⁻¹. Abbiamo

k· X^P_σ₀·a= d dt t= 0^k^{· exp(t · X) ·}^a= d dt t= 0^{exp(t · Ad}k(X)) · (k· σ₀·a) = [Adk(X)]^P_σ₀. Per ogni A ∈ g il campo fondamentale A^∗verifica la

k· A^∗_σ₀·a= d dt t= 0^[^k^{· σ}0· exp(t·A)] ·a= d dt t= 0^[σ0·a⁻¹· exp(t·A)] ·a] = [Ada−1(A)]^∗_σ₀. Per la seconda delle (9.22), se A= Λσ0(X), `e

Ad_a−1(A)= Adλσ0^(k))(Λσ0(X))= Λσ0(Adk(X)). Otteniamo perci`o

k· (X_σ^P₀ − [Λσ0(X)]^∗_σ₀) ·a= [Adk(X)]^P_σ₀ − [Λσ0(Adk(X))]^∗_σ₀ ∈ Hσ0P.

Quindi k· (Hσ₀P) ·a ⊆ Hσ₀P e, poich´e questi due spazi vettoriali hanno la stessa

dimensione, si ha l’uguaglianza. La dimostrazione `e completa.

Per la Prop.9.6.11, abbiamo:

Corollario 9.3.2. La connessione K-invariante definita da Λσ₀ `e piatta se e

9.5. OLONOMIA DI UNA CONNESSIONE INVARIANTE 161 9.4. Connessioni invarianti su spazi riduttivi

Ricordiamo che uno spazio K-omogeneo M `e riduttivo se l’algebra di Lie h del-lo stabilizzatore H di un puntop₀di M ammette un complemento Ad(H)-invariante min κ.

Teorema 9.4.1. Sia ξ = (P, π, M, G₀) un fibrato principale, la cui base M sia uno spazio omogeneo riduttivo del gruppo di Lie K. Siano H lo stabilizzatore di un puntop₀ di M ed m un complemento lineareAd(H)-invariante di h= Lie(H) in κ. Fissato un elemento σ₀della fibra P_p₀, vi `e allora una corrispondenza biunivoca tra l’insieme delle connessioni K-invarianti su ξ e quello delle applicazioni lineari

λ_m: m −→ g tali che

λ_m(Ad_h(X))= Adλσ0^(h)(λm(X)), ∀X ∈ m, ∀h∈ H.

Dimostrazione. Ci riduciamo al Teor.9.3.1 perché una Λ : κ → g che soddisfi (9.22) è completamente determinata dalla sua restrizione ad m. Osservazione 9.4.2. La forma di curvatura della connessione associata a λm è

Ωσ₀(X^P, YP)= [λm(X), λm(Y)] − λm([X, Y]m) − λσ₀_∗([X, Y]h), (9.8)

∀X, Y ∈ m.

Definizione 9.4.3. La connessione Γ corrispondente alla scelta λm = 0 si dice la connessione canonica su ξ associata allo spazio omogeneo riduttivo M = K/H. La forma di curvatura della connessione canonica `e

Ω(XP, YP)= −λσ0∗([X, Y]h), per X, Y ∈ m. 9.5. Olonomia di una connessione invariante

Fissiamo una connessione K-invariante su ξ, con forma di Cartan w e siaΛ l’applicazione lineare caratterizzata dalla (9.3). Definiamo per ricorrenza

(9.9)             

n₀ = h{[Λ(X), Λ(Y)] − Λ([X, Y]) | X, Y ∈ κ}i , n_p+1= np+ [Λ(κ), np], per p ≥ 0,

n= Sp≥0n_p.

Teorema 9.5.1. Se l’azione di K su M `e transitiva, allora n `e l’algebra di Lie dell’olonomiaΦ(σ0).

Dimostrazione. Se f ∈ G = Γξ(P, g) ed X ∈ κ, abbiamo (vedi il Lemma 9.6.18)

(9.10) X^Pf = ˜XM

f −[w(X^P), f ]. Vale poi

(9.11) [X^P, ˜Y] = ˜Z, con Z = [XM, Y], ∀X ∈ κ, ∀Y ∈ X(M).

Infatti [X^P, ˜Y] è un campo di vettori orizzontale, perché H (P) è K-invariante, ed i campi X^P ed ˜Y sono π-correlati ad X^M, Y, rispettivamente. Quindi [X^P, ˜Y] è il campo di vettori orizzontale π-correlato a Z= [XM, Y].

Consideriamo gli spaziKpdefiniti dalla (8.37). Dico che

(9.12) X^PKp⊆Kp, ∀X ∈ κ, ∀p ≥ 0.

Ragioniamo per ricorrenza su p. Poiché Ω è K-invariante, la sua derivata di Lie rispetto ad X^P, per X ∈ κ, è nulla e quindi, se Y1, Y₂ ∈ X(M), la (9.26) ci dà

X^PΩ( ˜Y1, ˜Y₂)= Ω( ˜Z1, ˜Y₂)+ Ω( ˜Y1, ˜Z₂), con Z1= [XM, Y₁], Z2= [XM, Y₂]. Quindi X^PK0⊆ K0. Supponiamo ora che, per un p ≥ 0, sia X^PKp⊆Kp. Allora, per ogni f ∈Kped Y ∈ X(M), posto Z= [XM, Y], abbiamo

X^P_{Y f}˜ = ˜Z f + ˜YXPf ∈Kp+1.

Ciò dimostra che X^PKp+1 ⊆ Kp+1 e perciò la (9.27) vale per ogni intero p ≥ 0. Poiché per ipotesi K opera transitivamente su M, i campi ˜X^M, al variare di X in κ, generano X(M) comeC∞

(M)-modulo. Utilizzando la (9.25), otteniamo allora (9.13) X^˜^MKp⊆Kp+ [w(XP),Kp], Kp+1^⊆Kp+ h[w(XP),Kp] | X ∈ κi. Con le mp(σ0) definite da (8.38), poich´e n0 = m0(σ0), da queste inclusioni ricavia-mo

(9.14) m_p(σ0)= np, _{∀p ∈ N.}

La tesi `e allora conseguenza della Proposizione 8.11.5.

Lemma 9.5.2. Siano {Ft} un gruppo a un parametro di automorfismi diΓ con generatore infinitesimale Z^P ∈ X(P) ed { ft} il corrispondente gruppo a un para-metro di diffeomorfismi della base M, con generatore infinitesimale ZM ∈ X(M). Allora

(9.15) Ft(σ)= ˜ft(σ) · exp(t·w(Z_σ^P)), ∀t ∈ R, ∀σ ∈P,

ove ˜f_t(σ) `e il sollevamento orizzontale di t → ft(π(σ)) di punto iniziale σ. In parti-colare,

Z_σ^P= ˜ZM

σ + [w(XP)]^∗_σ, ∀σ ∈P. Dimostrazione. `E Ft(σ)= ˜ft(σ)·a(t) per unaa(t) ∈C∞

(R, G), con a(0) = e. De-rivando questa uguaglianza, troviamo che

ZF_t(σ) = ^f^˜t(σ) dt

·a(t)+ Ft(σ) · ([a(t)]⁻¹·a˙(t)).

Poiché d ˜ft(σ)/dt è orizzontale, applicando la forma di Cartan ad ambo i membri di quest’uguaglianza, otteniamo w(ZF_t(σ))= [a(t)]⁻¹a˙(t). Poiché Ft∗Z = Z, ed F∗ tw= w, otteniamo w(ZF_t(σ))= w(Ft∗Zσ)= (F∗ tw)(Zσ)= w(Zσ),

9.6. CONNESSIONI PRINCIPALI INVARIANTI 163 9.6. Connessioni principali invarianti

9.6.1. Azioni differenziabili su fibrati principali. Sia ξ = (P, π, M, G) un fibrato principale differenziabile. Un automorfismo di ξ `e un diffeomorfismo F di

Pin s´e che sia G-equivariante, tale cio`e che

F(σ·a)= F(σ)·a, per ogni σ inPedain G. Sia K un gruppo di Lie con algebra di Lie κ.

Definizione 9.6.1. Un’azione (a sinistra) di K su ξ `e un’azione differenziabile K ×P3 (k, σ) −→k· σ ∈P

G-equivariante. Essa definisce un’azione

K × M 3 (k,p) −→k·p∈ M sulla base M e valgono le

π(k· σ)=k· π(σ), (k· σ) ·a=k· (σ ·a) Bk· σ ·a, ∀σ ∈P, ∀k∈ K, ∀a∈ G. Un gruppo a un parametro {Ft} di automorfismi di ξ definisce un gruppo a un parametro { ft} di diffeomorfismi di M. Il suo generatore infinitesimale Z ∈ X(P) `e G-invariante e π-correlato al generatore infinitesimale X di { ft}.

Se K agisce su ξ, per ogni X ∈ κ la moltiplicazione a sinistra per exp(t·X) definisce gruppi a un parametro di diffeomorfismi di P e di M, con generatori infinitesimali X^P∈ X(P) ed XM ∈ X(M) che sono tra loro π-correlati.

Definizione 9.6.2. Chiamiamo X^Ped X^Mi campi associati all’elemento X di κ. Lemma 9.6.3. Le corrispondenze X → X^Ped X → X^M tra κ ed X(P), X(M) sono antiomomorfismi di algebre di Lie.

Fissato un puntop₀di M, sia

H= {k∈ K |k·p₀=p₀}

il suo stabilizzatore in K. Gli elementi di H operano sulla fibraP_p₀ ed otteniamo quindi

Lemma 9.6.4. Per ogni elemento σ della fibraP_p₀, l’applicazione

(9.16) λ_σ : H 3k−→ σ⁻¹·k· σ ∈ G

9.6.2. Azioni differenziabili che lasciano invariante una connessione prin-cipale. Fissiamo su ξ una connessione principaleΓ con forma di Cartan w.

Definizione 9.6.5. Chiamiamo automorfismo di Γ un diffeomorfismo G-equi-variante F diPin s´e che lasci invarianteΓ, che soddisfi cio`e

(9.17) F^∗w= w.

Gli automorfismi diΓ formano un gruppo, che indicheremo con Aut(Γ). Supponiamo che un gruppo di Lie K agisca su ξ.

Definizione 9.6.6. Una connessione Γ su ξ si dice K-invariante se K agisce su ξmediante automorfismi diΓ.

Notazione 9.6.7. Indichiamo con Λ l’applicazione (9.18) Λ :P× κ → g, definita da Λσ(X)= w(XP

σ), ∀X ∈ κ.

Proposizione 9.6.8. Se la connessione Γ `e K-invariante, allora, per ogni σ in

P, l’applicazione Λσ: κ → g definita dalla (9.18) soddisfa: Λσ(X)= λσ∗(X), ∀X ∈ κ₀, (1) Λσ(Adk0(X))= Ad[λσ(k0)](Λσ(X)), ∀k₀∈ H, ∀X ∈ κ. (2) Dimostrazione. Se X ∈ h, allora X_σ^P=d dt t=0^{[exp(t·X)·σ]}=d dt t=0^σ·λ^σ^(exp(t·X))=d dt t=0^σ·^{exp(t · λ}^σ∗^(X)). Quindi X_σ^P= [λσ∗(X)]^?_σ, e da questa segue la (1).

Fissati X ∈ κ,k₀∈ H e posto Y= Adk0(X), abbiamo

exp(t·Y)·σ=k₀· exp(t·X)·k⁻¹₀ ·σ=k₀· exp(t·X)·σ·λσ(k⁻¹₀ )=k₀·R_λ_σ_(k−1

0 )(exp(t·X)σ), da cui otteniamo che YP

σ =k_0∗dR_λ_σ_(k−1 0 )(XP

σ). Per ipotesi w `e K-invariante. Perci`o, applicando w al primo ed ultimo termine di questa uguaglianza, otteniamo

Λσ(Y)= w(YP

σ)= w(k_0∗dR_λ_σ_(k−1

0 )(X_σ^P))= w(dR_λ_σ_(k−1

0 )(X^P_σ))= Ad[λσ(k0)](w(X^P_σ)) = Ad(λσ(k₀))(Λσ(X)),

cio`e la (2). La dimostrazione `e completa.

Osservazione 9.6.9. Per il Lemma 9.6.18, abbiamo la decomposizione X^P_σ = ˜XM

σ + [w(XP

σ)]^?_σ, ∀X ∈ κ.

In particolare, poich´e i campi X^Ped ˜X^Msono G-invarianti, anche [w(X_σ^P)]^?_σ lo `e.

Osservazione 9.6.10. L’estensione Λσdi λσ∗non `e, in generale, un omomorfi-smo di algebre di Lie, come ci mostreranno la Proposizione 9.6.11 ed il successivo Corollario 9.6.13.

9.6. CONNESSIONI PRINCIPALI INVARIANTI 165 Proposizione 9.6.11. La forma di curvatura Ω di una connessione K-invariante su ξ soddisfa

(9.19) Ωσ(X^P, YP)= [Λσ(X),Λσ(Y)] −Λσ([X, Y]), ∀X, Y ∈ κ, e quindi, se π(σ)=p, abbiamo

R_p(X^M, YM)= σ · [Λσ(X),Λσ(Y)] −Λσ([X, Y]) ∀X, Y ∈ κ. (9.20)

Dimostrazione. Siano X, Y ∈ κ. Per le equazioni di struttura otteniamo Ωσ(X^P, YP)= XP

σw(Y^P) − Y_σ^Pw(X^P) − wσ([X^P, YP])+ [w(XP), w(Y^P)]σ. Le derivata di Lie di w rispetto ad X^P, Y^P sono nulle, perch´e w `e K-invariante. Quindi

X_σ^Pw(Y^P)= wσ([X^P, YP]), Y_σ^Pw(X^P)= wσ([Y^P, XP]). Inoltre, poich´e [X^P, YP]= −[X, Y]P,

w_σ([X^P, YP])= −wσ([X, Y]^P)= −Λσ([X, Y]).

Da queste osservazioni otteniamo la tesi.

9.6.3. Connessioni invarianti su uno spazio omogeneo. Se K opera transi-tivamente sulla base M, allora i vettori X_p^M, al variare di X in κ, generano T_pM in ogni punto pdi M e quindi TσP= VσP+ {XP

σ | X ∈κ} per ogni σ ∈ P. Fissato un elemento σ ∈Ped un’applicazioneΛσ: κ → g, vi `e allora al pi`u una connessio-ne principale K-invariante Γ su ξ per cui sia Λσ(X^P) = w(XP

σ) per ogni X in κ. Il teorema seguente (vedi [52]) caratterizza le connessioni invarianti sugli spazi omogenei.

Teorema 9.6.12 (Wang). Siano M uno spazio omogeneo del gruppo di Lie K, ξ= (P, π, M, G₀) un fibrato principale su M, H lo stabilizzatore di un puntop₀di M e σ₀un elemento sulla fibraP_p₀. Allora la

(9.21) Λσ₀(X)= w(XP

σ0), ∀X ∈ κ,

con w forma di Cartan diΓ, stabilisce una corrispondenza biunivoca tra le con-nessioni principali K-invarianti Γ su ξ e le applicazioni lineari Λσ0: κ → g tali che (9.22)        Λσ₀(X)= λσ₀_∗(X), ∀X ∈ h= Lie(H), Λσ0(adk0(X))= adλσ0^(k0)(Λσ0(X)), ∀k₀∈ H, ∀X ∈ κ.

Dimostrazione. Per la Prop.9.6.8, data Γ, una Λσ₀ definita da (9.21) soddisfa le (9.22). Baster`a quindi dimostrare che ad unaΛσ₀ che soddisfi le (9.22) possiamo far corrispondere una connessione principale K-invarianteΓ la cui forma di Cartan soddisfi (9.21). A questo scopo, per definire la distribuzione orizzontale, poniamo

Hσ₀P= {XP

σ0 −Λσ₀(X)^?_σ₀ | X ∈ κ}.

Postoa=a₁·a⁻¹₂ ek=k⁻¹₂ k₁, ci`o `e equivalente a dimostrare che

k· (Hσ0P) ·a= Hσ0P se k· σ₀·a= σ0.

Da π(k· σ₀·a)=k· π(σ0)=k·p₀=p₀segue chek∈H e λσ₀(k)=a⁻¹. Abbiamo

k· X^P_σ₀·a= d dt t= 0^k^{· exp(t · X) ·}^a= d dt t= 0^{exp(t · Ad}^k^{(X)) · (}^k^{· σ}⁰^·^a⁾ = [Adk(X)]^P_σ₀. Per ogni A ∈ g, abbiamo, per il campo fondamentale A^∗,

k· A^∗_σ₀·a= d dt t= 0^[^k^{· σ}0· exp(t·A)] ·a= d dt t= 0^[σ0·a⁻¹· exp(t·A)] ·a] = [Ada−1(A)]^∗_σ₀. Per la seconda delle (9.22), se A= Λσ₀(X), `e

Ad_a−1(A)= Adλσ0^(k))(Λσ₀(X))= Λσ₀(Adk(X)). Otteniamo perci`o

k· (X_σ^P₀ − [Λσ₀(X)]^∗_σ₀) ·a= [Adk(X)]^P_σ₀ − [Λσ₀(Adk(X))]^∗_σ₀ ∈ Hσ₀P.

Quindi k· (Hσ₀P) ·a ⊆ Hσ₀P e, poich´e questi due spazi vettoriali hanno la stessa

dimensione, si ha l’uguaglianza. La dimostrazione `e completa.

Per la Prop.9.6.11, abbiamo:

Corollario 9.6.13. La connessione K-invariante definita da Λσ₀ `e piatta se e

soltanto seΛσ0 : κ → g `e un omomorfismo di algebre di Lie.

Ricaviamo ancora

Teorema 9.6.14. Siano M uno spazio omogeneo del gruppo di Lie K, ξ = (P, π, M, G₀) un fibrato principale su M, H lo stabilizzatore di un puntop₀di M e σ₀un elemento sulla fibraP_p

0. Supponiamo inoltre che l’azione transitiva di K su M sia riduttiva, e sia m un sottospazio vettoriale di κ con

       κ= h ⊕ m, Adk(m)= m, ∀k∈ H.

Vi `e allora una corrispondenza biunivoca tra l’insieme delle connessioni K-invarianti su ξ e quello delle applicazioni lineari

λ_m: m −→ g tali che

λ_m(Adk(X))= Adλσ0^(k)(λm(X)), ∀X ∈ m, ∀k∈ H.

Dimostrazione. Ci riduciamo infatti al Teor.9.6.12 perch´e una Λ : κ → g che soddisfi (9.22) `e completamente determinata dalla sua restrizione ad m.

Osservazione 9.6.15. La curvatura della connessione Γ associata a λm `e Ωσ₀(X^P, YP)= [λm(X), λm(Y)] − λm([X, Y]m) − λσ₀_∗([X, Y]h), (9.23)

9.6. CONNESSIONI PRINCIPALI INVARIANTI 167 Definizione 9.6.16. La connessione Γ corrispondente alla scelta λm = 0 si dice la connessione canonica su ξ associata allo spazio omogeneo riduttivo M = K/H. La forma di curvatura della connessione canonica `e

Ω(XP, YP)= −λσ₀_∗([X, Y]h), per X, Y ∈ m.

Fissiamo una connessione K-invariante su ξ, con forma di Cartan w e siaΛ l’applicazione lineare caratterizzata dalla (9.21). Definiamo per ricorrenza

(9.24)             

n₀ = h{[Λ(X), Λ(Y)] − Λ([X, Y]) | X, Y ∈ κ}i , n_p+1= np+ [Λ(κ), np], per p ≥ 0,

n= Sp≥0n_p.

Teorema 9.6.17. Se l’azione di K su M `e transitiva, allora n `e l’algebra di Lie dell’olonomiaΦ(σ0).

Dimostrazione. Se f ∈ G = Γξ(P, g) ed X ∈ κ, abbiamo (vedi il Lemma 9.6.18)

(9.25) X^Pf = ˜XM

f −[w(X^P), f ]. Vale poi

(9.26) [X^P, ˜Y] = ˜Z, con Z = [XM, Y], ∀X ∈ κ, ∀Y ∈ X(M).

Consideriamo gli spaziKpdefiniti dalla (8.37). Dico che

(9.27) X^PKp⊆Kp, ∀X ∈ κ, ∀p ≥ 0.

Ragioniamo per ricorrenza su p. Poiché Ω è K-invariante, la sua derivata di Lie rispetto ad X^P, per X ∈ κ, è nulla e quindi, se Y₁, Y₂ ∈ X(M), la (9.26) ci dà

X^PΩ( ˜Y1, ˜Y₂)= Ω( ˜Z1, ˜Y₂)+ Ω( ˜Y1, ˜Z₂), con Z₁= [XM, Y₁], Z₂= [XM, Y₂]. Quindi X^PK0⊆ K0. Supponiamo ora che, per un p ≥ 0, sia X^PKp⊆Kp. Allora, per ogni f ∈Kped Y ∈ X(M), posto Z= [XM, Y], abbiamo

X^P_{Y f}˜ = ˜Z f + ˜YXPf ∈Kp+1.

Ciò dimostra che X^PKp+1 ⊆ Kp+1 e perciò la (9.27) vale per ogni intero p ≥ 0. Poiché per ipotesi K opera transitivamente su M, i campi ˜X^M, al variare di X in κ, generano X(M) comeC∞(M)-modulo. Utilizzando la (9.25), otteniamo allora (9.28) X^˜^MKp⊆Kp+ [w(XP),Kp], Kp+1^⊆Kp+ h[w(XP),Kp] | X ∈ κi. Con le mp(σ₀) definite da (8.38), poiché n₀ = m0(σ₀), da queste inclusioni ricavia-mo

(9.29) m_p(σ₀)= np, _{∀p ∈ N.}

Lemma 9.6.18. Siano {Ft} un gruppo a un parametro di automorfismi diΓ con generatore infinitesimale Z^P ∈ X(P) ed { ft} il corrispondente gruppo a un para-metro di diffeomorfismi della base M, con generatore infinitesimale ZM ∈ X(M). Allora

(9.30) Ft(σ)= ˜ft(σ) · exp(t·w(Z_σ^P)), ∀t ∈ R, ∀σ ∈P,

ove ˜ft(σ) `e il sollevamento orizzontale di t → ft(π(σ)) di punto iniziale σ. In parti-colare,

Z_σ^P= ˜ZM

σ + [w(XP)]^∗_σ, ∀σ ∈P. Dimostrazione. `E Ft(σ)= ˜ft(σ)·a(t) per unaa(t) ∈C∞

(R, G), con a(0) = e. De-rivando questa uguaglianza, troviamo che

Z_F_t_(σ) = ^f^˜t(σ) dt

·a(t)+ Ft(σ) · ([a(t)]⁻¹·a˙(t)).

Poiché d ˜f_t(σ)/dt è orizzontale, applicando la forma di Cartan ad ambo i membri di quest’uguaglianza, otteniamo w(ZFt(σ))= [a(t)]⁻¹a˙(t). Poiché Ft∗Z = Z, ed F∗ tw= w, otteniamo w(ZF_t(σ))= w(Ft∗Zσ)= (F∗ tw)(Zσ)= w(Zσ),

CAPITOLO X

Nel documento Lezioni sui Fibrati (a.a. 2018/19) Mauro Nacinovich (pagine 157-169)