Conservazione ed inversione del rango

Data l'ipotesi di alternative completamente indipendenti l'una dall'altra, in un processo decisionale è necessario analizzare il problema dell‘inversione di rango a seguito dell‘aggiunta o dell‘eliminazione di criteri o alternative. I fattori strutturali ovverosia i numeri che scaturiscono dalla misura delle alternative influenzano sempre l'importanza dei criteri. Quando le priorità dei criteri sono determinate in termini di criteri di più alto livello o di obiettivo della valutazione, l‘importanza funzionale dei criteri è legata ai fattori strutturali delle alternative ovverosia dalla misura delle alternative. Se le alternative sono misurate su una scala diversa per ogni criterio, la normalizzazione rappresenta lo strumento per aggiornare l'importanza dei criteri in termini di fattori strutturali delle alternative. Poiché le priorità delle alternative sono ponderate con le priorità dei criteri che dipendono dalle alternative, la classifica generale dipenderà dalla misura e dal numero di tutte le alternative. Per preservare sempre il rango, le priorità dei criteri non dovrebbero dipendere dalla misura e dal numero delle alternative ma solo dall‘importanza funzionale dei criteri rispetto al livello obiettivo.

Un modo per preservare il rango è rappresentato dalla valutazione one at time delle alternative; in AHP tale valutazione avviene tramite confronti assoluti delle alternative rispetto ad un set completo di intensità comprese nell‘intervallo .

Un‘ulteriore tecnica di preservazione del rango nelle misurazioni relative è rappresentata dall‘utilizzo di un‘alternativa ideale al di sotto di ogni criterio anche se simulazioni hanno dimostrato differenze poco significative tra le due modalità di sintesi distributiva e ideale. In modalità distributiva l‘AHP opera il ranking delle alternative tramite normalizzazione: al di sotto di ogni criterio il rating della singola alternativa è diviso per la somma dei rating di tutte le alternative; l‘aggiunta o l‘eliminazione di un‘alternativa possono determinare una modifica del ranking. In modalità ideale l‘AHP opera il ranking delle alternative tramite benchmarking: al di sotto di ogni criterio il rating della singola alternativa è diviso per il rating della migliore alternativa; il rating della singola alternativa è pertanto indipendente dal rating delle altre alternative eccetto la migliore (31).

La modalità distributiva dovrebbe essere utilizzata quando il decisore è interessato a valutare quanto un‘alternativa domina le altre al di sotto di ogni criterio. La modalità ideale dovrebbe essere utilizzata quando il decision maker è interessato a valutare quanto un‘alternativa si avvicina all‘alternativa migliore o benchmark, al di sotto di ogni criterio (32).

2.5.6.1 Aggregare giudizi individuali

La funzione di sintesi degli giudizi forniti da esperti soddisfa le seguenti condizioni:

 condizione di separabilità (S): per tutte le le influenze dei giudizi individuali possono essere separate come sopra evidenziato;

 condizione di unanimità (U): per tutte le se tutti gli esperti forniscono il medesimo giudizio allora tale giudizio costituirà anche giudizio di sintesi;

 condizione di omogeneità (H): in giudizi di rapporto, se tutti gli

esperti giudicano un rapporto volte più grande di un altro, tale deve essere anche il giudizio di sintesi;

 condizione di potenza ( ): in giudizi di rapporto, se tutti gli esperti giudicano un rapporto come potenza di un altro, tale deve essere anche il giudizio di sintesi;

 condizione di reciprocità (R): in giudizi di rapporto, se tutti gli esperti giudicano un rapporto inverso rispetto ad un altro, tale deve essere anche il giudizio di sintesi.

In generale funzioni di sintesi separabili soddisfacenti la condizione di unanimità ed omogeneità sono la media geometrica e la radice di media di potenze. Se la condizione di reciprocità è verificata per una di giudizi individuali differenti, allora solo la media geometrica soddisfa tutte le condizioni di cui sopra.

Poiché in un consesso decisionale potrebbe rivelarsi utile differenziare il peso dei giudizi degli esperti, la condizione di separabilità può essere trasformata in condizione di separabilità pesata (WS) Le diverse influenze si riflettono quindi nelle diverse funzioni

Godono delle condizioni di separabilità pesata, unanimità ed omogeneità le funzioni:

 media geometrica pesata: _{…, .}

 radice di media di potenze pesata:

Se _{rappresentano ranking di alternative,}

allora: ,…, rappresenta il rango combinato degli esperti relativo alle alternative. La potenza o priorità del giudizio è quindi vista come una replica del giudizio medesimo ovverosia il prodotto del giudizio o per se stesso operato volte (33).

Dato un gruppo di esperti, un insieme di alternative e scale ordinali individuali di preferenza per le alternative, è impossibile costruire una funzione di scelta in grado di aggregare le preferenze individuali e tale da soddisfare le seguenti quattro condizioni:

 risolutezza: la procedura di aggregazione deve generalmente produrre un ordine di gruppo;

 unanimità: se tutti gli esperti preferiscono l'alternativa all‘alternativa , la procedura di aggregazione deve produrre un ordine di gruppo tale da preferire a ;

 indipendenza delle alternative irrilevanti: dati due insiemi di alternative che includono entrambi le alternative e , se tutti gli esperti preferiscono a in entrambi gli insiemi, la procedura di aggregazione produrrà un ordine di gruppo dove sarà preferito a in ognuno dei due insiemi di alternative.

 nessun dittatore: singoli esperti non possono stabilire l'ordine di gruppo. Utilizzando l'approccio AHP ovverosia un approccio guidato da scale di rapporto, si può dimostrare che avendo a che fare con preferenze individuali cardinali anziché ordinali, è possibile operare una scelta razionale associata che soddisfa le quattro condizioni sopra esposte poiché:

 le scale di priorità individuali possono sempre essere derivate da una serie di coppie di giudizi di preferenza cardinali se questi consentono almeno un minimum spanning tree nel grafo completamente connesso degli elementi messi a confronto;

 i giudizi di preferenza cardinali associati con un gruppo di scelta appartengono ad una scala di rapporto che rappresenta l'intensità relativa delle preferenze di gruppo.