2.5 Fondamenti di AHP
2.5.2 Origine psico-fisica della scala fondamentale
è utilizzata per assegnare, tramite giudizi scaturenti da confronti a coppie, il numero di dominanza in scala assoluta che meglio approssima la dominanza dell‘elemento sull‘elemento con riferimento ad un attributo comune di livello gerarchico superiore. Nei giudizi di dominanza l'elemento più piccolo è considerato
unità di riferimento per l‘espressione della dominanza di tutti gli altri elementi; in
siffatti giudizi il termine dominanza è sinonimo di importanza ma può anche inteso come probabilità di successo.
Il confronto a coppie si opera tra elementi appartenenti ad un insieme omogeneo, ovverosia la dominanza dell‘elemento più importante rispetto all‘elemento unità non deve essere superiore al valore massimo della scala fondamentale; se ve ne fosse necessità si potrebbero realizzare gruppi omogenei da trattare utilizzando la stessa scala fondamentale integrata con valori decimali tra i livelli base.
La scala fondamentale utilizzata per esprimere giudizi nei confronti a coppie è derivata matematicamente dalla nota funzione logaritmica di risposta psico-fisica agli stimoli elaborata da Weber17 e Fechner18 (28). Nel 1846 Weber dimostrò che se un uomo tiene in mano oggetti con pesi differenti è in grado di distinguere tra un peso di 20 grammi e un peso di 21 grammi ma non tra un peso di 20 grammi e un peso di 20,5 grammi; può distinguere tra 40 grammi e 42 grammi ma non tra 40 grammi e 41 grammi e così via. Si ha quindi la necessità di aumentare uno stimolo di un valore minimo per raggiungere un livello per il quale i nostri sensi possono discriminare tra e si definisce just noticeable difference e si indica con l‘acronimo JND. Il rapporto non dipende da La legge di Weber afferma che il cambiamento nella sensazione è notato quando lo stimolo è aumentato di un frazione costante dello stimolo stesso. La legge di Weber è verificata per valori di modesti con riferimento ad ed in pratica non può essere verificata per livelli bassi o alti di . L‘aggregazione o la decomposizione di stimoli in gruppi o livelli gerarchici rappresenta un modo efficace per estendere gli usi della legge di Weber.
Nel 1860 Fechner deriva una sequenza crescente di just noticeable stimoli a partire dallo stimolo :
Equazione 2-15 Equazione 2-16
17 Ernst Heinrich Weber (Wittenberg, 24 giugno 1795 – Lipsia, 26 gennaio 1878) è stato un fisiologo e anatomista tedesco, universalmente conosciuto come il fondatore della psicologia sperimentale. 18 Gustav Theodor Fechner (Dr. Mises) (Groß Särchen, 19 aprile 1801 – Lipsia, 18 novembre 1887) è
Equazione 2-17
Stimoli con JND si susseguono quindi in progressione geometrica. Fechner notò che le sensazioni o risposte corrispondenti a stimoli in progressione geometrica si susseguono invece aritmeticamente nei punti discreti nei quali si verificano le differenze notevoli e si ottengono risolvendo la Equazione 2-18:
Equazione 2-18
Le sensazioni sono quindi funzioni lineari del logaritmo degli stimoli, quindi, denotando con le sensazioni e con gli stimoli, è possibile definire come segue la legge psico-fisica di Weber-Fechner:
Equazione 2-19
Partendo dal presupposto per il quale uno stimolo deriva dal confronto a coppie di attività relativamente comparabili, ciò che interessa è una risposta numerica i cui valori sono espressi in forma di rapporti ovverosia tale che l‘Equazione 2-19 presenti quindi dovrebbe aversi ovverosia stimolo unità, e così via. In siffatto contesto la risposta agli stimoli sarà del tipo:
Equazione 2-20 Ovverosia: Equazione 2-21 Equazione 2-22
Equazione 2-23
Si può notare che lo stimolo derivante dal confronto a coppie aumenta geometricamente, la risposta allo stimolo aumenta aritmeticamente. Si noti che evidenzia l‘assenza di risposta. Dividendo ogni risposta per si ottiene la sequenza di numeri assoluti che costituisce la scala fondamentale di Saaty. Per definire il valore massimo della scala si assume che, qualitativamente, l‘uomo ha la capacità di classificare la risposta agli stimoli in tre livelli: alto, medio e basso; inoltre ha la capacità di affinare questa classificazione identificando altri tre livelli nell‘ambito di ciascun livello già individuato ottenendo quindi i nove livelli della scala fondamentale.
2.5.3 Consistenza della matrice di confronto a coppie e
sensitività dell’autovettore principale
La sensitività dell‘autovettore principale ai giudizi espressi mediante i confronti a coppie limita il numero di elementi oggetto di confronto e ne richiede l‘omogeneità. L‘approssimazione al primo ordine della perturbazione relativa all‘autovettore principale e dovuta alla perturbazione relativa alla matrice consistente è data dalla:
Equazione 2-24
L‘autovettore principale non è sensibile alle perturbazioni relative alla matrice consistente quando l‘autovalore principale è separato dagli altri autovalori qui considerati distinti ed i prodotti di autovettori dx e sx sono non elevati in valore. Gli autovettori non principali non devono essere positivi in tutte le loro componenti e possono essere complessi. Si può dimostrare che i prodotti sono dello stesso ordine e che prodotto degli autovettori principali dx e sx normalizzati, è uguale ad Se è non elevato e gli elementi comparati sono
omogenei, nessuna delle componenti di e sarà non elevata in valore; pertanto il loro prodotto sarà elevato quindi l‘autovettore principale non risulterà sensibile alle perturbazioni relative alla matrice consistente .
Al fine di stabilire il valore ottimale di è necessario mettere in relazione tra loro i concetti di consistenza di giudizio e di autovalore massimo della matrice dei confronti a coppie.
Sia una matrice reciproca e positiva di dimensioni tale che
=1
, Sia l‘autovettore dx
associato all‘autovalore massimo della matrice Sia una matrice diagonale di dimensioni avente sulla diagonale principale il vettore Sia
Allora la matrice è simile ad e sarà reciproca e
positiva finché
. Inoltre tutte le somme di riga su
equivalgono all‘autovalore massimo della matrice
Equazione 2-25 Dalla relazione: Equazione 2-26
Si ha che:
Equazione 2-27
Inoltre, finché per tutte le si ha uguaglianza se e solo se si ha che se e solo se ovverosia
A seguire si dimostra che una matrice reciproca e positiva è consistente se e solo se L‘indice di consistenza è una misura la deviazione di dalla condizione di consistenza:
Equazione 2-28
e se e solo se è consistente. Quindi se
ovverosia Tali condizioni motivano la presenza del termine a numeratore della formula per il calcolo dell‘indice di consistenza, a seguire le ragioni per le quali è presente il termine a denominatore della stessa. Poiché rappresenta la somma di tutti gli autovalori della matrice se indichiamo con
tutti gli autovalori di diversi da si può notare che
ovverosia quindi rappresenta la media
degli autovalori di diversi da .