Considerazioni sugli effetti del secondo ordine

Nella procedura delineata al §3.3 non sono tuttavia stati messi in conto gli effetti del secondo ordine, spesso citati in letteratura anche come “effetto P − δ ”; si tratta tuttavia di una problematica di estrema importanza giocando spesso un ruolo decisivo per il verificarsi del collasso di una struttura, pur non essendo nella progettazione tradizionale(18)non considerata in modo esplicito.

Il problema è in realtà complesso in quanto coinvolge un reciproca interazione fra carichi verticali e carichi sismici orizzontali (da essi dipendenti); seguendo l’approccio semplificato proposto da Priestley et al. [78], consideriamo il sistema a un grado di libertà della figura 3.12, soggetto ad una forza verticale P e ad una forza orizzontale F. Il sistema, per effetto della forza F, si sposta orizzontalmente dello spostamento δ ; tuttavia in un analisi del primo ordine (ossia valutando l’equilibrio nella posizione indeformata) il momento alla base è dovuto esclusivamente alla forza F e vale:

MI= F · H

essendo H la distanza della forza F dalla base dell’oscillatore.

(17)_{Nel caso di un edificio in acciaio i solai potrebbero ad esempio essere realizzati da una lamiera grecata e sovrastante} soletta collaborante in c.a.

3. L’idea progettuale

Figura 3.12.: Genesi dell’effetto P − δ (da [78]).

In realtà, com’è noto, tale valutazione è lecita esclusivamente se lo spostamento orizzontale δ è sufficientemente piccolo, in quanto a spostamento avvenuto anche la forza verticale P contribuirà al momento alla base; tale contributo, pari a

MII= P · δ

può essere dunque evidenziato solo qualora le equazioni di equilibrio vengano scritte riferendosi alla configurazione deformata (o, come anche si dice, svolgendo un’analisi del secondo ordine).

Il momento complessivo M alla base dell’oscillatore sarà pertanto dato dalla somma delle due aliquote MIe MII, cioè:

M= MI+ MII= F · H + P · δ (3.15)

Se dunque la sezione di base dell’oscillatore fosse dotata di un momento resistente Mres, qualora

fosse P = 0 (ovvero in un’analisi del primo ordine) la forza massima F sollecitante ammessa sarebbe data da:

FI=Mres H

mentre la presenza di P 6= 0 comporta che la forza massima ammissibile per l’oscillatore sia invece FII= Mres− P δ H = F I₋P Hδ < F I . (3.16)

In conclusione, la presenza del carico verticale P diminuisce l’effettiva capacità dell’oscillatore di sopportare il carico orizzontale F; tale diminuzione di capacità resistente può essere quantificata in

Figura 3.13.: Influenza degli effetti del secondo ordine sulla curva di capacità del sistema resistente alle azioni verticali.

modo semplificato secondo la (3.16) in funzione dello spostamento orizzontale δ come

∆F = −P

Hδ . (3.17)

Volendo dunque considerare gli effetti del secondo ordine (cosa senz’altro opportuna) all’interno della procedura descritta al §3.3 anche per la tipologia strutturale della figura 3.1, occorrerà “penalizzare” la curva di capacità del sistema resistente alle azioni verticali determinata al §3.3.1 abbassandone tutte le ordinate della quantità ∆F data dalla (3.17). In questo caso P rappresenta il peso dell’intero edificio ed H l’altezza del piano terra.

Nella figura 3.13 è riportato in forma qualitativa come può modificarsi la curva di capacità del sistema resistente alle azioni verticali per effetto P − δ : si nota che se la curva di partenza presentava un tratto perfettamente plastico, considerando gli effetti P − δ essa presenta inclinazione (cioè rigidezza tangente) negativa. Questo rende evidente che l’esclusiva presenza di sistemi perfettamente plastici o poco incrudenti non consente sufficienti garanzie di non-collasso quando gli spostamenti divengono significativi.

Consideriamo infatti, a maggiore chiarimento di quanto detto, il sistema della figura 3.14a avente un comportamento post-elastico debolmente incrudente(19): in assenza di effetti del secondo ordine, il puntoAsarebbe il punto di funzionamento del sistema qualora soggetto allo spettro di progetto 1, mentre per lo spettro di progetto 2 non si verificherebbe il collasso in quanto il punto U rappresentativo delle condizioni ultime è posto oltre lo spettro. Ben diversa è la

3. L’idea progettuale

situazione considerando gli effetti del secondo ordine, potendosi notare in particolare le seguenti problematiche:

– il sistema presenta una rigidezza tangente negativa nel ramo post-elastico;

– il punto di funzionamento del sistema per lo spettro 1 si sposta daAinA’, con aumento notevole della richiesta di spostamento necessaria;

– si verifica il collasso del sistema per lo spettro 2, in quanto il puntoU’non supera lo spettro. Migliore è quindi la situazione presentata nella figura 3.14b, in cui il sistema questa volta risulta avere un incrudimento in grado di contrastare pienamente gli effetti del secondo ordine: passando dal punto di funzionamentoAadA’(spettro 1) si nota in questo caso una richiesta molto minore di spostamento rispetto al caso precedente, mentre per lo spettro 2 la struttura ora non subisce il collasso.

Una terza interessante possibilità è quella presentata nella figura 3.14c, in cui il sistema presenta un comportamento trilineare, dopo un ramo moderatamente incrudente, un terzo ramo fortemente incrudente: si nota in questo caso, oltre ai vantaggi elencati per la figura 3.14b, un ulteriore presidio contro il collasso dovuto alla notevole inclinazione del terzo ramo, efficace anche per spostamento ultimo δuminore rispetto ai casi precedenti.

In ogni caso si sottolinea la necessità di impiegare elementi dissipativi di controvento a comporta- mento significativamente incrudente come componenti del sistema resistente alle azioni orizzontali, intendendo con ciò che essi nel complesso siano in grado di fornire una rigidezza post-elastica superiore al valore critico P/H dato dalla (3.17); saranno inoltre da preferirsi elementi che mostrano un comportamento di tipo trilineare simile come quello della figura 3.14c. A riguardo, nei capitoli 5 e 6 saranno presentati due possibili elementi dissipativi isteretici (rispettivamente Crescent-Shaped Bracese Yielding Brace System) che possono vantaggiosamente essere utilizzati come componenti del sistema resistente alle azioni orizzontali all’interno di una tipologia strutturale con isolamento sismico “di piano” dal momento che il loro comportamento risulta di tipo incrudente trilineare nel senso anzidetto. In proposito si cita quanto espresso dai ricercatori che hanno ideato lo Yielding Brace System(YBS) a proposito dell’importante ruolo che rigidezza finale incrudente può venire ad assumere:

“It is believed that this post-yield stiffening will improve the seismic response of buildings using the YBS. At large drifts, yielding structural systems can collect inelastic demands in only a few storeys, leading to what is often referred to as a soft storey response. Systems that behave in this way are not utilizing the energy dissipation capacity of all of the other storeys and can result in the premature failure or collapse of the floor where the deformations are concentrated. It is believed that the post-yield stiffness of the YBS will halt the formation of a soft storey and encourage the spread of plasticity to adjacent stories.”(da Gray et al. [41]).

(a)comportamento debolmente incrudente

(b)comportamento fortemente incrudente

(c)comportamento trilineare