Costruzione del modello di deposizione della carica

In questo paragrafo si spiega come nel modello ANSYS è stata eseguita la procedura di deposizione della densità di carica associata al fascio di particelle. Nel capitolo si presenterà prima un analisi teorica che considera il fascio di particelle come un tubo di flusso e che consente di avere un idea di come dovrebbe distribuirsi la carica lungo il fascio di particelle. Poi nella seconda parte del paragrafo si presenta la soluzione adottata nel modello e le motivazioni per cui è stata scelta.

6.5.1 Prime considerazioni del fascio di particelle come tubo di flusso

Partendo dalle ipotesi che il fascio di particelle sia un tubo di flusso, ipotizzando che non vi siano perdite di particelle considerevoli lungo la geometria, condizione per cui la corrente è costante (principio di conservazione della carica) e ipotizzando che la densit di corrente estratta sia costante nella sezione della sorgente. Possiamo giungere ad una equazione che fornisce un stima della distribuzione di densità di carica lungo il volume dell’acceleratore. Possiamo esprimere la corrente elettrica che circola in un tubo di flusso come in formula (6.1):

=^_{ (6.1)} dove con Q si è indicata la carica e con t il tempo. Se moltiplicando e dividiamo questa espressione per la distanza longitudinale infinitesima dl, distanza lungo l’asse z del tubo di flusso, si ottiene:

=^_^_{ =}^_{  (6.2)}^ che la corrente può essere vista come il prodotto di una densità di carica lineare (associata ai portatori di carica) e la velocità di questi portatori di carica. Possiamo descrivere la densità di carica con l’espressione 6.3.

Ä =_{Ã (6.3)} Sapendo che la corrente per ipotesi è costante lungo il tubo di flusso, allora possiamo eguagliare le correnti nelle espressioni ottendo l’equazione 6.4



 ‡ =à (6.4)^Ä dove v è la velocità dei portatori di carica, j la densità di carica sulla sezione generica del tubo di flusso di area S. Ricordiamo che dell’acceleratore è nota la densità di corrente estratta è j=293A/m2 e la sezione di lancio delle particelle di raggio di 7 mm. Quindi possiamo calcolare la corrente associata al tubo di flusso qui indicata come corrente iniziale.

 = Ġà (6.5) Che per il principio di conservazione della carica è uguale a:

 = = ÄÅÃÅ (6.6) Dove con g sono state indicate densità di corrente e area della sezione generica posta lungo il tubo di flusso. Mettendo a sistema le espressioni 6.4 e 6.6

Æ ^_{ ‡ =Ã}^Ä  = = ÄÅÃÅ

105 Si ottiene dopo alcuni passaggi l’espressione (6.8)



 ¹Ã =^ć Ã^ÃÅ  (6.8) Ricordando che la sezione del tubo di flusso è una sezione corcolare, l’espresisone può essere riscritta: 

 ¹Ã =^ć ^ 

0

Å0 (6.9) L’equazione 6.9 così ottenuta presenta a primo membro un’espressione che ha la dimensione di una densità di carica volumica, e a secondo mebro un equazione funzione di grandezze note al modello, la densità di corrente iniziale e il raggio inziale della sezione della sorgenre e di grandezze derivabili dalla soluzione del modello elettrostatico, la velocità delle particelle e il raggio della sezione del tubo di flusso. La densità di carica volumica lungo il modello di studio può essere espressa con la funzione 6.10.

Ç = Ä 1 ‡^ 

0

Å0 (6.10) La densità di carica volumica dipende dal reciproco della velocità delle particelle del fascio, più le particelle sono veloci meno carica sarà presente nel volume corrispondente. In più la densità di carica per unità di volume sarà funzione del raggio del tubo di flusso al quadrato, più la sezione traversale del tubo di flusso è grande più, a parità di corrente, la densità di carica nella sezione sarà minore.

6.5.2 Prima deposizione della carica

Sulla prima soluzione di campo elettrico in assenza di carica è stato elaborato un modello semplificato per una prima deposizone della carica. Basandosi sul modello teorico descritto in precendeza dall’equazione 6.10, è stato scelto di calcolare la densità di carica spaziale di primo tentativo a partire dalla densità di corrente estratta e dalla velocità delle particelle del fascio ipotizzando di avere un rapporto di raggi unitario. Il calcolo è stato svolto con l’espressione presentata in formula 6.11. La prima carica depositata non presenta la dipendenza dalla sezione del fascio di particelle che verrà aggiunta in una fase successiva. Per il calcolo della carica da depositare è stata calcolata la traiettoria di una particella lanciata lungo l’asse z in corrispondenza del taglio della griglia di plasma, utilizzando come particella uno ione deuterio di enegia pari a 3ev. Da questo calcolo sono stati ottenuti i valori delle velocità assunte dalle particelle (Figura 6-28) in un certo numero di punti, da cui poi sono stati interpolati i valori di velocità nei nodi degli elementi formanti il cilindro di deposizione di carica.

Ç =^Ä_{‡ (6.11)}  La densità di carica volumica calcolata è presentata nel grafico di Figura 6-29. Calcolata la densità di carica, la prima deposizone è stata eseguita fissando sui nodi del cilindro di deposizone di carica, a partire dalla sezione più stretta della griglia di plasma, un valore di dentià di carica uniforme sulla sezione trasversale e variabile lungo la direzione del fascio secondo l’andamento calcolato. Dopo la deposizione della carica è stata lanciata la soluzione del modello modificato ed è stato eseguito un calcolo delle traiettorie per verificare l’avvenuto miglioramento della soluzione. In figure Figura 6-30 e Figura 6-31 si mostrano gli andamenti delle traiettorie dopo la prima deposizione della carica. È visibile un netto miglioramento delle traiettorie iniziali che tendono a concentrarsi meno in corrispondenza dell’asse z della geometria.

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Figura 6-28: Andamento della velocità di uno ione negativo di deuterio lanciato in corrispondenza dell'asse della geometria. In figura è visibile in rosso la velocità negativa associata alla traiettoria calcolata da Ansys per portare la particella nel punto definito come punto di lancio.

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Figura 6-30: andamento delle traiettorie delle particelle nella soluzione del modello ottenuta dopo la prima deposizione di carica.

Figura 6-31:andamento delle traiettorie delle particelle nella soluzione del modello ottenuta dopo la prima deposizione di carica. Zoom in corrispondenza delle griglie PG ed EG.

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