Mostriamo che l’ operatore che aggiunge un monopolo magnetico nel sito −→x corrispondente a un valore a della 5.11 avente potenziale vettore prodotto in − →y uguale a −→b ⊥(−→x − −→y ) `e dato da: µa(−→x , t) = eiR d3yT r[φa(−→y ,t) − → E (−→y ,t)]−b→⊥(−→x −−→y ), (5.29)
dove−→E `e l’ operatore campo elettrico, le φa sono date dalla 5.12 e il campo
di monopolo naturalmente soddisfa: − → ∇ ·−→b ⊥= 0, − → ∇ ×−→b⊥ = 2π g − →r r3 + stringa − Dirac.
Infatti poich´e µa `e invariante di gauge, ci mettiamo nella gauge in cui `e
diagonale, ottenendo: µa(−→x , t) = exp i Z d3yT r[φa0(−→y , t)−→E (−→y , t)]−→b⊥(−→x − −→y ) = exp i Z d3y−→Ea⊥(−→y , t)−→b⊥(−→x − −→y ) . Osservando che −→Ea ⊥(−→y , t) `e il momento coniugato di − → Aa ⊥(−→y , t), otteniamo in analogia con:
eipa|xi = |x + ai, µa(−→x , t) |−→Aa⊥(−→y , t)i = | − → Aa⊥(−→y , t) + − → b a⊥(−→x − −→y )i. (5.30)
Si vede che un monopolo di Dirac `e stato aggiunto alla configurazione nella proiezione Abeliana e che ci sono N − 1 specie di monopolo, corrispondenti ai diversi valori assunti da a. Abbiamo cio`e costruito un operatore con ca- rica magnetica non nulla per ogni proiezione Abeliana: chiameremo questo operatore operatore di disordine, e il suo valor medio sul vuoto parametro di disordine. Si mostra inoltre che questo valor medio `e indipendente dal- la proiezione Abeliana scelta. L’ importanza di questo parametro sta nel fatto che esso ci indica quando il vuoto diventa superconduttore (duale),e quindi quando siamo in presenza di confinamento. Infatti se consideriamo la corrente magnetica:
jµa(x) = ∂µFµν∗a,
che `e nulla per le identitit`a di Bianchi, eccetto nei punti dove sono localizzati i monopoli, si ha:
5.4. COSTRUZIONE DEL PARAMETRO DI DISORDINE 47 che definisce una simmetria magnetica U (1), con conservazione della carica magnetica. Se questa simmetria `e realizzata `a la Wigner, cio`e se il vuo- to ha carica magnetica definita,il sistema si comporta in maniera normale e hµai = 0; se invece il vuoto non ha carica magnetica definita ma `e una
sovrapposizione di stati con diversa carica, il sistema diventa supercondut- tore, e in questo caso hµai 6= 0. Nel prossimo capitolo vedremo tramite una simulazione numerica come si trova la transizione di deconfinamento in QCD analizzando l’ andamento del parametro di disordine. Occorre precisare fin da ora che il calcolo diretto del parametro di disordine non `e molto agibile per ragioni numeriche: quello che si fa `e determinare la quantit`a:
ρ = d
dβ loghµi. (5.32)
In effetti si mostra che:
µ = e−β∆S, (5.33)
dove ∆S `e la differenza tra l’ azione SM con il monopolo e l’ azione S senza
monopolo. Quindi il parametro di disordine hµi vale: hµi = R [DΩ]e
−β(S+∆S)
R [DΩ]e−βS . (5.34)
Da qui segue immediatamente la formula che useremo per determinare nu- mericamente ρ :
ρ = hSiS− hS + ∆SiS+∆S. (5.35)
Nell’ ultimo capitolo discuteremo le tecniche usate per il calcolo di questa quantit`a e commenteremo i risultati ottenuti dalle simulazioni
Capitolo 6
Simulazioni numeriche
In questo capitolo si descrivono le tecniche usate per le simulazioni numeriche in teoria di campo su reticolo. Al seguito di una introduzione generale pre- senter`o i risultati ottenuti per il calcolo del parametro di disordine descritto nel capitolo precedente.
6.1
Simulazioni numeriche e processi stoca-
stici
In questa sezione definiremo i valori di aspettazione di funzioni di variabili di campo A[φ] su reticolo. Conoscendo l’ azione su reticolo S[φ], abbiamo visto nel primo capitolo che l’ integrale sui cammini `e dato da:
hAi = R [dφ]e
−S[φ]A[φ]
R [dφ]e−S[φ] ,
dove assumiamo che l’ azione sia una funzione reale delle variabili di campo. Per i nostri scopi `e sufficiente considerare integrali sui cammini per varia- bili bosoniche. Nel nostro caso di campi su reticolo il numero divariabili di integrazione nell’ espressione
[dφ] =Y
x,α
dφx,α
`e molto grande, tipicamente maggiore di 104; l’unica possibilit`a quindi `e
quella di usare un metodo di integrazione di Monte Carlo. Generare confi- gurazioni di campi in maniera random per`o risulta inefficiente, dato che l’ integrando nell’ integrale sui cammini per volumi di reticolo grandi risulta
fortemente piccato su determinate configurazioni. Per mostrare questo fatto riscriviamo l’ azione per un sistema statistico come:
S[φ] = βE[φ] = Ωβ[φ], (6.1)
con E l’ energia, la densit`a di energia, data dal valor medio della placchetta oer campi di gauge, Ω il volume. In meccanica statistica β = kT1 ; in teoria dei campi su reticolo, nel caso di campi di gauge, β = 2Ng2 . `E utile definire la
densit`a di stati D() = eΩs() = Z [dφ]δ − S[φ] Ωβ .
s() `e l’analogo della densit`a di entropia. La funzione di partizione `e data da: Zβ = Z dD()e−Ωβ= Z deΩ[s()−β]
e quindi possiamo scrivere la densit`a di probabilit`a in funzione di ρ() = Z−1eΩ[s()−β]
e la densit`a di energia libera
f () = β − s().
Considerato il numero di punti del reticolo `e molto grande, nell’ integrale sui cammini solo un piccolo intorno del minimo dell’ energia libera contribuisce; un algoritmo di simulazione efficiente deve quindi fare un campionamento pesato delle configurazioni di campi, con peso e−S[φ]. Introduciamo il concetto di insieme canonico come un numero infinito di configurazioni di campi con densit`a
WC[φ] ∝ e−S[φ]. (6.2)
Lo scopo delle simulazioni numeriche `e quello di generare campioni costituiti da un grande numero di configurazioni in modo tale che la distribuzione nel campione approssimi la distribuzione desiderata nell’ insieme canonico. La media su un campione della quantit`a A si scrive:
A = 1 N N X n=1 A[φn], (6.3)
che rappresenta una stima della media su tutto l’ insieme, uguale al valore di aspettazione hAi.
6.2. PROCESSI DI UPDATE 51
6.2
Processi di update
Nelle simulazioni numeriche viene generato un campione di configurazioni tramite un algoritmo che crea una configurazione dalla precedente tramite un processo pseudo-casuale. Un passo di update cambia la densit`a dell’ insieme nel modo seguente:
W0[φ0] =X [φ] P ([φ0] ← [φ])W [φ] = Z [dφ]P ([φ0] ← [φ]), o in notazione matriciale W0 = P W .
Un algoritmo di update deve soddisfare le seguenti richieste: 1.
X
P ([φ0] ← [φ]) ≡ Z
[dφ0]P ([φ0] ← [φ]) = 1,
dove P rappresenta la probabilit`a di transizione tra le configurazioni nel processo casuale;
2. ergodicit`a forte, cio`e
P ([φ0] ← [φ]) > 0,
che ci dice che una qualsiasi configurazione pu`o essere raggiunta a par- tire da un’ altra con una probabilit`a finita. Questo si realizza nelle ap- plicazioni pratiche considerando passi di update composti da ripetizioni di molti passi pi`u piccoli;
3. normalizzazione: X [φ] W [φ] ≡ Z [dφ]W [φ] = 1,
dove con W abbiamo indicato la densit`a dell’ ensamble.
Un processo che soddisfa queste condizioni `e detto processo Markoviano, e la sequenza delle configurazioni `e chiamata catena di Markov; nel nostro caso `e il processo di update.
Una possibile procedura di update consiste nell’ algoritmo di Metropolis. Consideriamo un sistema con N discrete configurazioni possibili, e definiamo la probabilit`a di transizione tra due configurazioni diverse come:
P ([φ0] ← [φ]) =( N −1 se WC[φ 0 ] ≥ WC[φ] N−1 WC[φ 0 ] WC[φ] se WC[φ 0 ] < WC[φ] (6.4)
La matrice di transizione si realizza con la seguente procedura (accept-reject): data una configurazione di prova da una collezione di N configurazioni, si accetta la successiva:
• in ogni caso se l’ azione per la nuova configurazione `e pi`u piccola di quella per la precedente;
• con probabilit`a data da WC[φ 0
]
WC[φ] nel caso opposto.
Un altro algoritmo spesso usato nelle simulazioni numeriche consiste nel Ba- gno Termico (Heatbath). In questo algoritmo la probabilit`a di transizione `e definita prendendo la distribuzione canonica per la configurazione finale, senza riferimento alla configurazione iniziale:
P ([φ0] ← [φ]) = WC[φ
0
] = e
−S[φ0]
Z ;
Il calcolo numerico per`o `e praticamente impossibile, a causa del numero ele- vato delle coinfigurazioni; quello che si fa `e di implementare questo algoritmo localmente, tenendo fisse tutte le variabili dei campi fisse eccetto per il link o il sito che stiamo considerando, che viene a trovarsi in un bagno termico. L’ algoritmo usato nelle nostre simulazioni `e una variante di questo algoritmo di heatbath in teorie di gauge. Per determinare la matrice delle probabilit`a di transizione indichiamo con Ul le variabili locali del link considerato e con ˆUl
tutte le altre variabili che teniamo fisse. La distribuzione canonica si scrive: WC[U ] = WC(Ul; ˆUl) ˆWC( ˆUl),
dove WC(Ul; ˆUl) indica la probabilit`a condizionale di Ul nell’ insieme canoni-
co, per ˆU fissate. La probabilit`a per l’ intero sistema `e quindi: Pl([U 0 ] ← [U ]) = Pl(U 0 l ← Ul; ˆUl)δ( ˆU 0 l − ˆUl)
L’ algoritmo di heatbath locale consiste quindi nel generare la distribuzione WC(U 0 l; ˆUl) in modo da avere: Pl(U 0 l ← Ul; ˆU ) = WC(Ul; ˆUl).
Questo si fa con due passi successivi di accept-reject. Ora vediamo come si applica questo alle teorie di gauge, in particolare per SU (2): l’algoritmo usato per le simulazioni in questo lavoro, dovuto a Cabibbo e Marinari, `e una generalizzazione di questo algoritmo a gruppi SU (N ). Scriviamo l’ azione di Wilson come:
S[U ] = −β
6.3. RISULTATI DELLE SIMULAZIONI 53 dove la matrice Sl `e la somma dei prodotti delle variabili di link sulle sei
placchette private del link in comune (staples). Parametrizzando le variabili di link Ul = al0 +
P3
r=1iσralr, si mostra che la distribuzione di probabilit`a
condizionale per la variabile di link si scrive: WC(Ul; ˆUl)dUl∝ e β 2T r(UlSl)dU l= eβ P3 r=0alrslrdU l.
6.3
Risultati delle simulazioni
Per rilevare la transizione di fase `e necessario considerare volumi molto gran- di. Per questo abbiamo usato reticoli asimmetrici con NS Nτ, nel nostro
caso 4 × 123 e 6 × 183. Il comportamento della ρ si comprende considerando
l’ espressione per il parametro di disordine hµi = eR0βρ(β
0
dβ0.
Per β > βC(accoppiamento debole) il parametro di disordine pu`o essere
calcolato perturbativamente e si trova che tende a zero all’ aumentare del volume, mentre per β < βC resta finito; per β ' βC decresce molto rapida-
mente a zero. Da questo vediamo che ρ → 0 per β → 0,ρ tende ad un valore finito per β → ∞ e infine ha un picco negativo intorno al valore critico. Nelle figure sono riportati i risultati delle simulazioni numeriche per reticoli rispettivamente 4 × 123 e 6 × 183.
Per il primo reticolo 4 × 123 il valore critico trovato per β `e intorno a
5.7, mentre per il secondo reticolo 6 × 183 si sposta leggermente e vale circa
5.9. Gi`a con questi reticoli vediamo il segnale di una transizione di fase, che dovrebbe essere ancora pi`u evidente prendendo reticoli pi`u grandi, come ad esempio considerare Nτ = 12 o maggiori.
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