Indice
1 Integrale sui cammini di Feynman 5
1.1 Integrale sui cammini in meccanica quantistica . . . 5
1.2 Integrale sui cammini in teoria di campo . . . 7
1.3 Formulazione Euclidea . . . 9
1.4 Integrale sui cammini e meccanica statistica . . . 10
2 Campi su reticolo 13 2.1 Introduzione del reticolo . . . 13
2.2 Campo scalare su reticolo . . . 14
3 Teorie di gauge su reticolo: la QCD 19 3.1 teorie di gauge non abeliane . . . 19
3.2 Rappresentazione sui cammini del gruppo di gauge . . . 21
3.3 Teorie di gauge non abeliane su reticolo . . . 23
3.3.1 L’ azione di Wilson . . . 25
3.4 Azione di Wilson e confinamento . . . 27
4 Monopolo magnetico e confinamento 29 4.1 Il monopolo magnetico . . . 29
4.1.1 Trasformazioni di dualit`a e monopolo magnetico . . . . 29
4.1.2 Quantizzazione della carica magnetica . . . 30
4.2 Solitoni . . . 32
4.2.1 Solitoni in 4 dimensioni e teorie di gauge . . . 35
5 Confinamento dei quarks 37 5.1 Monopolo magnetico in teorie di gauge . . . 37
5.2 La proiezione Abeliana . . . 38
5.3 Dualit`a . . . 43
5.4 Costruzione del parametro di disordine . . . 46 1
6 Simulazioni numeriche 49 6.1 Simulazioni numeriche e processi stocastici . . . 49 6.2 Processi di update . . . 51 6.3 Risultati delle simulazioni . . . 53
Introduzione
La cromodinamica quantistica `e la teoria che descrive le interazioni forti tra quarks. La necessit`a dell’introduzione del numero quantico di colore per i quarks `e per la prima volta scaturita dagli studi sulla spettroscopia degli adroni. Infatti per un barione composto di tre quarks, l’originaria funzione d’ onda non-relativistica aveva la forma:
ψ3quarks = ψspazialeψspinψsapore.
Se consideriamo la ∆++, composta da tre quarks u in onda S con JP = 32+, vediamo subito che questa `e simmetrica per lo scambio di due quarks, in contraddizione col principio di esclusione di Pauli. Da questo fatto segue che la funzione d’ onda deve contenere un altro grado di libert`a;
ψ3quarks = ψspazialeψspinψsaporeψcolore,
con ψcolore = ijkψiψjψk, in modo tale da renderla antisimmetrica.
Eviden-ze sperimentali dell’ esistenza del colore si trovano inoltre nelle ampiezEviden-ze di decadimento e di scattering in processi che possono essere descritti me-diante creazione e distruzione di quarks; nei calcoli di sezioni d’urto e nei rapporti di decadimento compaiono infatti le molteplicit`a dei tipi di quarks. Consideriamo ad esempio il processo:
τ−→ W−+ ντ → l−νlντ,
dove fermioni l e νl sono e−, νe oppure µ−, νµ; per il rapporto di decadimento
si trova:
B.R.(τ−→ e−νeντ) ≈
1 2 + NC
,
dove NC `e il numero dei colori. Gli esperimenti poi mostrano che per il
numero di colori si ha NC ' 3; queste e altre evidenze hanno portato alla
formulazione della cromodinamica. Gli esperimenti provano l’ esistenza di quarks e gluoni a piccole distanze, ma i quarks non sono mai stati osserva-ti come parosserva-ticelle libere. Questo fenomeno `e conosciuto come confinamento
del colore. Questo lavoro affronta un aspetto della cromodinamica quan-tistica non perturbativa, e cio`e il meccanismo di confinamento dovuto alla superconduttivit`a duale del vuoto. In particolare nella mia presentazione ho riportato i risultati ottenuti da simulazioni al computer per il calcolo del parametro di disordine ρ. Nella prima parte vengono introdotti l’integrale sui cammini di Feynman, la formulazione Euclidea delle teorie di campo e il formalismo adottato nel seguito dell’esposizione, con particolare riferimento alla connessione tra la teoria di campo Euclidea e la Meccanica Statistica. Nel secondo capitolo si entra nel problema delle teorie di campo su reticolo, introducendo il reticolo per il caso pi`u semlice di campo scalare; la genera-lizzazione dei risultati ottenuti in questa sezione al caso che ci interessa delle teorie di gauge sar`a trattato nel terzo capitolo, dove vengono introdotte le teorie di Yang-Mills e l’ azione di Wilson su reticolo ipercubico. Nel capitolo successivo `e introdotto il monopolo magnetico, sono discusse le condizioni di quantizzazione del monopolo di Dirac e vengono fatte alcune considerazioni sull’ esistenza di soluzioni solitoniche in teorie di gauge non Abeliane. Nel quinto capitolo viene descritto il confinamento dei quarks attraverso la su-perconduttivit`a duale del vuoto, punto centrale di tutta la discussione. Nella parte finale di questa tesi si discutono gli algoritmi che permettono di calco-lare le quantit`a che ci interessano, con riferimento al nostro caso, e vengono presentati i risultati delle simulazioni al computer per il calcolo del parame-tro di disordine in prossimit`a del punto della transizione di deconfinamento, e seguiranno alcune considerazioni conclusive sui risultati ottenuti.
Capitolo 1
Integrale sui cammini di
Feynman
1.1
Integrale sui cammini in meccanica
quan-tistica
Come gi`a accennato nell’ introduzione, dobbiamo formulare la meccanica quantistica in termini dell’ integrale funzionale di Feynman. Per sempli-cit`a `e utile considerare il caso della meccanica quantistica non relativisti-ca generalizzando in seguito i risultati ottenuti al relativisti-caso dei relativisti-campi. Nella rappresentazione di Schro¨edinger gli stati evolvono col tempo,
|ψS(t)i = e−i bHt|ψS(0)i,
mentre gli operatori ne sono indipendenti; nella rappresentazione di Heisen-berg invece
|ψHi = ei bHt|ψS(t)i
gli stati sono stazionari, mentre l’ Hamiltoniana fa evolvere gli operatori nel modo seguente:
b
OH(t) = ei bHtObSe−i bHt.
Consideriamo l’ ampiezza di transizione tra un autostato della posizione qi al tempo iniziale ti e un autostato qf al tempo finale tf ; sappiamo dalla
meccanica quantistica che la conoscenza di questi prodotti scalari `e tutto quello che ci serve per avere la descrizione del nostro sistema, essendo le q un insieme completo di operatori che commutano.
Nella rappresentazione di Schro¨edinger si ha: 5
A = hqf|e−i bH(tf−ti)|qii;
nella rappresentazione di Heisenberg invece |qi −→ ei bHt|qi = |q, ti,
e l’ampiezza si scrive pi`u semplicemente A = hqf, tf|qi.tii.
Usando la relazione di completezza degli stati |q, ti , R dq|q, tihq, t| = 1, possiamo scrivere l’ ampiezza nel seguente modo:
hqf, tf|qi.tii = Z dq1..dqn−1 n−1 Y j=0 hqj+1, tj+1|qj, tji,
con i ti ugualmente spaziati e j = 1...n
Ci serve conoscere la quantit`a Aj+1,j = hqj+1, tj+1|qj, tji, che tornando
alla rappresentazione di Schroedinger diventa:
hqj+1, tj+1|qj, tji = hqj+1|e−i bHtj+1ei bHtj|qji = hqj+1|e−i bHδ|qji,
con δ = tj+1− tj.
Usando la completezza delle p ,R dpj|pjihpj| = 1, possiamo scrivere:
Aj+1,j =
Z
dpjhqj+1|pjihpj|e−i bHδ|qji
Consideriamo per semplicit`a Hamiltoniane della forma H = p22+ V (q), anche se si mostra facilmente che i risultati che otterremo sono validi anche nel caso di interazioni dipendenti dagli impulsi.
Nel limite di n grande, δ → 0, e usando la formula di Baker-Campbell-Hausdorff eAeB ' eA+B+12[A,B] si ha e−i bHδ ' e−ip22 δe−iV (q)δ(1 + O(δ2)) da cui,
usando anche la normalizzazione degli stati hq|pi = eiqp, si ottiene:
Aj+1,j = Z dpjeiqj+1pjhpj|e−i bHδ|qji = = Z dpjeiqj+1pjhpj|e−i p2 2 δ|q jie−iV (qj)δ = Z dpjeiqj+1pje−i p2j 2 δe−iV (qj)δhp j|qji = Z dpjeiδ(− p2j 2 −V (qj)+ qj+1−qj δ pj)= Z dpjeiδ(−Hpj ,qj+ qj+1−qj δ pj)
1.2. INTEGRALE SUI CAMMINI IN TEORIA DI CAMPO 7 L’ ampiezza totale quindi diventa, nel limite δ −→ 0 :
A = limn→∞ Z dq0...dqn−1dp1...dpn−1eiδ Pn−1 j=1( qj+1−qj δ pj−H(pi,qi)) = = Z dq0(dq1dp1)...(dqn−1dpn−1)eiδS
Facciamo ora un’ osservazione sul significato del limite nell’ ultima espres-sione. Eravamo partiti considerando cammini q(ti) con condizioni fissate all’
istante iniziale e all’istante finale, q(t0) = q0, q(tf) = tf ; nel limite δ → 0
ci troviamo ad integrare su tutte le funzioni possibili che hanno le suddette condizioni al contorno, ci`o vuol dire che l’integrale dato va inteso nel senso di un integrale funzionale. Indichiamo con [dqdp] il limite formale della misura d’ integrazione:
[dqdp] = limδ→0N(δ)dp0(dq1dp1)...(dqn−1dpn−1),
dove N `e una opportuna costante di normalizzazione. Possiamo finalmente scrivere l’ampiezza come:
A = Z q(tf)=qf q(ti)=qi [dqdp] ei Rtf ti dt(p ˙q−H(p,q))
L’integrale sulle p `e Gaussiano e pu`o essere calcolato esplicitamente. Il risultato `e :
A =
Z q(tf)=qf
q(ti)=qi
[dq] eiS, (1.1)
dove S ´e l’azione classica, integrale nel tempo della Lagrangiana.
L’ ampiezza di transizione `e quindi scritta come un integrale su tutti i possibili cammini che hanno q(ti) = qi e q(tf) = qf, in cui ogni cammino `e
pesato con l’esponenziale eiS; in pratica la particella esplora
contemporanea-mente tutti i possibili cammini, e l’ampiezza `e data dalla somma pesata delle traiettorie possibili.
1.2
Integrale sui cammini in teoria di campo
Per passare della meccanica quantistica ai campi dobbiamo innanzi tutto essere in grado di calcolare quantit`a del tipo
Z q(tf)=qf
q(ti)=qi
con t compreso tra ti etf.
Consideriamo un generico cammino che soddisfa le condizioni q(ti) = qi
e q(tf) = qf . Possiamo dividere l’integrale nel seguente modo:
Z q(tf)=qf q(ti)=qi [dq] = Z +∞ −∞ dQ Z q(t)=Q q(ti)=qi [dq] Z q(tf)=qf q(t)=Q [dq] ,
esplicitando cio`e il valore Q assunto al generico istante intermedio t e integrando poi su tutte le configurazioni possibili. In questo modo anche l’azione si spezza in due integrali,Rtf
ti = Rt ti Rtf t : Z q(tf)=qf q(ti)=qi [dq] = Z +∞ −∞ dQ Z q(t)=Q q(ti)=qi [dq] Z q(tf)=qf q(t)=Q [dq] = = Z +∞ −∞ dQ Z q(t)=Q q(ti)=qi [dq] ei Rt tidtL ! Q Z q(tf)=qf q(t)=Q [dq] eiRttfdtL ! = = Z +∞ −∞ dQhqf, tf|Q, tiQhQ, t|qi, tii = Z +∞ −∞ dQhqf, tf| bQ(t)|Q, tihQ, t|qi, tii;
usando ora la relazione di completezza per gli stati intermedi otteniamo: Z q(tf)=qf
q(ti)=qi
[dq] q(t)eiS = hqf|q(t)|qb i, ti.
Allo stesso modo Z q(tf)=qf
q(ti)=qi
[dq] q(t1)...q(tn)eiS = hqf|T [q(tb 1)...q(tb n)] |qi, ti, (1.2)
dove il T-ordinamento `e stato introdotto in maniera arbitraria poich´e nell’ integrale i cammini qi(t) sono funzioni, e quindi commutano.
Vediamo ora come si applica tutto questo formalismo nel caso dei campi. Per semplicit`a considereremo il caso di un campo scalare φ(x). In questo caso basta sostituire all’indice discreto i dei cammini qi(t) con la variabile
continua x e le φ con le q dell’equazione 1.2. La lagrangiana si pu`o scrivere come integrale di una densit`a Lagrangiana, L = R d3xL, e l’ampiezza si
scrive: hφf(−→x ), tf|φi(−→x , tii = Z φ(−→x ,tf)=φf φ(−→x ,ti)=φi Dφ ei Rtf ti Ld4x.
D rappresenta l’integrazione su tutte le possibili configurazioni del campo φ(−→x , t) con le date condizioni al contorno. Siamo interessati all’ ampiezza vuoto vuoto, quindi poniamo φi,f = 0 per ti −→ −∞, tf −→ +∞:
hφ(−→x = 0), tf = +∞|φ(−→x = 0), ti = −∞i =
Z
1.3. FORMULAZIONE EUCLIDEA 9 mentre l’analogo per l’equazione 1.2 diventa:
h0|Thφ(xb 1)... bφ(xn) i |0i = R Dφφ(x1)...φ(xn)e iS R DφeiS (1.3)
1.3
Formulazione Euclidea
L’ espressione 1.3 per le funzioni di correlazione ci permette di calcolare tutte le ampiezze, di ricostruire cio`e tutte le propriet`a fisiche del nostro sistema (teorema di ricostruzione). Naturalmente dobbiamo sapere come calcolare il secondo membro di questa espressione; una possibile strada `e lo sviluppo perturbativo, mediante il calcolo dei diagrammi di Feynman. Un metodo non perturbativo, che seguiremo in questa esposizione, e che, come accennato nell’ introduzione, mette in luce la connessione tra teorie di campo e meccanica statisitica, si basa sull’ introduzione del tempo Euclideo.
L’ idea `e quella di rimpiazzare gli esponenti eiS che oscillano in maniera incontrollabile con espressioni che messe negli integrali sui cammini sono sicuramente convergenti. Facendo la sostituzione t −→ tE = it, si ottiene il
risultato voluto. La sostituzione appena fatta implica le seguenti: ∂ ∂t −→ i ∂ ∂tE , d4x −→ −i(d4x)E.
Si vede facilmente che l’ azione per un campo scalare φ in un generico potenziale diventa: S −→ SE = −iS; il tensore metrico ηµν = 1 −1 −1 −1 −→ ηE µν = −1 −1 −1 −1 da cui ∂µφ∂µφ −→ (∂tEφ) 2 + (∂iφ)2, con i spaziale.
Si vede in questo modo che se il potenziale a cui `e soggetto il campo scalare `e limitato dal basso l’azione `e definita positiva e il fattore e−SE assicura la
Abbiamo quindi gli elementi per riscrivere la (1.3) in termini di queste nuove quantit`a nello spazio euclideo quadridimensionale:
h0|Thφ(xb 1)... bφ(xn) i
|0i = R Dφφ(x1)...φ(xn)e
−SE
R Dφe−SE . (1.4)
1.4
Integrale sui cammini e meccanica
stati-stica
L’espressione a denominatore in 1.4 `e formalmente la stessa di una funzione di partizione in meccanica statistica, e tutta l’espressione dell’integrale sui cammini ha la forma di una media calcolata con questa funzione di parti-zione. Possiamo comprendere questa equivalenza della descrizione di sistemi statistici e teorie di campo nel continuo Euclideo introducendo la matrice di trasferimento. Data l’ azione su un reticolo unidimensionale
S = aX i " 1 2m qi+1− qi a 2 + V (qi) #
l’ analogo del denominatore nella 1.4 `e Z =
Z Y
i
dqie−S
che si pu`o scrivere anche
Z = Z
Y
i
dqiTqi+1,qi,
dove abbiamo introdotto la matrice di trasferimento Tqi+1,qi. Usando il fatto
che:
hx0|T |xi = Tx0
,x
nella 1.4, vediamo che la funzione di partizione su un reticolo con N siti si pu`o scrivere in forma di traccia:
Z = T r(TN).
Generalizzando a pi`u dimensioni vediamo che la funzione di partizione di un sistema statistico pu`o essere vista in due modi equivalenti: o come una somma su variabili classiche con Hamiltoniana H(qi) che vivono in uno spazio
1.4. INTEGRALE SUI CAMMINI E MECCANICA STATISTICA 11 temporale T = e−τ bH({φi}), associato ad una Hamiltoniana quantistica in d − 1
dimensioni per opportune variabili φi. Partendo da una teoria di campo
relativisticamente invariante, siamo passati a tempi immaginari e abbiamo discretizzato, ottenendo una teoria statistica in d dimensioni; nel limite di passo reticolare nullo della teoria statistica riotteniamo una teoria quantistica invariante sotto rotazioni. Tornando a tempi reali tramite la sostituzione τ → −it arriviamo ad una teoria relativisticamente invariante in d − 1 dimensioni spaziali e una temporale. Notiamo che l’ azione, (e quindi, come vedremo in seguito, la costante di accoppiamento), nell’ analogo statistico diventa proporzionale all’ inverso della temperatura.
Capitolo 2
Campi su reticolo
2.1
Introduzione del reticolo
Come abbiamo visto le espressioni degli integrali sui cammini non sono ben definite per sistemi con un infinito non numerabile di gradi di libert`a, com’`e il caso dei campi. Per dare significato a queste espressioni dobbiamo quindi discretizzare non solo il tempo ma anche lo spazio. In teoria perturbativa per eliminare gli infiniti si effettua un cutoff sugli impulsi: procedendo con la discretizzazione dello spazio tempo invece questo cutoff si manifesta subito come una conseguenza dell’ introduzione del reticolo.
Mostriamo come questo avviene.
Sia f (x) una funzione L2 sui reali; sappiamo che la possiamo scrivere in
serie di Fourier: f (x) = Z +∞ −∞ dk 2π ˜ f (k)eikx. Introducendo il reticolo: x −→ na,
dove a `e il passo reticolare e n un intero, si ha la seguente decomposizione per la funzione f (na) sul reticolo di passo reticolare a:
f (na) = Z πa −π a dk 2π ˜ fa(k)eikna, f˜a(− π a) = ˜fa(− π a)
Si vede che l’ introduzione del reticolo ha portato in modo naturale a una restrizione dei possibili impulsi nella cosiddetta zona di Brillouin, −πa,πa. Poich´e le ˜fa(k) soddisfano a condizioni al contorno di Dirichlet, possono
essere scritte in termini di una serie di Fourier: ˜ fa(k) = a +∞ X n=−∞ f (na)e−i(na)k; 13
da questa poi ricaviamo la forma della delta di Dirac nella zona di Brillouin, semplicemente ponendo tutti i coefficienti f (na) = 2π1 :
δ(k) = a 2π
X
n
e−i(na)k, (2.1)
mentre nello spazio delle coordinate la delta di Dirac su reticolo diventa una delta di Kroneker moltiplicata per 1a :
Z πa −π a dp 2πe ip(n−m)a = 1 aδnm. (2.2)
In quattro dimensioni la generalizzazione `e ovvia.
Abbiamo cos`ı mostrato che l’ introduzione del reticolo porta ad un taglio sui momenti proporzionale all’ inverso del passo reticolare.
2.2
Campo scalare su reticolo
Prima di discutere il caso generale delle teorie di gauge conviene mostrare con un esempio pi`u semplice come si effettua l’introduzione del reticolo nelle teorie di campo. Tra l’altro il campo scalare su reticolo mostra in maniera evidente alcune connessioni con la meccanica statistica che riprenderemo in seguito.
Formalmente l’ introduzione del reticolo su un campo scalare si effettua con le seguente sostituzione:
xµ−→ nµa.
con nµ interi,µ = 1..4.
In termini di questa sostituzione le quantit`a che ci servono vengono mo-dificate nel modo seguente:
φ(x) −→ φ(na), Z d4x −→ a4X n φ(x) −→ 1 a2φ(na)b Dφ(x) −→Y n dφ(na) dove =P4
µ=1∂µ∂µ e l’operatore laplaciano su reticolo `e definito da:
φ(na) =X
µ
2.2. CAMPO SCALARE SU RETICOLO 15 e µ `b e il vettore unitario che punta nella direzione µ. Per descrivere il com-portamento del campo sul reticolo assegnato, abbiamo bisogno di conoscere le funzioni di Green.
Innanzi tutto conviene scrivere l’ azione per il campo scalare nello spazio quadridimensionale Euclideo: SE[φ] = 1 2 Z d4xφ(x) − + m2 φ(x). (2.3)
Passiamo per comodit`a a variabili adimensionali, riscalando masse e campi: b
φn= aφ(na)
b
m = am
In termini di queste variabili, un’azione invariante di gauge sul reticolo, che cio`e d`a l’espressione corretta nel limite di passo reticolare nullo, `e la seguente:
SE = − 1 2 X n,bµ b φnφbn+bµ+ 1 2 8 + m 2 X n b φnφbn. (2.4)
La funzione di correlazione a N punti da cui ricaviamo tutta l’informazione fisica diventa: D b φ1. . . bφN E = R Q nd bφnφb1. . . bφne−SE R Q nd bφne−SE . (2.5)
Come anticipato `e interessante a questo punto notare un’analogia con la meccanica statistica classica.
L’azione per il campo scalare su reticolo pu`o essere riscritta nella forma: SE = 1 2 X i,j b φiKijφbj,
con Kij dato da:
Kij = − X µ>0 [δi+µ,jb + δi−µ,jb − 2δij] +mb 2δ ij. (2.6)
Consideriamo il funzionale generatore della teoria di campo, da cui si ricavano le funzioni di Green; nel caso di campo scalare sul continuo vale:
Z [J ] = 1 Z Z Y x dφ(x)e−S[φ]+(J,φ),
dove (J, φ) `e l’ordinario prodotto scalare, e Z `e dato da : Z = Z Y x dφ(x)e−S[φ].
Nel nostro caso di campo su reticolo questa quantit`a assume la forma: Z0[J ] = Z Y k d bφke−SE[ b φ]+P iJbiφbi .
Questa quantit`a pu`o essere facilmente calcolata, essendo gli integrali che compaiono di tipo Gaussiano:
Z0[J ] = 1 √ detKe 1 2 P i,jJiKij−1Jj;
differenziando quest’ ultima espressione rispetto alle sorgenti esterne ottenia-mo che le funzioni di correlazione a due punti sono date dall’ inverso della matrice K, che si calcola facilmente usando la formula per la δ nello spazio degli impulsi 2.1 e l’espressione per 2.6 K in funzione delle varie δ.
Il risultato `e: G (i, j,m) =b D b φiφbj E = Z π −π d4 b k (2π)4 eibk(i−j) 4P µsin 2 bkµ 2 +mb 2 . (2.7)
Riscalando i campi otteniamo:
Gx a, y a, ma = a2 Z pi2 −π 2 d4k (2π)4 eik(x−y) P µk˜µ2 + m2 , (2.8)
dove `e stata introdotta la quantit`a ˜kµ= a2sinkµ2a.
Questa espressione nel limite di a piccolo d`a la ben nota espressione per la funzione di correlazione a due punti per il campo scalare libero sul continuo euclideo: hφ(x)φ(y)i = lim a→0 1 a2G x a, y a, ma = Z +∞ −∞ d4k (2π)4 eik(x−y) k2+ m2. (2.9)
Discutiamo ora una caratteristica interessante di questa formula. Per m | x − y | 1 l’ ultimo membro `e proporzionale a m|x−y|1 2e
2.2. CAMPO SCALARE SU RETICOLO 17 Consideriamo due punti separati da n siti del reticolo, con n molto grande:
hφ(x)φ(x + na)i ∼ e−amn.
In meccanica statistica il comportamento
hφ(x)φ(x + na)i ∼ e−nξ
definisce la lunghezza di correlazione adimensionale, ξ = 1
am. (2.10)
Vediamo che se siamo interessati al limite di passo reticolare nullo tenendo la massa fissata, la lunghezza di correlazione deve divergere. La divergen-za della lunghezdivergen-za di correlazione, funzione delle costanti di accoppiamento e dei parametri esterni di un sistema statistico, segnala una transizione di fase. Quando ξ a le configurazioni del sistema hanno un carattere suf-ficientemente regolare su molti passi reticolari e possiamo quindi adottare una descrizione dei modelli statistici in termini di quantit`a continue, ovve-ro di campi. Questo significa che se vogliamo ottenere una teoria di campo continua in cui le quantit`a fisiche come le masse e le costanti di accoppia-mento sono finite, dobbiamo regolare i parametri della corrispondente teoria statistica in modo da far divergere la lunghezza di correlazione, cio`e ci av-viciniamo alla transizione di fase. Questo procedimento `e l’ analogo della rinormalizzazione in teoria dei campi: una lunghezza di correlazione diver-gente `e caratteristica di un sistema in prossimit`a del punto critico, quindi rimuovere il cutoff in teoria di campo equivale a mandare il corrispondente sistema statistico verso il punto critico.
Capitolo 3
Teorie di gauge su reticolo: la
QCD
3.1
teorie di gauge non abeliane
Cominciamo col richiamare brevemente le propriet`a fondamentali delle teorie di gauge non abeliane.
L’ azione di Yang-Mills che soddisfa l’ invarianza di gauge sotto un gruppo di trasformazioni SU(N) `e data dall’espressione:
SY M =
1 4
Z
d4xFµνa Fµνa (3.1)
dove Fµνa `e definito da:
Fµνa = ∂µAaν − ∂νAaµ+ gfabcAbµA c ν.
I campi Aa
µ sono i campi di gauge, le fabc sono le costanti di struttura del
gruppo SU(N), e la costante di accoppiamento g `e stata per ora introdotta arbitrariamente.
Introducendo le matrici dei campi Aµ nella rappresentazione scelta:
Aµ(x) = −igAaµ(x)T a
,
Fµν(x) = −igFµνa (x)T a,
il tensore non abeliano del campo Fµν si scrive in maniera compatta in termini
di Aµ
Fµν = ∂µAν − ∂νAµ+ [Aµ, Aν] .
Possiamo quindi riscrivere l’ azione di Yang-Mills in termini di queste quan-tit`a : SY M = − 1 2g2 Z d4xT rFµνFµν (3.2)
L’ azione completa che descrive tutta la dinamica contiene anche un termine che descrive i campi fermionici liberi e un termine d’ interazione:
SQCD = Z d4x −1 4Fµν(x) a Fµνa(x) + ψ(x) (iγµDµ− m) ψ(x) (3.3)
dove la `e stata introdotta la derivata covariante Dµ= ∂µ− igTaAaµ,
essendo i Tai generatori del gruppo di gauge e g la costante di accoppiamento
tra il campo fermionico ψ e il campo di gauge Aµ. Per maggiore chiarezza
esplicitiamo gli indici delle le matrici Ta generatori di SU(N) nella derivata covariante:
(Dµ)ij = δij∂µ− igTijaA a µ,
con Ta
ij rappresentativi di Ta nella rappresentazione fondamentale.
Sotto l’azione di una trasformazione di gauge locale U (x) = e−iωaTa, con Ta i generatori di SU(N), i campi trasformano nel modo seguente:
ψ(x) −→ U (x)ψ(x) Aµ(x) −→ U (x)aµ(x)U−1(x) − i gU (x)∂U −1 (x) Fµν(x) −→ U (x)Fµν(x)U−1(x), da cui si riconosce la forma di pura gauge per Aµ,
Aµ = −i
gU (x)∂U
−1
(x)
per cui non ci sono campi fisici, Fµν = 0.
La derivata covariante trasforma esattamente come ψ. Conviene ora dare un’ altra caratterizzazione delle teorie di gauge che ci servir`a per introdurre il reticolo.
3.2. RAPPRESENTAZIONE SUI CAMMINIDEL GRUPPO DI GAUGE21
3.2
Rappresentazione sui cammini
del gruppo di gauge
La peculiarit`a delle trasformazioni locali rispetto a quelle globali sta nel fatto che ad ogni punto dello spazio-tempo `e associata una scelta indipendente del sistema di coordinate nello spazio della simmetria interna considerata dei campi di materia. Un cambiamento di sistema di riferimento tra due punti vicini dello spazio-tempo x e x + dx `e implementato da una trasformazione di gauge locale. Nel caso in cui non ci sono simmetrie interne φ(x) `e un singolo campo reale e la richiesta che il suo valore non cambi passando dal punto x al punto x + dx comporta semplicemente
dxµ∂µφ(x) = 0.
Nel caso invece di simmetria U(1) il campo di materia ψ(x) `e complesso; la fase non `e osservabile, e la richiesta di invarianza per ψ diventa
dxµ∂µ| ψ(x) |= 0,
cio`e, esplicitando la fase del campo ψ, ψ = e−iα(x) | ψ(x) |:
dxµ[∂µ+ i∂µα(x)] ψ(x) = 0.
Sostituendo in questa espressione il campo di gauge che implementa la trasformazione:
dxµ[∂µ+ igAµ(x)] ψ(x) ≡ dxµDµψ(x) = 0.
La trasformazione del campo ψ in presenza del campo di gauge `e detta tra-sporto parallelo da x a x + dx.
Nel nostro caso di simmetria non abeliana la generalizzazione `e ovvia; basta sostituire Aµ con AµaTa con Ta i generatori del gruppo.
Supponiamo ora di trasportare parallelamente il campo ψ(x) lungo una curva Cxy, parametrizzata da un parametro 0 ≤ s ≤ 1,con le condizioni Cxy(0) = x,
Cxy(1) = y.
Allora per ogni punto x appartenente alla curva si avr`a: dxµ ds [∂ µ+ igAµ(s)] ψ(s) = 0, che risolta d`a: ψ(s) = P.O. h e−ig Rs 0 dt dxµ dt Aµ(t) i ψ(0),
dove P.O. `e l’ ordinamento delle matrici Aµ(t) in ordine di t crescente da destra a sinistra. La quantit`a Ω(Cxy) ≡ P.O. h e−igR0sdt dxµ dt Aµ(t) i (3.4) `e un’ applicazione dal sistema di riferimento del colore presente nel punto x al sistema in y ed `e chiamato trasportatore parallelo associato alla curva C. Vediamo ora come trasforma il trasportatore parallelo sotto una trasforma-zione locale U .
Dalle relazioni ψ0 = U ψ = e ψ(y) = Ωψ(x), vogliamo trovare Ω0 tale che ψ0(y) = Ω0ψ0(x).
Sostituendo le quantit`a ψ0(x) = U (x)ψ(x) e ψ0(y) = U (y)ψ(y) nell’ espres-sione ψ0(y) = Ω0ψ0(x) e usando l’ arbitrariet`a di ψ otteniamo:
Ω0 = U (y)ΩU−1(x).
Da questo segue immediatamente che T rΩ(C) per un cammino chiuso `e invariante di gauge. La precedente importante osservazione `e quella che ci permetter`a di costruire un’ azione invariante di gauge su reticolo nello spazio quadridimensionale euclideo.
Consideriamo ora un percorso chiuso infinitesimo che parte dal punto x di area dxdy come mostrato in figura:
x //x + dx x + dy OO x + dx + dy oo
Dopo semlici calcoli si trova che il trasportatore parallelo Ω(dx, dy) vale : Ω(dx, dy) = 1 − igdxµdyνFµνa Ta= 1 − dxµdyνFµν,
dove Fµν `e il tensore del campo di gauge dato nella precedente sezione:
Fµν(x) = −igFµνa (x)T a , Fµνa (x) = ∂µAaν − ∂νAaµ+ gfabcAbµA c ν
con il potenziale Aµ dato da:
Aµ(x) = −igAaµ(x)Ta.
Ora non resta che introdurre il reticolo; l’ azione invariante di gauge in termini di questi cammini chiusi che troveremo sar`a l’ azione di Wilson, argomento del prossimo paragrafo.
3.3. TEORIE DI GAUGE NON ABELIANE SU RETICOLO 23
3.3
Teorie di gauge non abeliane su reticolo
Consideriamo un reticolo ipercubico con passo reticolare a; in questo caso come abbiamo visto a determina il cutoff ultravioletto. Il nostro compito `e ora quello di mettere i campi della teoria sul reticolo e sui links che collegano i siti del reticolo, trovare un’ azione invariante di gauge in termini di questi campi e vedere cosa succede mandando a zero il passo reticolare.
Nella formulazione standard i campi fermionici risiedono nei siti del reticolo mentre i campi di gauge stanno sui links. Ad ogni sito del reticolo associamo un sistema di riferimento indipendente, come richiesto dalla localit`a delle trasformazioni di gauge; in questo modo possiamo considerare i campi di gauge situati sui links come le connessioni che fanno passare da un sistema all’ altro.
Nella figura sotto mostriamo il link che collega il sito n nel sito n +µ doveb b
µ = 1, 2, 3, 4 `e il versore diretto lungo µ:
n Ωµ(n) //n + µ
Qui Ωµ(n) `e una matrice del gruppo di gauge, nel nostro caso SU (3). Se
consideriamo come sopra un sistema di riferimento per il colore posto su ogni sito del reticolo la quantit`a Ωµ(n) `e definita come la matrice di rotazione che
fa passare dal riferimento posto nel sito n al riferimento posto in n + µ. Naturalmente la matrice inversa sar`a data da:
Ω−µ(n + µ) = Ω−1µ (n).
Ci interessa trovare un’ azione che sia invariante rispetto agli orientamenti di questi sistemi di riferimento per il colore.
Nei paragrafi precedenti abbiamo scritto un’ azione invariante di gauge nel continuo, ora non resta che trascrivere quanto trovato nel caso della presen-za del reticolo, che per semplicit`a consideremo ancora ipercubico con passo reticolare a. Considereremo per ora il caso di simmetria interna SU (N ) nel senso seguente: il campo vettoriale complesso φ(x) che prenderemo in esame in questo paragrafo sar`a composto da N campi scalari complessi sul continuo euclideo, e quindi con azione data da:
S = Z
d4xφ(x)( + m2)φ(x) + U (φ(x) · φ(x)) . (3.5) Sul reticolo la parte cinetica dell’ azione diventa:
1 2 X n a44fµφ · 4fµφ = −X hmni a2φ(n)φ(m) + 4X k a2φ(k)φ(k), (3.6)
dove `e m n ed n sono siti contigui, ed inoltre `e stata introdotta la quantit`a 4f
µφ(n) =
1
a(φ(n +µ) − φ(n)) ,b che rappresenta la derivata in avanti sul reticolo.
La parte cinetica sopra scritta non `e invariante di gauge; dobbiamo quindi introdurre nell’ azione anche un termine di accoppiamento che renda questa quantit`a invariante di gauge. Questo si fa nello stesso modo in cui si procede nel continuo, e cio´e con l’introduzione della derivata covariante. A differenza della formulazione della teoria sul continuo Euclideo, gli operatori che effet-tuano il trasporto parallelo sul reticolo sono associati ai links che connettono due siti adiacenti; questi operatori sono chiamati variabili di link.
Sotto una trasformazione di gauge una variabile di link trasforma come: Ω(m, n) −→ U−1(m)Ω(m, n)U (n),
quindi un termine di accoppiamento del tipo X
hmni
φ(m)Ω(m, n)φ(n)
`e invariante di gauge. Definendo la derivata covariante su reticolo come: Dµφ(n) =
1
a Ω
−1(n, µ)φ(n + aµ) − φ(n) ,
e sostituendola alla derivata ordinaria nel termine cinetico dell’ azione 3.6 otteniamo: 1 2 X n a4Dµφ · Dµφ = −a2 X hmni φ(m)Ω(m, n)φ(m) + 4a2X k φ(k)φ(k).
Dobbiamo ora trovare un termine di pura gauge, scritto in funzione delle variabili di link. Una quantit`a fondamentale per la costruzione di un’ azione invariante di gauge si ottiene dalle variabili di link considerando cammini chiusi sul reticolo; da quanto visto nel paragrafo precedente sappiamo infatti che quantit`a del tipo
T rΩ(C),
3.3. TEORIE DI GAUGE NON ABELIANE SU RETICOLO 25 Il cammino chiuso pi`u semplice naturalmente `e un loop composto di quat-tro links, che prende il nome di placchetta. Una placchetta contenente i punti:
n, n + aµ, n + ab ν + ab µ, n + ab bν e orientata come nella figura riportata sotto:
n //n + µ n + ν OO n + µ + ν oo
ha un trasportatore parallelo che si scrive:
Ωp ≡ Ω(n, n + abν)Ω(n + abν, n + abν + abµ)Ω(n + abν + aµ, n + ab µ)Ω(n + ab µ, n).b (3.7) Questa quantit`a `e chiamata variabile di placchetta.
3.3.1
L’ azione di Wilson
Partendo da questa quantit`a fondamentale Wilson propose un’azione inva-riante per la teoria di pura gauge (cio´e senza campi di materia):
S(Ω) =X
p
Sp(Ωp), (3.8)
dove il contributo di ogni singola placchetta per SU (N ) `e dato da: Sp(Ω) = −β 1 2T r1 T rΩ + T rΩ −1 − 1 = β 1 − 1 NReT rΩ (3.9) Nella somma sulle placchette consideriamo tutte le placchette con una sola orientazione: X p =X n X 1≤µ<ν≤4
Nel limite di a piccolo dobbiamo ritrovare l’ azione di Yang-Mills; questo ci permetter`a ora di trovare la relazione tra β e la costante di accoppiamento g della teoria.
I trasportatori paralleli relativi ai lati della placchetta si scrivono in termini del campo :
Ω(n + aµ, n) = eigaAµ(n) = 1 + agA µ(n) − a2 2 g 2(A µ(n)) 2 + .. Ω(n+aµ+aν, n+aµ) = eigaAν(n+aµ) = 1+agA
ν(n+aµ)−
a2
2g
2(A
ν(n + aµ))2
Ω(n+aν, n+aµ+aν) = e−igaAµ(n+aν) = 1−agA
µ(n+aν)+ a2 2g 2(A µ(n + aν)) 2
Ω(n, n + aν) = e−igaAν(n) = 1 − agA
ν(n) +
a2
2 (Aν(n))
2
+ .. Da queste espressioni e dalle relazioni per le derivate su reticolo, ad es.
Aν(n + aµ) = Aν(n) + a4fµAν(n),
e usando la formula di Campbell − Baker − Hausdorf f per gli esponenziali otteniamo:
Ωp ' e−a
2gF µν
dove naturalmente Fµν `e definito sul reticolo:
Fµν(n) = 4fµAν(n) − 4fνAµ(n) + [Aµ(n), Aν(n)] .
Otteniamo per il contributo della placchetta all’ azione di Wilson: T r(Ωp+ Ω−1p ) ' 2T r1 + a 4g2T rF2 µν(n) da cui,usando X p T r(Fµν2 (n)) = 1 2 X n,µ,ν T r(Fµν2 (n)),
abbiamo lo sviluppo dell’ azione di Wilson per a piccolo: S ' −β
4N X
a4T rFµν(x)Fµν(x).
Quest’ ultima espressione per a piccolo coincide con l’ azione di Yang-Mills se `e soddisfatta la seguente:
β = 2N g2 ,
che `e proprio la relazione cercata tra temperatura e costante di accoppiamen-to. Da questqa vediamo che il regime di accoppiamento forte corrisponde allo sviluppo per alte temperature nella descrizionae statistica, e viceversa l’ accoppiamento debole corrisponde a basse temperature.
3.4. AZIONE DI WILSON E CONFINAMENTO 27
3.4
Azione di Wilson e confinamento
Vediamo ora come `e possibile ottenere un criterio per induividuare le fa-si di confinamento e deconfinamento facendo uso dell’ azione di Wilson. Prendiamo in considerazione loops chiusi C. Le corrispondenti funzioni di Green
W (C) = T rhU (l1)U (l2) . . . U (ln)i,
dove U (li) sono le variabili di link, analoghe alle 3.4 del continuo ,per il link
li, sono chiamate “Wilson loops”. Ci sar`a utile nel seguito il valor medio di
un’ osservabile O su questi loops:
hOi = R dU Oe
−S(U )
R dU e−S(U ) .
Nel limite continuo
W (C) → hP.O.e−ig
H
Cdx µAµ(x)
i. (3.10)
La funzione d’onda di un quark che passa per C acquista una simmetria interna di rotazione data dal prodotto delle variabili di link incontrate. Il loop di Wilson `e semplicemente la risposta dei campi di gauge a una sorgente di quarks esterni passanti attorno al suo perimetro. Infatti per dare un’ interpretazione fisica del loop di Wilson riscriviamo l’ esponente della 3.10:
I
C
dxµAµ(x) = Z
d4xjµAµ, (3.11)
dove jµ `e nulla al di fuori della curva C, sulla quale presenta una
singola-rit`a a δ. Possiamo vedere la jµ come la densit`a di corrente di particelle non
dinamiche il cui unico ruolo `e quello di agire come sorgenti per il campo di gauge. Chiameremo queste particelle “quarks esterni”. Questa corrente de-scrive la formazione di coppie quark-antiquark al tempo iniziale, la successiva propagazione e annichilazione. L’ espressione 3.10 d`a quindi l’ ampiezza di probabilit`a relativa di questi processi in funzione della forma del cammino C Per loops molto grandi ln W (C) esibisce generalmente due tipi di com-portamento: decresce come il perimetro o come l’ area di C; nel primo caso sono permessi loops estesi, e potremmo essere in linea di principio in grado di osservare quark e antiquark liberi, nel secondo caso sono favoriti loops molto “sottili”, e la coppia propaga come uno stato legato. Questo `e conosciuto come criterio di Wilson per il confinamento.
Capitolo 4
Monopolo magnetico e
confinamento
4.1
Il monopolo magnetico
4.1.1
Trasformazioni di dualit`
a e monopolo magnetico
Le equazioni di Maxwell per il campo elettromagnetico
− → ∇ ·−→E = ρ −→∇ ·−→B = 0 − → ∇ ×−→E = −∂0 − → B −→∇ ×−→B = ∂0 − → E +−→j
possono essere scritte in termini del potenziale vettore Aµ= (ϕ,−→A ) e quindi
del tensore elettromagnetico Fµν , Fµν = ∂µAν − ∂νAµ e del suo tensore
duale F˜µν = 1 2 µνρσF ρσ come: ∂νFµν = −Jµ, (4.1) ∂νF˜µν = 0, (4.2)
dove Jµ = (ρ,−→J ) la quadricorrente e i campi fisici si scrivono in termini del
tensore elettromagnetico nel modo seguente:
F0i= Ei Fij = −ijkBk. e in termini del quadrivettore potenziale:
− → B =−→∇ ×−→A , −→E = −−→∇ϕ − ∂ − → A ∂t 29
Nel vuoto la quadiricorrente `e nulla e le equazioni di Maxwell sono inva-rianti per una trasformazionne di dualit`a, che consiste nello scambio:
− →
E −→−→B −→B −→ −−→E ,
che altro non `e che una rotazione di 90o nel piano E − B. In termini del tensore elettromagnetico le trasformazioni di dualit`a si scrivono :
Fµν −→ ˜Fµν F˜µν −→ −Fµν
Se invece non siamo nel vuoto la simmetria `e rotta dalla presenza della corrente Jµ: se introduciamo una corrente anche per il campo magnetico
Kµ = (σ,−→K ) abbiamo simmetria sotto le trasformazioni di dualit`a. Questa
richiesta porta alla richiesta dell’ esistenza di carica magnetica, in analogia al-la carica elettrica. Prima di continuare `e interessante mostrare una propriet`a del monopolo magnetico nella teoria quantistica.
4.1.2
Quantizzazione della carica magnetica
Il risultato che voglio mostrare in questo paragrafo `e noto come quantizza-zione della carica magnetica, ed `e dovuto a Dirac. Quello che risulter`a infatti dalle argomentazioni seguenti `e che:
qg 4π =
1
2n, n intero
Le equazioni di Maxwell in termini del tensore elettromagnetico (3.1, 3.2) sono automaticamente soddisfatte se Fµν = ∂µAν − ∂νAµ si scrive come
abbiamo visto in termini dei campi elettrici e magnetici. Questo fatto `e particolarmente rilevante ai fini dell’ invarianza di gauge dell’ equazione di Scro¨edinger in meccanica quantistica. Infatti per una particella in moto in un campo elettromagnetico si ha:
i∂tψ = 1 2m −→ p − e−→A2+ eϕ ψ
Questa equazione `e invariante sotto la trasformazione di gauge locale: − → A (−→x ) −→−→A (−→x ) + 1 e − → ∇α(−→x ) ψ(−→x ) −→ eiα(−→x)ψ(−→x )
dove α `e una funzione arbitraria di −→x . In particolare per il tensore duale vale ∂νF˜µν = 0; da questo potrebbe sembrare che l’ invarianza di gauge in
4.1. IL MONOPOLO MAGNETICO 31 meccanica quantistica precluda l’ esistenza del monopolo magnetico, poich´e come abbiamo visto il monopolo implica ∂νF˜µν = Jµ. Dirac super`o queste
difficolt`a notando che `e possibile definire il potenziale vettore dappertutto all’ infuori di una stringa che collega l’origine, dove `e situato il monopolo, all’ infinito. Consideriamo infatti il campo di monopolo
− →
B = g
4πr2br; (4.3)
sia S una superficie chiusa che circonda l’ origine: si ha che g = HS−→B d−→s . Se −→B = −→∇ ×−→A dappertutto allora per forza g = 0 e non si ha monopolo magnetico. Se invece definiamo il potenziale vettore−→A tale che−→B =−→∇ ×−→A all’infuori di una stringa che parte dall’origine fino all’infinito possiamo ot-tenere flusso, e quindi campo, di monopolo magnetico. Consideriamo infatti un solenoide sottile e infinitamente lungo posto sull’asse z negativo con il suo polo positivo nell’origine. Il campo magnetico dovuto al solenoide pu`o essere scritto come rotore del potenziale vettore, essendo un campo a divergenza nulla. D’altra parte l’espressione per questo campo `e data da :
− →
B = g
4πr2br + gθ(−z)δ(x)δ(y)z.b (4.4) Riconosciamo nel primo termine del secondo membro di questa espressione il campo dovuto a un monopolo magnetico di intensit g posto nell’ origi-ne. Il potenziale vettore per tale campo di monopolo `e dato dalla seguente espressione: − → A = g 4πr 1 − cos ϑ sin ϑ b φ, (4.5)
che `e singolare sull’asse z negativo. `
E interessante notare che la stringa di Dirac non `e osservabile. Dimostriamo infatti pu`o essere deformata mediante una trasformazione di gauge.
Il potenziale vettore scritto sopra per il campo solenoidale non `e unico, poich´e pu`o essere modificato al solito tramite una trasformazione di gauge
− →
A −→−→A +−→∇χ,
con χ una funzione reale non singolare della posizione. Riscriviamo il campo magnetico di monopolo come:
− →
B (−→r ) =−→∇ ×−→A +−→h (C, −→r )
dove con h(C, −→r ) indichiamo il contributo al campo magnetico di una stringa di Dirac che parte dall’origine (dove si trova il monopolo) e prosegue fino
all’infinito lungo una generica curva C. Il flusso di campo magnetico da quanto visto prima `e g, quindi possiamo scrivere:
− → h (C, −→r ) = g Z C d−→x δ3(−→r − −→x ).
Se consideriamo ora un’altra stringa C1 che si scosta dalla precedente solo per
una lunghezza finita, possiamo considerare la stringa formata da −C1 seguita
da C come il contorno di un cammino chiuso Γ. Sia Ω(−→r ) l’angolo solido sotteso in un punto arbitrario −→r da una qualsiasi superficie avente come contorno Γ. Diverse scelte della superficie daranno luogo a diversi valori di Ω, che differiranno tra loro di multipli di 4π, ma aventi lo stesso gradiente −
→
∇Ω. Consideriamo ora la trasformazione di gauge definita da: − → A −→−→A0 =−→A − g 4π − → ∇Ω;
Il rotore di entrambi questi potenziali vale −→B eccetto sulle due stringhe. Applicando il teorema di Stokes per un piccolo loop γ di superficie σ attorno a un qualsiasi punto della curva Γ otteniamo:
Z σ − → ∇ × (−→A −−→A0)dσ0 = I γ (−→A −−→A0)d−→l = g 4π I γ − → ∇Ωd−→l = g 4π I γ dΩ = g. Questa equazione pu`o essere riscritta, usando l’ espressione per h(C, −→r ) data sopra come:
− →
∇ × (A0 − A) =−→h (C, −→r ) −−→h (C1, −→r ).
Vediamo da questa che il campo di monopolo magnetico si scrive: −
→
B =−→∇ ×−→A +−→h (C, −→r ) =−→∇ ×−→A0 +−→h (C1, −→r ), (4.6)
che mostra che la stringa di Dirac non `e osservabile, poich´e pu`o essere spo-stata arbitrariamente con una trasformazione di gauge. La stringa di Dirac quindi non d`a luogo all’ effetto di Aharonov-Bohm. Queste considerazio-ni sul monopolo magnetico e l’ introduzione di trasformazioconsiderazio-ni di gauge che presentano singolarit`a saranno fondamentali nel prossimo capitolo quando considereremo il monopolo magnetico in teorie di gauge non abeliane.
4.2
Solitoni
In questo paragrafo viene introdotto un concetto importante in teoria di campo, l’esistenza di soluzioni non banali delle teorie di campo che presentano
4.2. SOLITONI 33 caratteristiche di non localit`a (kinks). Lo studio di queste soluzioni ci sar`a utile nel prossimo capitolo, quando studieremo in dettaglio il meccanismo di confinamento dei quarks dovuto al monopolo magnetico nella teoria di gauge SU(3) di colore. Consideriamo il caso di soluzioni solitoniche in una teoria di campo scalare in 1 + 1 dimensioni.
La lagrangiana per una particella scalare si scrive L = 1
2ϕ˙
2− 1
2(∂xϕ)
2− V (x)
dove V `e un generico potenziale. A noi interessano le soluzioni statiche (cio`e indipendenti dal tempo) di questa equazione con V un potenziale che si annulla almeno in due punti, ad esempio nella teoria ϕ4 :
V (x) = λ
2 ϕ
2− a22 . L’ Hamiltoniana per questo sistema si scrive:
H = Z dx 1 2(∂tϕ) 2+ 1 2(∂xϕ) 2 + V (ϕ) .
Le equazioni del moto che si ricavano da questa Lagrangiana sono formal-mente le stesse che si ottengono dal problema meccanico unidimensionale di una particella di massa unitaria in moto un potenziale −V (x). Nel caso del potenziale che stiamo considerando la Lagrangiana nell’analogo esempio meccanico ha la forma: L = 1 2˙x 2+ V (x) = 1 2˙x 2 +λ 2 x 2− a22 .
Ogni moto della particella in questo potenziale corrisponde a una soluzione statica dell’equazione per il campo scalare. Dall’espressione dell’ Hamilto-niana, perch´e l’energia sia finita occorre che il campo ϕ tenda ad uno zero di V per x −→ ±∞; nell’ analogo meccanico occorre che per t −→ ±∞ la particella raggiunga un minimo del potenziale. Oltre alla soluzione banale in cui la particella resta ferma in ±a esistono anche soluzioni pi`u banali in cui la particella parte da un massimo relativo del potenziale al tempo t = −∞ e raggiunge l’altro massimo al tempo t = +∞. Queste soluzioni a energia zero si ottengono facilmente da 1 2 dx dt 2 = V (x)
che corrisponde per il campo scalare: 1 2 dϕ dx 2 = V (ϕ) che integrata mi d`a: ϕ±(x) = ±a tanh √ λax. (4.7)
Queste soluzioni hanno energia finita, come si vede facilmente sostituendo-le nell’espressione dell’ Hamiltoniana, tendono agli zeri del potenziasostituendo-le per x −→ ±∞ e sono sostanzialmente diverse da una funzione costante (energia zero) solo in un piccolo intorno (quanto piccolo dipende dai parametri λ ed a) dell’origine. Inoltre, poich´e la Lagrangiana `e invariante di Lorentz, pos-siamo anche considerare soluzioni che si muovono con una definita velocit`a minore di c. L’interesse nello studio di queste soluzioni sta dunque nel fatto che si comportano come particelle. Discutiamo ora in dettaglio le leggi di conservazione per queste soluzioni. Troveremo in particolare delle leggi di conservazione topologiche, che sono cio`e soddisfatte indipendentemente dal-le equazioni del moto, a differenza daldal-le dal-leggi di conservazione derivanti dal teorema di Noether. Dalla richiesta di finitezza dell’ energia abbiamo che:
ϕ(∞) − ϕ(−∞) = n(2πa),
dove n = 0 corrisponde allo stato fondamentale, n = 1 a un kink, n = −1 a un anti-kink. La precedente equazione pu`o essere scritta in termini della derivata spaziale del campo nel modo seguente:
Z +∞
−∞
∂xϕdx = n(2πa).
Definiamo la corrente jµ come
jµ(x) = µν∂νϕ;
questa `e conservata per l’ antisimmetria di . La corrispondente carica conservata `e data dall’ integrale temporale di questa corrente:
Q = Z +∞ −∞ j0(x)dx = Z +∞ −∞ ∂xϕdx = n(2πa). (4.8)
Questo mostra che il numero di kink n `e conservato, cio`e non ci sono transi-zioni tra solutransi-zioni diverse e sono quindi stabili; per passare da una soluzione
4.2. SOLITONI 35 all’ altra avrei bisogno di una quantit`a infinita di energia. Vediamo inoltre che la condizione di finitezza dell’ energia implica che i valori asintotici di ϕ devono essere zeri del potenziale; se chiamiamo M0 l’ insieme degli zeri del
potenziale, si ha:
lim
x→±∞ϕ(x) ∈ M0.
Questa relazione `e valida anche nel caso di dimensioni maggiori; come ve-dremo nel prossimo paragrafo questa relazione `e una mappa dall’ insieme degli infiniti spaziali all’ insieme degli zeri del potenziale. Osserviamo che per avere queste soluzioni a energia finita stabili, `e necessario che lo stato di vuoto della teoria sia degenere (rottura spontanea di simmetria)
4.2.1
Solitoni in 4 dimensioni e teorie di gauge
Consideriamo in questa sezione un campo scalare in (3 + 1) dimensioni con un gruppo di simmetria G. Sia L la lagrangiana per questo campo:
L = 1 2(∂µϕi)
2− V (ϕ i),
con V (ϕi) ≥ 0.
Come prima denotiamo con M0 l’insieme dei valori del campo ϕ che
mini-mizzano il potenziale; a differenza del caso precedente dove M0era formato da
due punti (−∞, +∞), questa volta abbiamo un insieme connesso, e pi`u pre-cisamente la sfera bidimensionale di raggio infinito in tre dimensioni spaziali. L’ energia per una data configurazione dei campi `e data da:
H = Z d3x[1 2(∂tϕi) 2+1 2( − → ∇ϕi)2+ V (ϕi)].
La condizione che le soluzioni delle equazioni del moto abbiano energia finita implica che per r → ∞ ϕi tenda ad uno dei minimi del potenziale. A
differenza del caso precedente si ha che se la simmetria `e discreta (se cio`e M0 `e un insieme discreto), per lo stato di minima energia l’insieme dei valori
del campo che minimizzano il potenziale, essendo connesso , deve essere costante. Per avere soluzioni non banali quindi M0 deve essere una variet`a
di dimensione non nulla, e di conseguenza il gruppo di simmetria un gruppo continuo. L’ Hamiltoniana scritta sopra soddisfa
H ≥ Z d3x[1 2( − → ∇ϕi)2+ V (ϕi)];
scriviamo il termine gradiente come somma di una parte radiale e di una trasversa − → ∇ϕi = ∂ϕ ∂r 2 +br ×−→∇ϕ2. (4.9)
poich´e all’ infinito i campi sono solo funzione di br, se non sono costanti il secondo termine di questa equazione `e di ordine r−2, quindi l’ integrale che compare nell’ Hamiltoniana diverge; non esistono soluzioni stabili a energia finita con la presenza di soli campi scalari. Abbiamo quindi la necessit`a di introdurre un campo di gauge, che equivale a rendere la simmetria locale, cio`e una simmetria di gauge. Dimostreremo nel prossimo capitolo che esistono soluzioni stabili con energia finita in teorie di gauge ed esamineremo il caso che ci interessa, cio`e la soluzione di monopolo magnetico.
Capitolo 5
Confinamento dei quarks
Mostreremo in questo capitolo il meccanismo di confinamento del colore me-diante la condensazione di monopoli magnetici nel vuoto (superconduttivit`a duale). Discuteremo cio`e come il vuoto diventi un superconduttore duale nella fase di confinamento. Il nostro programma nei prossimi paragrafi sar`a quello di mostrare che la forza tra una coppia di quark e antiquark `e “rac-chiusa” in un tubo di flusso da un effetto Meissner duale, (cio`e con i ruoli del campo elettrico e magnetico scambiati rispetto a un normale supercondutto-re) in modo tale da rendere l’ energia proporzionale alla distanza (confina-mento). Innanzi tutto occorre mostrare l’ esistenza di soluzioni di monopolo magnetico in teorie di gauge; il prossimo paragrafo riporta un argomento di ’t Hooft per la costruzione di soluzioni solitoniche che si comportano come monopoli magnetici.
5.1
Monopolo magnetico in teorie di gauge
L’ esempio pi`u semplice di teoria che presenta questo tipo di soluzione `e il modello SO(3), che discuteremo brevemente, accennando solo alcune carat-teristiche importanti. Abbiamo visto nel capitolo precedente che `e possibi-le trovare soluzioni topologicamente non banali a energia finita con campi scalari, in presenza di campi di gauge. Dal momento che le interazioni elet-tromagnetiche sono invarianti sotto la simmetria non rotta di gauge U (1), e che la condizione necessaria per avere soluzioni solitoniche `e la degenerazione dello stato di vuoto, la cosa pi`u naturale da fare `e cercare un gruppo di sim-metria pi`u ampio in cui `e immerso il gruppo U (1), in cui esso appare dalla rottura di simmetria. Vediamo ora come il monopolo magnetico rappresenta una soluzione solitonica di questa teoria. Consideriamo il gruppo SU (2) con
un tripletto di scalari di Higgs. la Lagrangiana si scrive: L = −1 4F a µνF µνa+ 1 2DµφD µφ − λ 4(φ · φ − a 2) (5.1) dove Fµνa = ∂µAaν − ∂νAaµ− abc AbµAnuc (Dµφ)a = ∂µφa− eabcAbµφ c
L’ insieme dei minimi del potenziale `e una sfera nello spazio tridimensionale della simmetria interna, e tutti i punti di questa sono equivalenti tra loro modulo una rotazione SO(3). Se scegliamo per lo stato fondamentale
φ = (0, 0, a), (5.2)
questo `e ancora invariante sotto una rotazione attorno all’ asse 3. Quindi si ha la rottura di simmetria:
SU (2) ∼ SO(3) → SO(2) = U (1).
Individuiamo cos`ı il gruppo U (1) di simmetria del campo elettromagnetico. Senza entrare nei dettagli si trova che la richiesta di finitezza dell’ energia per soluzioni solitoniche implica che il campo a grandi distanze si comporta come un monopolo magnetico:
F3ij = ijkBk − → B ∼ −1 e − →r r3,
con carica magnetica
g = −4π
e . (5.3)
Questa soluzione di monopolo, dovuta a ’t Hooft e Polyakov, ha lo stesso comportamento all’ infinito del monopolo di Dirac, ma differisce da quest’ ultimo per avere un’ estensione finita, e non necessita di una stringa che con-tenga il flusso magnetico. Nella prossima sezione vedremo come introdurre il monopolo magnetico nel caso della QCD.
5.2
La proiezione Abeliana
Cominciamo come accennato la nostra discussione considerando il caso sem-plice di SU(2). ( In questa sezione per comodit`a il fattore −ig viene inglobato
5.2. LA PROIEZIONE ABELIANA 39 nella definizione di Aµ, cio`e d’ora in poi −igAaµ → Aaµ). Definiamo i tensore
di ’t Hooft Fµν, invariante di gauge e singoletto di colore:
Fµν = bφ · − → Gµν− 1 gφ ·b Dµφ × Db νφb (5.4) dove il tensore del campo di colore Gµν `e dato da:
Gµν = ∂µ − → Aν − ∂ν − → Aµ+ g bAµ× − → Aν
e la derivata covariante da:
Dµφ = (∂b µ− g − →
Aµ×)bφ.
Nell’ espressione per il tensore di ’t Hooft i due termini che compaiono sono separatamente invarianti di gauge e singoletti di colore; la particolare com-binazione `e stata scelta in modo tale da far cancellare i termini bilineari in − → Aµ − → Aν e − →
Aµ∂νφ. Con questa particolare scelta il tensore Fb µν diventa:
Fµν = ∂µ( bφ · − → Aν) − ∂ν( bφ · − → Aµ) − 1 gφ · (∂b µφ × ∂b νφ).b (5.5)
Mediante una trasformazione di gauge che manda bφ in (0, 0, 1) possiamo annullare il secondo termine di questa equazione, in modo tale da rendere il campo Fµν Abeliano:
Fµν = ∂µA3ν − ∂νA3µ. (5.6)
Definiamo il tensore duale Fµν∗ ,
Fµν∗ = 1 2µνρσF
ρσ
e la corrente magnetica:
jµ = ∂νFµν∗ .
Questa `e sempre zero per le identit`a di Bianchi, eccetto nei punti dove si trovano le singolarit`a; comunque per l’ antisimmetria di Fµν∗ si ha la seguente legge di conservazione per la carica magnetica:
∂µjµ = 0.
Possiamo trovare soluzioni di monopolo: −
→
1 2ijkFjk = 1 2g ri r3 + stringa.
La stringa di Dirac `e prodotta dalle singolarit`a che presenta la proiezio-ne Abeliana proiezio-negli zeri del campo φ. Passiamo ora a considerare il caso di SU(N): siano Ta, a = 1...N2−1 i generatori del gruppo nella rappresentazione
fondamentale, con normalizzazione:
T r(TaTb) = 1 2δ
ab;
possiamo scrivere il nostro campo in termini di questi generatori: φ =XφaTa.
Il tensore di ’t Hooft si scrive, lasciando indeterminata la normalizzazione di φ: Fµν = T r(φGµν) − i gT r(φ[Dµφ, Dνφ]). (5.7) dove al solito: Aµ = AaµT a , Dµφ = ∂µφ − ig[Aµ, φ], Gµν = ∂µAν − ∂νAν + ig[Aµ, Aν].
Vogliamo come nel caso di SU(2) trovare una gauge per φ in modo tale da far scomparire i termini bilineari, cio´e vogliamo Fµν nella forma:
Fµν = c T r {φ(∂µAν − ∂νAµ)} + i gT r {φ[∂µφ, ∂νφ]} (5.8) Se questo accade, nella gauge in cui φ `e diagonale Fµν `e abeliano:
Fµν = cT r {∂µ(φAν) − ∂ν(φAµ)} . (5.9)
La condizione richiesta di cancellazione dei termini bilineari equivale a: T r (φ [Aµ, Aν]) + T r (φ [[Aµ, φ] , [Aν, φ]]) = 0 (5.10)
per ogni scelta dei campi Aµ, Aν. Consideriamo ora un dato campo φ0
solu-zione di questa equasolu-zione: si pu`o mostrare allora che anche φ = U (x)φ0U†(x),
con U (x) un’arbitraria matrice unitaria, `e soluzione. In particolare possiamo scegliere φ0 diagonale; si trova che la generica φ0 costante e diagonale ha la
5.2. LA PROIEZIONE ABELIANA 41 φa0 = diag N −a za }| { N . . . a N, a z }| { −N − a N . . . − N − a N = = a N a N . .. −N −a N −N −a N (5.11)
con a = 1, 2 . . . N − 1. La scelta di una di queste gauge (di un dato valore di a) lascia una simmetria residua SU (a) ⊗ SU (N − a) ⊗ U (1). Se la soluzione `e continua deve essere costante, non potendo saltare da una delle φa
0 all’ altra. La soluzione generale al nostro problema `e data quindi da:
φ = U (x)φa0U†(x), (5.12)
con una qualsiasi delle φa0 scritte in 5.11. `E possibile dimostrare che possiamo definire un campo abeliano Fa
µν per ognuno dei campi φa0 soluzione di 5.11 o
per un altro qualsiasi campo collegato ad essi da una trasformazione di gauge, e che la normalizzazione `e fissata. Consideriamo ora un generico operatore X, che trasforma in maniera covariante sotto trasformazioni di gauge; possiamo diagonalizzarlo mediante una trasformazione di gauge:
XD = UX(x)X(x)UX†(x). (5.13)
Per ognuno dei φa
0 possiamo definire un campo nella rappresentazione
ag-giunta di SU (N ):
φa= UX(x)φa0U † X(x).
Definiamo N − 1 tensori del campo invarianti di gauge in termini dei φa:
Fµνa = T r(φaGµν) −
i gT r (φ
a
[∂µφa, ∂νφa]) .
Nella gauge dove X `e diagonale φa(x) = φa
0 e Fµν `e abeliano:
Fµν = ∂µT r(φa0Aν) − ∂νT r(φa0Aµ). (5.14)
Le matrici diagonali φa0 formano un insieme completo di matrici diagonali, quindi possiamo espandere il campo XD in termini di queste:
XD(x) = N −1
X
a=1
scrivendo ora la parte diagonale di Aµ come : AµD =X a Aµaαa, (5.15) con αa= 1 2diag(0, 0, . . . 0, 1, −1, 0, . . . 0) con 1 in posizione a, T r(φa 0αb) = 1 2δ ab e quindi: T r(XD(x)αa) = 1 2Ca(x) = X a D− X a+1 D . (5.16)
Arriviamo alla conclusione che per ogni valore di x tale che Ca(x) = 0, due
autovalori di X sono degeneri,
XDa(x) − XDa+1 = 0 (5.17)
e quindi la trasformazione 5.13 diventa singolare. Queste singolarit`a si com-portano come monopoli magnetici. Nella rappresentazione della proiezione abeliana possiamo scrivere un generico link Uµ(x), nella gauge in cui φ `e
diagonale, come:
Uµ(x) = Vµi(x)e ici
µ(x)αi, i = 1 . . . N − 1 (5.18)
Mediante alcune considerazioni algebriche `e possibile mostrare che la variabile di placchetta Ωp ≡ Πµν(x) = Uµ(x)Uν(x +bµ)U † µ(x +bν)U † ν(x) (5.19)
si pu`o riscrivere come:
Πµν(x) = bΠµν(x) · Π0µν(x) (5.20)
con Π0µν(x) prodotto di matrici diagonali che compaiono nel secondo membro della 5.18. Questo definisce una placchetta per U (1). Definendo l’ angolo θµν
con:
Π0µν(x) = eiθµν
la corrente magnetica `e definita come:
jµ= 4νθ∗µν, (5.21)
θµν∗ = 1
5.3. DUALIT `A 43 La corrente magnetica `e nulla per l’ identit`a di Bianchi. Se l’ angolo θ `e definito modulo 2π,
θµν = ˜θµν + 2πnµν, −π ≤ θµν ≤ π
allora la corrente magnetica ˜
jµ = 4νθ˜µν∗ (5.22)
pu`o essere diversa da zero, ed `e conservata. Il termine proporzionale a nµν
conta le stringhe di Dirac che attraversano la placchetta. Se prendiamo quindi un cubo elementare tale che una faccia ha nij = 1 e le altre nij = 0,
otteniamo un monopolo magnetico; la quantit`a ˜θ∗µν ha flusso 2π, bilanciato dalla stringa di Dirac, non osservabile. Quello che ci serve ora `e un opera-tore µ con carica magnetica diversa da zero, il cui valore di aspettazione sul vuoto `e il parametro di disordine per la superconduttivit`a duale dello stato fondamentale. Determineremo poi numericamente questo valore di aspetta-zione sotto e sopra la transiaspetta-zione di deconfinamento: se la condensaaspetta-zione dei monopoli `e collegata al confinamento ci aspettiamo che hµi sia zero nella fase deconfinata e diverso da zero nella fase confinata.
5.3
Dualit`
a
Entriamo ora nel punto centrale di tutta la discussione, la superconduttivit`a duale del vuoto, meccanismo responsabile del confinamento dei quarks. Nel precedente capitolo abbiamo introdotto il concetto di dualit`a per il campo elettrico e magnetico, in modo da introdurre in maniera naturale il monopolo magnetico. In questa sezione considereremo la dualit`a ordine-disordine nella descrizione dei fenomeni statistici. L’ esempio classico che presenta questa caratteristica `e il modello di Ising. Questo modello descrive un sistema di spins che possono avere solo due orientazioni (up o down), e interagiscono solamente con gli spins adiacenti, senza cio`e interazioni a distanza. In questo senso il modello di Ising pu`o essere considerato una teoria di campo locale su reticolo; vedremo ora quali sono le caratteristiche principali e discuteremo la dualit`a del modello. L’azione per un sistema di spins su un reticolo quadrato bidimensionale si scrive:
S = −JX
n,i
s(n)s(n + i),
dove i denota uno dei due versori del piano e s pu`o assumere i valori 0 o 1. Poich`e spin paralleli sono favoriti, J > 0. Questo modello ha una simmetria
globale Z2: se infatti invertiamo tutti gli spins l’energia non cambia. Se
poniamo il sistema in un campo magnetico esterno l’ azione acquista un altro termine −BP
ns(n). Le propriet`a statistiche del modello seguono dalla
funzione di partizione
Z = X
conf
e−βS (5.23)
dove la somma `e estesa a tutte le configurazioni possibili e il fattore e−βS `e la probabilit`a di una data configurazione. Scriviamo in dettaglio la funzione di partizione per il modello:
Z(K) = X
σN=±1
. . . X
σ1=±1
eKPhi,jiσiσj, (5.24)
dove K = kTJ , N `e il numero di spins la somma su i, j `e estesa a spins adiacenti. Per quanto riguarda lo sviluppo della 5.24 per basse temperature `e sufficiente considerare le piccole deviazioni dallo stato fondamentale. Infatti se T = 0 tutti gli spins sonno allineati (stato fondamentale); se uno spin `e invertito allora sono rotti sei links se gli spins sono adiacenti, altrimenti otto. Si vede che lo sviluppo della funzione di partizione per basse temperature prende la forma:
Z(K)e−2N K = 1 + N e−8K+ 2N e−12K +1
2N (N − 5)e
−16K
+ . . . . (5.25) Per lo sviluppo a temperature alte riscriviamo il generico termine dell’ equa-zione 5.24 come:
eKσ = cosh K + σ sinh K, (5.26)
dove σ `e una generica variabile dicotomica(σ = ±1). Applicando questa espressione alla 5.24 si ottiene:
Z(K) = X σn=±1 . . . X σ1=±1 Y hi,ji (cosh K + σiσjsinh K) = = (cosh K)2N X σn=±1 . . . X σ1=±1 Y hi,ji (1 + σiσjtanh K).
Se siamo nel limite di alta temperatura, K `e molto piccolo e possiamo quindi espandere in tanh K. Dopo semplici considerazioni si trova che:
Z(K)(cosh K)−2N2−N =
= 1 + N (tanh K)4+ 2N (tanh K)6+ 1
2N (N − 5)(tanh K)
5.3. DUALIT `A 45 Le espressioni per basse e alte temperature sono identiche se identifichia-mo:
tanh K = e−2K∗. che pu`o anche seere scritta come:
sinh(2K) sinh(2K∗) = 1. (5.27)
Questo significa che abbiamo una corrispondenza tra la fase ordinata (bassa temperatura) e la fase disordinata (alta temperatura); se conosciamo il comportamento del sistema in una delle due fasi sappiamo derivare anche il comportamento nell’ altra. Questo modello presenta configurazioni con topologia non banale, i kinks. La topologia `e data dal comportamento degli spin all’ infinito. Un kink `e una configurazione altamente non locale con:
σ = −1 x ≤ x0 σ = +1 x ≥ x0
Possiamo definire una variabile duale nel seguente modo: sia σ∗ definita sui links del reticolo, e tale che σ∗ = −1 se il link collega due spin con lo stesso segno, +1 nell’ altro caso. In termini della variabile duale σ∗un kinks diventa un’ eccitazione locale:
σ∗ = +1 in x0, σ∗ = −1 altrove
Si mostra che la funzione di partizione in termini di σ∗ descrive ancora un modello di Ising con la corrispondenza:
Z[σ, K] = Z[σ∗, K∗]. (5.28)
L’ equazione 5.27 manda K in K1, cio`e la regione di accoppiamento debole in accoppiamento forte e viceversa. La fase di alta temperatura, disordinata, diventa ordinata nella descrizione duale, e hσ∗i il suo parametro d’ ordine. Il parametro d’ ordine della fase duale `e chiamato parametro di disordine. Le considerazioni fatte in questo paragrafo sono valide per sistemi d + 1 di-mensionali, con configurazioni d dimensionali aventi topologia non banale e una carica topologica conservata. Come visto, nel regime di accoppiamento debole `e conveniente descrivere il sistema in termini di campi locali φ e la simmetria dello stato fondamentale `e data dal parametro d’ ordine hφi, va-lore di aspettazione sul vuoto dei campi. Considerando accoppiamenti pi`u forti hφi → 0, e il sistema diventa disordinato. Conviene allora passare a una descrizione duale del sistema,dove le configurazioni altamente non locali (kinks) diventano locali, i campi originali diventano oggetti estesi (solitoni), e l’accoppiamento g → 1g.
5.4
Costruzione del parametro di disordine
Mostriamo che l’ operatore che aggiunge un monopolo magnetico nel sito −→x corrispondente a un valore a della 5.11 avente potenziale vettore prodotto in − →y uguale a −→b ⊥(−→x − −→y ) `e dato da: µa(−→x , t) = eiR d3yT r[φa(−→y ,t) − → E (−→y ,t)]−b→⊥(−→x −−→y ), (5.29)
dove−→E `e l’ operatore campo elettrico, le φa sono date dalla 5.12 e il campo
di monopolo naturalmente soddisfa: − → ∇ ·−→b ⊥= 0, − → ∇ ×−→b⊥ = 2π g − →r r3 + stringa − Dirac.
Infatti poich´e µa `e invariante di gauge, ci mettiamo nella gauge in cui `e
diagonale, ottenendo: µa(−→x , t) = exp i Z d3yT r[φa0(−→y , t)−→E (−→y , t)]−→b⊥(−→x − −→y ) = exp i Z d3y−→Ea⊥(−→y , t)−→b⊥(−→x − −→y ) . Osservando che −→Ea ⊥(−→y , t) `e il momento coniugato di − → Aa ⊥(−→y , t), otteniamo in analogia con:
eipa|xi = |x + ai, µa(−→x , t) |−→Aa⊥(−→y , t)i = | − → Aa⊥(−→y , t) + − → b a⊥(−→x − −→y )i. (5.30)
Si vede che un monopolo di Dirac `e stato aggiunto alla configurazione nella proiezione Abeliana e che ci sono N − 1 specie di monopolo, corrispondenti ai diversi valori assunti da a. Abbiamo cio`e costruito un operatore con ca-rica magnetica non nulla per ogni proiezione Abeliana: chiameremo questo operatore operatore di disordine, e il suo valor medio sul vuoto parametro di disordine. Si mostra inoltre che questo valor medio `e indipendente dal-la proiezione Abeliana scelta. L’ importanza di questo parametro sta nel fatto che esso ci indica quando il vuoto diventa superconduttore (duale),e quindi quando siamo in presenza di confinamento. Infatti se consideriamo la corrente magnetica:
jµa(x) = ∂µFµν∗a,
che `e nulla per le identitit`a di Bianchi, eccetto nei punti dove sono localizzati i monopoli, si ha:
5.4. COSTRUZIONE DEL PARAMETRO DI DISORDINE 47 che definisce una simmetria magnetica U (1), con conservazione della carica magnetica. Se questa simmetria `e realizzata `a la Wigner, cio`e se il vuo-to ha carica magnetica definita,il sistema si comporta in maniera normale e hµai = 0; se invece il vuoto non ha carica magnetica definita ma `e una
sovrapposizione di stati con diversa carica, il sistema diventa supercondut-tore, e in questo caso hµai 6= 0. Nel prossimo capitolo vedremo tramite una simulazione numerica come si trova la transizione di deconfinamento in QCD analizzando l’ andamento del parametro di disordine. Occorre precisare fin da ora che il calcolo diretto del parametro di disordine non `e molto agibile per ragioni numeriche: quello che si fa `e determinare la quantit`a:
ρ = d
dβ loghµi. (5.32)
In effetti si mostra che:
µ = e−β∆S, (5.33)
dove ∆S `e la differenza tra l’ azione SM con il monopolo e l’ azione S senza
monopolo. Quindi il parametro di disordine hµi vale: hµi = R [DΩ]e
−β(S+∆S)
R [DΩ]e−βS . (5.34)
Da qui segue immediatamente la formula che useremo per determinare nu-mericamente ρ :
ρ = hSiS− hS + ∆SiS+∆S. (5.35)
Nell’ ultimo capitolo discuteremo le tecniche usate per il calcolo di questa quantit`a e commenteremo i risultati ottenuti dalle simulazioni
