Criteri di valutazione

c : modificando dominio e codominio si ottiene una funzione iniettiva 8

c : modificando dominio e codominio si ottiene una funzione suriettiva

9

c : modificando dominio e codominio si ottiene una corrispondenza biunivoca

10

c :esplicita gli elementi del dominio e del codominio 11

c : non risponde

Quesito 4°

1

d : distingue graficamente una relazione da una funzione fig 1 2

d : non distingue graficamente una relazione da una funzione fig 1

3

d : distingue graficamente una relazione da una funzione fig 2 4

d : non distingue graficamente una relazione da una funzione fig 2 5

d : distingue graficamente una relazione da una funzione fig 3 6

d : non distingue graficamente una relazione da una funzione fig 3 7

d : distingue graficamente una relazione da una funzione fig 4 8

d : non distingue graficamente una relazione da una funzione fig 4 9

d : distingue graficamente una relazione da una funzione fig 5

10

d : non distingue graficamente una relazione da una funzione fig 5 11

d : motiva le risposte 12

d . non risponde

7. Criteri di valutazione

E’ stata preparata una tabella di valutazione (vedi scheda analisi a priori) nella quale ogni risposta giusta è stata denotata con 1 ed ogni risposta sbagliata con 0. Questo è stato fatto per ragioni legate al trattamento statistico dei dati. I risultati del test sono stati trascritti in una

tabella excel, dopo la tabulazione dei dati non sono state prese in considerazione le risposte con solo zeri.

8. Risultati

Dal trattamento statistico dei dati sono emersi i seguenti risultati: I. Legami implicativi c₉ →c₆ →d₁

c₉ →c₁₀ →d₁

Legami di similarità

(

)

Data una relazione se un alunno è in grado di modificare dominio e codominio per ottenere una corrispondenza biunivoca, riesce a compiere la stessa operazione per una funzione che non debba necessariamente essere iniettiva o suriettiva. Riesce in entrambi i casi ad esplicitare gli elementi del dominio e del codominio della funzione ottenuta.

Tale operazione viene effettuata usando l’espressione algebrica, se l’alunno domina tale registro riesce ad operare autonomamente anche quando si richiede la stessa capacità usando però un registro linguistico differente, come ad esempio quello grafico.

II. Legami implicativi b₆ →a₄ →d₁

a₆ →b₃ →b₁ →d₁

Legami di similarità

(

)

Se un alunno riesce a riconoscere operativamente l’unicità dell’immagine della funzione riesce data una relazione a modificare dominio e codominio per ottenere una funzione, e sarà in grado di riconoscere una funzione quando il registro linguistico usato è quello grafico. Riesce inoltre a stabilire la natura di una legge assegnata (se è una funzione o una relazione ad esempio) ed inoltre riesce a dare una definizione corretta di funzione, ed una corretta rappresentazione grafica..

(Una difficoltà da me osservata, quando dopo la somministrazione del test, si è passato ad una fase di commento del lavoro svolto e delle risposte date, è stata nell’enunciazione del concetto di funzione poiché spesso oralmente e senza il supporto grafico, gli intervistati dimenticavano l’unicità dell’immagine y. L’idea della corrispondenza viene compresa abbastanza chiaramente: “ ad ogni x corrisponde un y…”, ma accade che l’unicità della y resti poco chiara: “ad ogni x corrisponde uno ed un solo y”).

III. Legami implicativi b₉ →a₉ →d₅

b₉ →b₈ →d₁

Legami di similarità

(

)

L’uso della rappresentazione sagittale non garantisce l’individuazione corretta del tipo di corrispondenza, sia che il registro linguistico sia algebrico, sia nel caso i cui è quello grafico.La mancanza di tale capacità porta al non sapere riconoscere che modificando dominio e codominio la legge assegnata può variare la sua natura.

Se un alunno riesce ad individuare il tipo di corrispondenza, assegnata mediante un espressione algebrica o verbale, in modo corretto, riesce ad individuarla anche mediante la rappresentazione grafica. Il viceversa in generale non è vero. Infatti emerge dai dati del test che se un alunno opera in modo autonomo in un determinato registro linguistico non necessariamente farà lo stesso non appena si muta il registro linguistico con il quale un problema o un quesito viene proposto. In particolare dall’analisi di questo test è emerso che se l’alunno opera autonomamente adoperando il registro algebrico allora sarà in grado di fare lo stesso tipo di operazioni mentali quando il registro in cui deve operare è quello grafico, ma non si può dire lo stesso di un alunno che per esempio riesce ad individuare una funzione graficamente, potrà infatti avere problemi ad eseguire la

medesima operazione quando gli si chiede il passaggio ad un registro linguistico differente.

Il risultato ottenuto viene confermato da una esperienza condotta dal matematico Athanasios Gagatsis sui differenti modi di simbolismo (algebrico, verbale, grafico) di una funzione. Tra i risultati dell’esperienza si legge che: «la coordinazione tra i registri di coordinazione è lontana dall’essere naturale. E sembra potersi realizzare nel quadro di un insegnamento principalmente determinato dai contenuti concettuali. Si può osservare a tutti i livelli un cambiamento di registri di rappresentazione presso la maggior parte di allievi. Questi non riconoscono lo stesso oggetto attraverso delle rappresentazioni che ne sono date in sistemi semiotici differenti: la struttura algebrica di una relazione e la sua rappresentazione grafica.

Naturalmente, l’assenza della coordinazione non impedisce del tutto la comprensione. Ma questa comprensione, limitata al contesto semiotico di un solo registro, non favorisce i transfert e gli apprendimenti ulteriori: essa rende le conoscenza acquisite poco o per niente convertibili in tutte le situazioni dove esse dovrebbero essere utilizzate.»

Duval (1933) afferma a proposito dei differenti registri linguistici: «un grafico da maggiori informazioni che riguardano il concetto che viene presentato piuttosto della versione algebrica o verbale. Quest’ultima inoltre, implica difficoltà ancora maggiori per quanto riguarda il costo dell’elaborazione se confrontata con la versione algebrica». Duval inoltre insiste sul fatto che per la comprensione completa di un concetto matematico è necessaria la coordinazione di almeno due registri differenti di rappresentazione.

I risultati globali dell’analisi statistica sono stati piuttosto soddisfacenti anche se il campione esaminato non era del tutto omogeneo.

Riassumiamo i risultati ottenuti:

• L’avvenuto apprendimento del concetto di funzione da parte degli alunni non dipende tanto dal fatto che questi abbiano chiara la distinzione tra relazione e funzione, quanto dal fatto che sappiano riconoscere operativamente l’unicità dell’immagine y in una data funzione.

• Gli alunni riconoscono abbastanza agevolmente il dominio ed il codominio di una funzione, e riescono ad individuare una funzione graficamente.

• E’ importante che gli alunni riconoscano il contesto linguistico nel quale essi operano. Non riescono facilmente ad operare autonomamente quando gli si assegna una funzione col simbolismo algebrico, verbale e grafico. Abbiamo visto come effettivamente la coordinazione dei registri linguisti non è naturale, e perché vi sia reale apprendimento è necessario che vi sia la coordinazione di almeno due registri. Sottolineo inoltre come sia emerso dal trattamento dei dati statistici che il registro algebrico è quello che implica maggiori difficoltà, infatti un alunno che domina il registro algebrico riesce a dominare gli altri registri linguistici, ma in generale non si può fare l’affermazione contraria.

Un ipotesi di ricerca nuova è pronta: uno studio sulla coordinazione dei diversi registri linguistici!