Abbiamo proceduto nell’analisi dei dati determinando prima il limite conti- nuo e poi studiando il limite di grande N . Allo scopo di riuscire a fare al meglio queste indagini sarebbe utile avere dati per piccoli valori della spa- ziatura nel primo caso e per grandi valori di N nel secondo. Entrambe le misure non sono prive di problemi. Abbiamo sottolineato pi`u volte nel corso di questo lavoro che le quantit`a di natura topologica sono afflitte dall’aumen- to ‘esponenziale’ dei tempi di correlazione al diminuire della spaziatura. Il freezing della carica topologica viene mostrato nelle figure (5.12), dove ven- gono riportati in successione i valori della carica in funzione del numero della misura, per β = 0.54, 0.57, 0.60, 0.62, 0.64, 0.66 (N = 21).
Per lo stesso motivo non si pu`o prendere N grande a piacere.
Questo fenomeno `e studiato nei lavori [11, 20], dove per gli aggiornamenti `e stato utilizzato un algoritmo costituito da percentuali diverse di microca- nonico, over-heat-bath e Metropolis (80:16:4) (Ricordiamo che nella nostra simulazione abbiamo utilizzato un algoritmo composto da microcanonico e over-heat-bath in rapporto 4:1). In particolare vengono analizzati i tempi di correlazione relativi alla suscettivit`a topologica e la loro dipendenza dalla lunghezza di correlazione ricavando una codificazione dei risultati tramite una legge di tipo appunto esponenziale:
ln τ
N ∼ (aN + bNξ
αN), (5.5)
dove τ `e il tempo di correlazione e aN, bN, αN sono costanti dipendenti da
5.5. CRITICAL SLOWING DOWN 71
Figura 5.12: Freezing della carica topologica: al crescere del valore di β l’algoritmo passa da un settore topologico ad un altro pi`u lentamente.
(a) β = 0.54, N =21. (b) β = 0.57, N =21.
(c) β = 0.60, N =21. (d) β = 0.62, N =21.
Capitolo 6
Conclusioni
Lo scopo del nostro lavoro `e stato lo studio dei coefficienti dello sviluppo di Taylor della densit`a d’energia del vuoto dei modelli CPN −1 intorno a θ = 0:
E(θ) − E(0) = 1 2χθ
2(1 + b
2θ2+ b4θ4· · · ), (6.1)
in particolare dei primi coefficienti non gaussiani b2 e b4. Mentre sono ripor-
tate in letteratura [29] diverse misure della suscettivit`a topologica χ, l’unico lavoro, a nostra conoscenza, in cui sono presenti dei risultati relativi a b2 `e
[20] e non esistono misure di b4. La possibilit`a di fare un confronto non solo
con la dipendenza da N prevista, che anche noi abbiamo ricavato, ma con i valori attesi all’ordine dominante riportati in recenti pubblicazioni [4, 23], ha costituito un ulteriore stimolo a questo studio.
Sono state eseguite misure di χ, b2, b4 per i modelli N = 10, 15, 21.
L’approccio usato `e quello tradizionale che consiste nel misurare i cumulanti della carica topologica a θ = 0. Valgono infatti le seguenti relazioni:
χ = hQ 2i c V , b2 = − hQ4i c 12hQ2i c , b4 = hQ6i c 360hQ2i c . (6.2)
Veniamo ai risultati. I valori della suscettivit`a χ ottenuti mostrano una discrepanza con quelli presenti in letteratura. Ipotizziamo che sia legata alla scelta delle curve usate nei fit. Nello stesso tempo i nostri risultati sono pi`u vicini di quelli riportati in letteratura ai valori previsti [4, 23] all’ordine next to leading. In particolare il valore di c2 = N2[ξ2χ − 1/2πN ] si avvicina
al crescere di N al valore atteso c2 = −0.060, mentre quello riportato in
letteratura `e stabile ma lontano.
Per quanto riguarda b2 innanzitutto sottolineiamo un miglioramento nella
precisione della misura rispetto a [20] almeno di un fattore 10. I valori otte- nuti sono maggiori (minori in modulo) di quelli previsti all’ordine dominante
74 CAPITOLO 6. CONCLUSIONI b2 = −5.4/N2, anche se la differenza diminuisce, come atteso, al crescere di
N . I fit eseguiti suggeriscono due possibili scenari: una lento approccio al limite di grande N o uno scaling del tipo 1/N .
`
E noto che le misure di quantit`a di natura topologica fatte utilizzan- do negli aggiornamenti algoritmi di tipo locale sono afflitte da un severo critical slowing down [11]. Sarebbe utile migliorare i tempi di correlazione in particolare nella prospettiva di una misura dei coefficienti non gaussiani successivi.
L’obiettivo, infatti, di misurare b4 si `e rivelato troppo ambizioso nono-
stante le statistiche piuttosto alte: alcune misure sono state prese generando pi`u di 1010 configurazioni! I risultati sono compatibili con zero. Tuttavia
il lavoro non `e stato del tutto vano. Infatti, abbiamo ottenuto per lo meno un limite superiore: |b4| < 4 · 10−4. Da un confronto con il valore atteso
b4 = −25338/(175N4) all’ordine dominante abbiamo concluso che |b4| `e in-
feriore al modulo del valore atteso almeno di un fattore 100 per N = 10, 10 per N = 15.
In letteratura sono riportate misure di χ, b2, b4 per la teoria 4D SU (3)
[3, 21] con il metodo del θ immaginario. I risultati mostrano una maggiore accuratezza di quelli ottenuti con il metodo tradizionale. Pertanto riteniamo che possa essere utilizzato con profitto anche nello studio dei modelli CPN −1e
possa essere una possibile strada da seguire in un nuovo tentativo di misurare b4.
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